昆明理工大學(xué)-隨機(jī)時(shí)間序列

§9.2隨機(jī)時(shí)間序列分析模型一、時(shí)間序列模型的基本概念及其適用性二、隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性條件三、隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別四、隨機(jī)時(shí)間序列模型的估計(jì)五、隨機(jī)時(shí)間序列模型的檢驗(yàn)經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型與時(shí)間序列模型確定性時(shí)間序列模型與隨機(jī)性時(shí)間序列模型一、時(shí)間序列模型的基本概念及其適用性1、時(shí)間序列模型的基本概念

隨機(jī)時(shí)間序列模型（timeseriesmodeling）是指僅用它的過(guò)去值及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)所建立起來(lái)的模型，其一般形式為

Xt=F(Xt-1,Xt-2,…,t)

建立具體的時(shí)間序列模型，需解決如下三個(gè)問(wèn)題：

(1)模型的具體形式(2)時(shí)序變量的滯后期(3)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的結(jié)構(gòu)例如，取線性方程、一期滯后以及白噪聲隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)（t=t），模型將是一個(gè)1階自回歸過(guò)程AR(1)：Xt=Xt-1+t這里，t特指一白噪聲。

一般的p階自回歸過(guò)程AR(p)是Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(*)(1)如果隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是一個(gè)白噪聲(t=t)，則稱(*)式為一純AR(p)過(guò)程（pureAR(p)process），記為Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(2)如果t不是一個(gè)白噪聲，通常認(rèn)為它是一個(gè)q階的移動(dòng)平均（movingaverage）過(guò)程MA(q)：

t=t-1t-1-2t-2--qt-q該式給出了一個(gè)純MA(q)過(guò)程（pureMA(p)process）。

將純AR(p)與純MA(q)結(jié)合，得到一個(gè)一般的自回歸移動(dòng)平均（autoregressivemovingaverage）過(guò)程ARMA（p,q）：

Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+

t-1t-1-2t-2--qt-q

該式表明：（1）一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列可以通過(guò)一個(gè)自回歸移動(dòng)平均過(guò)程生成，即該序列可以由其自身的過(guò)去或滯后值以及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)來(lái)解釋。（2）如果該序列是平穩(wěn)的，即它的行為并不會(huì)隨著時(shí)間的推移而變化，那么我們就可以通過(guò)該序列過(guò)去的行為來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)。這也正是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型的優(yōu)勢(shì)所在。經(jīng)典回歸模型的問(wèn)題：迄今為止，對(duì)一個(gè)時(shí)間序列Xt的變動(dòng)進(jìn)行解釋或預(yù)測(cè)，是通過(guò)某個(gè)單方程回歸模型或聯(lián)立方程回歸模型進(jìn)行的，由于它們以因果關(guān)系為基礎(chǔ)，且具有一定的模型結(jié)構(gòu)，因此也常稱為結(jié)構(gòu)式模型（structuralmodel）。然而，如果Xt波動(dòng)的主要原因可能是我們無(wú)法解釋的因素，如氣候、消費(fèi)者偏好的變化等，則利用結(jié)構(gòu)式模型來(lái)解釋Xt的變動(dòng)就比較困難或不可能，因?yàn)橐〉孟鄳?yīng)的量化數(shù)據(jù)，并建立令人滿意的回歸模型是很困難的。有時(shí)，即使能估計(jì)出一個(gè)較為滿意的因果關(guān)系回歸方程，但由于對(duì)某些解釋變量未來(lái)值的預(yù)測(cè)本身就非常困難，甚至比預(yù)測(cè)被解釋變量的未來(lái)值更困難，這時(shí)因果關(guān)系的回歸模型及其預(yù)測(cè)技術(shù)就不適用了。2、時(shí)間序列分析模型的適用性

例如，時(shí)間序列過(guò)去是否有明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì)，如果增長(zhǎng)趨勢(shì)在過(guò)去的行為中占主導(dǎo)地位，能否認(rèn)為它也會(huì)在未來(lái)的行為里占主導(dǎo)地位呢？或者時(shí)間序列顯示出循環(huán)周期性行為，我們能否利用過(guò)去的這種行為來(lái)外推它的未來(lái)走向？

●隨機(jī)時(shí)間序列分析模型，就是要通過(guò)序列過(guò)去的變化特征來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)的變化趨勢(shì)。使用時(shí)間序列分析模型的另一個(gè)原因在于：

如果經(jīng)濟(jì)理論正確地闡釋了現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，則這一結(jié)構(gòu)可以寫(xiě)成類(lèi)似于ARMA(p,q)式的時(shí)間序列分析模型的形式。

在這些情況下，我們采用另一條預(yù)測(cè)途徑：通過(guò)時(shí)間序列的歷史數(shù)據(jù)，得出關(guān)于其過(guò)去行為的有關(guān)結(jié)論，進(jìn)而對(duì)時(shí)間序列未來(lái)行為進(jìn)行推斷。例如，對(duì)于如下最簡(jiǎn)單的宏觀經(jīng)濟(jì)模型：

