彈塑性力學課件

01 緒 論哈工大

土木工程學院 1/27土木工程學院工程力學學科組HARBININSTITUTEOF

TECHNOLOGY彈塑性力學01 緒 論土木工程學院工程力學學科組HARBININ101 緒 論第1節(jié)

彈塑性力學任務彈塑性力學的定義：彈塑性力學是固體力學的一個重要分支，是研究彈性體和彈塑性體在載荷作用下應力分布規(guī)律和變形規(guī)律的一門學科。對工科來說，彈性力學的任務，和材料力學、結構力學的任務一樣，是分析各種結構物或其構件在彈性階段的應力和應變，校核它們是否具有所需的強度、剛度和穩(wěn)定性，并尋求或改進它們的計算方法。

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土木工程學院2/2701 緒 論第1節(jié) 彈塑性力學任務彈塑性力學的定義：彈塑性力201 緒 論彈塑性力學是根據(jù)固體材料受外因作用時所呈現(xiàn)的彈性與塑性性質而命名。它們是固體材料變化過程的兩個階段。當外部因素作用時，固體發(fā)生變形，如果當外因去掉，變形體恢復原樣（狀），稱固體（材料）具有彈性性質，

單值，具有可逆性；當外部因素去掉時，變形體未能恢復原狀并存在永久變形，說明固體已進入塑性階段，

曲線不是單值函數(shù)，沒有可逆性。當然變形體常遇到在物體某一局部處于彈性、而另一區(qū)域處于塑性狀態(tài)，彈塑性交織在一起，稱材料處于彈塑性狀態(tài)。

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土木工程學院3/2701 緒 論彈塑性力學是根據(jù)固體材料受外因作用時所呈現(xiàn)的彈性301 緒 論研究的對象：實際物體經(jīng)過抽象處理（進行一定的假設）后彈塑性體。材料力學和結構力學研究的對象是桿系結構（一維問題），具有局限性。而彈塑性力學研究對象也是固體，是不受幾何尺寸與形態(tài)限制的能適應各種工程技術問題需求的物體。所以彈塑性理論基本方程要復雜的多，具有一般性。

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土木工程學院4/2701 緒 論研究的對象：實際物體經(jīng)過抽象處理（進行一定的假401 緒 論彈塑性力學的任務：根據(jù)對彈塑性體的實驗觀察結果尋求物體在彈塑性狀態(tài)下的變形規(guī)律，建立本構關系及有關基本理論。1．建立求解固體的應力、應變和位移分布規(guī)律的基本方程和理論；2．給出初等理論無法求解的問題的理論和方法，以及對初等理論可靠性與精確度的度量；3．確定和充分發(fā)揮一般工程結構物的承載能力，提高經(jīng)濟效益；4．為進一步研究工程結構物的強度、振動、穩(wěn)定性、斷裂等力學問題，奠定必要的理論基礎。

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土木工程學院5/2701 緒 論彈塑性力學的任務：根據(jù)對彈塑性體的實驗觀察結 501 緒 論彈塑性力學和材料力學分析范圍有所不同。彈塑性力學在微觀層面研究應力和應變規(guī)律；而材料力學有時還要研究材料蠕變、疲勞以及斷裂破壞現(xiàn)象，研究桿件的拉、剪、彎、扭作用下的應力和變形是材料力學的主要內容。在研究方法上的不同。材料力學為簡化計算，對構件的應力分布和變形狀態(tài)作出某些假設，因此得到的解答是粗略和近似的；而彈塑性力學研究通常不引入上述假設，從而所得結果比較精確，并可驗證材料力學結果的精確性。

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土木工程學院6/2701 緒 論彈塑性力學和材料力學分析范圍有所不同。彈塑性力學601 緒 論第2節(jié) 基本假設和基本規(guī)律實際問題由多方面因素構成，分析極為復雜。應按照物體的性質，以及求解范圍，忽略一些暫時可不考慮的因素，使我們研究的問題限定在一個方便可行的范圍內?；炯僭O：連續(xù)性假設：將可變形固體看作密實無間隙的物體。因而一些物理量可以表示成坐標的連續(xù)函數(shù)。均勻性假設：假定物體是用同一類型的均勻材料組成，而且在物體內各點、各方向具有相同的物理性質。小變形假設：在外界因素作用下產(chǎn)生物體內各點的位移遠小于物體原尺寸，可忽略變形引起的幾何變化。

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土木工程學院7/2701 緒 論第2節(jié) 基本假設和基本規(guī)律實際問題由多方面因素構701 緒 論從而使得平衡條件與幾何變形條件線性化。小變形假設說明應變(

包括線應變與角應變

)均遠遠小于1。根據(jù)這一假定：（1）在彈塑性體產(chǎn)Th變形后建立平衡方程時，可以不考慮因變形而引起的力作用線方向的改變；（2）在研究問題的過程中可以略去相關的二次及二次以上的高階微量；

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土木工程學院8/2701 緒 論從而使得平衡條件與幾何變形條件線性化。小變形假設801 緒 論基本規(guī)律：完成彈塑性力學任務所要遵循的三個基本規(guī)律（或應滿足的三方面的條件）：靜力平衡規(guī)律：固體受到外力與自身的內力要滿足平衡方程，在彈性理論中它們?yōu)槲⒎址匠?。幾何連續(xù)規(guī)律：要求變形前連續(xù)的物體，變形后仍為連續(xù)物體，由這個規(guī)律建立幾何方程或變形協(xié)調方程，均為微分方程。物理(本構)關系：應力

