1兩人零和對(duì)策舉例

對(duì)策問(wèn)題模型

競(jìng)爭(zhēng)是當(dāng)代社會(huì)的一個(gè)特征。在競(jìng)爭(zhēng)中講究科學(xué)的對(duì)策是非常重要的。經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的經(jīng)營(yíng)活動(dòng)、軍事對(duì)抗中的謀略、政治和外交活動(dòng)中的聯(lián)合、對(duì)立等諸多方面都和選擇恰當(dāng)?shù)膶?duì)策有關(guān)。20世紀(jì)四五十年代創(chuàng)立的對(duì)策論（又稱博弈論）研究了一系列對(duì)策問(wèn)題。在本章中我們簡(jiǎn)單地介紹兩種常見(jiàn)的模型——兩人零和對(duì)策和隨機(jī)對(duì)策。1/1/20231§1兩人零和對(duì)策舉例1/1/20232例1某地區(qū)有兩家電視臺(tái)，在一天的同一個(gè)黃金時(shí)間，每家各有兩套節(jié)目可供選擇播出。經(jīng)調(diào)查，兩家電視臺(tái)各種節(jié)目搭配時(shí)甲臺(tái)節(jié)目收視率如下表：

表1甲臺(tái)節(jié)目收視率（%）表中是甲臺(tái)節(jié)目的收視率，乙臺(tái)節(jié)目的收視率可以由以下的公式得到：乙臺(tái)收視率=100%—甲臺(tái)收視率1/1/20233這里假設(shè)了該地區(qū)的居民只看這兩家電視臺(tái)的甲臺(tái)。設(shè)想兩家電視臺(tái)事先都知道這張表，即他們都知道彼此選播節(jié)目后各自的收視率。為分析方便起見(jiàn)，我們暫時(shí)假設(shè)他們都可以隨時(shí)調(diào)整播放的節(jié)目。我們要分析這兩家電視臺(tái)會(huì)播放什么節(jié)目，即他們會(huì)采取什么對(duì)策來(lái)應(yīng)付他們之間的競(jìng)爭(zhēng)呢？由表中可見(jiàn)，如果甲臺(tái)期望得到70%的收視率而選播節(jié)目A，則乙臺(tái)會(huì)播放節(jié)目2，使甲臺(tái)只能得到40%的收視率。如果甲臺(tái)選播節(jié)目B，則不管乙臺(tái)播放什么節(jié)目，甲臺(tái)最少可得到45%的收視率。1/1/20234兩者相比，甲臺(tái)必然播放節(jié)目B，乙臺(tái)播放節(jié)目2。由此推知，甲臺(tái)的收視率將為45%，乙臺(tái)的收視率將為55%?，F(xiàn)在轉(zhuǎn)到從乙臺(tái)的立場(chǎng)來(lái)考慮問(wèn)題。先把上面的表轉(zhuǎn)換成乙臺(tái)節(jié)目收視率的表：

表2乙臺(tái)節(jié)目收視率（%）1/1/20235如果乙臺(tái)選播節(jié)目1，最多得到45%的收視率。但此時(shí)甲臺(tái)會(huì)播放節(jié)目A，使乙臺(tái)只得到30%的收視率。如果乙臺(tái)播放節(jié)目2，當(dāng)然最多可得到60%的收視率，但是此時(shí)對(duì)甲臺(tái)最好的選擇是播放節(jié)目B，使乙臺(tái)只得到55%的收視率。兩者相比，必然是乙臺(tái)播放節(jié)目2，甲臺(tái)播放節(jié)目B。甲臺(tái)的收視率將為45%，乙臺(tái)的收視率將為55%。所得的結(jié)果與前面分析的結(jié)果相同。如果兩個(gè)電視臺(tái)一旦選擇了播放的節(jié)目就不允許改動(dòng)，則通過(guò)上面的分析可知，對(duì)雙方來(lái)說(shuō)，穩(wěn)妥的選擇也將是這個(gè)對(duì)策組合。如果一方有所變動(dòng)，它的收視率就有可能低于組合中自己的收視率。1/1/20236例2如果兩家電視臺(tái)可能播放的節(jié)目分別為四個(gè)、三個(gè)、甲臺(tái)節(jié)目收視率（%）如下表所示：表3甲臺(tái)節(jié)目收視率（%）此時(shí)情況變得比較復(fù)雜，他們會(huì)采取什么樣的對(duì)稱呢？分析的思想方法仍和例1相同，可以用下表表示。1/1/20237