這里，Ct、It、Yt分別表示消費(fèi)、投資與國(guó)民收入。

Ct與Yt作為內(nèi)生變量，它們的運(yùn)動(dòng)是由作為外生變量的投資It的運(yùn)動(dòng)及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)t的變化決定的。上述模型可作變形如下：兩個(gè)方程等式右邊除去第一項(xiàng)外的剩余部分可看成一個(gè)綜合性的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，其特征依賴于投資項(xiàng)It的行為。

如果It是一個(gè)白噪聲，則消費(fèi)序列Ct就成為一個(gè)1階自回歸過(guò)程AR(1)，而收入序列Yt就成為一個(gè)(1,1)階的自回歸移動(dòng)平均過(guò)程ARMA(1,1)。二、隨機(jī)時(shí)時(shí)間序列模模型的平穩(wěn)穩(wěn)性條件自回歸移動(dòng)動(dòng)平均模型型（ARMA）是隨隨機(jī)時(shí)間序序列分析模模型的普遍遍形式，自自回歸模型型（AR））和移動(dòng)平平均模型（（MA）是是它的特殊殊情況。關(guān)于這幾類(lèi)類(lèi)模型的研研究，是時(shí)間序列分分析的重點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)容：主要包括模型的平穩(wěn)穩(wěn)性分析、模型的識(shí)別別和模型的估計(jì)計(jì)。1、AR(p)模型型的平穩(wěn)性性條件隨機(jī)時(shí)間序序列模型的的平穩(wěn)性，可通過(guò)它所所生成的隨隨機(jī)時(shí)間序序列的平穩(wěn)穩(wěn)性來(lái)判斷斷。如果一個(gè)p階自自回歸模型型AR(p)生成的的時(shí)間序列列是平穩(wěn)的的，就說(shuō)該該AR(p)模型是是平穩(wěn)的，否則，就說(shuō)該AR(p)模模型是非平平穩(wěn)的?？紤]p階自自回歸模型型AR(p)Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(*)引入滯后算子（（lagoperator）L：LXt=Xt-1,L2Xt=Xt-2,…,LpXt=Xt-p(*)式變變換為(1-1L-2L2-……-pLp)Xt=t記(L)=(1-1L-2L2-……-pLp),則則稱稱多多項(xiàng)項(xiàng)式式方方程程(z)=(1-1z-2z2-……-pzp)=0為AR(p)的的特征征方方程程(characteristicequation)?？梢砸宰C證明明，，如果果該該特特征征方方程程的的所所有有根根在在單單位位圓圓外外（（根根的的模模大大于于1）），，則則AR(p)模模型型是是平平穩(wěn)穩(wěn)的的。。AR(1)模模型型的的平平穩(wěn)穩(wěn)性性條條件件。。對(duì)1階階自自回回歸歸模模型型AR(1)方程程兩兩邊邊平平方方再再求求數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望，，得得到到Xt的的方方差差由于于Xt僅與與t相關(guān)關(guān)，，因因此此，，E(Xt-1t)=0。如如果果該該模模型型穩(wěn)穩(wěn)定定，，則則有有E(Xt2)=E(Xt-12)，從從而而上上式式可可變變換換為為：：在穩(wěn)穩(wěn)定定條條件件下下，，該該方方差差是是一一非非負(fù)負(fù)的的常常數(shù)數(shù)，，從從而而有有||<1。而AR(1)的的特特征征方方程程的根根為為z=1/AR(1)穩(wěn)穩(wěn)定定，，即即||<1，，意意味味著著特特征征根根大大于于1。。例AR(2)模型型的的平平穩(wěn)穩(wěn)性性。。對(duì)AR(2)模型型方程程兩兩邊邊同同乘乘以以Xt，，再再取取期期望望得得：：又由由于于于是是同樣樣地地，，由由原原式式還還可可得得到到于是是方方差差為為由平平穩(wěn)穩(wěn)性性的的定定義義，，該該方方差差必必須須是是一一不不變變的的正正數(shù)數(shù)，，于于是是有有1+2<1,2-1<1,|2|<1這就就是是AR(2)的平平穩(wěn)穩(wěn)性性條條件件，或或稱稱為為平穩(wěn)穩(wěn)域域。它它是是一一頂頂點(diǎn)點(diǎn)分分別別為為（（-2,-1），，（（2,-1），，（（0,1）的的三三角角形形。。對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征方方程程1-1z-2z2=0的兩兩個(gè)個(gè)根根z1、z2滿足足：：z1z2=-1/2,z1+z2=-1/2AR(2)模型型解出出1，2由AR(2)的的平平穩(wěn)穩(wěn)性性，，|2|=1/|z1||z2|<1，則則至至少少有有一一個(gè)個(gè)根根的的模模大大于于1，，不不妨妨設(shè)設(shè)|z1|>1，有有于是是|z2|>1。