《楊輝三角與二項式系數(shù)的性質(zhì)》教學點評

理解新課程數(shù)學課堂的價值-------從《“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)》一課談起孫延洲（湖北省教學研究室430205）隨著新課程于2009年開始在我省的推進，新的數(shù)學課程理念正逐步被我省數(shù)學教師所認識和了解，但不少數(shù)學教師對數(shù)學課程理念可能僅僅停留在對文本的認知階段，他們認為這些新課程所倡導的理念難以把握，特別是新課程改革與考試評價制度的改革未能很好地配套，從而更關注的是新課程的高考如何考，以此來確定他們的教，所以對新課程為落實“構(gòu)建共同基礎，提供發(fā)展平臺”和“提供多樣課程，適應個性選擇”而設計的新教材的改革難以適應；不少教師也認可“倡導積極主動、勇于探索的學習方式”和“注重提高學生的數(shù)學思維能力”，但在實際教學中，他們感到對新教材沒有把握，只有“穿新鞋，走老路”、“用舊瓶、裝新酒”，用著新教材，講的舊教材，甚至新舊教材疊加使用，所以常感課時不夠，負擔過重；他們感嘆，新課程理念好是好，但新教材的改革設計難適應，教學方式、學習方式的變革難跟上，更難以在數(shù)學課堂教學中實施。為了加快教師對新課程的適應步伐，由湖北省教育廳組織的全省第三次高中數(shù)學新課程培訓活動于2011年6月在武漢舉行，根據(jù)活動安排，要選擇一名優(yōu)秀青年教師對新課程數(shù)學課堂教學作課例展示，以期對新課程的數(shù)學教學起到示范和引領作用。我省優(yōu)秀青年教師周少雄老師曾于去年在“全國第五屆高中青年教師優(yōu)秀課評比與觀摩活動”中，憑借《“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)》一課獲得全國一等獎，本次活動我們再一次對這節(jié)課進行了觀摩和討論，由此引發(fā)對新課堂數(shù)學課堂價值的一些思考。《“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)》是全日制普通高級中學教科書人教A版選修2-3第1章第3節(jié)第2課時。教科書將二項式系數(shù)性質(zhì)的討論與“楊輝三角”結(jié)合起來，是因為“楊輝三角”蘊含著豐富的數(shù)學內(nèi)涵：“楊輝三角”是我國古代數(shù)學重要成就之一，顯示了我國古代人民的卓越智慧和聰明才智，抓住這一題材可豐富學生的數(shù)學文化；“楊輝三角”可以直觀看出二項式系數(shù)的性質(zhì)，由于二項式系數(shù)組成的數(shù)列就是一個離散函數(shù)，引導學生從函數(shù)的角度研究二項式系數(shù)的性質(zhì)，便于建立知識的前后聯(lián)系，使學生體會用函數(shù)知識研究數(shù)學問題的方法；通過“楊輝三角”與二項系數(shù)的關系，可以畫出它的圖象，利用幾何直觀、數(shù)形結(jié)合、特殊到一般的數(shù)學思想方法進行思考，培養(yǎng)學生的合情推理能力；通過對規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，形成對規(guī)律的證明思路，這一過程不僅有利于培養(yǎng)學生的思維能力、理性精神和實踐能力，而且有利于加深學生對數(shù)學知識的理解，豐富學生的數(shù)學體驗，涵養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)。通過對數(shù)學教材的準確理解，周老師確定了本節(jié)課的教學目標是：●通過課前組織學生開展“了解楊輝三角、探究與發(fā)現(xiàn)楊輝三角包含的規(guī)律”的學習活動，讓學生感受我國古代數(shù)學成就及其數(shù)學美，激發(fā)學生的民族自豪感。