(內力)與應變

(變形)之間的關系，根據(jù)材料的不同性質來建立，最常見的為各向同性材料。平衡方程和幾何方程都與材料無關，塑性力學與彈性力學的主要區(qū)別在于本構方程

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土木工程學院9/2701 緒 論基本規(guī)律：完成彈塑性力學任務所要遵循的三個基901 緒 論第3節(jié) 彈塑性力學的研究方法彈塑性力學與材料力學同屬固體力學的分支，它們在分析問題解決問題的基本思路上都是一致的，但在研究問題的基本方法上各不相同。(1)受力分析及靜力平衡條件

(力的分析)(3)受力與變形間的本構關系

(物理分析)(2)變形分析及幾何相容條件

(幾何分析)

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2701 緒 論第3節(jié) 彈塑性力學的研究方法(1)受力分析及靜1001 緒 論a、研究方法較簡單粗糙；b、涉及數(shù)學理論較簡單；◆

材料力學研究問題的基本方法：選一維構件整體為研究對象變形前，在某表面繪制標志線；變形后，觀察總結構件表面變形的規(guī)律做出平截面假設，經(jīng)三方面分析，解決問題c、材料力學的工程解答一般為近似解。

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2701 緒 論a、研究方法較簡單粗糙；b、涉及數(shù)學理論較簡1101 緒 論1、涉及數(shù)學理論較復雜，并以其理論與解法的嚴密性和普遍適用性為特點；2、彈塑性力學的工程解答一般認為是精確的；◆

彈塑性力學研究問題的基本方法：以受力物體內某一點（單元體）為研究對象單元體的受力——應力理論；單元體的變形——變形幾何理論；單元體受力與變形間的關系——本構理論；建立起普遍適用的理論與解法3、可對初等力學理論解答的精確度和可靠進行度量。哈工大

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2701 緒 論1、涉及數(shù)學理論較復雜，并以其理論與解法的嚴密◆1201 緒 論◆

工程力學一般研究方法工程力學解決問題的一般研究方法類似于一般科學研究的普遍方法，可歸納為：對系統(tǒng)進行抽象與簡化，建立力學模型與已知結論相比較，或由實驗進行驗證提出問題，利用力學原理確認或進一步選擇有關的進行分析、推改善模型，深研究系統(tǒng)理，得出結論化認識

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2701 緒 論◆工程力學一般研究方法工程力學解決問題的一般研1301 緒 論按照方程中保留的未知量，求解方法可分為

應力法（以應力為未知量）

位移法（以位移為未知量）

混合法（以應力+位移為未知量）精確解法：采用數(shù)學分析的手段求得精確解近似解法：最有效的是基于能量原理的變分方法數(shù)值方法：有限元法，有限差分法，邊界元法等

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2701 緒 論按照方程中保留的未知量，求解方法可分為 哈工1401 緒 論第4節(jié) 彈塑性力學的發(fā)展梗概通過實驗探索物體的受力與變形之間的關系：1678年英國科學家虎克(R.Hooke)提出

了固體材料的彈性變形與所受外力成正比——虎克定律。1687年，牛頓確立運動三大定律。彈性力學的理論基礎建立期1822－1828年，柯西發(fā)表了一系列論文，明確提出了應力和應變的概念，建立了彈性力學的平衡（運動）微分方程、幾何方程和各向同性的廣義虎克定律；1838年，格林用能量守恒定律證明了各向異性體有21個獨立的彈性系數(shù)；1838年，湯母遜又用熱力學第一定律和第二定律證明了同樣的結論，同時進一步

證明了各向同性體有兩個獨立的彈性系數(shù)。15/

27哈工大

土木工程學院01 緒 論第4節(jié) 彈塑性力學的發(fā)展梗概系數(shù)。哈工大土木1501 緒 論線性各向同性體彈性力學的發(fā)展時期：1850年，基爾霍夫解決了平板的平衡和震動問題；1855-1856年，圣維南提出了局部性原理和半逆解法；1862年，艾里解決了彈性力學的平面問題；19世紀70年代，建立了各種能量原理，并提出了這些原理的近似計算方法。彈性力學分支及相關邊緣學科的形成和發(fā)展時期：1907年，卡門薄板的大撓度問題；1939年，卡門和錢學森提出了薄殼的非線性穩(wěn)定問題；1937-1939年，莫納漢和畢奧提出了大應變問題；

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2701 緒 論線性各向同性體彈性力學的發(fā)展時期： 哈工大1601 緒 論彈性力學分支及相關邊緣學科形成、發(fā)展時期(續(xù))：1948-1957年，錢偉長用攝動法求解了薄板的大撓度問題；1954年，胡海昌建立了三類變量的廣義勢能原理和廣義余能原理;1955年，鷲津久一郎也獨立的導出了這一原理，后來稱胡海昌-鷲津久一郎變分原理。在這一時期，薄壁構件和薄殼構件的線性理論有了較大發(fā)展，還形成了諸如厚板和厚殼理論、各向異性和非均勻體的彈性力學、熱彈性力學、粘彈性理論、水彈性理論以及氣動彈性力學等新的分支和邊緣學科；相繼提出了諸如差分法、有限單元法、邊界元法、半解析數(shù)值法以及加權殘值法等數(shù)值方法和半解析半數(shù)值的方法。

