線性系統(tǒng)的分析與校正

摘要自動(dòng)控制技術(shù)已廣泛應(yīng)用于制造業(yè)、農(nóng)業(yè)、交通、航空及航天等眾多產(chǎn)業(yè)部門，極大地提高了社會(huì)勞動(dòng)生產(chǎn)率，改善了人們的勞動(dòng)環(huán)境，豐富和提高了人民的生活水平。然而，在控制技術(shù)需求的推動(dòng)下，控制理論本身也取得了顯著的進(jìn)步?？刂葡到y(tǒng)的校正問(wèn)題，是自動(dòng)控制理論的重要分支，也是具有實(shí)際意義的一種改善系統(tǒng)性能的手段和方法。本文針對(duì)線性系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域及頻域性能的分析，根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的要求對(duì)線性系統(tǒng)進(jìn)行校正，主要采用頻域的校正方法，控制器采用串聯(lián)超前校正裝置或串聯(lián)滯后裝置進(jìn)行系統(tǒng)的校正。本文根據(jù)具體被控對(duì)象傳遞函數(shù)采用滯后校正裝置進(jìn)行系統(tǒng)校正。對(duì)校正過(guò)程及校正步驟進(jìn)行詳細(xì)闡述。同時(shí)給出采用之后校正裝置時(shí)的控制器選擇方法。關(guān)鍵詞：線性系統(tǒng)；時(shí)域分析；頻域分析；串聯(lián)滯后校正ABSTRACTAutomaticcontroltechnologyhasbeenwidelyusedinmanufacturingindustry,agriculture,transportation,aviationanaerospaceandothermanyotherindustries,greatlyimprovethesociallaborproductivity,improvetheworkingenvironmentofpeople,enrichandimprovethepeople'slivingstandards.However,underthecontrolofthedemandofcontroltechnology,thecontroltheoryitselfhasmaderemarkableprogress.Thecorrectionofcontrolsystemisanimportantbranchofautomaticcontroltheory,anditisalsoameansandmethodtoimprovetheperformanceofthesystem.Thispaperanalysisoftimedomainandfrequencydomainperformanceforlinearsystems,inaccordancewiththerequirementsofthesystemoflinearsystemiscorrected,mainlyusingfrequencydomaincorrectionmethod.Thecontrollerusesseriesleadingcorrectiondeviceortandemlaggingdeviceforsystemcalibration.Inthispaper,accordingtothespecificcontrolobjecttransferfunctionusingadvancedcalibrationdeviceforsystemcalibration.Thecorrectionprocessandthecorrectionstepsaredescribedindetail.Atthesametime,theselectionmethodofthecontrollerisgiven.KEYWORDS：Linearsystem;Timedomainanalysis;Frequencydomainanalysis;Seriesdelaycorrection目錄TOC\o"1-3"\h\u1.設(shè)計(jì)內(nèi)容 12.設(shè)計(jì)要求 13.校正前系統(tǒng)分析 13.1時(shí)域性能指標(biāo)計(jì)算與MATLAB分析 13.2根軌跡穩(wěn)定性分析 33.3頻域指標(biāo)的計(jì)算與MATLAB分析 54.校正方案的選擇、比較與確定 75.校正裝置設(shè)計(jì) 75.1參數(shù)計(jì)算 75.2校正裝置的選擇 86.校正后系統(tǒng)分析 86.1時(shí)域性能指標(biāo)計(jì)算與MATLAB分析 116.2根軌跡穩(wěn)定性分析 126.3頻域指標(biāo)的計(jì)算與MATLAB分析 137.校正前后系統(tǒng)性能指標(biāo)的比較與分析 157.1動(dòng)態(tài)指標(biāo) 157.2靜態(tài)指標(biāo) 167.3小結(jié) 168.設(shè)計(jì)總結(jié) 169.參考文獻(xiàn) 201.設(shè)計(jì)內(nèi)容設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)模型為，完成設(shè)計(jì)內(nèi)容。要求校正后系統(tǒng)的性能指標(biāo)為：°，2.設(shè)計(jì)要求已知單位反饋的系統(tǒng)開環(huán)傳函為：校正后系統(tǒng)的性能指標(biāo)為3.