由由2-1<1可推推出出同同樣樣的的結(jié)結(jié)果果。。對(duì)高高階階自自回回模模型型AR(p)來(lái)說(shuō)說(shuō)，多多數(shù)數(shù)情情況況下下沒(méi)沒(méi)有有必必要要直直接接計(jì)計(jì)算算其其特特征征方方程程的的特特征征根根，，但但有有一些些有有用用的的規(guī)規(guī)則則可可用用來(lái)來(lái)檢檢驗(yàn)驗(yàn)高高階階自自回回歸歸模模型型的的穩(wěn)穩(wěn)定定性性：(1)AR(p)模型型穩(wěn)穩(wěn)定定的的必必要要條條件件是是：1+2++p<1(2)由于于i(i=1,2,p)可正正可可負(fù)負(fù)，，AR(p)模型型穩(wěn)穩(wěn)定定的的充充分分條條件件是是：：|1|+|2|++|p|<1對(duì)于于移移動(dòng)動(dòng)平平均均模模型型MR(q)：Xt=t-1t-1-2t-2--qt-q其中中t是一一個(gè)個(gè)白白噪噪聲聲，，于于是是2、MA(q)模型型的的平平穩(wěn)穩(wěn)性性當(dāng)滯滯后后期期大大于于q時(shí)，，Xt的的自自協(xié)協(xié)方方差差系系數(shù)數(shù)為為0。因此此:有限限階階移移動(dòng)動(dòng)平平均均模模型型總總是是平平穩(wěn)穩(wěn)的的。由于于ARMA(p,q)模型型是是AR(p)模型型與與MA(q)模型型的的組組合合：：Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t-1t-1-2t-2--qt-q3、ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性性而MA(q)模型總是平穩(wěn)穩(wěn)的，因此ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性性取決于AR(p)部分的平穩(wěn)性性。當(dāng)AR(p)部分平穩(wěn)時(shí)，，則該ARMA(p,q)模型是平穩(wěn)的的，否則，不不是平穩(wěn)的。。最后（1）一個(gè)平平穩(wěn)的時(shí)間序序列總可以找找到生成它的的平穩(wěn)的隨機(jī)機(jī)過(guò)程或模型型；（2）一個(gè)非非平穩(wěn)的隨機(jī)機(jī)時(shí)間序列通通?？梢酝ㄟ^(guò)過(guò)差分的方法法將它變換為為平穩(wěn)的，對(duì)對(duì)差分后平穩(wěn)穩(wěn)的時(shí)間序列列也可找出對(duì)對(duì)應(yīng)的平穩(wěn)隨隨機(jī)過(guò)程或模模型。因此，如果我們將一一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)時(shí)間序列通過(guò)過(guò)d次差分，，將它變?yōu)槠狡椒€(wěn)的，然后后用一個(gè)平穩(wěn)穩(wěn)的ARMA(p,q)模型作為它它的生成模型型，則我們就就說(shuō)該原始時(shí)時(shí)間序列是一一個(gè)自回歸單整移移動(dòng)平均（autoregressiveintegratedmovingaverage））時(shí)間序列，，記為ARIMA(p,d,q)。例如，一個(gè)ARIMA(2,1,2)時(shí)間間序列在它成成為平穩(wěn)序列列之前先得差差分一次，然然后用一個(gè)ARMA(2,2)模型型作為它的生生成模型的。。當(dāng)然，一個(gè)ARIMA(p,0,0)過(guò)程程表示了一個(gè)個(gè)純AR(p)平穩(wěn)過(guò)程程；一個(gè)ARIMA(0,0,q)表示一個(gè)純純MA(q)平穩(wěn)過(guò)程。。三、隨機(jī)時(shí)間間序列模型的的識(shí)別所謂隨機(jī)時(shí)間間序列模型的的識(shí)別，就是對(duì)于一個(gè)個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)機(jī)時(shí)間序列，，找出生成它它的合適的隨隨機(jī)過(guò)程或模模型，即判斷該時(shí)時(shí)間序列是遵遵循一純AR過(guò)程、還是是遵循一純MA過(guò)程或ARMA過(guò)程程。所使用的工具具主要是時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)（autocorrelationfunction，，ACF）及偏自相關(guān)函數(shù)數(shù)（partialautocorrelationfunction，PACF）。1、AR(p)過(guò)程(1)自相關(guān)關(guān)函數(shù)ACF1階自回歸模模型AR(1)Xt=Xt-1+t的k階滯后自協(xié)方差為：=1,2,…因此，AR(1)模型的自相關(guān)函數(shù)為=1,2,…由AR(1)的穩(wěn)定性知||<1，因此，k時(shí)，呈指數(shù)形形衰減，直到到零。