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2701 緒 論彈性力學分支及相關邊緣學科形成、發(fā)展時期(續(xù))：1701 緒 論彈塑性力學發(fā)展時期：1773年，Coulomb提出Coulomb屈服準則，后來推廣為Mohr-Coulomb屈服準則。1857年，朗肯研究了半無限體的極限平衡，提出了滑移面的概念。1903年，Kotter建立了滑移線方法。1929年，F(xiàn)ellenius提出了極限平衡法。19世紀50年代初，Drucker提出Drucker塑性公設，對穩(wěn)定材料，證明了塑性應變增量與屈服面的正交性，并提出相關聯(lián)流動規(guī)則的概念。1952～1955年，

Drucker和Prager等人發(fā)展了極限分析方法。

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2701 緒 論彈塑性力學發(fā)展時期： 哈工大土木工程學院11801 緒 論1957年，Drucker等提出了靜水壓力會使巖土材料產(chǎn)生屈服的概念。1958～1963年，

Roscoe提出了土的臨界狀態(tài)概念，并建立了劍橋模型，從理論上闡明了正常固結粘土和微超固結粘

土土體彈塑性變形特性，開創(chuàng)了建立土體的實用模型的新階

段。1969年，Roscoe等人出版了《臨界狀態(tài)土力學》專著，這是世界上第一本關于巖土塑性理論的專著，詳細研究了土的

實用模型。1982年，Desai等人也出版了一本《工程材料本構定律》專著，進一步闡明了巖土材料變形機制，形成了較系統(tǒng)的巖

土塑性力學。

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2701 緒 論1957年，Drucker等提出了靜水壓力會使巖1901 緒 論1982年，Zienkiewicz提出了廣義塑性力學的概念，指出巖土塑性力學是傳統(tǒng)塑性的推廣。20世紀80年代的國內，清華模型、“南水”模型及其他雙屈服面模型和多重屈服面相繼出現(xiàn)。闡明了應力、應變的概念和理論；彈性力學和彈塑性力學的基本理論框架得以確立。

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2701 緒 論1982年，Zienkiewicz提出了廣義塑性2001 緒 論現(xiàn)代力學的發(fā)展及其特點材料與對象：金屬、土木石等新型復合材料、高分子材料、

結構陶瓷、功能材料。尺度：宏觀、連續(xù)體含缺陷體，細、微觀、納米尺度。實驗技術：電、光測試實驗技術

全息、超聲、光纖測量，及實驗裝置的大型化。1、現(xiàn)代力學的發(fā)展

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2701 緒 論現(xiàn)代力學的發(fā)展及其特點材料與對象：金屬、土木石2101 緒 論應用領域：航空、土木、機械、材料生命、微電子技術等。設計準則：靜強度、斷裂控制設計、抗疲勞設計、剛度設計

損傷容限設計、結構優(yōu)化設計、耐久性設計和可靠性設計等。設計目標：保證結構與構件的安全和功能

設計——制造——使用——維護的綜合性分析與控制，功能——安全——經(jīng)濟的綜合性評價，自感知、自激勵、自適應（甚至自診斷、自修復）的智能結構。

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2701 緒 論應用領域：航空、土木、機械、材料生命、微電2201 緒 論●

引進新的科學技術成果，內容更加豐富：◆

新材料－復合材料、聚合物等；◆

新概念－失效、壽命等；◆

新理論－損傷、混沌等；◆

新方法－數(shù)值方法、工程力學建模方法。

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2701 緒 論●引進新的科學技術成果，內容更加豐富： 哈2301 緒 論2﹒現(xiàn)代力學的特點與計算機應用相結合，與其他基礎或技術學科相互結合與滲透。計算機應用：計算力學+計算機應用解決復雜、(60年代) 困難的工程實際問題。使工程結構分析技術；（結合CAD技術）監(jiān)測、控制技術（如振動監(jiān)測、故障診斷）；工程系統(tǒng)動態(tài)過程的計算機數(shù)值仿真技術；廣泛應用至各工程領域。材料設計：按所要求的性能設計材料。(90年代)

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2701 緒 論2﹒現(xiàn)代力學的特點與計算機應用相結合，與其他基礎2401 緒 論智能結構：90年代開始，力學與材料、控制（包括傳感與激勵）、計算機相結合，研究發(fā)展面向21世紀的、具有“活”的功能的智能結構。Th物力學：(70年代馮元禎博士)生物材料力學性能、微循環(huán)、定量生理學、心血管系統(tǒng)臨床問題和生物醫(yī)學工程等。“沒有生物力學，就不能很好地了解生理學?！?/p>

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2701 緒 論Th物力學：(70年代馮元禎博士)生物材料2501 緒 論參考資料：應用彈塑性力學

徐秉業(yè)彈性力學（上、下冊）

徐芝倫彈性力學塑性力學楊桂通夏志皋工程彈塑性力學巖土塑性力學原理彈性理論彈性理論基礎孫炳楠等鄭穎人鐵木辛柯陸明萬End哈工大

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2701 緒 論參考資料：彈性力學塑性力學楊桂通夏志皋工2601 緒 論1.1

張量概念◆

任一物理現(xiàn)象都是按照一定的客觀規(guī)律進行的，它們是不以人們的意志為轉移的?！?/p>

分析研究物理現(xiàn)象的方法和工具的選用與人們當時對客觀事物的認識水平有關，會影響問題的求解與表述。◆

張量分析是研究固體力學、流體力學及連續(xù)介質力學的重要數(shù)學工具?！?/p>

張量分析具有高度概括、形式簡潔的特點。◆

所有與坐標系選取無關的量，統(tǒng)稱為物理恒量。第1節(jié) 張量概念及其基本運算

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4801 緒 論1.1張量概念第1節(jié) 張量概念及其基本運算2701 緒 論◆