●通過學生從函數(shù)的角度研究二項式系數(shù)的性質(zhì)，建立知識的前后聯(lián)系，體會用函數(shù)知識研究問題的方法，培養(yǎng)學生的觀察能力和歸納推理能力。●通過體驗“發(fā)現(xiàn)規(guī)律、尋找聯(lián)系、探究證明、性質(zhì)運用”的學習過程，使學生掌握二項式系數(shù)的一些性質(zhì)，體會應用數(shù)形結(jié)合、特殊到一般進行歸納、賦值法等重要數(shù)學思想方法解決問題的“再創(chuàng)造”過程?！裢ㄟ^恰時恰點的問題引入、引申，采用學生課前自主探究、課上合作探究、課下延伸探究的學習方式，培養(yǎng)學生問題意識，提高學生思維能力，孕育學生創(chuàng)新精神，激發(fā)學生探索、研究我國古代數(shù)學的熱情。在確定教學目標后，周老師采用了“展示成果話楊輝、感知規(guī)律悟性質(zhì)、聯(lián)系舊知探新知、合作交流議方法、反饋升華撥思路、懸念小結(jié)再求索”六個教學環(huán)節(jié)，層層推進，環(huán)環(huán)相扣，并在教學活動中倡導學生自主探索、獨立思考、動手實踐、合作交流等形式，為學生形成積極主動的、多樣的學習方式創(chuàng)造了有利的條件和廣闊的空間，取得了良好的效果。體現(xiàn)在以下幾個方面：基本功：板書整齊、粉筆字較好，表達能力強、語速很適合教學、有親和力、有激情，駕馭課堂和把握課堂節(jié)奏能力強。選課：這一節(jié)課，很有代表性，內(nèi)容豐富（數(shù)學史——楊輝三角、二項式系數(shù)的性質(zhì)），滲透的數(shù)學思想方法多（數(shù)形結(jié)合、特殊到一般、賦值法、模型化思想）。設計：教學設計和教學說明質(zhì)量很高，這需要教師認真學習新課程標準，深入鉆研教材教法，靈活的設計教學環(huán)節(jié)，體現(xiàn)了教師的教學功力。效果：這是一堂質(zhì)量很高的課，不僅培養(yǎng)了學生的學習興趣，而且通過“自主探究、合作交流”的學習方式，讓學生真正成為課堂的主人，在學生掌握知識的同時，更注重培養(yǎng)學生的理性思維和發(fā)展學生的創(chuàng)新能力。亮點：由學生歸納猜想各二項式系數(shù)的和，再讓學生探究證明方法，在學生用賦值法予以證明后，引導學生用模型化思想加以說明，符合學生的認知規(guī)律，注重培養(yǎng)學生的思維能力和解決問題的能力；“課前研修——課上探究——課后延伸”的學習方式值得推廣，著眼于提高學生的自主學習和再學習能力，若養(yǎng)成習慣，形成一種學習品質(zhì)，對學生的終身學習和發(fā)展有很大的意義；課中開展了“學習小組代表展示課前研修成果，學生畫圖感知分析，小組討論、展示，師生合作探討交流，學生板演，學生談學習體會”等多種學習活動，豐富了學習方式，學生親身體驗學習數(shù)學的快樂、體驗我國古代數(shù)學成就、體驗豐富的數(shù)學思想和靈活的方法、體驗新舊知識之間的聯(lián)系并運用已學知識解決新的問題，讓學生在做中學、在學中做、在誤中悟、在探中嘆。以知識為載體，由給出知識轉(zhuǎn)向引起活動；以方法為核心，由關注知識轉(zhuǎn)向培養(yǎng)能力；以人本為基點，由完成任務轉(zhuǎn)向促進發(fā)展。我們知道，數(shù)學教育的目的從大的方面來講，應具有價值引導和自主建構(gòu)的功能。價值引導就是讓學生感到“數(shù)學有用”、“數(shù)學很美”、“數(shù)學好玩”，從而讓學生喜歡數(shù)學、熱愛數(shù)學、親近數(shù)學；自主建構(gòu)即數(shù)學知識的自主建構(gòu)，人的生命是有限的，人的精力是有限的，但數(shù)學知識是無窮的，如何讓學生能自主學習，并將數(shù)學知識建構(gòu)到自己已有的知識體系中去，是一個非常重要的問題。