《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》4

第四章、隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、數(shù)學(xué)期望（均值）（一）離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1.定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為：。若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂（即級(jí)數(shù)收斂），則定義X的數(shù)學(xué)期望（簡(jiǎn)稱均值或期望）為：注：（1）當(dāng)X的可能取值為有限個(gè)時(shí)，。（2）當(dāng)X的可能取值為無限多個(gè)時(shí)，。例1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：X-102P0.30.20.5求。解：例2.甲乙兩人進(jìn)行打靶，所得分?jǐn)?shù)分別記為X,Y，它們的分布律分別為：X012P00.20.8Y012P0.10.80.1是比較他們成績(jī)的好壞。解：所以，甲的成績(jī)好于乙的成績(jī)。2.三種特殊離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（1）兩點(diǎn)分布的數(shù)學(xué)期望：設(shè)X~B(1,p)，隨機(jī)變量X的分布律為：X01P1-pp其中0<P<1,有（2）二項(xiàng)分布：設(shè)X~B(n,p)，即Pi=P（3）泊松分布設(shè)，其分布律為：，則X的數(shù)學(xué)期望為。例3.設(shè)隨機(jī)變量X~B(5，p),已知，求參數(shù)。解：由已知X~B(5，p),因此。例4.設(shè)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1和，且，求。解：有已知，得E3.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理4-1：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為：。令，若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望為例5.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X-1012P0.30.20.40.1令，求。解：由于X的分布律為：X-1012P0.30.20.40.1所以，Y的分布律為：Y-1135P0.30.20.40.1所以，Y的數(shù)學(xué)期望為：Z=Z014P0.20.70.1E(Z)=例6.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X-100.512P0.30.20.10.10.3令，求。解：由公式得：（二）連續(xù)型隨機(jī)變量的期望1.定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為，若廣義積分絕對(duì)收斂，則稱該積分為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望（簡(jiǎn)稱期望或均值），記為，即例7.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求。解：Ex=-∞+∞求。解：2.三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（1）均勻分布（X~U(a,b)）（2）指數(shù)分布（），E（3）正態(tài)分布（）3.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理4-2：設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，又隨機(jī)變量，則當(dāng)收斂時(shí)，有例9.風(fēng)速V是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)它服從[0,a]上的均勻分布，其概率密度為又設(shè)飛機(jī)機(jī)翼收到的壓力W是風(fēng)速V的函數(shù)，（常數(shù)），求W的數(shù)學(xué)期望。解：例10.設(shè)X的概率密度為求：。解：（三）二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望2.連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望3.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望4.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望例12.已知（X,Y）的分布律為YX0101求：（1）；（2）解：（1）（2）例13.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為求：（1）；（2）；（3）。解：3（四）數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.2.ECX3.4.若隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，則：例.（P95.2）設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為試確定a,b,并求.解：（1）由得：由得：,所以，又因?yàn)?，在處右連續(xù)，所以limlim所以，，二、方差（一）方差的概念1.定義：簡(jiǎn)便計(jì)算公式：2.離散型隨機(jī)變量的方差：3.連續(xù)型隨機(jī)變量的方差：例16.設(shè)兩批纖維的長(zhǎng)度分別為隨機(jī)變量，其分布律分別為-110.50.5-1001000.50.5求：。解DDEEDEED例17.已知隨機(jī)變量X的概率密度為，求。解：D0例18.設(shè)隨機(jī)變量X的期望，方差，求。解：由得：例19.設(shè)X的概率密度為，求。解：（二）常見隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差分布分布律或概率密度期望方差離散型0-1分布X~B(1,p)二項(xiàng)分布泊松分布Pk連續(xù)型均勻分布指數(shù)分布，正態(tài)分布例23.已知(X,Y)的分布律為XY求：。解：例24.設(shè)(X,Y)的概率密度為f求：E(X),E(Y),D(X),D(Y).解：EDD解ffEED例25.設(shè)(X,Y)服從在D上的均勻分布，其中D由x軸、y軸即x+y=1所圍成，求D(X).解1：E=E=解ffEED（三）方差的性質(zhì)性質(zhì)1：性質(zhì)2：性質(zhì)3：若X,Y相互獨(dú)立，則結(jié)論：例26.設(shè)相互獨(dú)立，，求的期望和方差。解：例27.設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，X與Y的方差分別為4和2.求D(2X-Y).解：有方差的性質(zhì)得：三、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)（一）協(xié)方差1.定義：2.當(dāng)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量時(shí)，X與Y的協(xié)方差為：3.當(dāng)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，X與Y的協(xié)方差為：例28.設(shè)(X,Y)的密度函數(shù)為求：。解：，，例29.設(shè)(X,Y)服從在D上的均勻分布，其中D由x軸、y軸及x+y=1所圍成。求X與Y的協(xié)方差Cov(X,Y).解：2.協(xié)方差的性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）如果X與Y相互獨(dú)立，則例30.例29中的，所以X與Y一定不相互獨(dú)立。例31.如果，則X與Y不一定相互獨(dú)立。（二）相關(guān)系數(shù)1.定義：若，則。例32.設(shè)隨機(jī)變量X與Y的方差分別為25和16，協(xié)方差為8，求相關(guān)系數(shù)。解：例33.（略）2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：（1）；（2）的充分必要條件是存在常數(shù)a,b使且。定義：若相關(guān)系數(shù)則稱X與Y不相關(guān)。注：1°.若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則；若，但隨機(jī)變量X與Y不一定相互獨(dú)立。2°.若二維隨機(jī)變量（X,Y）服從二維正態(tài)分布，可以證明X與Y的相關(guān)系數(shù)是。從而隨機(jī)變量X與Y不相關(guān)的充分條件是X與Y相互獨(dú)立。即：X與Y不相關(guān)例34.設(shè)隨機(jī)變量的分布律為XY-11-11求：。解：X，Y的分布律分別為：X-11PY-11PE例35.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為求：（1）；（2）；（3）。解法一：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，所以，則（2）（3）解法二：（1）（2）（3）例36.證明：（記住結(jié)論即可）例37