這種現(xiàn)象稱稱為拖尾或稱AR(1)有無(wú)窮記憶（infinitememory）。注意，<0時(shí)，呈振蕩衰衰減狀。Xt=1Xt-1+2Xt-2+t該模型的方差0以及滯后1期與2期的自協(xié)方差差1,2分別為２階自回歸模模型AR(2)類(lèi)似地,可寫(xiě)寫(xiě)出一般的k期滯后自協(xié)方方差：(K=2,3,…)于是,AR(2)的k階自相關(guān)函數(shù)數(shù)為：(K=2,3,…)其中:1=1/(1-2),0=1如果AR(2)穩(wěn)定，則則由1+2<1知|k|衰減趨于零零，呈拖尾狀狀。至于衰減的形形式，要看AR(2)特特征根的實(shí)虛虛性，若為實(shí)根，則則呈單調(diào)或振振蕩型衰減，，若為虛根，，則呈正弦波波型衰減。一般地，p階自回歸模型型AR(p)Xt=1Xt-1+2Xt-2+…pXt-p+tk期滯后協(xié)方差差為:從而有自相關(guān)函數(shù):可見(jiàn)，無(wú)論k有多大大，k的計(jì)算均與其其１到p階滯滯后的自相關(guān)關(guān)函數(shù)有關(guān)，因此呈拖尾狀。如果AR(p)是穩(wěn)定的的，則|k|遞減且趨于于零。其中：1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的的特征根，由由AR(p)平穩(wěn)的條件件知，|zi|<1;因此，當(dāng)1/zi均為實(shí)數(shù)根時(shí)時(shí)，k呈幾何型衰減減（單調(diào)或振振蕩）；當(dāng)存在虛數(shù)根根時(shí)，則一對(duì)對(duì)共扼復(fù)根構(gòu)構(gòu)成通解中的的一個(gè)阻尼正正弦波項(xiàng)，k呈正弦波衰減減。事實(shí)上，自相相關(guān)函數(shù)是一p階差分分方程，其通通解為（2）偏自相相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)ACF(k)給出了Xt與Xt-1的總體相關(guān)性性，但總體相相關(guān)性可能掩掩蓋了變量間間完全不同的的隱含關(guān)系。。例如，在AR(1)隨機(jī)過(guò)程中，，Xt與Xt-2間有相關(guān)性可可能主要是由由于它們各自自與Xt-1間的相關(guān)性帶帶來(lái)的:即自相關(guān)函數(shù)數(shù)中包含了這這種所有的““間接”相關(guān)關(guān)。與之相反，Xt與Xt-k間的偏自相關(guān)函數(shù)數(shù)(partialautocorrelation，，簡(jiǎn)記為PACF)則是消除了中中間變量Xt-1，…，Xt-k+1帶來(lái)的間接相相關(guān)后的直接接相關(guān)性，它它是在已知序序列值Xt-1，…，Xt-k+1的條件下，Xt與Xt-k間關(guān)系的度量量。從Xt中去掉Xt-1的影響，則只只剩下隨機(jī)擾擾動(dòng)項(xiàng)t，顯然它與Xt-2無(wú)關(guān)，因此我我們說(shuō)Xt與Xt-2的偏自相關(guān)系數(shù)數(shù)為零，記為在AR(1)中，同樣地，在AR(p)過(guò)程中，對(duì)所有的k>p，Xt與Xt-k間的偏自相關(guān)系數(shù)數(shù)為零。AR(p)的的一個(gè)主要特特征是:k>p時(shí)，k*=Corr(Xt,Xt-k)=0即k*在p以后是截尾的的。一隨機(jī)時(shí)間序序列的識(shí)別原原則：若Xt的偏自相關(guān)函函數(shù)在p以后截尾，即即k>p時(shí)，k*=0，而它的的自相關(guān)函數(shù)數(shù)k是拖尾的，則則此序列是自自回歸AR(p)序列。。在實(shí)際識(shí)別時(shí)時(shí)，由于樣本本偏自相關(guān)函函數(shù)rk*是總體偏自相相關(guān)函數(shù)k*的一個(gè)估計(jì)，，由于樣本的的隨機(jī)性，當(dāng)當(dāng)k>p時(shí)，rk*不會(huì)全為0，而是在0的上下波動(dòng)。。但可以證明明，當(dāng)k>p時(shí)，rk*服從如下漸近近正態(tài)分布:rk*~N(0,1/n)式中n表示樣本容量量。因此，如果計(jì)計(jì)算的rk*滿足需指出的是，我們就有95.5%的把握判斷原原時(shí)間序列在在p之后截尾。對(duì)MA(1)過(guò)程2、MA(q)過(guò)過(guò)程可容易地寫(xiě)出出它的自協(xié)方差系數(shù)數(shù)：于是，MA(1)過(guò)程的的自相關(guān)函數(shù)為：可見(jiàn)，當(dāng)k>1時(shí)，k>0，即Xt與Xt-k不相關(guān)，MA(1)自自相關(guān)函數(shù)是是截尾的。