事故樹分析方法-FTA講義課件

事故樹分析方法FTA事故樹分析方法FTA第2頁第一部分概述第二部分事故樹的建造及其數(shù)學描述第三部分事故樹的定性分析第四部分事故樹的定量分析第五部分課堂練習第2頁第一部分概述第3頁第一部分

概述第3頁第一部分第4頁一、名稱FTA

FaultTreeAnalysis

事故樹分析故障樹分析失效樹分析第4頁一、名稱FTA二、方法由來及特點

美國貝爾電話實驗室——維森（H.A.Watson）民兵式導彈發(fā)射控制系統(tǒng)的可靠性分析分析事故原因和評價事故風險方法特點演繹方法全面、簡潔、形象直觀定性評價和定量評價二、方法由來及特點美國貝爾電話實驗室——維森（H.A.W目的：找出事故發(fā)生的基本原因和基本原因組合適用范圍：分析事故或設想事故使用方法：由頂上事件用邏輯推導逐步推出基本原因事件資料準備：有關生產(chǎn)工藝及設備性能資料，故障率數(shù)據(jù)人力、時間：專業(yè)人員組成小組，一個小型單元需時一天，效果：可定性及定量，能發(fā)現(xiàn)事先未估計到的原因事件目的：找出事故發(fā)生的基本原因和基本原因組合三、事故樹分析的程序

熟悉系統(tǒng)確定頂上事件修改簡化事故樹建造事故樹調(diào)查事故調(diào)查原因事件收集系統(tǒng)資料定性分析定量分析制定安全措施三、事故樹分析的程序熟悉系統(tǒng)確定頂上事件修改簡化事故樹建造事故樹分析方法-FTA講義課件第9頁第二部分

事故樹的建造及其數(shù)學描述

第9頁第二部分1、事故樹的符號事件符號

頂上事件、中間事件符號，需要進一步往下分析的事件；

基本事件符號，不能再往下分析的事件；

正常事件符號，正常情況下存在的事件；

省略事件，不能或不需要向下分析的事件。一、事故樹的建造1、事故樹的符號一、事故樹的建造或門，表示B1或B2任一事件單獨發(fā)生（輸入）時，A事件都可以發(fā)生（輸出）；

與門，表示B1、B2兩個事件同時發(fā)生（輸入）時，A事件才能發(fā)生（輸出）；

邏輯門符號

或門，表示B1或B2任一事件單獨發(fā)生（輸入）時，A事件都可以條件或門，表示B1或B2任一事件單獨發(fā)生（輸入）時，還必須滿足條件a，A事件才發(fā)生（輸出）；

條件與門，表示B1、B2兩個事件同時發(fā)生（輸入）時，還必須滿足條件a，A事件才發(fā)生（輸出）；

限制門，表示B事件發(fā)生（輸入）且滿足條件a時，A事件才能發(fā)生（輸出）。條件或門，表示B1或B2任一事件單獨發(fā)生（輸入）時，還必須滿

轉(zhuǎn)入符號，表示在別處的部分樹，由該處轉(zhuǎn)入（在三角形內(nèi)標出從何處轉(zhuǎn)入）；

轉(zhuǎn)出符號，表示這部分樹由此處轉(zhuǎn)移至他處（在三角形內(nèi)標出向何處轉(zhuǎn)移）。

轉(zhuǎn)移符號

轉(zhuǎn)移符號2、事故樹的建造方法頂上事件中間事件基本事件直接原因事件可以從以下三個方面考慮：

機械（電器）設備故障或損壞；

人的差錯（操作、管理、指揮）；

環(huán)境不良。2、事故樹的建造方法頂上事件中間事件基本事件直接原因事件可以舉例：對油庫靜電爆炸進行事故樹分析汽油、柴油作為燃料在生產(chǎn)過程中被大量使用，由于汽油和柴油的閃點很低，爆炸極限又處于低值范圍，所以油料一旦泄漏碰到火源，或揮發(fā)后與空氣混合到一定比例遇到火源，就會發(fā)生燃燒爆炸事故。免費獲取更多安全精品資料，請關注微信公眾號〔安全生產(chǎn)管理〕；火源種類較多，有明火、撞擊火花、雷擊火花和靜電火花等。試對靜電火花造成油庫爆炸做一事故樹分析。舉例：對油庫靜電爆炸進行事故樹分析事故樹分析方法-FTA講義課件二、事故樹的數(shù)學描述1、事故樹的結(jié)構函數(shù)結(jié)構函數(shù)——描述系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)。xi=1表示單元i發(fā)生（即元、部件故障）（i=1,2,…,n）0表示單元i不發(fā)生（即元、部件正常）（i=1,2,…,n）y=1表示頂上事件發(fā)生0表示頂上事件不發(fā)生y=Φ(X)或y=Φ(x1,x2,…,xn)Φ(X)——系統(tǒng)的結(jié)構函數(shù)二、事故樹的數(shù)學描述1、事故樹的結(jié)構函數(shù)結(jié)構函數(shù)——描述系統(tǒng)Φ(X)=x1[x3+(x4x5)]+

x2[x4+(x3x5)]Φ(X)=x1[x3+(x4x5)]+x22、結(jié)構函數(shù)的運算規(guī)則①結(jié)合律（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）（A·B）·C＝A·（B·C）②交換律

A＋B＝B＋AA·B＝B·A③分配律

A·（B＋C）＝（A·B）＋（A·C）

A＋（B·C）＝（A＋B）·（A＋C）2、結(jié)構函數(shù)的運算規(guī)則①結(jié)合律④等冪律

A＋A＝AA·A＝A⑤吸收律

A＋A·B＝AA·（A＋B）＝A⑥互補律

A＋A′＝１

A·A′＝０⑦對合律（A′）′＝A⑧德·莫根律（A＋B）′＝A′·B′（A·B）′＝A′＋B′④等冪律練習1：寫出如下事故樹的結(jié)構函數(shù)練習1：寫出如下事故樹的結(jié)構函數(shù)練習2：寫出如下事故樹的結(jié)構函數(shù)練習2：寫出如下事故樹的結(jié)構函數(shù)第23頁第三部分

事故樹的定性分析

第23頁第三部分一、利用布爾代數(shù)化簡事故樹一、利用布爾代數(shù)化簡事故樹等效事故樹等效事故樹練習1：化簡該事故樹，并做出等效圖練習1：化簡該事故樹，并做出等效圖等效事故樹等效事故樹練習2：化簡該事故樹，并做出等效圖練習2：化簡該事故樹，并做出等效圖等效事故樹等效事故樹二、最小割集與最小徑集1、割集和最小割集

割集：事故樹中某些基本事件的集合，當這些基本事件都發(fā)生時，頂上事件必然發(fā)生。如果在某個割集中任意除去一個基本事件就不再是割集了，這樣的割集就稱為最小割集。也就是導致頂上事件發(fā)生的最低限度的基本事件組合。二、最小割集與最小徑集1、割集和最小割集割集：事故樹中2、最小割集的求法行列法