在一定單位制下，只需指明其大小即足以被說明的物理量，統(tǒng)稱為標量（Scalar

）。例如溫度、質量、功等，在坐標變換時其值保持不變的量，即滿足(

x1,

x2

,

x3

)

(

x1,

x2

,

x3

)◆

在一定單位制下，除指明其大小還應指出其方向的物理量，稱為矢量（Vector）

。例如速度、加速度等?！?/p>

標量只需一個量就可確定，而矢量則需三個分量來確定。

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4801 緒 論◆在一定單位制下，只需指明其大小即足以被說明的2801 緒 論◆

若我們以r表示維度（如三維空間），以n表示階數(shù)，則描述一切物理恒量的分量數(shù)目M

可統(tǒng)一地表示成：M

r

n統(tǒng)一稱這些物理量為張量（Tensor）

。當n=0時，零階張量，M=1，標量；當n=1時，一階張量，M=31，矢量；當n=2時，二階張量，M=

32，矩陣；當取n時，n階張量，M=

3n。◆

二階以上的張量已不可能在三維空間有明顯直觀的幾何意義，但它做為物理恒量，其分量間可由坐標變換29/

48關系式來解釋、定義。哈工大

土木工程學院01 緒 論◆若我們以r表示維度（如三維空間），以n表2901 緒 論由一組坐標系變換到另一組坐標系時，研究對象的分量若能按照一定規(guī)律變化，則稱這些分量的集合為張量。張量定義設（a1,a2,a3）、（b1,b2,b3）、……、（s1,s2,s3）是矢量，Ti1i2…in是與坐標選擇有關的3n個獨立變量，若當坐標變換時，n一次式3

3 3F

...Ti

i

...i

ai

bi

......si12n

1

2 ni11i21in

1保持不變，則取決于腳標的3n個量Ti1i2…in的集合稱為n

階張量，其中每個元素稱為此張量的分量。

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4801 緒 論由一組坐標系變換到另一組坐標系時，研究對象的分量3001 緒 論1.2

指標記法◆

在張量的討論中，都采用下標字母符號，來表示和區(qū)別該張量的所有分量?！?/p>

不重復出現(xiàn)的下標符號稱為自由標號。自由標號在其方程內只羅列不求和。以自由標號的數(shù)量確定張量的階次。◆

重復出現(xiàn)，且只能重復出現(xiàn)一次的下標符號稱為啞標號或假標號。啞標號在其方程內先羅列，再求和?！?/p>

如不特意說明，今后張量下標符號的變程，僅限于三維空間，即變程為3。

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4801 緒 論1.2指標記法 哈工大土木工程學院313101 緒 論矢量V

的方式表示：vi代表矢量V的所有分量，即當V

寫作vi時，指標的值從1到3變化。V

(v1,v2,v3)3i

1

v1e1

v2e2

v3e2

viei

vi1ee2e3x1f

(X

)

f

(xi

)=f

(xj

)=f

(x1,x2

,x3

)x2x3

o12

3Pv

,v,vVV1V2V3

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4801 緒 論矢量V的方式表示：vi代表矢量V的所有分量3201 緒 論aibi

aibi

a1b1

a2b2

a3b3i

13aijbj

aijbj

ai1b1

ai

2b2

ai

3b3i1

j1j

13

3aijbicj

aijbicj

a11b1c1

a12b1c2

a13b1c3a21b2c1

a22b2c2

a33b2c3a31b3c1

a32b3c2

a33b3c3展開式（3項）展開式（9項）33

3aijk

xi

x

j

xk

aijk

xi

x

jxk展開式（27項）1.3

求和約定關于啞標號應理解為取其變程N內所有數(shù)值，然后再求和，這就叫做求和約定。333/

48i

1

j

1

k

1哈工大

土木工程學院01 緒 論aibiaibia1b13301 緒 論3ii

ii

11

22

33j

1a2

a2

a2

a2

a2

2322

a

a

(a

a

a

)

i1

ii

ii

11

22

333

3

ij

ij

ij

iji1j

1

11111212

1313

2121

2222

232331313232

3333

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4801 緒 論3iiii 11 22 3401 緒 論aibi

xi關于下標的約定可以總結為以下三條規(guī)則：1.如果在一個方程或表達式的一項中，一種下標只出現(xiàn)一次，則稱之為自由指標，這種自由指標在表達式或方程的每一項中必須只出現(xiàn)一次。2.如果在一個表達式或方程的一項中，一種指標正好出現(xiàn)兩次，則稱之為啞標，它表示從1到3求和。啞標在其他任何項中可以剛好出現(xiàn)兩次，也可以不出現(xiàn)。3.如果在一個表達式或方程的一項中，一種指標出現(xiàn)的次數(shù)多于兩次，則是錯誤的。n是違約的，求和時要保留求和號

aibi

xii1

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4801 緒 論aibixi關于下標的約定可以總結為以下三條規(guī)3501 緒 論例題：利用求和約定縮寫下面線性方程組a11x1

a12x2

a13x3

b1a21x1

a22x2

a23x3

b2a31x1

a32x2

a33x3

b3解：作為第一步縮寫，可以寫成：a1jxj

b1a2jxj

b2a3jxj

b3最后可以縮寫為：aijxj

bi其中i

稱為自由標，j

稱為啞標。哈工大

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4801 緒 論例題：利用求和約定縮寫下面線性方程組其中i稱為3601 緒 論……例題：描述Cij=AikBjk的意義。解：