MA(1)過(guò)程可以等價(jià)價(jià)地寫(xiě)成t關(guān)于無(wú)窮序列列Xt，Xt-1，…的線性組合的的形式：或（*）(*)是一個(gè)AR()過(guò)程，它的偏偏自相關(guān)函數(shù)數(shù)非截尾但卻卻趨于零，因因此MA(1)的的偏自相關(guān)函函數(shù)是非截尾尾但卻趨于零零的。注意:(*)式只有當(dāng)||<1時(shí)才有意義，，否則意味著著距Xt越遠(yuǎn)遠(yuǎn)的X值，對(duì)Xt的的影響越大，，顯然不符合合常理。因此，我們把||<1稱為MA(1)的可逆性性條件（invertibilitycondition）或可逆逆域。其自協(xié)方差系數(shù)數(shù)為一般地，q階移動(dòng)平均過(guò)過(guò)程MA(q)相應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)為可見(jiàn)，當(dāng)k>q時(shí)，Xt與Xt-k不相關(guān)，即存存在截尾現(xiàn)象象，因此，當(dāng)k>q時(shí)，，k=0是MA(q)的一個(gè)個(gè)特征。于是：可以根據(jù)據(jù)自相關(guān)關(guān)系數(shù)是是否從某某一點(diǎn)開(kāi)開(kāi)始一直直為0來(lái)來(lái)判斷MA(q)模型型的階。。與MA(1)相仿，可可以驗(yàn)證證MA(q)過(guò)程的偏偏自相關(guān)關(guān)函數(shù)是是非截尾尾但趨于于零的。。MA(q)模型的識(shí)識(shí)別規(guī)則則：若隨機(jī)序序列的自自相關(guān)函函數(shù)截尾尾，即自自q以后后，k=0（k>q）；而而它的偏偏自相關(guān)關(guān)函數(shù)是是拖尾的的，則此此序列是是滑動(dòng)平平均MA(q)序列。。同樣需要要注意的的是：在實(shí)際際識(shí)別時(shí)時(shí)，由于于樣本自自相關(guān)函函數(shù)rk是總體自自相關(guān)函函數(shù)k的一個(gè)估估計(jì)，由由于樣本本的隨機(jī)機(jī)性，當(dāng)當(dāng)k>q時(shí)，rk不會(huì)全為為0，而是在在0的上下波波動(dòng)。但但可以證證明，當(dāng)當(dāng)k>q時(shí)，rk服從如下下漸近正正態(tài)分布布:rk~N(0,1/n)式中n表示樣本本容量。。因此，如果計(jì)算算的rk滿足：我們就有95.5%的把握握判斷原原時(shí)間序序列在q之后截尾尾。ARMA(p,q)的自相關(guān)關(guān)函數(shù)，可以看看作MA(q)的自相關(guān)關(guān)函數(shù)和和AR(p)的自相關(guān)關(guān)函數(shù)的的混合物物。當(dāng)p=0時(shí)，它具具有截尾尾性質(zhì)；當(dāng)q=0時(shí)，它具具有拖尾尾性質(zhì)；；當(dāng)p、q都不為0時(shí)，它具具有拖尾尾性質(zhì)從識(shí)別上上看，通通常：ARMA(p，q)過(guò)程的偏偏自相關(guān)關(guān)函數(shù)（（PACF）可能在p階滯后前前有幾項(xiàng)項(xiàng)明顯的的尖柱（（spikes），但從從p階滯后項(xiàng)項(xiàng)開(kāi)始逐逐漸趨向向于零；；而它的自相相關(guān)函數(shù)數(shù)（ACF）則是在q階滯后前前有幾項(xiàng)項(xiàng)明顯的的尖柱，，從q階滯后項(xiàng)項(xiàng)開(kāi)始逐逐漸趨向向于零。。3、ARMA(p,q)過(guò)過(guò)程四、隨機(jī)機(jī)時(shí)間序序列模型型的估計(jì)計(jì)AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模模型的估估計(jì)方法法較多，，大體上分分為3類(lèi)類(lèi)：（1）最最小二乘乘估計(jì)；；（2）矩矩估計(jì)；；（3）利利用自相相關(guān)函數(shù)數(shù)的直接接估計(jì)。下面有選選擇地加加以介紹紹。結(jié)構(gòu)階數(shù)模型識(shí)別確定估計(jì)參數(shù)⒈AR(p)模型的的YuleWalker方方程估計(jì)計(jì)在AR(p)模型的識(shí)識(shí)別中，，曾得到到利用k=-k，得到如如下方程程組：此方程組組被稱為為YuleWalker方程組。該方程組組建立了了AR(p)模模型的模模型參數(shù)數(shù)1,2,,p與自相關(guān)關(guān)函數(shù)1,2,,p的關(guān)系，，利用實(shí)際際時(shí)間序序列提供供的信息息，首先求得自相相關(guān)函數(shù)數(shù)的估計(jì)計(jì)值然后利用YuleWalker方程組組，求解解模型參參數(shù)的估估計(jì)值由于于是從而可得得2的估計(jì)值值在具體計(jì)計(jì)算時(shí)，，可用樣本本自相關(guān)關(guān)函數(shù)rk替代。