復變函數(shù)與積分變換課后習題答案

習題七1.證明：如果f(t)滿足傅里葉變換的條件，當f(t)為奇函數(shù)時，則有其中當f(t)為偶函數(shù)時，則有其中證明：因為其中為f(t)的傅里葉變換當f(t)為奇函數(shù)時，為奇函數(shù)，從而為偶函數(shù)，從而故有為奇數(shù)。=所以，當f(t)為奇函數(shù)時，有同理，當f(t)為偶函數(shù)時，有.其中2.在上一題中，設.計算的值.解:3.計算函數(shù).解:4.求下列函數(shù)的傅里葉變換解：(2)解：因為所以根據(jù)傅里葉變換的微分性質可得(3)解：(4)解:令，則在上半平面有兩個一級極點.故.(5)解:同(4).利用留數(shù)在積分中的應用,令則.5.設函數(shù)F(t)是解析函數(shù)，而且在帶形區(qū)域內有界.定義函數(shù)為證明當時，有對所有的實數(shù)t成立.(書上有推理過程)6.求符號函數(shù)的傅里葉變換.解:因為把函數(shù).不難看出故：7.已知函數(shù)的傅里葉變換求解:8.設函數(shù)f(t)的傅里葉變換，a為一常數(shù).證明當a>0時,令u=at.則當a<0時,令u=at,則.故原命題成立.9.設證明.證明：10.設，證明：以及證明：同理：11.設計算.解：當時，若則故=0.若則若則故12.設為單位階躍函數(shù)，求下列函數(shù)的傅里葉變換.習題八1.求下列函數(shù)的拉普拉斯變換.(1)，(2)，(3)(4)，(5)解:(1)(2)(3)(4)(5)2.求下列函數(shù)的拉普拉斯變換.（1）(2)解:(1)(2)3.設函數(shù),其中函數(shù)為階躍函數(shù),求的拉普拉斯變換.解:4.求圖8.5所表示的周期函數(shù)的拉普拉斯變換解：5.求下列函數(shù)的拉普拉斯變換.(1)(2)(3)(4)(5(6(7)(8)解:(1)(2)(4)(5)(6)(7)(8)6.記，對常數(shù)，若，證明證明:7記，證明:證明：當n=1時,所以，當n=1時,顯然成立。假設，當n=k-1時,有現(xiàn)證當n=k時8.記，如果a為常數(shù),證明:證明：設，由定義9.記，證明:,即證明：10.計算下列函數(shù)的卷積(1)(2)(3)(4)(5)(6解：(1)(2)(3)(4)(5)(6)11.設函數(shù)f,g,h均滿足當t<0時恒為零，證明以及證明：12.利用卷積定理證明證明：設，則，則，所以13.求下列函數(shù)的拉普拉斯逆變換.(1)(2)(3)(4)(5)(6解：(1)(2)(3故(4)因為所以(5)其中所以(6)所以14.利用卷積定理證明證明：又因為所以，根據(jù)卷積定理15.利用卷積定理證明證明：因為所以，根據(jù)卷積定理有16.求下列函數(shù)的拉普拉斯逆變換.(1)(2)(3)(4)解:(1)故(2)：(3)故(4)故且所以17.求下列微分方程的解(1)(2)(3)(4)(5)解:(1)設方程兩邊取拉氏變換,得為Y(s)的三個一級極點,則(2)方程兩邊同時取拉氏變換,得

(3)方程兩邊取拉氏變換,得因為由拉氏變換的微分性質知，若L[f(t)]=F(s),則即因為所以故有(4)方程兩邊取拉氏變換,設L[y(t)]=Y(s),得故(5)設L[y(t)]=Y(s),則方程兩邊取拉氏變換,,得故18.求下列微分方程組的解(1)(2)解:(1)設微分方程組兩式的兩邊同時取拉氏變換,得得(2)代入(1)，得(3)代入(1)，得(2)設方程兩邊取拉氏變換,得(3)代入(1)：所以故19.求下