校正前系統(tǒng)分析3.1時(shí)域性能指標(biāo)計(jì)算與MATLAB分析系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：1.勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為D(s)=s(s+1)(0.3s+1)+K,即D(s)=0.3s^3+1.3s^2+s+K根據(jù)勞斯判據(jù)得：對(duì)于三階系統(tǒng)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為所有系數(shù)為正，且a1*a2>a0*a3,因此該系統(tǒng)穩(wěn)定，K的范圍：0<K<4.3.2.穩(wěn)態(tài)誤差ｅss對(duì)于該系統(tǒng)的I型系統(tǒng)，靜態(tài)誤差系數(shù)分別為Kp=∞，Kv=K,Ka=0單位階躍輸入時(shí)ｅss=1/(1+Kp)=0單位斜坡輸入時(shí)ｅss=1/Kv=1/K單位加速度輸入時(shí)ｅss=1/Ka=∞3.當(dāng)K=4時(shí)，用MATLAB繪制該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)程序如下：clear;G1=tf([4],[conv([1,1],[0.3,1]),0])G=feedback(G1,1,-1)step(G)G1=40.3s^3+1.3s^2+sContinuous-timetransferfunction.G=40.3s^3+1.3s^2+s+4Continuous-timetransferfunction.圖一單位階躍響應(yīng)曲線分析：上圖知，當(dāng)K=4時(shí)，該系統(tǒng)穩(wěn)定，ts=148s,tp=2s,超調(diào)量Mp=88.3%,tr=0.65s。但此時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差ｅss=0.25，大于系統(tǒng)所要求的0.05，而，該系統(tǒng)不穩(wěn)定（其單位階躍如下圖），所以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正。當(dāng)時(shí)，單位階躍響應(yīng)程序如下所示：clear;G1=tf([20],[conv([1,1],[0.3,1]),0])G=feedback(G1,1,-1)step(G)單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-1所示:單位階躍響應(yīng)曲線如圖二所示:圖二單位階躍響應(yīng)曲線3.2根軌跡穩(wěn)定性分析根軌跡：指系統(tǒng)開環(huán)傳函的某一參量（一般為增益K）從0變化到∞時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根在s平面上變化而形成的運(yùn)動(dòng)軌跡。系統(tǒng)開環(huán)傳函:1.根據(jù)開環(huán)傳函用MATLAB繪制根軌跡根軌跡程序段如下所示：clear;G=tf(1,[conv([1,1],[0.3,1]),0]);rlocus(G);grid;根軌跡圖如圖三所示：圖三根軌跡2.根據(jù)根軌跡規(guī)則繪制的根軌跡過(guò)程如下：求分離點(diǎn)根據(jù)A’B=B’A0.9*s^2+2.6*s^+1=0解得分離點(diǎn)s=-0.457求漸近線代入數(shù)值得漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)σ=-1.44，k=0,1,2,…n-m-1代入數(shù)值得漸近線與實(shí)軸正方向夾角?=π/3,π,5π/3.用勞斯判據(jù)求解，勞斯表如下：S^30.31S^21.3KS^1(1.3-0.3k)/1.30S^0K由以上數(shù)據(jù)繪制根軌跡3.3頻域指標(biāo)的計(jì)算與MATLAB分析頻域指標(biāo)主要有截止頻率ωc,穿越頻率ωx,相位裕量γ，增益裕量h.用MATLAB求解指標(biāo)及bode圖和奈氏圖繪制：校正前Bode圖和奈氏曲線程序如下所示：clear;G=tf(20,[conv([1,1],[0.3,1]),0]);nyquist(G);figure(2);bode(G);margin(G);Grid校正前Bode圖如圖四所示：圖四校正前Bode圖校正前奈氏圖如圖五所示：圖五校正前奈氏圖校正前奈氏圖包圍（-1，j0），，，,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。4.校正方案的選擇、比較與確定根據(jù)題目，校正后系統(tǒng)的性能指標(biāo)為,。已知系統(tǒng)開環(huán)，為單位負(fù)反饋。當(dāng)系統(tǒng)為單位斜坡信號(hào)輸入時(shí)，,K=20由圖四bode圖知,原系統(tǒng)相位裕量Pm=-31.8小于零,系統(tǒng)不穩(wěn)定,故采用串聯(lián)滯后校正較為合適.取滯后裝置補(bǔ)償裕量△=15°,根據(jù)滯后校正的原理有γ()=γ’+△=45°+15°=60°,從相位特性曲線中測(cè)得相位裕量60°對(duì)應(yīng)的頻率值為=0.425,此即為校正后系統(tǒng)的截止頻率.