⒉MA(q)模型的的矩估計(jì)計(jì)將MA(q)模型的自自協(xié)方差差函數(shù)中中的各個(gè)個(gè)量用估估計(jì)量代代替，得得到：首先求得自協(xié)協(xié)方差函函數(shù)的估估計(jì)值，，(*)是一個(gè)包包含(q+1)個(gè)待估參參數(shù)(*)的非線性性方程組組，可以以用直接法或迭代法求解。常用的迭迭代方法法有線性迭代代法和Newton-Raphsan迭代代法。（1）MA(1)模型型的直接接算法對(duì)于MA(1)模型，，（*））式相應(yīng)應(yīng)地寫(xiě)成成于是或有于是有解解由于參數(shù)數(shù)估計(jì)有有兩組解解，可根根據(jù)可逆逆性條件件|1|<1來(lái)判斷選選取一組組。（2）MA(q)模型型的迭代代算法對(duì)于q>1的MA(q)模型型，一般般用迭代代算法估估計(jì)參數(shù)數(shù)：由（*））式得第一步，給出的一組初初值，比比如代入（**）式，計(jì)計(jì)算出第第一次迭迭代值（**））第二步，將第一一次迭代代值代入入（**）式，計(jì)計(jì)算出第第二次迭迭代值按此反復(fù)復(fù)迭代下下去，直直到第m步的迭代代值與第第m-1步的迭代代值相差差不大時(shí)時(shí)（滿足足一定的的精度）），便停停止迭代代，并用用第m步的迭代代結(jié)果作作為（**）的近似似解。⒊ARMA(p,q)模型型的矩估估計(jì)在ARMA(p,q)中共有有(p+q+1)個(gè)待待估參數(shù)數(shù)1,2,,p與1,2,,q以及2，其估計(jì)計(jì)量計(jì)算算步驟及及公式如如下：第一步，估計(jì)1,2,,p是總體自自相關(guān)函函數(shù)的估估計(jì)值，，可用樣樣本自相相關(guān)函數(shù)數(shù)rk代替。第二步，，改寫(xiě)模型型，求1,2,,q以及2的估計(jì)值值將模型改寫(xiě)為：：令于是(*)可以寫(xiě)成成：(*)構(gòu)成一個(gè)個(gè)MA模型。按按照估計(jì)計(jì)MA模型參數(shù)數(shù)的方法法，可以以得到1,2,,q以及2的估計(jì)值值。⒋AR(p)的最小小二乘估估計(jì)假設(shè)模型型AR(p)的參數(shù)估估計(jì)值已已經(jīng)得到到，即有有殘差的平平方和為為：(*)根據(jù)最小小二乘原原理，所所要求的的參數(shù)估估計(jì)值是是下列方方程組的的解：即j=1,2,…,p(**)解該方程程組，就就可得到到待估參參數(shù)的估估計(jì)值。。為了與AR(p)模型的YuleWalker方程估計(jì)計(jì)進(jìn)行比比較，將將(**)改寫(xiě)成：：j=1,2,…,p由自協(xié)方方差函數(shù)數(shù)的定義義，并用用自協(xié)方方差函數(shù)數(shù)的估計(jì)計(jì)值代入，上上式表示示的方程程組即為為：或j=1,2,…,pj=1,2,…,p解該方程程組，得得到：即為參數(shù)數(shù)的最小小二乘估估計(jì)。YuleWalker方程程組的解解比較發(fā)現(xiàn)現(xiàn)，當(dāng)n足夠大時(shí)時(shí)，二者者是相似似的。2的估計(jì)值值為：需要說(shuō)明明的是，，在上述模模型的平平穩(wěn)性、、識(shí)別與與估計(jì)的的討論中中，ARMA(p,q)模型中均均未包含含常數(shù)項(xiàng)項(xiàng)。如果包含含常數(shù)項(xiàng)項(xiàng)，該常常數(shù)項(xiàng)并并不影響響模型的的原有性性質(zhì)，因?yàn)橥ㄍㄟ^(guò)適當(dāng)當(dāng)?shù)淖冃涡?，可將將包含常常?shù)項(xiàng)的的模型轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換為不不含常數(shù)數(shù)項(xiàng)的模模型。下面以一一般的ARMA(p,q)模型為例例說(shuō)明。。對(duì)含有常常數(shù)項(xiàng)的的模型方程兩邊邊同減/(1-1--p)，則可得得到其中五、模型型的檢驗(yàn)驗(yàn)由于ARMA(p,q)模型型的識(shí)別別與估計(jì)計(jì)是在假假設(shè)隨機(jī)機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)項(xiàng)是一白白噪聲的的基礎(chǔ)上上進(jìn)行的的，因此此，如果估計(jì)計(jì)的模型型確認(rèn)正正確的話話，殘差差應(yīng)代表表一白噪噪聲序列列。如果通過(guò)過(guò)所估計(jì)計(jì)的模型型計(jì)算的的樣本殘殘差不代代表一白白噪聲，，則說(shuō)明明模型的的識(shí)別與與估計(jì)有有誤，需需重新識(shí)識(shí)別與估估計(jì)。