1兩人零和對策舉例

對策問題模型

競爭是當代社會的一個特征。在競爭中講究科學的對策是非常重要的。經濟活動中的經營活動、軍事對抗中的謀略、政治和外交活動中的聯合、對立等諸多方面都和選擇恰當的對策有關。20世紀四五十年代創(chuàng)立的對策論（又稱博弈論）研究了一系列對策問題。在本章中我們簡單地介紹兩種常見的模型——兩人零和對策和隨機對策。1/1/20231§1兩人零和對策舉例1/1/20232例1某地區(qū)有兩家電視臺，在一天的同一個黃金時間，每家各有兩套節(jié)目可供選擇播出。經調查，兩家電視臺各種節(jié)目搭配時甲臺節(jié)目收視率如下表：

表1甲臺節(jié)目收視率（%）表中是甲臺節(jié)目的收視率，乙臺節(jié)目的收視率可以由以下的公式得到：乙臺收視率=100%—甲臺收視率1/1/20233這里假設了該地區(qū)的居民只看這兩家電視臺的甲臺。設想兩家電視臺事先都知道這張表，即他們都知道彼此選播節(jié)目后各自的收視率。為分析方便起見，我們暫時假設他們都可以隨時調整播放的節(jié)目。我們要分析這兩家電視臺會播放什么節(jié)目，即他們會采取什么對策來應付他們之間的競爭呢？由表中可見，如果甲臺期望得到70%的收視率而選播節(jié)目A，則乙臺會播放節(jié)目2，使甲臺只能得到40%的收視率。如果甲臺選播節(jié)目B，則不管乙臺播放什么節(jié)目，甲臺最少可得到45%的收視率。1/1/20234兩者相比，甲臺必然播放節(jié)目B，乙臺播放節(jié)目2。由此推知，甲臺的收視率將為45%，乙臺的收視率將為55%?，F在轉到從乙臺的立場來考慮問題。先把上面的表轉換成乙臺節(jié)目收視率的表：

表2乙臺節(jié)目收視率（%）1/1/20235如果乙臺選播節(jié)目1，最多得到45%的收視率。但此時甲臺會播放節(jié)目A，使乙臺只得到30%的收視率。如果乙臺播放節(jié)目2，當然最多可得到60%的收視率，但是此時對甲臺最好的選擇是播放節(jié)目B，使乙臺只得到55%的收視率。兩者相比，必然是乙臺播放節(jié)目2，甲臺播放節(jié)目B。甲臺的收視率將為45%，乙臺的收視率將為55%。所得的結果與前面分析的結果相同。如果兩個電視臺一旦選擇了播放的節(jié)目就不允許改動，則通過上面的分析可知，對雙方來說，穩(wěn)妥的選擇也將是這個對策組合。如果一方有所變動，它的收視率就有可能低于組合中自己的收視率。1/1/20236例2如果兩家電視臺可能播放的節(jié)目分別為四個、三個、甲臺節(jié)目收視率（%）如下表所示：表3甲臺節(jié)目收視率（%）此時情況變得比較復雜，他們會采取什么樣的對稱呢？分析的思想方法仍和例1相同，可以用下表表示。1/1/20237

表4基于甲臺節(jié)目收視率的雙方對策分析表（%）表中最后一列的數字是同一行數字中的最小值。例如表中第三行對應甲臺播放節(jié)目A，最后一個數字是35，它是70、45、35是三個數字中的最小值，稱之為甲臺節(jié)目A收視率的保守估計。這個數字表示當甲播放節(jié)目A時所能得到的最起碼的收視率。而在這一列上面的第一個1/1/20238數字a（=50），是甲臺各節(jié)目收視率保守估計（35，40，50，45）中的最大值。a表示在所有可能的選擇中，甲臺所能得到保證的收視率中的最大值。a=50所對應的節(jié)目C，也是甲臺最穩(wěn)妥的選擇。表中的最后一行是同一列數字中的最大的值。例如該行的第三個數字是50，它是45、40、50、45四個數字中的最大值。這個數字對應乙臺播放節(jié)目2時的情況，說明當乙臺播放節(jié)目2時，只要甲臺應對得當（此時甲應該播放節(jié)目C），甲臺所能夠得到的最高收視率。這個數字稱為乙臺播放節(jié)目2時甲臺收視率的樂觀估計。1/1/20239該行的第一個數字b=50是所有這一行中數字中的最小值。表示的是對乙臺所有可能的選擇，只要應對得當，甲臺所能獲得的最起碼的收視率。在右下角的數字c與a、b相等，這里是50。對應這個數字的是甲臺播放節(jié)目C，乙臺播放節(jié)目2，各獲得50%的收視率。這就是兩家電視臺會采取的科學對策。我們稱這種決策為均衡對策組合。設a為甲臺播放i（A、B、C、D）和乙臺播放j時甲臺的收益，那么此解滿足：a=a。1/1/202310下面具體分析雙方采取其他對策組合會發(fā)生什么情況。結論將是：任何一方改變選擇都將降低自己的收視率，從而雙方都不會采用除此以外的其他對策。這也是稱此決策為“均衡對策”的原因。假設甲臺不播放節(jié)目C而播放節(jié)目A，期望得到更高的收視率（70%）；但是此時乙臺播放節(jié)目3，使甲臺只能得到35%的收視率，比均衡對策組合中甲得到的收視率（50%）低。而如果乙臺不是播放節(jié)目2，而是播放節(jié)目3，期望得到更高的收視率（65%）。

1/1/202311則此時甲臺仍會播放節(jié)目C，使得乙臺只得到45%的收視率，也將低于均衡對策組合50%的收視率。其他對策組合也將有同樣的結果，因而，甲臺播放節(jié)目C、乙臺播放節(jié)目2是雙方都能接受的結果。在對策論中，這樣的模型稱為“兩人零和對策”。這是因為：如果把競爭雙方輸的一方記為-1，贏的一方記為1，則在任何對策組合下他們的和都為零。其實如果每種對策組合的結果是一個和具體對策組合無關的常數，也都可以作為零和對策。例如上述兩個電視臺的收視率總和是1，也屬于零和對策。

1/1/202312兩人零和對策是對策論中所研究的許多問題中的一個。按這種方法計算得到的a和b，在有些情況下是不相等的，這時我們就稱該對策問題為不穩(wěn)定對策問題；相應地，a和b相等時的對策問題稱為穩(wěn)定的對策問題。例2是一個穩(wěn)定對策問題。在穩(wěn)定對策問題的情況下，一般情況也像例2中分析的那樣，會有一個雙方都接受的對策組合，任何一方改變對策，只會使自己的利益受損。用這種方法可以驗證例1也是一個穩(wěn)定的對策問題。下面我們舉一個不穩(wěn)定對策問題的例子。例3兩家電視臺各種節(jié)目搭配時的甲臺節(jié)目收視率如下表：1/1/202313表5甲臺節(jié)目收視率（%）用上述方法對此例進行計算，得到表格如下：

表6基于甲臺節(jié)目收視率的雙方對策分析表（%）1/1/202314由表中可知，a≠b。我們來具體看看一方播放某個節(jié)目后會有什么情況發(fā)生。如果甲臺播放節(jié)目A，以期得到70%的收視率，此時乙臺一定不會播放相應對策組合（節(jié)目A，節(jié)目1）中的節(jié)目1，而是播放節(jié)目2，因為對策組合（節(jié)目A，節(jié)目2）對乙臺來說，可以獲得60%的收視率。但若乙臺播放節(jié)目2，甲臺一定不會播放