Cij=AikBjk，則表明i

，j為自由指標，k

為啞標表示9個方程：C11

A1kB1k

A11B11

A12B12

A13B13C12

A1kB2k

A11B21

A12B22

A13B23C13

A1kB3k

A11B31

A12B32

A13B33C21

A2kB1k

A21B11

A22B12

A23B13C33

A3kB3k

A31B31

A32B32

A33B33哈工大

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4801 緒 論……例題：描述Cij=AikBjk的意義。C333701 緒 論關于求和標號（啞標）說明：◆

由于啞指標在求和之后就不再出現(xiàn)，所以啞指標字母可以任意改變。2 2 2 2ii

11

22

33a

a

a

a2 2ii

11

22

33(a)

(a

a

a

)or

orS

aixi

ajxj

akxk◆

求和約定只適用于字母標號，不適用于數(shù)字標號?！?/p>

在運算中，括號內的求和標號應在進行其它運算前就先求和。

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4801 緒 論關于求和標號（啞標）說明：2 2 2 2ii 13801 緒 論規(guī)定：出現(xiàn)雙重指標但不求和時，在指標下方加劃線以示區(qū)別，或用文字說明（如i

不求和）。Ri

CiEi

Ci

Ei這里i

相當于一個自由指標，而i

只是在數(shù)值上等于i，并不與

i求和。例外情況R1

C1E1R2

C2

E2R3

C3

E3

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土木工程學院39/

4801 緒 論規(guī)定：出現(xiàn)雙重指標但不求和時，在指標下方加劃線3901 緒 論又如，方程22 21 2 3 1

1

1 2

2

2 33

3

用指標法表示，可寫成i

i

ii

i

i

i

i

i

i

ii不參與求和，只在數(shù)值上等于

i

哈工大

土木工程學院40/

4801 緒 論又如，方程22 21 2 3 114001 緒 論關于自由標號：◆

在同一方程式中，各張量的自由標號相同，即同階且標號字母相同。aij

x

j

bi◆

自由標號的數(shù)量確定了張量的階次。

哈工大

土木工程學院41/

4801 緒 論關于自由標號： 哈工大土木工程學院41/4101 緒 論ijij

00

1

1,當i

j

時；或：

0

1

0

0,當i

j

時；ijvj=vi即在將ij應用于vj只是將vj中的j用i置換；對于單位矢量，點積ei·ej=ij

；其他關于Kronecker符號的描述可以參考孫炳楠的《工程彈塑性力學》及相關張量的其他文獻。1.4

Kronecker

delta（ij）符號ij是張量分析中的一個基本符號稱為柯氏符號，亦稱單位張量,也叫置換算子.其定義為：10

0

哈工大

土木工程學院42/

4801 緒 論ijij 04201 緒 論ij

的作用與計算示例：(1)ii

11

22

33

3(2)

(

)2

(

)2

(

)2

3ij

ij 11 22 33(3)

ij

jk

i11k

i

22k

i

33k

ik(4)aijij

a1111

a2222

a3333

aii(5)aiij

a11j

a22j

a33j

aj

(即a1,或a2,或a3)(6)

ij

l

j

li

ij

l

j

ijl

j

(

ij

ij

)l

j

哈工大

土木工程學院43/

4801 緒 論ij的作用與計算示例： 哈工大土木工程4301 緒 論若e1，e2，e3是相互垂直的單位矢量，則ei

ej=

ijei

ei

=

e1

e1

+

e2

e2

+

e3

e3=

11

22

33

3ei

ei

=

ii注意：ii是一個數(shù)值（3）ij的作用：1）換指標；2）選擇求和。

哈工大

土木工程學院44/

4801 緒 論若e1，e2，e3是相互垂直的單位矢量，則ij4401 緒 論例3：特別地例1：完成腳標變換

Ai→AkkiAi

kkAk

Ak思路：把要被替換的指標

i變成啞標，啞標能用任意字母，因此可用變換后的字母

k表示。例2：完成變換

Tkj→TijikTkj

iiTij

Tijikkj

ij ikkj

jm

imAmiBnj代表34=81個數(shù)，求

m=n時各項的和。mnAmiBnj

AniBnj

Ami

Bmj哈工大

土木工程學院45/

4801 緒 論例3：特別地例1：完成腳標變換Ai→Akik4501 緒 論張量的運算法則與矢量相類似。如：張量相等即對應分量相等；張量相加即對應分量相加；張量相乘構成一個階數(shù)是原張量的階數(shù)之和的新張量；n階張量縮并后變?yōu)閚-2

階張量等等。1.5

張量的基本運算

哈工大

土木工程學院46/

4801 緒 論張量的運算法則與矢量相類似。如：張量相等即對4601 緒 論A、張量的加減：凡是同階的張量可以相加（減），并得到同階的張量，它的分量等于原來張量中標號相同的諸分量之代數(shù)和。aij

bij

cij若

a

為一矢量，則

(T

S)

a

=

T

a

S

a其分量為：

(T

S

)i

j

=

ei

(T

S

)

ej=

ei

T

ej

ei

S

ej=Tij

Sij其矩陣形式為： T

S

T

S

哈工大

土木工程學院47/

4801 緒 論A、張量的加減： 哈工大土木工程學院474701 緒 論◆一個張量在一個坐標系中的所有分量都為0，則在所有坐標系中的所有分量都為0。這個論述在減少數(shù)學和物理證明方面很有幫助，如：要考慮Fi導致的應力ij，以后將證明，為滿足平衡ij,j=Fi，現(xiàn)將它重寫為Di=

ij,j－Fi=0因為Di

是零矢量，因此只需在一個坐標系中證明即可。

哈工大

土木工程學院48/

4801 緒 論◆一個張量在一個坐標系中的所有分量都為0，則在4801 緒 論B、張量的乘積（相當于叉乘）張量A

的每一個分量乘以張量B

中的每一個分量所組成的集合仍然是一個張量，稱為積張量。積張量的階數(shù)等于因子張量階數(shù)之和。aibjk

cijk◆

對于任何階的諸張量都可進行乘法運算。◆

張量乘法不服從交換律，但張量乘法服從分配律和結合律。例如：ij ij

k ij

k ij

k(a

b)c

ac

b

c或(aijbk)cm

aij(bkcm

)