布爾代數(shù)化簡法

行列法行列法是1972年由富賽爾(Fussel)提出的，所以又稱富塞爾法。從頂上事件開始，按邏輯門順序用下面的輸入事件代替上面的輸出事件，逐層代替，直到所有基本事件都代完為止。布爾代數(shù)化簡法事故樹經(jīng)過布爾代數(shù)化簡，得到若干交集的并集，每個交集實際就是一個最小割集。2、最小割集的求法行列法布爾代數(shù)化簡法行用行列法和布爾代數(shù)化簡法求最小割集用行列法和布爾代數(shù)化簡法求最小割集等效事故樹等效事故樹練習：用行列法求該事故樹的最小割集練習：用行列法求該事故樹的最小割集

徑集：事故樹中某些基本事件的集合，當這些基本事件都不發(fā)生時，頂上事件必然不發(fā)生。如果在某個徑集中任意除去一個基本事件就不再是徑集了，這樣的徑集就稱為最小徑集。也就是不能導致頂上事件發(fā)生的最低限度的基本事件組合。3、徑集和最小徑集徑集：事故樹中某些基本事件的集合，當這些基本事件都不發(fā)4、最小徑集的求法最小徑集的求法是將事故樹轉(zhuǎn)化為對偶的成功樹，求成功樹的最小割集即事故樹的最小徑集。4、最小徑集的求法畫出成功樹，求原樹的最小徑集1、畫成功樹2、求成功樹的最小割集3、原事故樹的最小徑集畫出成功樹，求原樹的最小徑集1、畫成功樹成功樹成功樹練習：1、求其最小割集2、畫成功樹3、求成功樹的最小割集4、原事故樹的最小徑集5、畫出以最小割集表示的事故樹的等效圖6、畫出以最小徑集表示的事故樹的等效圖練習：1、求其最小割集成功樹成功樹事故樹分析方法-FTA講義課件5.最小割集和最小徑集在事故樹分析中的作用

（一）最小割集在事故樹分析中的作用

最小割集在事故樹分析中起著非常重要的作用,歸納起來有四個方面:

(1)表示系統(tǒng)的危險性。最小割集的定義明確指出,每一個最小割集都表示頂事件發(fā)生的一種可能,事故樹中有幾個最小割集,頂事件發(fā)生就有幾種可能。從這個意義上講,最小割集越多,說明系統(tǒng)的危險性越大。

(2)表示頂事件發(fā)生的原因組合。事故樹頂事件發(fā)生,必然是某個最小割集中基本事件同時發(fā)生的結(jié)果。一旦發(fā)生事故,就可以方便地知道所有可能發(fā)生事故的途徑,并可以逐步排除非本次事故的最小割集,而較快地查出本次事故的最小割集,這就是導致本次事故的基本事件的組合。顯而易見,掌握了最小割集,對于掌握事故的發(fā)生規(guī)律,調(diào)查事故發(fā)生的原因有很大的幫助。

5.最小割集和最小徑集在事故樹分析中的作用

（一）最小割集在(3)為降低系統(tǒng)的危險性提出控制方向和預防措施。每個最小割集都代表了一種事故模式。由事故樹的最小割集可以直觀地判斷哪種事故模式最危險,哪種次之,哪種可以忽略,以及如何采取措施使事故發(fā)生概率下降。

若某事故樹有三個最小割集,如果不考慮每個基本事件發(fā)生的概率,或者假定各基本事件發(fā)生的概率相同,則只含一個基本事件的最小割集比含有兩個基本事件的最小割集容易發(fā)生;含有兩個基本事件的最小割集比含有五個基本事件的最小割集容易發(fā)生。

(4)利用最小割集可以判定事故樹中基本事件的結(jié)構重要度和方便地計算頂事件發(fā)生的概率。

(3)為降低系統(tǒng)的危險性提出控制方向和預防措施。每個最小割（二）最小徑集在事故樹分析中的作用

(1)表示系統(tǒng)的安全性。最小徑集表明,一個最小徑集中所包含的基本事件都不發(fā)生,就可防止頂事件發(fā)生?？梢?每一個最小徑集都是保證事故樹頂事件不發(fā)生的條件,是采取預防措施,防止發(fā)生事故的一種途徑。從這個意義上來說,最小徑集表示了系統(tǒng)的安全性。

(2)選取確保系統(tǒng)安全的最佳方案。每一個最小徑集都是防止頂事件發(fā)生的一個方案,可以根據(jù)最小徑集中所包含的基本事件個數(shù)的多少、技術上的難易程度、耗費的時間以及投入的資金數(shù)量,來選擇最經(jīng)濟、最有效地控制事故的方案。

(3)利用最小徑集同樣可以判定事故樹中基本事件的結(jié)構重要度和計算頂事件發(fā)生的概率。在事故樹分析中,根據(jù)具體情況,有時應用最小徑集更為方便。就某個系統(tǒng)而言,如果事故樹中與門多,則其最小割集的數(shù)量就少,定性分析最好從最小割集入手。反之,如果事故樹中或門多,則其最小徑集的數(shù)量就少,此時定性分析最好從最小徑集入手,從而可以得到更為經(jīng)濟、有效的結(jié)果。

（二）最小徑集在事故樹分析中的作用

(1)表示系統(tǒng)的第45頁第四部分

事故樹的定量分析

第45頁第四部分一.基本事件的發(fā)生概率(1)系統(tǒng)的單元故障概率

基本事件的發(fā)生概率包括系統(tǒng)的單元(部件或元件)故障概率及人的失誤概率等,在工程上計算時,往往用基本事件發(fā)生的頻率來代替其概率值。

在工程實踐中可以通過系統(tǒng)長期的運行情況統(tǒng)計其正常工作時間、修復時間及故障發(fā)生次數(shù)等原始數(shù)據(jù),就可近似求得系統(tǒng)的單元故障概率。

一.基本事件的發(fā)生概率(1)系統(tǒng)的單元故障概率(2)人的失誤概率

人的失誤是另一種基本事件,系統(tǒng)運行中人的失誤是導致事故發(fā)生的一個重要原因。人的失誤通常是指作業(yè)者實際完成的功能與系統(tǒng)所要求的功能之間的偏差。人的失誤概率通常是指作業(yè)者在一定條件下和規(guī)定時間內(nèi)完成某項規(guī)定功能時出現(xiàn)偏差或失誤的概率,它表示人的失誤的可能性大小,因此,人的失誤概率也就是人的不可靠度。一般根據(jù)人的不可靠度與人的可靠度互補的規(guī)則,獲得人的失誤概率。(2)人的失誤概率

二.頂事件的發(fā)生概率

(1)狀態(tài)枚舉法

頂事件的發(fā)生概率P(T)可用下式定義:

從式

(3-17)可看出:在

n個基本事件兩種狀態(tài)的所有組合中,只有當φp(X)=1時,該組合才對頂事件的發(fā)生概率產(chǎn)生影響。所以在用該式計算時,只需考慮φp(X)=1的所有狀態(tài)組合。首先列出基本事件的狀態(tài)值表,根據(jù)事故樹的結(jié)構求得結(jié)構函數(shù)φp(X)值,最后求出使φp(X)=1的各基本事件對應狀態(tài)的概率積的代數(shù)和,即為頂事件的發(fā)生概率。