在實(shí)際檢檢驗(yàn)時(shí)，，主要檢檢驗(yàn)殘差差序列是是否存在在自相關(guān)關(guān)。1、殘差差項(xiàng)的白白噪聲檢檢驗(yàn)可用QLB的統(tǒng)計(jì)量量進(jìn)行2檢驗(yàn)：在給定定顯著性性水平下下，可計(jì)計(jì)算不同同滯后期期的QLB值，通過(guò)過(guò)與2分布表中中的相應(yīng)應(yīng)臨界值值比較，，來(lái)檢驗(yàn)驗(yàn)是否拒拒絕殘差差序列為為白噪聲聲的假設(shè)設(shè)。若大于相相應(yīng)臨界界值，則則應(yīng)拒絕絕所估計(jì)計(jì)的模型型，需重重新識(shí)別別與估計(jì)計(jì)。2、AIC與SBC模模型選擇擇標(biāo)準(zhǔn)另外一個(gè)個(gè)遇到的的問(wèn)題是是，在實(shí)實(shí)際識(shí)別別ARMA(p,q)模型時(shí)時(shí)，需多多次反復(fù)復(fù)償試，，有可能能存在不不止一組組（p,q）值值都能通通過(guò)識(shí)別別檢驗(yàn)。。顯然，增加p與與q的階階數(shù)，可可增加擬擬合優(yōu)度度，但卻同時(shí)時(shí)降低了了自由度度。因此，對(duì)可能的的適當(dāng)?shù)牡哪Ｐ?，，存在著著模型的的“?jiǎn)潔潔性”與與模型的的擬合優(yōu)優(yōu)度的權(quán)權(quán)衡選擇擇問(wèn)題。。其中，n為待估估參數(shù)個(gè)個(gè)數(shù)（p+q+可能存存在的常常數(shù)項(xiàng)）），T為為可使用用的觀測(cè)測(cè)值，RSS為為殘差平平方和（（Residualsumofsquares））。在選擇可可能的模模型時(shí)，，AIC與SBC越小小越好顯然，如如果添加加的滯后后項(xiàng)沒(méi)有有解釋能能力，則則對(duì)RSS值的的減小沒(méi)沒(méi)有多大大幫助，，卻增加加待估參參數(shù)的個(gè)個(gè)數(shù)，因因此使得得AIC或SBC的值值增加。。需注意的的是：在不同模模型間進(jìn)進(jìn)行比較較時(shí)，必必須選取取相同的的時(shí)間段段。常用的模模型選擇擇的判別別標(biāo)準(zhǔn)有有：赤池信息息法（Akaikeinformationcriterion，簡(jiǎn)記為AIC）與施瓦茲貝貝葉斯法法（SchwartzBayesiancriterion，簡(jiǎn)記為SBC）：由第一節(jié)節(jié)知：中中國(guó)支出出法GDP是非非平穩(wěn)的的，但它它的一階階差分是是平穩(wěn)的的，即支支出法GDP是是I(1)時(shí)間間序列。?？梢詫?duì)經(jīng)經(jīng)過(guò)一階階差分后后的GDP建立立適當(dāng)?shù)牡腁RMA(p,q)模型。。記GDP經(jīng)一階階差分后后的新序序列為GDPD1，該該新序列列的樣本本自相關(guān)關(guān)函數(shù)圖圖與偏自自相關(guān)函函數(shù)圖如如下：例9.2.3中國(guó)支出出法GDP的ARMA(p,q)模模型估計(jì)計(jì)。圖形：樣本自相相關(guān)函數(shù)數(shù)圖形呈呈正弦線線型衰減減波，而而偏自相相關(guān)函數(shù)數(shù)圖形則則在滯后后兩期后后迅速趨趨于0。。因此可初步判判斷該序序列滿足足2階自自回歸過(guò)過(guò)程AR(2)。自相關(guān)函函數(shù)與偏自相關(guān)關(guān)函數(shù)的函數(shù)值：：相關(guān)函數(shù)數(shù)具有明明顯的拖拖尾性；；偏自相關(guān)關(guān)函數(shù)值值在k>2以后后，可認(rèn)為：：偏自相關(guān)關(guān)函數(shù)是是截尾的的。再次次驗(yàn)證了了一階差差分后的的GDP滿足AR(2)隨機(jī)機(jī)過(guò)程。。設(shè)序列GDPD1的模型形形式為有如下YuleWalker方方程：解為：用OLS法回歸歸的結(jié)果果為：（7.91)(-3.60)r2=0.8469R2=0.8385DW=1.15有時(shí)，在在用回歸歸法時(shí)，，也可加加入常數(shù)數(shù)項(xiàng)。本例中加加入常數(shù)數(shù)項(xiàng)的回回歸為：：（1.99）（（7.74））（（-3.58））r2=0.8758R2=0.8612DW.=1.22模型檢驗(yàn)驗(yàn)下表列出出三模型型的殘差差項(xiàng)的自自相關(guān)系系數(shù)及QLB檢驗(yàn)值。。模型1與模型3的殘差項(xiàng)項(xiàng)接近于于一白噪噪聲，但但模型2存在4階滯后相相關(guān)問(wèn)題題，Q統(tǒng)計(jì)量的的檢驗(yàn)也也得出模模型2拒絕所有有自相關(guān)關(guān)系數(shù)為為零的假假設(shè)。因因此:模型1與與3可作作為描述述中國(guó)支支出法GDP一一階差分分序列的的隨機(jī)生生成過(guò)程程。