2.2+離散型隨機(jī)變量

§2.2離散型隨機(jī)變量一、離散型隨機(jī)變量的分布律稱X是離散型隨機(jī)變量.

定義：如果隨機(jī)變量X至多取可列無窮個數(shù)值：x1,x2,…,記

pi=P{X=xi},且滿足

01-1月-23表示為Xx1x2…xi…P{X=xi}p1p2…pi…稱pi=P{X=xi}，i=1,2,…為X的分布律.質(zhì)量分布圖（分布律的直觀解釋）x1x2…xn…質(zhì)量為p1質(zhì)量為pn總質(zhì)量為101-1月-23

上節(jié)例1中賭博彩金Y是離散型隨機(jī)變量，其分布律為：Y00.050.22P{Y=yi}0.50010.35890.12820.0128產(chǎn)品檢驗(yàn)試驗(yàn)其它例子

對于離散型隨機(jī)變量X，由概率可加性，因01-1月-23二、貝努里試驗(yàn)和二項分布E1：拋一枚硬幣出現(xiàn)正反面;E2：檢查一件產(chǎn)品是否合格;E3：射擊，觀察是否命中;E4：考一門課，是否通過;貝努里試驗(yàn)01-1月-23

特點(diǎn)關(guān)注試驗(yàn)的兩個結(jié)果:A和.實(shí)際結(jié)果可能不止兩個令隨機(jī)變量

貝努里試驗(yàn)僅有兩個基本事件：A和

，記P(A)=p01-1月-23思考怎樣求X的分布函數(shù)?X01P{X=xi}p1－p則X的分布律為稱X服從(0－1)分布定義

將試驗(yàn)E按下述條件重復(fù)進(jìn)行n次

(1)每次試驗(yàn)的條件不變；(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響.稱這n次試驗(yàn)為n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn).01-1月-23當(dāng)試驗(yàn)E是貝努里試驗(yàn)，稱這n次獨(dú)立試驗(yàn)為n重貝努里試驗(yàn)，或稱貝努里概型.

對于n重貝努里試驗(yàn)，可考察哪些問題，考慮哪些變量？練習(xí)嘗試寫出隨機(jī)變量

Y的分布律.

(2)

事件A

首次發(fā)生時的試驗(yàn)次數(shù)Y；(1)

n次試驗(yàn)中事件A

發(fā)生的總次數(shù)X；01-1月-23

定理

在n重貝努里試驗(yàn)中,事件A

發(fā)生概率為P(A)=p，0<p<1，則事件A

發(fā)生的次數(shù)X

的分布律為事件A在指定的k次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為證

n重貝努里試驗(yàn)中，事件A

發(fā)生的總次數(shù)X可能取數(shù)值：0，1，2，…，n.01-1月-23

從n次試驗(yàn)中選出k次試驗(yàn)有

種不同的方式.且各種方式的事件互不相容，由概率的有限可加性可得結(jié)論成立.稱隨機(jī)變量X

服從二項分布

,記為X

～B(n,p).

(0—1)分布可以看作X

～B(1,p).01-1月-23例子產(chǎn)品抽檢試驗(yàn)強(qiáng)弱對抗試驗(yàn)設(shè)備排障試驗(yàn)三、泊松分布

定義：若隨機(jī)變量X

的分布律為稱X

服從參數(shù)為l

的泊松分布.記為

X~P(l

).01-1月-23泊松分布的重要性在于:(1)

現(xiàn)實(shí)中大量隨機(jī)變量服從泊松分布;(2)

泊松分布可視為二項分布的極限分布.存儲問題

定理設(shè)隨機(jī)變量序列Xn~B(n,pn),n=1,2,…,即有

01-1月-23證明略.思考：你能從條件limnpn=l>0,n→∞中分析出什么結(jié)論嗎？注

limnpn=ln→∞即數(shù)列{pn}與{}是同階的無窮小.故1n

lim=ln→∞pn1n01-1月-23

(2)

實(shí)際問題中,

n

次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,“稀有事件”出現(xiàn)的次數(shù)可認(rèn)為服從泊松分布.

當(dāng)n

夠大,p較小時有其中l(wèi)=np.設(shè)備排障試驗(yàn)01-1月-23

例1

某種產(chǎn)品在生產(chǎn)過程中的廢品率為p（0<p<1），對產(chǎn)品逐個檢查，直到檢查出

5個不合格品為止，試寫出停止檢查時已檢查的產(chǎn)品個數(shù)X

的分布律.解關(guān)鍵是分析隨機(jī)事件｛X=k｝,事件{X=k}相當(dāng)于第k次檢查到的產(chǎn)品必為不合格品，而前k–1次檢查中查出4件不合格品.如指定前4次：01-1月-2312…34k－1k不合格不合格合格進(jìn)行k次檢查，指定的5次檢查出現(xiàn)不合格品的概率為p5（1–p)k–5.從前k－1次檢查中選出4次出現(xiàn)不合格產(chǎn)品共有種不同的方式.故分布律為#01-1月-23

例2

設(shè)有一批同類產(chǎn)品共有N個，其中次品有M個，現(xiàn)從中逐個有放回地取出n

個，試求取出n

件中所含的次品件數(shù)X

的分布律.

分析產(chǎn)品是逐件有放回取出，各次抽到次品是相互獨(dú)立的，抽n

件產(chǎn)品相當(dāng)于做n

重貝努里試驗(yàn)，并關(guān)注事件發(fā)生的總次數(shù).解

X~B(n,).MN01-1月-23故X的分布律為

思考：將抽取方式改為無放回抽取,試寫出X

的分布律.#其中k=0,1,2,…,n.01-1月-23

例3

強(qiáng)弱兩隊進(jìn)行乒乓球?qū)官?，得勝人?shù)多的一方獲勝，已知強(qiáng)隊每個隊員獲勝的概率為0.6，下面兩個方案中哪一個對弱隊有利？（1）雙方各出3人；（2）雙方各出7人.解：設(shè)A={弱隊獲勝}，弱隊獲勝的人數(shù)為X.雙方逐對較量獨(dú)立進(jìn)行，故為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).（1）當(dāng)雙方各出3人時,X~B(3,0.4)01-1月-23

P(A)=P{X≥2

}=∑C(0.4)k(0.6)3-k≈0.352k3k=23（2）當(dāng)雙方各出7人時，X~B(7,0.4).

P(A)=P{X≥4

}=∑C(0.4)k(0.6)7-k

≈0.290k7k=47故第一種方案對弱隊更有利一些.#01-1月-23

例4

某商店根據(jù)過去的銷售記錄知道某種商品每月銷售量可以用參數(shù)為λ=10的泊松分布來描述。為了以95%的概率保證不脫銷，問商店在月底應(yīng)存多少該種商品(設(shè)僅在月底進(jìn)貨)？

解設(shè)該商店每月銷售件數(shù)為X，月底存貨為a件,需求a使01-1月-23這家商店在月底保證存貨不少于15件就能以以95%的概率保證下個月該種商品不會脫銷.01-1月-23

例5

有300臺獨(dú)立運(yùn)轉(zhuǎn)的同類機(jī)床，每臺機(jī)床發(fā)生故障的概率都是0.01，若一人排除一臺的故障.問至少需要多少名工人，才能保證不能及時排除故障的概率小于0.01.解：設(shè)X

表示同一時刻發(fā)生故障的機(jī)床數(shù),則

X~B(300,0.01).若配N

個工人,應(yīng)使

0.01>P{X>N}=1–P{X≤N}01-1月-23即求使上述不等式成立的最小N值.續(xù)例4因?yàn)?00×0.01=3(n較大，p較小