人民教育出版社章建躍先生認為：人的數(shù)學知識的獲得都不是一蹴而就的，而是在一個較長時間內(nèi)，在層次、螺旋上升地逐漸獲得的。人的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的形成過程是一個復雜的、不斷對各種數(shù)學知識進行主動概括的過程。這就要求在數(shù)學教學中引導學生對數(shù)學知識的抽象和概括，引導學生對數(shù)學知識建立起一個系統(tǒng)的認知結(jié)構(gòu)。數(shù)學課堂作為數(shù)學知識傳授、能力培養(yǎng)和學生形成良好數(shù)學素養(yǎng)的主陣地，也應有其自己的價值，即有效地引導學生豐富對數(shù)學的理解，啟迪學生數(shù)學思維，激發(fā)學生數(shù)學潛能，涵養(yǎng)數(shù)學智慧，傳承數(shù)學文化?！丁皸钶x三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)》一課較好地體現(xiàn)了新課程數(shù)學課堂的上述價值功能。1．豐富數(shù)學理解我國的數(shù)學教學歷來有重視數(shù)學基礎知識、基本技能訓練和能力培養(yǎng)的教學傳統(tǒng)，但遺憾的是在數(shù)學課堂中，教師常常將原本相互聯(lián)系的數(shù)學基礎知識肢解為一個個孤立的知識點，為了形成熟練的解題能力，只有加強對數(shù)學公式、定理、法則的強記和大量的解題訓練，從而形成了數(shù)學課堂的異化現(xiàn)象。隨著新課程的推進，應注意到改革進程中出現(xiàn)的深層次問題，如如何把握數(shù)學學科本質(zhì)和最有學習價值的知識；關于技能訓練的定位，以及避免不必要的重復講述和大運動量訓練，減輕學生過重負擔，充分利用課堂時間，相對降低活動成本等問題。對數(shù)學內(nèi)涵的理解也不能僅僅局限于數(shù)學知識和數(shù)學技能，而應由原來的“雙基”教學向“四基”教學轉(zhuǎn)變，即由原來的基礎知識、基本技能發(fā)展為基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗。為了豐富學生數(shù)學內(nèi)涵的理解，周老師通過創(chuàng)設問題情境，以活動為載體，讓學生在小組中充分合作，在課堂上給時間、給機會充分展示，讓學生動手做、動口說、動筆寫、動腦想，在生生討論、師生合作中努力促進學生的自主學習、自我發(fā)展。2．啟迪數(shù)學思維數(shù)學是思維的體操，數(shù)學在形成人類理性思維和促進個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著獨特的、不可替代的作用，因此啟迪學生數(shù)學思維是數(shù)學課堂的重要目的。而數(shù)學思維是一種極為復雜的心理現(xiàn)象，一般來說數(shù)學思維主要是指形象思維、抽象邏輯思維和直覺思維。在本節(jié)課中，周老師十分關注學生數(shù)學思維的培養(yǎng)，在小組合作時多次要求學生探求規(guī)律；在學生發(fā)現(xiàn)和概括二項式系數(shù)的對稱性和增減性與最大值，如何證明呢？周教師進行了適當?shù)匾龑?，讓學生聯(lián)系函數(shù)知識，畫出和7的函數(shù)圖象，對函數(shù)的性質(zhì)進行討論，讓學生經(jīng)歷再發(fā)現(xiàn)、再提煉、深入探究的學習過程，培育理性思維。