哈工大

土木工程學院49/

4801 緒 論B、張量的乘積（相當于叉乘）張量階數(shù)之和。aib4901 緒 論C、張量的收縮設n階張量的分量中有兩個下標相同，根據(jù)求和約定，則得到具有n-2個下標的量，即共3n-2個分量，為n-2階張量，稱為張量收縮。例如：二階張量cij

收縮后為標量。cii

c11

c22

c33D、張量的內積（相當于點乘）張量的內積是向量內積的拓展。在張量乘積PQ中，m階張量P和n階張量Q中各取出一下標收縮一次后得到m+n-2階張量，稱為張量P和Q的內積，以P·Q表示。c

ai

bi

哈工大

土木工程學院50/

4801 緒 論C、張量的收縮 哈工大土木工程學院50/5001 緒 論E、張量函數(shù)的求導：◆

對于任何階的諸張量都可進行乘法運算。◆

一個張量是坐標函數(shù)，則該張量的每個分量都是坐標參數(shù)xi

的函數(shù)?！?/p>

張量導數(shù)就是把張量的每個分量都對坐標參數(shù)求導數(shù)?！魧埩康淖鴺藚?shù)求導數(shù)時，采用在張量下標符號前方加“，”的方式來表示。例如Ai,j

，就表示對一階張量Ai的每一個分量對坐標參數(shù)xj

求導。

哈工大

土木工程學院51/

4801 緒 論E、張量函數(shù)的求導： 哈工大土木工程學院55101 緒 論◆

如果在微商中下標符號i是一個自由下標，則算子i()作用的結果，將產(chǎn)生一個新的升高一階的張量；,ixi

x1

x2

x3

,

)

(

,i

,i

u

ui

u1

u2

u3xi x1

x2x3◆

如果在微商中下標符號i是啞標號，則作用的結果將產(chǎn)生一個新的降低一階的張量。

哈工大

土木工程學院52/

4801 緒 論◆如果在微商中下標符號i是一個自由下標，則算5201 緒 論設(1)(2)ai=

Uimbmbi=

Vimcm把（2）

代入（1）bi=

Vimcmbm=

Vmncni im

mn

na=UV

c3個方程，右邊為9項之和指標記法的運算1

代入

哈工大

土木工程學院53/

4801 緒 論設(1)(2)ai=Uimbmbm=5301 緒 論2

乘積設則p

=

Umamq

=

Vm

bm

pq

=

UmamVnbn不符合求和約定pq

UmamVmbm

哈工大

土木工程學院54/

4801 緒 論2乘積則p=Umam不符合求和約定pq5401 緒 論Tijnj-lni=

03

因式分解考慮第一步用nj表示ni,

ij

有換指標的作用ni=ij

nj所以Tijnj-lijnj

0即(Tij-lij)nj

0

哈工大

土木工程學院55/

4801 緒 論Tijnj-lni=03因式分5501 緒 論啞標與求和無關，可用任意字母代替

ii

ii為平均應力應變之間的關系4

縮并使兩個指標相等并對它們求和的運算稱為縮并。如各

向同性材料應力應變關系。Tij=

Ekkij+2

Eij縮并

ii

kkii

ii

kk

ii

哈工大

土木工程學院56/

4801 緒 論啞標與求和無關，可用任意字母代替ii5601 緒 論分量為ai，于是D、張量的分量：設ei為卡氏直角坐標系xi軸的單位基矢量，a為任一矢量，其稱為二階張量T

的分量對于一個二階張量T，它可以將a變換成另一個矢量b，即b

T

a

T

(aiei

)

ai

(Tei

)bi

bei

aj

(Tej

)ei

aj

(eiTej

)

TijajTij

ei

T

eja

aieiai

a

ei

ei

a可理解為矢量T·ej在ei上的分量。

哈工大

土木工程學院57/

4801 緒 論分量為ai，于是D、張量的分量：稱為二階張量T5701 緒 論22ij ij ji ij ij jip

1(a

+a

) q

1(a－a

)E、張量的分解：若張量[aij]的分量滿足aij=aji則稱[aij]為對稱張量。若張量[aij]的分量滿足aij=－aji則稱[aij]為反對稱張量。顯然反對稱張量中標號重復的分量(也即主對角元素)為零。a11

a22

a33

0一般張量總可以唯一地表示成一個對稱張量和一個反對稱張量之和。End哈工大

土木工程學院58/

3201 緒 論22ij ij ji ij ij jip5801 緒 論研究對象——三維彈性體微分單元體入手超靜定問題靜力平衡、幾何變形和本構關系等三方面的條件本章從靜力學觀點出發(fā)，討論一點的應力狀態(tài)，建立平衡微分方程和邊界條件。

哈工大

土木工程學院59/

9301 緒 論研究對象——三維彈性體微分單元體入手超靜5901 緒 論F1F2q第1節(jié) 基本概念1.1外

力1外力(load)：導致物體產(chǎn)生變形的外界作用因素（熱力作用、化學力作用、電磁力作用和機械力作用）稱外力。我們討論的外力是屬于機械力的范籌。面力：作用在物體表面上的力。接觸力、液體壓力等；集中力、分布力；單位：N或