%求原系統(tǒng)在=0.425處的對(duì)數(shù)幅值L5.校正裝置設(shè)計(jì)5.1參數(shù)計(jì)算clear;G1=tf([20],[conv([1,1],[0.3,1]),0]);%原系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)=0.425;L=20*log10(20/(0.425*sqrt(0.425^2+1)*sqrt(（0.3*0.425）^2+1)));%計(jì)算=0.425時(shí)的幅值beta=10^(L/20);%計(jì)算beta的值T=4/;num=[T,1];den=[beta*T,1];Gc=tf(num,den)beta=42.9619T=9.411Gc=9.412s+1404.3s+15.2校正裝置的選擇選擇無(wú)源校正裝置，設(shè)校正裝置為，校正后裝置為：6.校正后系統(tǒng)分析解得滿足系統(tǒng)性能校正指標(biāo)。6.1時(shí)域性能指標(biāo)計(jì)算與MATLAB分析系統(tǒng)閉環(huán)傳函為：穩(wěn)態(tài)誤差ｅss對(duì)于該系統(tǒng)的I型系統(tǒng)，靜態(tài)誤差系數(shù)分別為Kp=∞，Kv=20,Ka=0單位階躍輸入時(shí)ｅss=1/(1+Kp)=0單位斜坡輸入時(shí)ｅss=1/Kv=1/20單位加速度輸入時(shí)ｅss=1/Ka=∞校正后單位階躍曲線程序如下所示：clear;G=tf(20*[9.412,1],[conv(conv([1,1],[0.3,1]),[404.3,1]),0]);G=feedback(G,1)

step(G)

校正后單位階躍曲線如圖所示：圖六校正后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線6.2根軌跡穩(wěn)定性分析根軌跡：指系統(tǒng)開環(huán)傳函的某一參量（一般為增益K）從0變化到∞時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根在s平面上變化而形成的運(yùn)動(dòng)軌跡。系統(tǒng)開環(huán)傳函為：1.根據(jù)開環(huán)傳函用MATLAB繪制根軌跡校正后根軌跡程序如下所示：clear;G=tf(20*[9.412,1],[conv(conv([1,1],[0.3,1]),[404.3,1]),0]);rlocus(G);grid;校正后根軌跡如圖所示：圖七校正后系統(tǒng)的根軌跡6.3頻域指標(biāo)的計(jì)算與MATLAB分析頻域指標(biāo)主要有截止頻率ωc,穿越頻率ωx,相位裕量γ，增益裕量h.用MATLAB求解指標(biāo)及bode圖繪制：校正后系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻曲線程序如下所示：clear;G=tf(20*[9.412,1],[conv(conv([1,1],[0.3,1]),[404.3,1]),0]);nyquist(G);figure(2);bode(G);margin(G);[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G)GridGm=8.0509Pm=45.6332Wcg=1.6981Wcp=0.4356校正后系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻，相頻曲線圖如圖所示：圖八校正后系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻、相頻特性曲線校正前，校正裝置，校正后系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻曲線程序如下所示：圖九校正前后系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻、相頻特性曲線7.校正前后系統(tǒng)性能指標(biāo)的比較與分析7.1動(dòng)態(tài)指標(biāo)根據(jù)題目，校正后系統(tǒng)的性能指標(biāo)為,。已知系統(tǒng)開環(huán)，為單位負(fù)反饋。當(dāng)系統(tǒng)為單位斜坡信號(hào)輸入時(shí)，,K=20由圖八得7.2靜態(tài)指標(biāo)校正后的靜態(tài)指標(biāo)：該系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，靜態(tài)誤差系數(shù)分別為Kp=∞，Kv=K,Ka=0單位階躍輸入時(shí)ｅss=1/(1+Kp)=0單位斜坡輸入時(shí)ｅss=1/Kv=1/207.3小結(jié)校正后系統(tǒng)超調(diào)量減小，調(diào)節(jié)時(shí)間縮短，上升時(shí)間減小，系統(tǒng)快速性得到改善，由于系統(tǒng)開環(huán)增益不確定，故首先按系統(tǒng)要求將靜態(tài)誤差首先確定得到開環(huán)增益為K=20。校正前相位裕量為，校正后為，符合要求。相位裕量增加，提高了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性；由于相位裕量增加，系統(tǒng)有裕量允許增大其開環(huán)增益，提高了穩(wěn)定性能；系統(tǒng)