山東省自學考試強化復變函數(shù)與積分變換計實踐

復變函數(shù)與積分變換

1．熟悉復數(shù)的多種表示法，復數(shù)的四則運算及開方運算；理解復數(shù)運算的幾何意義。2．理解區(qū)域、單連域、多連域和簡單曲線等概念；掌握用復變數(shù)的方程來表示常用曲線以及用不等式表示區(qū)域。第一篇復變函數(shù)第一章復數(shù)重點理解掌握復變函數(shù)與積分變換1.已知

,求

，。2.已知

，，求

及

。3.設、是兩個復數(shù)。求證：。4.證明：函數(shù)

在原點不連續(xù)。5.證明：z平面上的直線方程可以寫成

（a是非零復常數(shù)，c是常數(shù)）作業(yè)題復變函數(shù)與積分變換1．深刻理解復變函數(shù)以及映射的概念，了解一個復變函數(shù)等價于一對實二元函數(shù)。2.理解函數(shù)解析的概念與柯西-黎曼條件，掌握判別函數(shù)解析性的方法。3.掌握解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關系，并且掌握由已知的調(diào)和函數(shù)求其共軛調(diào)和函數(shù)從而得到解析函數(shù)的方法，記住復自變量的初等函數(shù)的定義以及它們的一些重要性質(zhì)。第二章解析函數(shù)重點理解掌握復變函數(shù)與積分變換1.試判斷函數(shù)

的可微性和解析性。2.解方程

3.求

4.設

確定在從原點z=0起沿負實軸割破了的z平面上，并且

（這是邊界上岸點對應的函數(shù)值），試求

的值。5.設，問

在何處可導？何處解析？并在可導處求出導數(shù)值。作業(yè)題復變函數(shù)與積分變換1.正確理解復變函數(shù)積分的概念并掌握它的基本性質(zhì)，掌握復變函數(shù)積分的一般計算方法。2.掌握柯西定理，并且知道推廣到多連域的情形，熟練掌握用柯西積分公式及高階導數(shù)公式計算積分。第三章復變函數(shù)的積分重點理解掌握復變函數(shù)與積分變換1.計算

其中C為單位圓周|z|=12.求積分

3.已知：

，

求解析函數(shù)

4.計算積分,其中積分路徑

為(1)中心位于點,半徑為的正向圓周(2)中心位于點,半徑為

的正向圓周作業(yè)題復變函數(shù)與積分變換1.掌握復數(shù)項級數(shù)的斂散性及有關概念，主要性質(zhì)及重要定理。2.理解冪級數(shù)收斂的阿貝爾定理以及冪級數(shù)的收斂圓、收斂半徑等概念，掌握冪級數(shù)的收斂半徑的求法以及冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)。3記住幾個主要的初等函數(shù)的泰勒展開式，能熟練地把一些比較簡單的初等函數(shù)展開成泰勒級數(shù)或求得展開式的起首幾項并確定其收斂半徑。4.理解羅朗級數(shù)的作用,并能把比較簡單的函數(shù)在不同環(huán)域內(nèi)展開成羅朗級數(shù)；理解孤立奇點的概念，孤立奇點的分類以及判別其類型的方法。第四章級數(shù)重點理解掌握復變函數(shù)與積分變換1．將函數(shù)

在

點展開為洛朗(Laurent)級數(shù)．2．討論級數(shù)

的斂散性3．求下列級數(shù)的和函數(shù).(1)(2)4．用直接法將函數(shù)

在

點處展開為泰勒級數(shù),(到

項),并指出其收斂半徑.作業(yè)題復變函數(shù)與積分變換1.深刻理解函數(shù)在孤立奇點留數(shù)的概念。2.掌握并能熟練應用留數(shù)定理;掌握好留數(shù)的計算，尤其要熟悉較低階極點處留數(shù)的計算。3.能用留數(shù)來計算3種標準類型的定積分，知道一兩個典型的特殊圍通積分的計算。第五章留數(shù)重點理解掌握復變函數(shù)與積分變換作業(yè)題1.計算積分2．求出3．4．c:|z|=2取正向．復變函數(shù)與積分變換1.理解導數(shù)的輻角和模的幾何意義以及保角映射的概念。2.知道有關保角映射的幾個重要定理，如黎曼定理，邊界對應原理等。3.掌握分式線性映射的重要性質(zhì):保角性、保圓性、保對稱性和保交比性。4.掌握好確定半平面到半平面、半平面到單位圓、單位圓到單位圓的分式線性映射。第六章保角映射重點理解掌握復變函數(shù)與積分變換1．求一映射，將半帶形域

映射為單位圓域.2．求上半單位圓域

在映射下的象.3．求把區(qū)域

映射到單位圓內(nèi)部的共形映射.作業(yè)題復變函數(shù)與積分變換1.掌握傅里葉積分公式、余弦傅里葉積分公式和正弦傅里葉積分公式以及用它們來計算某些積分。2.理解傅里葉變換、余弦傅里葉變換、正弦傅里葉變換和它們的逆變換的概念，掌握某些函數(shù)的傅里葉變換及逆變換的求法。3.掌握傅里葉變換的下列性質(zhì)：線性性、對稱性、相似性、平移性、微分性、積分性以及卷積定理；掌握用傅里葉變換解某些積分方程和計算某些積分。第二篇積分變換第一章傅里葉變換重點理解掌握復變函數(shù)與積分變換1．證明：如果f(t)滿足傅里葉變換的條件，當f(t)為奇函數(shù)時，則有

其中

當f(t)為偶函數(shù)時，則有

其中

2．求下列函數(shù)的傅里葉變換(2)3.已知函數(shù)

的傅里葉變換

求

4.設函數(shù)f(t)的傅里葉變換，a為一常數(shù).證明作業(yè)題復變函數(shù)與積分變換1.深刻理解拉普拉斯變換和拉普拉斯逆變換的概念。2.記住單位脈沖函數(shù)、單位階躍函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和冪函數(shù)等一些常用函數(shù)的拉普拉斯變換。3.掌握拉普拉斯變換的下列性質(zhì)；線性性、相似性、位移性、微分性和積分性，并熟悉用這些性質(zhì)求函數(shù)的拉普拉斯變換。4.掌握卷積的概念和卷積定理；知道復反演公式，掌握用留數(shù)求像原函數(shù)的方法。第二章拉普拉斯變換重點理解掌握復變函數(shù)與積分變換1．用Laplace變換求解常微分方程：2.求