2022-2023學(xué)年人教版初中數(shù)學(xué)專題《解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用中的方位角問題》含答案解析

專題銳角三角函數(shù)優(yōu)選提升題三：解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用題型二：方位角問題一、解答題1．（2022·重慶·巴川初級(jí)中學(xué)校九年級(jí)期末）如圖，是濕地公園里的一條環(huán)形跑道，B在A的正南方．一天，李老師從起點(diǎn)A出發(fā)開始跑步，此時(shí)他發(fā)現(xiàn)公園中心塔C在他的東南方向，他以每分鐘80米的速度，沿AB方向跑了15分鐘后到達(dá)健身跑道的B處，此時(shí)他發(fā)現(xiàn)公園中心塔C在他的南偏東75°方向．（A，B，C在同一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：，）(1)求BC的長(zhǎng)；（結(jié)果保留整數(shù)）(2)為了滿足市民健身的要求，政府決定對(duì)健身跑道進(jìn)行擴(kuò)建．計(jì)劃將跑道AB段繼續(xù)向正南方向延伸至D處，再將DC連接起來組成新的環(huán)形跑道．若在D處測(cè)得C在D的北偏東60°方向．若預(yù)計(jì)修建跑道的成本為每米60元，政府撥付改建費(fèi)20萬元，則此次政府撥付改建費(fèi)用是否足夠？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由．【答案】(1)跑道BC的長(zhǎng)為1697米(2)此次改建費(fèi)用足夠，理由見解析【分析】（1）作構(gòu)造直角三角形后，利用特殊角的三角函數(shù)求解即可．（2）先畫出圖形，再通過構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解，得出需要修建的跑道總長(zhǎng)，計(jì)算出總費(fèi)用進(jìn)行比較即可．【詳解】（1）由題意得：，，米過點(diǎn)B作于點(diǎn)，∴，在中，，∴，在中，，∴（米）答：跑道BC的長(zhǎng)為1697米．（2）如圖，過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，∴，∵，∴∴在中，，∴∴，．在中，，∴，，∴總道路長(zhǎng)為．∴總共花費(fèi)：．答：此次改建費(fèi)用足夠．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能正確理解題意，做出輔助線，構(gòu)造直角三角形，并解直角三角形．2．（2022·安徽合肥·九年級(jí)期末）數(shù)學(xué)興趣小組的成員在觀察點(diǎn)A測(cè)得觀察點(diǎn)B在A的正北方向，古樹C在A的東北方向；在B處測(cè)得C在B的南偏東63.5°的方向上，古樹D在B的北偏東53°的方向上，已知D在C正北方向上，即CD//AB，AC=50米，求古樹C、D之間的距離。(結(jié)果保留到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32)【答案】62.9米【分析】過B作BE⊥CD于E，過C作CF⊥AB于F，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BE=CF，CE=BF，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：過B作BE⊥CD于E，過C作CF⊥AB于F，則四邊形BFCE是矩形，∴BE=CF，CE=BF，∵∠CAF=45°，∠AFC=90°，∴CF=AF=AC=50，∵∠CBF=63.5°，∴（米），∵CD∥AB，∴∠D=53°，∵∠BED=90°，∴（米），∴CD=CE+DE=62.9（米），答：古樹C、D之間的距離約為62.9米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2022·四川·仁壽縣黑龍灘鎮(zhèn)光相九年制學(xué)校九年級(jí)期末）小明周未與父母一起到眉山濕地公園進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，在A處看到B，C處各有一棵被湖水隔開的銀杏樹.他在A處測(cè)得B在西北方向，C在北偏東30°方向.他從A處走了20米到達(dá)B處，又在B處測(cè)得C在北偏東60°方向．(1)求∠C的度數(shù)；(2)求兩棵銀杏樹B，C之間的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】(1)(2)米【分析】（1）過點(diǎn)A作交于點(diǎn)，根據(jù)且，可得，利用外角的性質(zhì)根據(jù)可求出結(jié)果（2）過點(diǎn)B作BG⊥AD于G，則有，可得，，，可求得，再根據(jù)可得結(jié)果．（1）如圖示，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)，∵且∴∵且∴；（2）過點(diǎn)B作BG⊥AD于G．∵∴在中，，在中，∵∴∴答：兩顆銀杏樹B、C之間的距離為米【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，能根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2022·內(nèi)蒙古·烏海市第二中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，線段EF與MN表示某一段河的兩岸，EF平行MN．綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們需要在河岸MN上測(cè)量這段河的寬度（EF與MN之間的距離），已知河對(duì)岸EF上有建筑物C、D，且CD＝30米，同學(xué)們首先在河岸MN上選取點(diǎn)A處，用測(cè)角儀測(cè)得C建筑物位于A北偏東45°方向，再沿河岸走10米到達(dá)B處，測(cè)得D建筑物位于B北偏東55°方向，請(qǐng)你根據(jù)所測(cè)數(shù)據(jù)求出該段河的寬度，（用非特殊角的三角函數(shù)或根式表示即可）【答案】米【分析】首先構(gòu)造直角三角形，作、，垂足為P、Q，則四邊形CPQD為矩形，CD=PQ=30，設(shè)河寬CP為x，利用∠CAP=45°，得出AP=x，則BP=，根據(jù)∠BDQ的正弦列出方程，求出x即可表示出河寬．【詳解】解：如圖，過C、D分別作、，垂足為P、Q,設(shè)河寬為x米．由題可知，,,∴為等腰直角三角形，∴，,∵M(jìn)N∥EF，、，∴,∴四邊形CPQD為矩形，∴C