N/m2。體力：作用在物體每個質點上的力。重力、慣性力等；單位：N/m3。FnFi60/

93哈工大

土木工程學院01 緒 論F1F2q第1節(jié) 基本概念接觸力、液體壓力等；6001 緒 論2內力(internalforce)：物體內部抵抗外部機械作用而產(chǎn)生相互作用稱內力。固有內力—物體各部分之間、材料各微粒之間的相互作用力。物體在受到外力之前，內部就存在著固有內力。附加內力—由外力而引起的內力，在原有內力的基礎上，又添加了新的內力，與變形有關。F1qF1F2F2MR’R

M’qfpFnFi哈工大

土木工程學院FnFi61/

9301 緒 論2內力(internalforce)：物體內6101 緒 論今后如無特別說明，就簡稱附加內力為內力。通常內力隨著外力的增加而增加，但不能無限地增加，若超過一定的限度構件將被破壞?？梢?，附加內力與外力的關系及它的限度，在研究構件承載能力時，就顯得很重要了。內力特點：1、有限性：隨外力的變化而變化，不能無限增加。2、分布性：內力是分布力系，常用其主矢量和主矩表示。3、成對性：附加作用力和反作用力。研究一個物體不同部分之間的內部相互作用，通常用“截面法”。其基本步驟：①截開；②代替；

③平衡。

哈工大

土木工程學院62/

9301 緒 論今后如無特別說明，就簡稱附加內力為內力。 哈6201 緒 論3應力(Stress)：受力物體內某截面上一點內力的內力分布疏密程度，即分布集度

。工程構件，大多數(shù)情形下，內力并非均勻分布，集度的定義不僅準確而且重要，因為“破壞”或“失效”往往從內力集度最大處ΔRSΔR

dRdS②全應力：p

limS

0

SFiF1

R

①平均應力：p

qS63/

93開始哈工大

土木工程學院01 緒 論3應力(Stress)：受力物體內某截面上一點6301 緒 論應力分解：ndSS0

ΔSndSΔS0

ΔS垂直于截面的應力稱為“正應力”：

limΔRn

dRn位于截面內的應力稱為“剪應力”：

limΔR

dRF1Fipqnnn某截面（外法線方向）上的應力pn稱為全應力(stress)

，可分解為正應力(normalsress)n和剪應力(shear

stress)

n

哈工大

土木工程學院64/

9301 緒 論應力分解：ndSS0ΔSndSΔS06401 緒 論特點：應力是內力的集度；內力和應力均為矢量；應力的單位：1Pa=1N/m2

=1.0197kgf/mm2應力是某點A的坐標的函數(shù)，即受力體內不同點的應力不同；應力是某點A在坐標系中的方向余弦的函數(shù)，即同一點不同方位的截面上的應力是不同的。所謂應力必須指明兩點：1.是哪一點的應力；2.是該點哪個微截面的應力。65/

93哈工大

土木工程學院01 緒 論特點：2.是該點哪個微截面的應力。哈工大土木65點的應力狀態(tài)：是指通過變形體內某點的所有截面上的應力矢量的合集，稱為這點的應力狀態(tài)（StateofStressataGiven

Point）01 緒 論第2節(jié)

應力狀態(tài)和應力張量2.1

應力狀態(tài)

哈工大

土木工程學院66/

93點的應力狀態(tài)：是指通過變形體內某點的所有截面上的應力矢量6601 緒 論單元體的性質a、任一面上，應力均布；b、平行面上，性質相同。描述空間一點處的應力的單元體單元體：物體內點的代表物，是包圍被研究點的無限小的幾何體。

哈工大

土木工程學院67/

9301 緒 論單元體的性質a、任一面上，應力均布；b、6701 緒 論x

yz

z

y

xz

zx

zy

yzdx

xdzyz

xy

yxdyO單元體上的應力分量及應力正負值規(guī)定◆

應力的表示及符號規(guī)則正應力：xx→

x剪應力：xy→

xy前字母表明該應力所在截面；后字母表明該應力所指方向。指定坐標軸正方向：x,y,z。◆

應力的正負號規(guī)定正面正向正；負面負向正。x哈工大

土木工程學院68/

9301 緒 論xyzzyxzzxzy6801 緒 論2.2

應力張量在數(shù)學上，如果某些量依賴于坐標軸的選擇，并在坐標變換時，按某種指定的形式變化，則稱這些量的總體為張量。應力分量

x、

y

、

z

、xy

、yx

、

yz

、

zy

、

zx

、

xz滿足上述性質，構成應力張量。

x xy xz

11 12 13

ij

yx

yz

21

22

23

y

zx

z

zy

31

32

33

哈工大

土木工程學院69/

9301 緒 論2.2應力張量ijyx 6901 緒 論力張量確定。說明方向。應力張量的特點

應力張量為二階張量。

應力張量為對稱張量。

一點的應力狀態(tài)完全由應

應力分量是標量箭頭僅是

x

xy

xz

11

12

13

ij

yx

yz

21

22

23

y

zx

z

zy

31

32

33

哈工大

土木工程學院70/

9301 緒 論力張量確定。說明方向。應力張量的特點ij7001 緒 論第3節(jié) 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析：討論一點某截面方位改變引起的應力變化趨勢的過程。一點可以用無窮個微元表示，找出之間應力的關系，稱為應力狀態(tài)分析xxyy

zxz

y斜截面上的應力主應力最大剪應力應力狀態(tài)對z于結構強度是十分重要的。準確描述應力狀態(tài)，合理的應力參數(shù)。用解析法研究

解析理論一點應力狀態(tài)用幾何法研究哈工大

土木工程學院莫爾應力圓

71/

9301 緒 論第3節(jié) 應力狀態(tài)分析xy斜截面上的應力主應7101 緒 論3.1

平衡微分方程應力平衡微分方程就是物體任意無限相鄰兩點間應力關系，可以通過微體沿坐標軸力平衡來得到，一般應力平衡方程在不同坐標系下有不同如果物體件，則其內部任何部分必然是滿足平衡條件的，因此，以取一個微元體分析。的表達式。整體滿足平衡條也可

