二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布課件

本節(jié)討論如何由已知的二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布去求它的函數(shù)Z＝g(X,Y)的分布．

設(shè)(X,Y)是分布已知的二維隨機(jī)變量,g(x,y)是二元連續(xù)函數(shù),那么Z＝g(X,Y)就是一個一維隨機(jī)變量.按定義,隨機(jī)變量Z＝g(X,Y)的分布函數(shù)應(yīng)為

4.2二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布本節(jié)討論如何由已知的二維隨機(jī)變量(X,Y)的例1設(shè)(X,

Y)的分布律

YX

－10100.10.20.210.10.10.3如右,求X+Y,max(X,Y)與min(X,Y)的分布律.解由(X,Y)的分布律可列對應(yīng)表如下:pij0.10.20.20.10.10.3(X

,Y)(0,-1)(0,0)(0,1)(1,-1)(1,0)(1,1)X+Y

-101012max(X,Y)001111min(X,Y)

-100-101例1設(shè)(X,Y)的分布律Y－1分布律pij0.10.20.20.10.10.3(X

,Y)(0,-1)(0,0)(0,1)(1,-1)(1,0)(1,1)X+Y

-101012max(X,Y)001111min(X,Y)

-100-101將函數(shù)的所有可能取值重排并概率即可得分布律pij0.10.2設(shè)兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y的分布律為求隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律.因X與Y獨(dú)立,所以解例2所求分布律：設(shè)兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y的分布律為求隨機(jī)變量Z=X+1)Z=X+Y

的分布故連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布1)Z=X+Y的分布故連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

當(dāng)X,Y獨(dú)立時,卷積公式

例3

設(shè)X和Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,分布密度分別為和求其和

Z＝X＋Y

的分布密度．當(dāng)X,Y獨(dú)立時,卷積公式例3設(shè)X和Y是解和由卷積公式知,Z＝X＋Y的分布密度為

解和由卷積公式知,Z＝X＋Y的分布密度為定理1則Z=X+Y亦服從正態(tài)分布,且且相互獨(dú)立,證由卷積公式知,Z＝X＋Y的分布密度為

很繁的過程定理1則Z=X+Y亦服從正態(tài)分布,且且相互獨(dú)立,證由卷積故令

故令定理2(獨(dú)立正態(tài)分布的線性組合定理）

利用本定理和上節(jié)定理1,不難得到更一般的定理2(獨(dú)立正態(tài)分布的線性組合定理）利用本定理和上節(jié)定理2)最大值與最小值的分布則有2)最大值與最小值的分布則有結(jié)論推廣結(jié)論推廣例4例4(ⅰ)串聯(lián)情況解(ⅰ)串聯(lián)情況解(ⅱ)并聯(lián)情況(ⅱ)并聯(lián)情況(ⅲ)備用情況(ⅲ)備用情況

本節(jié)討論如何由已知的二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布去求它的函數(shù)Z＝g(X,Y)的分布．

設(shè)(X,Y)是分布已知的二維隨機(jī)變量,g(x,y)是二元連續(xù)函數(shù),那么Z＝g(X,Y)就是一個一維隨機(jī)變量.按定義,隨機(jī)變量Z＝g(X,Y)的分布函數(shù)應(yīng)為

4.2二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布本節(jié)討論如何由已知的二維隨機(jī)變量(X,Y)的例1設(shè)(X,

Y)的分布律

YX

－10100.10.20.210.10.10.3如右,求X+Y,max(X,Y)與min(X,Y)的分布律.解由(X,Y)的分布律可列對應(yīng)表如下:pij0.10.20.20.10.10.3(X

,Y)(0,-1)(0,0)(0,1)(1,-1)(1,0)(1,1)X+Y

-101012max(X,Y)001111min(X,Y)

-100-101例1設(shè)(X,Y)的分布律Y－1分布律pij0.10.20.20.10.10.3(X

,Y)(0,-1)(0,0)(0,1)(1,-1)(1,0)(1,1)X+Y

-101012max(X,Y)001111min(X,Y)

-100-101將函數(shù)的所有可能取值重排并概率即可得分布律pij0.10.2設(shè)兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y的分布律為求隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律.因X與Y獨(dú)立,所以解例2所求分布律：設(shè)兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y的分布律為求隨機(jī)變量Z=X+1)Z=X+Y

的分布故連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布1)Z=X+Y的分布故連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

當(dāng)X,Y獨(dú)立時,卷積公式

例3

設(shè)X和Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,分布密度分別為和求其和

Z＝X＋Y

的分布密度．當(dāng)X,Y獨(dú)立時,卷積公式例3設(shè)X和Y是解和由卷積公式知,Z＝X＋Y的分布密度為

解和由卷積公式知,Z＝X＋Y的分布密度為定理1則Z=X+Y亦服從正態(tài)分布,且且相互獨(dú)立,證由卷積公式知,Z＝X＋Y的分布密度為

很繁的過程定理1則Z=X+Y亦服從正態(tài)分布,且且相互獨(dú)立,證由卷積