表4基于甲臺(tái)節(jié)目收視率的雙方對(duì)策分析表（%）表中最后一列的數(shù)字是同一行數(shù)字中的最小值。例如表中第三行對(duì)應(yīng)甲臺(tái)播放節(jié)目A，最后一個(gè)數(shù)字是35，它是70、45、35是三個(gè)數(shù)字中的最小值，稱之為甲臺(tái)節(jié)目A收視率的保守估計(jì)。這個(gè)數(shù)字表示當(dāng)甲播放節(jié)目A時(shí)所能得到的最起碼的收視率。而在這一列上面的第一個(gè)1/1/20238數(shù)字a（=50），是甲臺(tái)各節(jié)目收視率保守估計(jì)（35，40，50，45）中的最大值。a表示在所有可能的選擇中，甲臺(tái)所能得到保證的收視率中的最大值。a=50所對(duì)應(yīng)的節(jié)目C，也是甲臺(tái)最穩(wěn)妥的選擇。表中的最后一行是同一列數(shù)字中的最大的值。例如該行的第三個(gè)數(shù)字是50，它是45、40、50、45四個(gè)數(shù)字中的最大值。這個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)乙臺(tái)播放節(jié)目2時(shí)的情況，說(shuō)明當(dāng)乙臺(tái)播放節(jié)目2時(shí)，只要甲臺(tái)應(yīng)對(duì)得當(dāng)（此時(shí)甲應(yīng)該播放節(jié)目C），甲臺(tái)所能夠得到的最高收視率。這個(gè)數(shù)字稱為乙臺(tái)播放節(jié)目2時(shí)甲臺(tái)收視率的樂(lè)觀估計(jì)。1/1/20239該行的第一個(gè)數(shù)字b=50是所有這一行中數(shù)字中的最小值。表示的是對(duì)乙臺(tái)所有可能的選擇，只要應(yīng)對(duì)得當(dāng)，甲臺(tái)所能獲得的最起碼的收視率。在右下角的數(shù)字c與a、b相等，這里是50。對(duì)應(yīng)這個(gè)數(shù)字的是甲臺(tái)播放節(jié)目C，乙臺(tái)播放節(jié)目2，各獲得50%的收視率。這就是兩家電視臺(tái)會(huì)采取的科學(xué)對(duì)策。我們稱這種決策為均衡對(duì)策組合。設(shè)a為甲臺(tái)播放i（A、B、C、D）和乙臺(tái)播放j時(shí)甲臺(tái)的收益，那么此解滿足：a=a。1/1/202310下面具體分析雙方采取其他對(duì)策組合會(huì)發(fā)生什么情況。結(jié)論將是：任何一方改變選擇都將降低自己的收視率，從而雙方都不會(huì)采用除此以外的其他對(duì)策。這也是稱此決策為“均衡對(duì)策”的原因。假設(shè)甲臺(tái)不播放節(jié)目C而播放節(jié)目A，期望得到更高的收視率（70%）；但是此時(shí)乙臺(tái)播放節(jié)目3，使甲臺(tái)只能得到35%的收視率，比均衡對(duì)策組合中甲得到的收視率（50%）低。而如果乙臺(tái)不是播放節(jié)目2，而是播放節(jié)目3，期望得到更高的收視率（65%）。

1/1/202311則此時(shí)甲臺(tái)仍會(huì)播放節(jié)目C，使得乙臺(tái)只得到45%的收視率，也將低于均衡對(duì)策組合50%的收視率。其他對(duì)策組合也將有同樣的結(jié)果，因而，甲臺(tái)播放節(jié)目C、乙臺(tái)播放節(jié)目2是雙方都能接受的結(jié)果。在對(duì)策論中，這樣的模型稱為“兩人零和對(duì)策”。這是因?yàn)椋喝绻迅?jìng)爭(zhēng)雙方輸?shù)囊环接洖?1，贏的一方記為1，則在任何對(duì)策組合下他們的和都為零。其實(shí)如果每種對(duì)策組合的結(jié)果是一個(gè)和具體對(duì)策組合無(wú)關(guān)的常數(shù)，也都可以作為零和對(duì)策。例如上述兩個(gè)電視臺(tái)的收視率總和是1，也屬于零和對(duì)策。

1/1/202312兩人零和對(duì)策是對(duì)策論中所研究的許多問(wèn)題中的一個(gè)。按這種方法計(jì)算得到的a和b，在有些情況下是不相等的，這時(shí)我們就稱該對(duì)策問(wèn)題為不穩(wěn)定對(duì)策問(wèn)題；相應(yīng)地，a和b相等時(shí)的對(duì)策問(wèn)題稱為穩(wěn)定的對(duì)策問(wèn)題。例2是一個(gè)穩(wěn)定對(duì)策問(wèn)題。在穩(wěn)定對(duì)策問(wèn)題的情況下，一般情況也像例2中分析的那樣，會(huì)有一個(gè)雙方都接受的對(duì)策組合，任何一方改變對(duì)策，只會(huì)使自己的利益受損。用這種方法可以驗(yàn)證例1也是一個(gè)穩(wěn)定的對(duì)策問(wèn)題。下面我們舉一個(gè)不穩(wěn)定對(duì)策問(wèn)題的例子。例3兩家電視臺(tái)各種節(jié)目搭配時(shí)的甲臺(tái)節(jié)目收視率如下表：1/1/202313表5甲臺(tái)節(jié)目收視率（%）用上述方法對(duì)此例進(jìn)行計(jì)算，得到表格如下：

表6基于甲臺(tái)節(jié)目收視率的雙方對(duì)策分析表（%）1/1/202314由表中可知，a≠b。我們來(lái)具體看看一方播放某個(gè)節(jié)目后會(huì)有什么情況發(fā)生。如果甲臺(tái)播放節(jié)目A，以期得到70%的收視率，此時(shí)乙臺(tái)一定不會(huì)播放相應(yīng)對(duì)策組合（節(jié)目A，節(jié)目1）中的節(jié)目1，而是播放節(jié)目2，因?yàn)閷?duì)策組合（節(jié)目A，節(jié)目2）對(duì)乙臺(tái)來(lái)說(shuō)，可以獲得60%的收視率。但若乙臺(tái)播放節(jié)目2，甲臺(tái)一定不會(huì)播放