用建立的的AR(2)模型對(duì)中中國(guó)支出出法GDP進(jìn)行外推推預(yù)測(cè)。。模型1可作如下下展開(kāi)：：于是，當(dāng)當(dāng)已知t-1、t-2、t-3期的GDP時(shí)，就可可對(duì)第t期的GDP作出外推推預(yù)測(cè)。。模型3的預(yù)測(cè)式式與此相相類(lèi)似，，只不過(guò)過(guò)多出一一項(xiàng)常數(shù)數(shù)項(xiàng)。對(duì)2001年中中國(guó)支出出法GDP的預(yù)預(yù)測(cè)結(jié)果果（億元元）預(yù)測(cè)值實(shí)實(shí)際值值誤誤差模型397160959331.28%由于中國(guó)人均均居民消消費(fèi)（CPC））與人均均國(guó)內(nèi)生生產(chǎn)總值值（GDPPC）這兩兩時(shí)間序序列是非非平穩(wěn)的的，因此此不宜直直接建立立它們的的因果關(guān)關(guān)系回歸歸方程。。但它們都都是I(2)時(shí)時(shí)間序列列，因此可可以建立立它們的的ARIMA(p,d,q)模型。。下面只建建立中國(guó)人均均居民消消費(fèi)（CPC））的隨機(jī)時(shí)時(shí)間序列列模型。。中國(guó)人均均居民消消費(fèi)（CPC））經(jīng)過(guò)二二次差分分后的新新序列記記為CPCD2，其自自相關(guān)函函數(shù)、偏偏自相關(guān)關(guān)函數(shù)及及Q統(tǒng)計(jì)計(jì)量的值值列于下下表：中國(guó)人均均居民消消費(fèi)的ARMA(p,q)模模型在5%的的顯著性性水平下下，通過(guò)過(guò)Q統(tǒng)計(jì)計(jì)量容易易驗(yàn)證該該序列本本身就接接近于一一白噪聲聲，因此此可考慮采用用零階MA(0)模型型:由于k=2時(shí)，，|r2|=|-0.29|>因此,也也可考慮慮采用下下面的MA模型型：當(dāng)然，還還可觀察察到自相相關(guān)函數(shù)數(shù)在滯后后4、5、8時(shí)時(shí)有大于于0.2的函數(shù)數(shù)值，因因此，可可考慮在在模型中中增加MA(4)、MA(5)、MA(8)。不同模型型的回歸歸結(jié)果列列于表9.2.5?？梢钥闯龀?在純MA模型中中，模型型4具有有較好的的性質(zhì)，，但由于于MA(5)的的t檢驗(yàn)驗(yàn)偏小，，因此可可選取模模型3。。最后，給出出通過(guò)模型型3的外推推預(yù)測(cè)。模型3的展展開(kāi)式為：：即由于t表示預(yù)測(cè)期期的隨機(jī)擾擾動(dòng)項(xiàng)，它它未知，可可假設(shè)為0，于是t期的預(yù)測(cè)測(cè)式為:為模型3中中滯后2期期與滯后4期的相應(yīng)應(yīng)殘差項(xiàng)的的估計(jì)值。。表9.2.6列出了了采用模型型3對(duì)中國(guó)國(guó)居民人均均居民消費(fèi)費(fèi)水平的2期外推預(yù)預(yù)測(cè)。為了對(duì)照，，表中也同同時(shí)列出了了采用§2.10的的模型的預(yù)預(yù)測(cè)結(jié)果。。9、靜靜夜夜四四無(wú)無(wú)鄰鄰，，荒荒居居舊舊業(yè)業(yè)貧貧。。。。12月月-2212月月-22Saturday,December24,202210、雨中黃葉樹(shù)樹(shù)，燈下白頭頭人。。08:00:4108:00:4108:0012/24/20228:00:41AM11、以我獨(dú)沈久久，愧君相見(jiàn)見(jiàn)頻。。12月-2208:00:4108:00Dec-2224-Dec-2212、故人人江海海別，，幾度度隔山山川。。。08:00:4108:00:4108:00Saturday,December24,202213、乍見(jiàn)翻疑疑夢(mèng)，相悲悲各問(wèn)年。。。12月-2212月-2208:00:4108:00:41December24,202214、他鄉(xiāng)生白白發(fā)，舊國(guó)國(guó)見(jiàn)青山。。。24十二二月20228:00:41上上午08:00:4112月-2215、比不了了得就不不比，得得不到的的就不要要。。。。十二月228:00上午午12月-2208:00December24,202216、行動(dòng)出成果果，工作出財(cái)財(cái)富。。2022/12/248:00:4108:00:4124December202217、做前，能夠夠環(huán)視四周；；做時(shí)，你只只能或者最好好沿著以腳為為起點(diǎn)的射線線向前。。8:00:41上午8:00上上午08:00:4112月-229、沒(méi)有失敗，，只有暫時(shí)停停止成功！。。12月-2212月-22Saturday,December24,202210、很很多多事事情情努努力力了了未未必必有有結(jié)結(jié)果果，，