二.頂事件的發(fā)生概率(2)最小割集法

事故樹可以用其最小割集的等效樹來表示。這時,頂事件等于最小割集的并集。設某事故樹有是個最小割集:E1、

E2、…、

Er、…、

Ek,則有:

頂事件的發(fā)生概率為：

設各基本事件的發(fā)生概率為:q1、q2、…、

qn,則頂事件的發(fā)生概率為:

(2)最小割集法(3)最小徑集法

由最小徑集的定義可知,只要

k個最小徑集中有一個不發(fā)生,頂事件就不會發(fā)生,則:

即：

故頂事件的發(fā)生概率為：

(3)最小徑集法三、基本計算公式1、邏輯加（或門連接的事件）的概率計算公式P0=g(x1+x2+…+xn)=1－(1－q1)(1－q2)…(1－qn)2、邏輯乘（與門連接的事件）的概率計算公式PA=g(x1·x2·

…·xn)=q1q2…qn三、基本計算公式1、邏輯加（或門連接的事件）的概率計算公式P四、直接分步算法各基本事件的概率分別為：q1=q2=0.01q3=q4=0.02q5=q6=0.03q7=q8=0.04求頂上事件T發(fā)生的概率四、直接分步算法各基本事件的概率分別為：五、利用最小割集計算例：設某事故樹有3個最小割集：{x1,x2},{x3,x4,x5},{x6,x7}。各基本事件發(fā)生概率分別為：q1，q2，…，q7

，求頂上事件發(fā)生概率。畫出等效事故樹用分步計算法計算頂上事件的發(fā)生概率五、利用最小割集計算例：設某事故樹有3個最小割集：{x1等效事故樹該方法適用于各個最小割集中彼此沒有重復的基本事件等效事故樹該方法適用于各個最小割集中彼此沒有重復的基本事件例：設某事故樹有3個最小割集：{x1,x2},{x2,x3,x4},{x2,x5}。各基本事件發(fā)生概率分別為：q1，q2，…，q5

，求頂上事件發(fā)生概率。列出頂上事件發(fā)生概率的表達式用布爾代數(shù)等冪律化簡，消除每個概率積中的重復事件計算頂上事件的發(fā)生概率例：設某事故樹有3個最小割集：{x1,x2},{x六、利用最小徑集計算例：設某事故樹有3個最小徑集：{x1,x2},{x3,x4,x5},{x6,x7}。各基本事件發(fā)生概率分別為：q1，q2，…，q7

，求頂上事件發(fā)生概率。畫出等效事故樹用分步計算法計算頂上事件的發(fā)生概率六、利用最小徑集計算例：設某事故樹有3個最小徑集：{x1等效事故樹該方法適用于各個最小徑集中彼此沒有重復的基本事件等效事故樹該方法適用于各個最小徑集中彼此沒有重復的基本事件事故樹分析方法-FTA講義課件事故樹分析方法-FTA講義課件

求圖

3-14成功樹的最小割集為:{X1′,X3′},{X1′,X5′},{X3′,X4′},{X2′,X4′,X5′},

所以圖

3-12事故樹的最小徑集為:{X1,X3},{X1,X5},{X3,X4},{X2,X4,X5}。

求圖3-14成功樹的最小割集為:例

以圖3-12事故樹為例,試用最小割集法、最小徑集法計算頂事件的發(fā)生概率。

解:該事故樹有三個最小割集:

E1={X1,X2,X3,};

E2={X1,X4};

E3={X3,X5}

設各基本事件的發(fā)生概率為:

q1=0.01;q2=0.02;q3=0.03;q4=0.04;q5=0.05

由式(3-18)得頂事件的發(fā)生概率:

P(T)=q1q2q3+q1q4+q3q5-q1q2q3q4-q1q2q3q4q5-q1q3q4q5-q1q2q3q5q3+q1q2q4q3q5

代人各基本事件的發(fā)生概率得

P(T)=0.001904872。

例以圖3-12事故樹為例,試用最小割集法、最小徑集法計

事故樹有四個最小徑集:

P1={X1,X3,};

P2={X1,X5};

P3={X3,X4};P3={X2,X4,X5}

設各基本事件的發(fā)生概率為:

q1=0.01;q2=0.02;q3=0.03;q4=0.04;q5=0.05

由式

(3-19)得頂事件的發(fā)生概率:

P(T)=1-[(1-q1)(1-q3)+(1-q1)(1-q5)+(1-q3)(1-q4)+(1-q2)(1-q4)(1-q5)]+(1-q1)(1-q3)(1-q5)+(1-q1)(1-q3)(1-q4)+(1-q1)(1-q3)(1-q5)

+(1-q1)(1-q3)(1-q4)+(1-q1)(1-q2)(1-q4)(1-q5)+(1-q2)(1-q3)(1-q4)(1-q5)-(1-q1)(1-q2)(1-q3)(1-q4)(1-q5)

=0.001904872

事故樹有四個最小徑集:

P1={X1,X3,};七.頂事件發(fā)生概率的近似計算

4化相交集為不交集求頂上事件發(fā)生概率

某事故樹有k個最小割集:El,E2,…

,Er,…

,EK,一般情況下它們是相交的,即最小割集之間可能含有相同的基本事件。由文氏圖可以看出,ErUEs為相交集合,Er+Er’Es

為不相交集合,如圖3-16所示。

七.頂事件發(fā)生概率的近似計算

4化相交集為不交集求頂上事件亦即

ErUEs=Er+Er’Es

(3-20)

式中U--集合并運算;

+--不交和運算。

所以有:

P(ErUEs)=P(Er)+P(Er’Es)

由式

(3-20)可以推廣到一般式:

當求出一個事故樹的最小割集后,可直接運用布爾代數(shù)的運算定律及式(3-21)將相交和化為不交和。但當事故樹的結(jié)構比較復雜時,利用這種直接不交化算法還是相當煩瑣。而用以下不交積之和定理可以簡化計算,特別是當事故樹的最小割集彼此間有重復事件時更具優(yōu)越性。

亦即ErUEs=Er+Er’Es(3-20)不交積之和定理:

命題

1集合Er和Es如不包含共同元素,則應

Es可用不交化規(guī)則直接展開。

命題2若集合Er和Es包含共同元素,則

式中,Er←s表示Er中有的而Es中沒有的元素的布爾積。

命題3若集合Er和Et包含共同元素,Es和Et也包含共同元素,則:

命題4

若集合Er和Et包含共同元素,Es和Et也包含共同元素,而且Er←tсEs←t,則：

不交積之和定理:

命題1集合Er和Es如

例

以圖3-12事故樹為例,用不交積之和定理進行不交化運算,計算頂事件的發(fā)生概率。

解：事故樹的最小割集為:

根據(jù)式(3-21)和命題1、命題3,得:

設各基本事件的發(fā)生概率同前,則頂事件的發(fā)生概率為:

P(T)