哈工大

土木工程學院72/

9301 緒 論3.1平衡微分方程的表達式。 哈工大土7201 緒 論

(

x

dx,

y,

z)

(

x,

y,

z)

d

Lx要求應力至少一階連續(xù)。推導原理：靜力平衡條件：

X

0,

Y

0,

Z

0靜力矩平衡條件：Mx

0,

My

0,

Mz泰勒級數(shù)展開：

哈工大

土木工程學院73/

9301 緒 論(xdx,y,z)7301 緒 論yzzx

x

xdxdydz

dydz

dy

dzdx

xxy

x

yx

dzdx

zxdzdxdy

dxdy

Fdxdydz

0yx

zxz同理可推出另兩個平衡微分方程。

x

yx

zx

Fx

0x

y

z

xy

y

zy

Fy

0x

y

z

xz

y

z

z

0ij,i

Fj

0張量形式為：平衡方程的推導：以x軸為投影軸，由X=0

得：Fz哈工大

土木工程學院74/

93xyz01 緒 論yzzx x 7401 緒 論以連接六面體前后兩面中心的直線ab為矩軸，列出力矩的平衡方程Mab=0

：222yzyzzyzydy2dzdz

dy

dy

dxdz

dxdzy

yz

dz

dxdy

dxdy

0z

zy略去微量并整理得：

yz

zy

zx

xz

xy

yx

ij

ji剪應力互等定理

哈工大

土木工程學院75/

9301 緒 論以連接六面體前后兩面中心的直線ab為矩軸，列出力7501 緒 論3.2

斜截面上應力狀態(tài)3.2.1

平面應力狀態(tài)一點應力狀態(tài)的解析表示yOnxyxyyxyxxy

x正應力二者定義沒有差異而切應力定義方向不同ynxyxy

yx=

xyyxxy

xyx

彈性力學以坐標材力以變形效應76/

93系定義應力分量定義應力分量哈工大

土木工程學院01 緒 論3.2斜截面上應力狀態(tài)yOnxyx7601 緒 論

x xy22

xy

x y

x ycos2

sin

22

xy

x ysin2

cos

22

y

S

sin

yx

S

sin

cos

0考慮剪應力互等和三角變換，得：

F

0F

0

S

Scos2

Scos

sin

nxyOxyynxyyxyxxy

x

哈工大

土木工程學院77/

9301 緒 論 x xy22 xy 7701 緒 論確定正應力和剪應力的極值xyd

2d

x

y2sin2

2

cos2dd若

=

0時，能使

002

xy

x

y

0和

0

+90°它們取得兩個互相垂直的平面，稱主平面，主平面上對應的極值應力稱主應力。22max

x

yx y

2

2xy

min

（ ）

則tan2

哈工大

土木工程學院78/

9301 緒 論確定正應力和剪應力的極值xyd 2d7801 緒 論用相似方法可確定剪應力的極值xyd

2d

2

x

ycos2

2

sin2xy

x

y若

=

1時,能使d

d

01和

1+90°它們取得兩個互相垂直的平面，分別作用著最大剪應力和最小剪應力。max2xyx y

2 2

min

）

（則 tan21

2

哈工大

土木工程學院79/

9301 緒 論用相似方法可確定剪應力的極值xyd 2d7901 緒 論由xy

x

ytan21

2x y2

xytan20

得即tan

20

tan

21

121

20

901

0

45即最大剪應力和最小剪應力所在平面與主平面的夾角為45°。

哈工大

土木工程學院80/

9301 緒 論由xyxytan218001 緒 論2222xyxxy

2

y

2

消去解析表達式中參數(shù)（2），得：一點應力狀態(tài)的幾何表示2 2xy

xy

xycos2

sin

22

xy

x ysin2

cos

2應力圓（或莫爾圓，由德國工程師：Otto

Mohr引入）哈工大

土木工程學院81/

9301 緒 論2222xyxxy28101 緒 論yOx

應力圓的畫法yxyyx

nxy

xyxy

x建立應力坐標系O在坐標系內畫出點A(

x，xy)和B(y，-yx)AB與

軸的交點C

便是圓心。以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應力圓；A(x

,xy)OCB(y

,-yx)

哈工大

土木工程學院82/

9301 緒 論yOx應力圓的畫法xyyx n8201 緒 論

單元體與應力圓的對應關系

面上的應力(

，

)應力圓上一點(

，

)

面的法線應力圓的半徑兩面夾角兩半徑夾角2

；xyOy

xyxyyxyx

nxyxA(x

,xy) 且轉向一致。xn2

D(

,

OCB(y

,-yx)

哈工大

土木工程學院83/

9301 緒 論單元體與應力圓的對應關系面上的應力(8301 緒 論D(

,

x主應力和主方向

0n

max＝OC

R

min＝OC

R2xy