在證明各二項式系數(shù)的和的過程中，教材中運用賦值法，求證很簡略，教師認識到讓學生記住這個結(jié)論可能并不難，難的是在這個學習過程中如何遵循學生的認知規(guī)律，提高學生的思維能力？基于此，教師又引導學生自己歸納、猜想各二項式系數(shù)的和，運用多種方法予以求證。所有這些都十分有利于學生數(shù)學思維的發(fā)展。3．激發(fā)數(shù)學潛能我國數(shù)學教育家顧泠沅先生通過從有經(jīng)驗教師如何觀課、評課出發(fā)，在上海的一個地區(qū)，廣泛采集1982年與2007年的不同觀點與視角，通過因素篩選與語義解釋，然后作跨度25年的比對，結(jié)果表明我國的課堂教學發(fā)生了一些變化：原先只是強調(diào)教學目的要求“不脫離主題”、“恰如其分”，原先課堂安排以全班學生“可接受程度”為依據(jù)，取統(tǒng)一的最低線；原先教學效果評價僅關注當堂反應、檢查和“直覺印象”；如今提倡技能、認知、情感全面“適合學生最近發(fā)展區(qū)”，突出了“學生發(fā)展為本”的目標，強調(diào)尊重每位學生的個性差異，在此基礎上面向全體學生，還關注到學生“潛能發(fā)揮”和是否有利于提高“后續(xù)學習水準”。學生的數(shù)學潛能應該包括兩個方面，一是在課堂上學生解決數(shù)學問題的潛能，表現(xiàn)為在教師的引導下，學生“跳一跳，摘上桃”；另一方面，表現(xiàn)為對數(shù)學的喜愛和對未來數(shù)學研究的潛能，我們在本節(jié)課的課堂教學中處處可見。4．涵養(yǎng)數(shù)學智慧數(shù)學知識在本質(zhì)上是一種數(shù)學結(jié)果，當然是學生數(shù)學經(jīng)驗的一個結(jié)果，也是學生數(shù)學思考的結(jié)果，而數(shù)學智慧并不表現(xiàn)于學生數(shù)學經(jīng)驗的結(jié)果上，也不表現(xiàn)于學生數(shù)學思考的結(jié)果上，而表現(xiàn)于數(shù)學經(jīng)驗的過程和數(shù)學思考的過程。我們知道，世界有很多東西是不可傳遞的，只能靠親身經(jīng)歷。數(shù)學智慧并不完全依賴數(shù)學知識的多少，而依賴數(shù)學知識的形成過程、運用過程。周老師對本節(jié)課的理解始終把握“沒有過程”就等于“沒有思想”就等于“沒有教學”，所以在這節(jié)課的在設計中，沒有局限于教材，而是從學生認識問題的基本規(guī)律出發(fā)。如在處理教材上證明各二項式系數(shù)的和時，教材直接利用了“賦值法”，但從學生的知識結(jié)構(gòu)看，是很難探索出這種方法的，他通過引導學生利用猜想結(jié)果和比較分析的過程，歸納出“賦值法”，學生就很自然地掌握了這種方法。學生在課堂中實實在在地經(jīng)歷和體驗了方法探尋的認知過程，提煉了數(shù)學思想方法，鍛煉了思維品質(zhì)，深化了理性認識．能把“現(xiàn)成”的數(shù)學變?yōu)椤盎顒印钡?、學生能夠自己建構(gòu)的數(shù)學，巧妙地做到“智慧地引導學生智慧地學習數(shù)學智慧?！?．傳承數(shù)學文化數(shù)學是人類文化的重要組成部分。齊民友先生說：一種沒有相當發(fā)達的數(shù)學的文化是注定要衰落的，一個不掌握數(shù)學作為一種文化的民族也是注定要衰落的。數(shù)學文化貫穿在整個高中數(shù)學課程的重要內(nèi)容之一，并要求將其滲透在每個模塊或?qū)ｎ}中。數(shù)學教學應讓學生了解數(shù)學在人類文明發(fā)展中的重要作用，了解數(shù)學科學的思想體系，數(shù)學的美學價值，數(shù)學家的創(chuàng)新精神，激發(fā)學生的數(shù)學情感。“楊輝三角”其本身就是文化載