=q1q4+(1-q1)q3q5+q1q3(1-q4)q5+q1q2q3(1-q4)(1-q5)

=0.001904872

與前面介紹的三種精確算法相比,該法要簡單得多。讀者也可與直接不交化算法比較其運算過程。

例以圖3-12事故樹為例,用不交積之和定理進行不交化頂事件發(fā)生概率的近似計算

如前所述,按式(3-１8)和(3-19)計算頂事件發(fā)生概率的精確解。當事故樹中的最小割集較多時會發(fā)生組合爆炸問題,即使用直接不交化算法或不交積之和定理將相交和化為不交和,計算量也是相當大的。但在許多工程問題中,這種精確計算是不必要的,這是因為統(tǒng)計得到的基本數(shù)據(jù)往往是不很精確的,因此,用基本事件的數(shù)據(jù)計算頂事件發(fā)生概率值時精確計算沒有實際意義。所以,實際計算中多采用近似算法。

⑴最小割集逼近法:

在式

(3-18)中,設:

頂事件發(fā)生概率的近似計算

如前所述,按式(3-１8則得到用最小割集求頂事件發(fā)生概率的逼近公式,即：

式

(3-22)中的F1，F(xiàn)1-F2，F(xiàn)1-F2+F3，……等,依此給出了頂事件發(fā)生概率P(T)的上限和下限,可根據(jù)需要求出任意精確度的概率上、下限。

則得到用最小割集求頂事件發(fā)生概率的逼近公式,即：

用最小割集逼近法求解[例3-8]。

由式(3-22)可得:

用最小割集逼近法求解[例3-8]。

由式(

頂事件發(fā)生概率近似計算及相對誤差

由表可知,當以F1作為頂事件發(fā)生概率時,誤差只有0.059‰;以F1-F2作為頂事件發(fā)生概率時,誤差僅有0.0006299‰

。實際應用中,以F1(稱作首項近似法

)或F1-F2作為頂事件發(fā)生概率的近似值,就可達到基本精度要求。

頂事件發(fā)生概率近似計算及相對誤差由表可知,當以F

⑵最小徑集逼近法。與最小割集法相似,利用最小徑集也可以求得頂事件發(fā)生概率的上、下限。在式(3-19)中,設：

⑵最小徑集逼近法。與最小割集法相似,利用最小徑集也可以求則：P(T)≥1-S1

P(T)≤1-S1+S2

……

即:

1-S1≤P(T)≤1-S1+S2

(3-23)

S1+S2≥P(T)≥1-S1+S2-S3

……

式

(3-23)中的1-S1,1-S1+S2,1-S1+S2-S3,……等,依次給出了頂事件發(fā)生概率的上、下限。從理論上講,式(3-22)和式(3-23)的上、下限數(shù)列都是單調(diào)無限收斂于P(T)的,但是在實際應用中,因基本事件的發(fā)生概率較小,而應當采用最小割集逼近法,以得到較精確的計算結(jié)果。

則：P(T)≥1-S1

P(T)≤1-S1+

(3)平均近似法。為了使近似算法接近精確值,計算時保留式

(3-18)中第一、二項,并取第二項的1/2值,即:

這種算法,稱為平均近似法。

(4)獨立事件近似法。若最小割集Er(r=1,2,…

,k)相互獨立,可以證明其對立事件E/r也是獨立事件,則有:

對于式(3-25),由于Xi=O(不發(fā)生

)的概率接近于1,故不適用于最小徑集的計算,否則誤差較大。

(3)平均近似法。為了使近似算法接近精確值,計算時保八.基本事件的結(jié)構重要度

一個基本事件對頂事件發(fā)生的影響大小稱為該基本事件的重要度。重要度分析在系統(tǒng)的事故預防、事故評價和安全性設計等方面有著重要的作用。

事故樹中各基本事件的發(fā)生對頂事件的發(fā)生有著程度不同的影響,這種影響主要取決于兩個因素,即各基本事件發(fā)生概率的大小以及各基本事件在事故樹模型結(jié)構中處于何種位置。為了明確最易導致頂事件發(fā)生的事件,以便分出輕重緩急采取有效措施,控制事故的發(fā)生,必須對基本事件進行重要度分析。

八.基本事件的結(jié)構重要度一個基本事件對頂事件發(fā)生的影一、基本事件的結(jié)構重要度

如不考慮各基本事件發(fā)生的難易程度,或假設各基本事件的發(fā)生概率相等,僅從事故樹的結(jié)構上研究各基本事件對頂事件的影響程度,稱為結(jié)構重要度分析,并用基本事件的結(jié)構重要度系數(shù)、基本事件割集重要度系數(shù)判定其影響大小。

1.基本事件的結(jié)構重要度系數(shù)

事故樹分析中,只考慮對頂事件有影響的情況,即當事故樹中某個基本事件的狀態(tài)由不發(fā)生變?yōu)榘l(fā)生,除基本事件以外的其余基本事件(j=1,2,…

i-1,i+1,…

,n)的狀態(tài)保持不變時,頂事件狀態(tài)也由不發(fā)生變?yōu)榘l(fā)生的情況。用結(jié)構函數(shù)表示為:

φ(0i,Xj)=0;φ(1i,Xj)=1;

φ(1i,Xj)─φ(0i,Xj)=1;

一、基本事件的結(jié)構重要度

如不考慮各基本事件發(fā)生的

此時,基本事件Xi發(fā)生直接引起頂事件發(fā)生,基本事件Xi這一狀態(tài)所對應的割集叫“危險割集”。若改變除基本事件Xi以外的所有基本事件的狀態(tài),并取不同的組合時,基本事件Xi的危險割集的總數(shù)為：

式中

n--事故樹中基本事件的個數(shù);

2n-1--基本事件

Xi(i≠j))狀態(tài)組合數(shù);

p--基本事件的狀態(tài)組合序號;

Xjp--2n-1狀態(tài)組合中第

p個狀態(tài);

0i--基本事件不發(fā)生的狀態(tài)值;

li--基本事件發(fā)生的狀態(tài)值。

顯然,nф(i)的值愈大,說明基本事件Xi對頂事件發(fā)生的影響愈大,其重要度愈高。

此時,基本事件Xi發(fā)生直接引起頂事件發(fā)生,基本事

基本事件元的結(jié)構重要度系數(shù)Iφ(i)定義為基本事件的危險割集的總數(shù)nф(i)與2n-1個狀態(tài)組合數(shù)的比值,即:

基本事件元的結(jié)構重要度系數(shù)Iφ(i)定義為基本事件2.基本事件的割集重要度系數(shù)

用事故樹的最小割集可以表示其等效事故樹。在最小割集所表示的等效事故樹中,每一個最小割集對頂事件發(fā)生的影響同樣重要,而且同一個最小割集中的每一個基本事件對該最小割集發(fā)生的影響也同樣重要

設某一事故樹有k個最小割集,每個最小割集記作Er(r=1,2……,k),則

1/k表示單位最小割集的重要系數(shù);第

r個最小割集Er中含有mr(Xi€Er)個基本事件,則1/mr(Xi€Er)表示基本事件Xi的單位割集重要系數(shù)。

設基本事件Xi的割集重要系數(shù)為Ik(i),則:

2.基本事件的割集重要度系數(shù)

用事故樹的最小割集

利用基本事件的結(jié)構重要度系數(shù)可以較準確地判定基本事件的結(jié)構重要度順序,但較煩瑣。一般可以利用事故樹的最小割集或最小徑集,按以下準則定性判斷基本事件的結(jié)構重要度。

(1)單事件最小割(徑)集中的基本事件結(jié)構重要度最大。

(2)僅在同一最小割(徑)集中出現(xiàn)的所有基本事件結(jié)構重要度相等。

(3)兩個基本事件僅出現(xiàn)在基本事件個數(shù)相等的若干最小割(徑)集中,這時在不同最小割

(徑)集中出現(xiàn)次數(shù)相等的基本事件其結(jié)構重要度相等;出現(xiàn)次數(shù)多的結(jié)構重要度大,出現(xiàn)次數(shù)少的結(jié)構重要度小。

利用基本事件的結(jié)構重要度系數(shù)可以較準確地判定基本事件(4)兩個基本事件僅出現(xiàn)在基本事件個數(shù)不等的若干最小割(徑)集中。在這種情況下,基本事件結(jié)構重要度大小依下列不同條件而定:

①若它們重復在各最小割(徑)集中出現(xiàn)的次數(shù)相等,則少事件最小割(徑)集中出現(xiàn)的基本事件結(jié)構重要度大;

②在少事件最小割(徑)集中出現(xiàn)次數(shù)少的,與多事件最小割(徑)集中出現(xiàn)次數(shù)多的基本事件比較,應用下式計算近似判別值:

式中

I(i)--基本事件

Xi

結(jié)構重要系數(shù)的近似判別值;

ni--基本事件Xi所屬最小割(徑)集包含的基本事件數(shù)。

(4)兩個基本事件僅出現(xiàn)在基本事件個數(shù)不等的若干最小割(徑

二、基本事件的概率重要度

基本事件的結(jié)構重要度分析只是按事故樹的結(jié)構分析各基本事件對頂事件的影響程度,所以,還應考慮各基本事件發(fā)生概率對頂事件發(fā)生概率的影響,即對事故樹進行概率重要度分析。

事故樹的概率重要度分析是依靠各基本事件的概率重要系數(shù)大小進行定量分析。所謂概率重要度分析,它表示第

i個基本事件發(fā)生概率的變化引起頂事件發(fā)生概率變化的程度。由于頂事件發(fā)生概率函數(shù)是

n個基本事件發(fā)生概率的多重線性函數(shù),所以,對自變量qi求一次偏導,即可得到該基本事件的概率重要度系數(shù)Ig(i)為:

式中P(T)--頂事件發(fā)生概率;

qi--第

i個基本事件的發(fā)生概率。

二、基本事件的概率重要度

基本事件的結(jié)構重要度分

利用上式求出各基本事件的概率重要度系數(shù),可確定降低哪個基本事件的概率能迅速有效地降低頂事件的發(fā)生概率。

概率重要度有一個重要性質(zhì):若所有基本事件的發(fā)生概率都等于

1/2,則基本事件的概率重要度系數(shù)等于其結(jié)構重要度系數(shù),即:

Ig(i)|qi=1/2

=Iφ(I)(3-31)

這樣,在分析結(jié)構重要度時,可用概率重要度系數(shù)的計算公式求取結(jié)構重要度系數(shù)。

利用上式求出各基本事件的概率重要度系數(shù),可確定降低哪

三、基本事件的關鍵重要度

當各基本事件發(fā)生概率不等時,一般情況下,改變概率大的基本事件比改變概率小的基本事件容易,但基本事件的概率重要度系數(shù)并未反映這一事實,因而它不能從本質(zhì)上反映各基本事件在事故樹中的重要程度。關鍵重要度分析,它表示第

i個基本事件發(fā)生概率的變化率引起頂事件發(fā)生概率的變化率,因此,它比概率重要度更合理更具有實際意義。其表達式為:

式中Igc(i)--第i個基本事件的關鍵重要度系數(shù);

Ig(i)--第i個基本事件的概率重要度系數(shù);

P(T)--頂事件發(fā)生概率;

qi--第i個基本事件的發(fā)生概率。

三、基本事件的關鍵重要度

當各基本事件發(fā)生概率第84頁第五部分

課堂練習第84頁第五部分蒸汽鍋爐缺水爆炸事故樹分析要求：畫出事故樹和成功樹，求成功樹的最小徑集，求結(jié)構重要度，給出防止事故的方案蒸汽鍋爐缺水爆炸事故樹分析要求：畫出事故樹和成功樹，求成功樹事故樹事故樹成功樹成功樹事故樹分析方法FTA事故樹分析方法FTA第89頁第一部分概述第二部分事故樹的建造及其數(shù)學描述第三部分事故樹的定性分析第四部分事故樹的定量分析第五部分課堂練習第2頁第一部分概述第90頁第一部分

概述第3頁第一部分第91頁一、名稱FTA

FaultTreeAnalysis

事故樹分析故障樹分析失效樹分析第4頁一、名稱FTA二、方法由來及特點

美國貝爾電話實驗室——維森（H.A.Watson）民兵式導彈發(fā)射控制系統(tǒng)的可靠性分析分析事故原因和評價事故風險方法特點演繹方法全面、簡潔、形象直觀定性評價和定量評價二、方法由來及特點美國貝爾電話實驗室——維森（H.A.W目的：找出事故發(fā)生的基本原因和基本原因組合適用范圍：分析事故或設想事故使用方法：由頂上事件用邏輯推導逐步推出基本原因事件資料準備：有關生產(chǎn)工藝及設備性能資料，故障率數(shù)據(jù)人力、時間：專業(yè)人員組成小組，一個小型單元需時一天，效果：可定性及定量，能發(fā)現(xiàn)事先未估計到的原因事件目的：找出事故發(fā)生的基本原因和基本原因組合三、事故樹分析的程序

熟悉系統(tǒng)確定頂上事件修改簡化事故樹建造事故樹調(diào)查事故調(diào)查原因事件收集系統(tǒng)資料定性分析定量分析制定安全措施三、事故樹分析的程序熟悉系統(tǒng)確定頂上事件修改簡化事故樹建造事故樹分析方法-FTA講義課件第96頁第二部分

事故樹的建造及其數(shù)學描述

第9頁第二部分1、事故樹的符號事件符號

頂上事件、中間事件符號，需要進一步往下分析的事件；

基本事件符號，不能再往下分析的事件；

正常事件符號，正常情況下存在的事件；

省略事件，不能或不需要向下分析的事件。一、事故樹的建造1、事故樹的符號一、事故樹的建造或門，表示B1或B2任一事件單獨發(fā)生（輸入）時，A事件都可以發(fā)生（輸出）；

與門，表示B1、B2兩個事件同時發(fā)生（輸入）時，A事件才能發(fā)生（輸出）；

邏輯門符號

或門，表示B1或B2任一事件單獨發(fā)生（輸入）時，A事件都可以條件或門，表示B1或B2任一事件單獨發(fā)生（輸入）時，還必須滿足條件a，A事件才發(fā)生（輸出）；

條件與門，表示B1、B2兩個事件同時發(fā)生（輸入）時，還必須滿足條件a，A事件才發(fā)生（輸出）；

限制門，表示B事件發(fā)生（輸入）且滿足條件a時，A事件才能發(fā)生（輸出）。條件或門，表示B1或B2任一事件單獨發(fā)生（輸入）時，還必須滿

轉(zhuǎn)入符號，表示在別處的部分樹，由該處轉(zhuǎn)入（在三角形內(nèi)標出從何處轉(zhuǎn)入）；

轉(zhuǎn)出符號，表示這部分樹由此處轉(zhuǎn)移至他處（在三角形內(nèi)標出向何處轉(zhuǎn)移）。

轉(zhuǎn)移符號

轉(zhuǎn)移符號2、事故樹的建造方法頂上事件中間事件基本事件直接原因事件可以從以下三個方面考慮：

機械（電器）設備故障或損壞；

人的差錯（操作、管理、指揮）；

環(huán)境不良。2、事故樹的建造方法頂上事件中間事件基本事件直接原因事件可以舉例：對油庫靜電爆炸進行事故樹分析汽油、柴油作為燃料在生產(chǎn)過程中被大量使用，由于汽油和柴油的閃點很低，爆炸極限又處于低值范圍，所以油料一旦泄漏碰到火源，或揮發(fā)后與空氣混合到一定比例遇到火源，就會發(fā)生燃燒爆炸事故。免費獲取更多安全精品資料，請關注微信公眾號〔安全生產(chǎn)管理〕；火源種類較多，有明火、撞擊火花、雷擊火花和靜電火花等。試對靜電火花造成油庫爆炸做一事故樹分析。舉例：對油庫靜電爆炸進行事故樹分析事故樹分析方法-FTA講義課件二、事故樹的數(shù)學描述1、事故樹的結(jié)構函數(shù)結(jié)構函數(shù)——描述系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)。xi=1表示單元i發(fā)生（即元、部件故障）（i=1,2,…,n）0表示單元i不發(fā)生（即元、部件正常）（i=1,2,…,n）y=1表示頂上事件發(fā)生0表示頂上事件不發(fā)生y=Φ(X)或y=Φ(x1,x2,…,xn)Φ(X)——系統(tǒng)的結(jié)構函數(shù)二、事故樹的數(shù)學描述1、事故樹的結(jié)構函數(shù)結(jié)構函數(shù)——描述系統(tǒng)Φ(X)=x1[x3+(x4x5)]+

x2[x4+(x3x5)]Φ(X)=x1[x3+(x4x5)]+x22、結(jié)構函數(shù)的運算規(guī)則①結(jié)合律（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）（A·B）·C＝A·（B·C）②交換律

A＋B＝B＋AA·B＝B·A③分配律

A·（B＋C）＝（A·B）＋（A·C）

A＋（B·C）＝（A＋B）·（A＋C）2、結(jié)構函數(shù)的運算規(guī)則①結(jié)合律④等冪律

A＋A＝AA·A＝A⑤吸收律

A＋A·B＝AA·（A＋B）＝A⑥互補律

A＋A′＝１

A·A′＝０⑦對合律（A′）′＝A⑧德·莫根律（A＋B）′＝A′·B′（A·B）′＝A′＋B′④等冪律練習1：寫出如下事故樹的結(jié)構函數(shù)練習1：寫出如下事故樹的結(jié)構函數(shù)練習2：寫出如下事故樹的結(jié)構函數(shù)練習2：寫出如下事故樹的結(jié)構函數(shù)第110頁第三部分

事故樹的定性分析

第23頁第三部分一、利用布爾代數(shù)化簡事故樹一、利用布爾代數(shù)化簡事故樹等效事故樹等效事故樹練習1：化簡該事故樹，并做出等效圖練習1：化簡該事故樹，并做出等效圖等效事故樹等效事故樹練習2：化簡該事故樹，并做出等效圖練習2：化簡該事故樹，并做出等效圖等效事故樹等效事故樹二、最小割集與最小徑集1、割集和最小割集

割集：事故樹中某些基本事件的集合，當這些基本事件都發(fā)生時，頂上事件必然發(fā)生。如果在某個割集中任意除去一個基本事件就不再是割集了，這樣的割集就稱為最小割集。也就是導致頂上事件發(fā)生的最低限度的基本事件組合。二、最小割集與最小徑集1、割集和最小割集割集：事故樹中2、最小割集的求法行列法

布爾代數(shù)化簡法

行列法行列法是1972年由富賽爾(Fussel)提出的，所以又稱富塞爾法。從頂上事件開始，按邏輯門順序用下面的輸入事件代替上面的輸出事件，逐層代替，直到所有基本事件都代完為止。布爾代數(shù)化簡法事故樹經(jīng)過布爾代數(shù)化簡，得到若干交集的并集，每個交集實際就是一個最小割集。2、最小割集的求法行列法布爾代數(shù)化簡法行用行列法和布爾代數(shù)化簡法求最小割集用行列法和布爾代數(shù)化簡法求最小割集等效事故樹等效事故樹練習：用行列法求該事故樹的最小割集練習：用行列法求該事故樹的最小割集

徑集：事故樹中某些基本事件的集合，當這些基本事件都不發(fā)生時，頂上事件必然不發(fā)生。如果在某個徑集中任意除去一個基本事件就不再是徑集了，這樣的徑集就稱為最小徑集。也就是不能導致頂上事件發(fā)生的最低限度的基本事件組合。3、徑集和最小徑集徑集：事故樹中某些基本事件的集合，當這些基本事件都不發(fā)4、最小徑集的求法最小徑集的求法是將事故樹轉(zhuǎn)化為對偶的成功樹，求成功樹的最小割集即事故樹的最小徑集。4、最小徑集的求法畫出成功樹，求原樹的最小徑集1、畫成功樹2、求成功樹的最小割集3、原事故樹的最小徑集畫出成功樹，求原樹的最小徑集1、畫成功樹成功樹成功樹練習：1、求其最小割集2、畫成功樹3、求成功樹的最小割集4、原事故樹的最小徑集5、畫出以最小割集表示的事故樹的等效圖6、畫出以最小徑集表示的事故樹的等效圖練習：1、求其最小割集成功樹成功樹事故樹分析方法-FTA講義課件5.最小割集和最小徑集在事故樹分析中的作用

（一）最小割集在事故樹分析中的作用

最小割集在事故樹分析中起著非常重要的作用,歸納起來有四個方面:

(1)表示系統(tǒng)的危險性。最小割集的定義明確指出,每一個最小割集都表示頂事件發(fā)生的一種可能,事故樹中有幾個最小割集,頂事件發(fā)生就有幾種可能。從這個意義上講,最小割集越多,說明系統(tǒng)的危險性越大。

(2)表示頂事件發(fā)生的原因組合。事故樹頂事件發(fā)生,必然是某個最小割集中基本事件同時發(fā)生的結(jié)果。一旦發(fā)生事故,就可以方便地知道所有可能發(fā)生事故的途徑,并可以逐步排除非本次事故的最小割集,而較快地查出本次事故的最小割集,這就是導致本次事故的基本事件的組合。顯而易見,掌握了最小割集,對于掌握事故的發(fā)生規(guī)律,調(diào)查事故發(fā)生的原因有很大的幫助。

5.最小割集和最小徑集在事故樹分析中的作用

（一）最小割集在(3)為降低系統(tǒng)的危險性提出控制方向和預防措施。每個最小割集都代表了一種事故模式。由事故樹的最小割集可以直觀地判斷哪種事故模式最危險,哪種次之,哪種可以忽略,以及如何采取措施使事故發(fā)生概率下降。

若某事故樹有三個最小割集,如果不考慮每個基本事件發(fā)生的概率,或者假定各基本事件發(fā)生的概率相同,則只含一個基本事件的最小割集比含有兩個基本事件的最小割集容易發(fā)生;含有兩個基本事件的最小割集比含有五個基本事件的最小割集容易發(fā)生。

(4)利用最小割集可以判定事故樹中基本事件的結(jié)構重要度和方便地計算頂事件發(fā)生的概率。

(3)為降低系統(tǒng)的危險性提出控制方向和預防措施。每個最小割（二）最小徑集在事故樹分析中的作用

(1)表示系統(tǒng)的安全性。最小徑集表明,一個最小徑集中所包含的基本事件都不發(fā)生,就可防止頂事件發(fā)生?？梢?每一個最小徑集都是保證事故樹頂事件不發(fā)生的條件,是采取預防措施,防止發(fā)生事故的一種途徑。從這個意義上來說,最小徑集表示了系統(tǒng)的安全性。

(2)選取確保系統(tǒng)安全的最佳方案。每一個最小徑集都是防止頂事件發(fā)生的一個方案,可以根據(jù)最小徑集中所包含的基本事件個數(shù)的多少、技術上的難易程度、耗費的時間以及投入的資金數(shù)量,來選擇最經(jīng)濟、最有效地控制事故的方案。

(3)利用最小徑集同樣可以判定事故樹中基本事件的結(jié)構重要度和計算頂事件發(fā)生的概率。在事故樹分析中,根據(jù)具體情況,有時應用最小徑集更為方便。就某個系統(tǒng)而言,如果事故樹中與門多,則其最小割集的數(shù)量就少,定性分析最好從最小割集入手。反之,如果事故樹中或門多,則其最小徑集的數(shù)量就少,此時定性分析最好從最小徑集入手,從而可以得到更為經(jīng)濟、有效的結(jié)果。

（二）最小徑集在事故樹分析中的作用

(1)表示系統(tǒng)的第132頁第四部分

事故樹的定量分析

第45頁第四部分一.基本事件的發(fā)生概率(1)系統(tǒng)的單元故障概率

基本事件的發(fā)生概率包括系統(tǒng)的單元(部件或元件)故障概率及人的失誤概率等,在工程上計算時,往往用基本事件發(fā)生的頻率來代替其概率值。

在工程實踐中可以通過系統(tǒng)長期的運行情況統(tǒng)計其正常工作時間、修復時間及故障發(fā)生次數(shù)等原始數(shù)據(jù),就可近似求得系統(tǒng)的單元故障概率。

一.基本事件的發(fā)生概率(1)系統(tǒng)的單元故障概率(2)人的失誤概率

人的失誤是另一種基本事件,系統(tǒng)運行中人的失誤是導致事故發(fā)生的一個重要原因。人的失誤通常是指作業(yè)者實際完成的功能與系統(tǒng)所要求的功能之間的偏差。人的失誤概率通常是指作業(yè)者在一定條件下和規(guī)定時間內(nèi)完成某項規(guī)定功能時出現(xiàn)偏差或失誤的概率,它表示人的失誤的可能性大小,因此,人的失誤概率也就是人的不可靠度。一般根據(jù)人的不可靠度與人的可靠度互補的規(guī)則,獲得人的失誤概率。(2)人的失誤概率

二.頂事件的發(fā)生概率

(1)狀態(tài)枚舉法

頂事件的發(fā)生概率P(T)可用下式定義:

從式

(3-17)可看出:在

n個基本事件兩種狀態(tài)的所有組合中,只有當φp(X)=1時,該組合才對頂事件的發(fā)生概率產(chǎn)生影響。所以在用該式計算時,只需考慮φp(X)=1的所有狀態(tài)組合。首先列出基本事件的狀態(tài)值表,根據(jù)事故樹的結(jié)構求得結(jié)構函數(shù)φp(X)值,最后求出使φp(X)=1的各基本事件對應狀態(tài)的概率積的代數(shù)和,即為頂事件的發(fā)生概率。

二.頂事件的發(fā)生概率(2)最小割集法

事故樹可以用其最小割集的等效樹來表示。這時,頂事件等于最小割集的并集。設某事故樹有是個最小割集:E1、

E2、…、

Er、…、

Ek,則有:

頂事件的發(fā)生概率為：

設各基本事件的發(fā)生概率為:q1、q2、…、

qn,則頂事件的發(fā)生概率為:

(2)最小割集法(3)最小徑集法

由最小徑集的定義可知,只要

k個最小徑集中有一個不發(fā)生,頂事件就不會發(fā)生,則:

即：

故頂事件的發(fā)生概率為：

(3)最小徑集法三、基本計算公式1、邏輯加（或門連接的事件）的概率計算公式P0=g(x1+x2+…+xn)=1－(1－q1)(1－q2)…(1－qn)2、邏輯乘（與門連接的事件）的概率計算公式PA=g(x1·x2·

…·xn)=q1q2…qn三、基本計算公式1、邏輯加（或門連接的事件）的概率計算公式P四、直接分步算法各基本事件的概率分別為：q1=q2=0.01q3=q4=0.02q5=q6=0.03q7=q8=0.04求頂上事件T發(fā)生的概率四、直接分步算法各基本事件的概率分別為：五、利用最小割集計算例：設某事故樹有3個最小割集：{x1,x2},{x3,x4,x5},{x6,x7}。各基本事件發(fā)生概率分別為：q1，q2，…，q7

，求頂上事件發(fā)生概率。畫出等效事故樹用分步計算法計算頂上事件的發(fā)生概率五、利用最小割集計算例：設某事故樹有3個最小割集：{x1等效事故樹該方法適用于各個最小割集中彼此沒有重復的基本事件等效事故樹該方法適用于各個最小割集中彼此沒有重復的基本事件例：設某事故樹有3個最小割集：{x1,x2},{x2,x3,x4},{x2,x5}。各基本事件發(fā)生概率分別為：q1，q2，…，q5

，求頂上事件發(fā)生概率。列出頂上事件發(fā)生概率的表達式用布爾代數(shù)等冪律化簡，消除每個概率積中的重復事件計算頂上事件的發(fā)生概率例：設某事故樹有3個最小割集：{x1,x2},{x六、利用最小徑集計算例：設某事故樹有3個最小徑集：{x1,x2},{x3,x4,x5},{x6,x7}。各基本事件發(fā)生概率分別為：q1，q2，…，q7

，求頂上事件發(fā)生概率。畫出等效事故樹用分步計算法計算頂上事件的發(fā)生概率六、利用最小徑集計算例：設某事故樹有3個最小徑集：{x1等效事故樹該方法適用于各個最小徑集中彼此沒有重復的基本事件等效事故樹該方法適用于各個最小徑集中彼此沒有重復的基本事件事故樹分析方法-FTA講義課件事故樹分析方法-FTA講義課件

求圖

3-14成功樹的最小割集為:{X1′,X3′},{X1′,X5′},{X3′,X4′},{X2′,X4′,X5′},

所以圖

3-12事故樹的最小徑集為:{X1,X3},{X1,X5},{X3,X4},{X2,X4,X5}。

求圖3-14成功樹的最小割集為:例

以圖3-12事故樹為例,試用最小割集法、最小徑集法計算頂事件的發(fā)生概率。

解:該事故樹有三個最小割集:

E1={X1,X2,X3,};

E2={X1,X4};

E3={X3,X5}

設各基本事件的發(fā)生概率為:

q1=0.01;q2=0.02;q3=0.03;q4=0.04;q5=0.05

由式(3-18)得頂事件的發(fā)生概率:

P(T)=q1q2q3+q1q4+q3q5-q1q2q3q4-q1q2q3q4q5-q1q3q4q5-q1q2q3q5q3+q1q2q4q3q5

代人各基本事件的發(fā)生概率得

P(T)=0.001904872。

例以圖3-12事故樹為例,試用最小割集法、最小徑集法計

事故樹有四個最小徑集:

P1={X1,X3,};

P2={X1,X5};

P3={X3,X4};P3={X2,X4,X5}

設各基本事件的發(fā)生概率為:

q1=0.01;q2=0.02;q3=0.03;q4=0.04;q5=0.05

由式

(3-19)得頂事件的發(fā)生概率:

P(T)=1-[(1-q1)(1-q3)+(1-q1)(1-q5)+(1-q3)(1-q4)+(1-q2)(1-q4)(1-q5)]+(1-q1)(1-q3)(1-q5)+(1-q1)(1-q3)(1-q4)+(1-q1)(1-q3)(1-q5)

+(1-q1)(1-q3)(1-q4)+(1-q1)(1-q2)(1-q4)(1-q5)+(1-q2)(1-q3)(1-q4)(1-q5)-(1-q1)(1-q2)(1-q3)(1-q4)(1-q5)

=0.001904872

事故樹有四個最小徑集:

P1={X1,X3,};七.頂事件發(fā)生概率的近似計算

4化相交集為不交集求頂上事件發(fā)生概率

某事故樹有k個最小割集:El,E2,…

,Er,…

,EK,一般情況下它們是相交的,即最小割集之間可能含有相同的基本事件。由文氏圖可以看出,ErUEs為相交集合,Er+Er’Es

為不相交集合,如圖3-16所示。

七.頂事件發(fā)生概率的近似計算

4化相交集為不交集求頂上事件亦即

ErUEs=Er+Er’Es

(3-20)

式中U--集合并運算;

+--不交和運算。

所以有:

P(ErUEs)=P(Er)+P(Er’Es)

由式

(3-20)可以推廣到一般式:

當求出一個事故樹的最小割集后,可直接運用布爾代數(shù)的運算定律及式(3-21)將相交和化為不交和。但當事故樹的結(jié)構比較復雜時,利用這種直接不交化算法還是相當煩瑣。而用以下不交積之和定理可以簡化計算,特別是當事故樹的最小割集彼此間有重復事件時更具優(yōu)越性。

亦即ErUEs=Er+Er’Es(3-20)不交積之和定理:

命題

1集合Er和Es如不包含共同元素,則應

Es可用不交化規(guī)則直接展開。

命題2若集合Er和Es包含共同元素,則

式中,Er←s表示Er中有的而Es中沒有的元素的布爾積。

命題3若集合Er和Et包含共同元素,Es和Et也包含共同元素,則:

命題4

若集合Er和Et包含共同元素,Es和Et也包含共同元素,而且Er←tсEs←t,則：

不交積之和定理:

命題1集合Er和Es如

例

以圖3-12事故樹為例,用不交積之和定理進行不交化運算,計算頂事件的發(fā)生概率。

解：事故樹的最小割集為:

根據(jù)式(3-21)和命題1、命題3,得:

設各基本事件的發(fā)生概率同前,則頂事件的發(fā)生概率為:

P(T)

=q1q4+(1-q1)q3q5+q1q3(1-q4)q5+q1q2q3(1-q4)(1-q5)

=0.001904872

與前面介紹的三種精確算法相比,該法要簡單得多。讀者也可與直接不交化算法比較其運算過程。

例以圖3-12事故樹為例,用不交積之和定理進行不交化頂事件發(fā)生概率的近似計算

如前所述,按式(3-１8)和(3-19)計算頂事件發(fā)生概率的精確解。當事故樹中的最小割集較多時會發(fā)生組合爆炸問題,即使用直接不交化算法或不交積之和定理將相交和化為不交和,計算量也是相當大的。但在許多工程問題中,這種精確計算是不必要的,這是因為統(tǒng)計得到的基本數(shù)據(jù)往往是不很精確的,因此,用基本事件的數(shù)據(jù)計算頂事件發(fā)生概率值時精確計算沒有實際意義。所以,實際計算中多采用近似算法。

⑴最小割集逼近法:

在式

(3-18)中,設:

頂事件發(fā)生概率的近似計算

如前所述,按式(3-１8則得到用最小割集求頂事件發(fā)生概率的逼近公式,即：

式

(3-22)中的F1，F(xiàn)1-F2，F(xiàn)1-F2+F3，……等,依此給出了頂事件發(fā)生概率P(T)的上限和下限,可根據(jù)需要求出任意精確度的概率上、下限。

則得到用最小割集求頂事件發(fā)生概率的逼近公式,即：

用最小割集逼近法求解[例3-8]。

由式(3-22)可得:

用最小割集逼近法求解[例3-8]。

由式(

頂事件發(fā)生概率近似計算及相對誤差

由表可知,當以F1作為頂事件發(fā)生概率時,誤差只有0.059‰;以F1-F2作為頂事件發(fā)生概率時,誤差僅有0.0006299‰

。實際應用中,以F1(稱作首項近似法

)或F1-F2作為頂事件發(fā)生概率的近似值,就可達到基本精度要求。

頂事件發(fā)生概率近似計算及相對誤差由表可知,當以F

⑵最小徑集逼近法。與最小割集法相似,利用最小徑集也可以求得頂事件發(fā)生概率的上、下限。在式(3-19)中,設：

⑵最小徑集逼近法。與最小割集法相似,利用最小徑集也可以求則：P(T)≥1-S1

P(T)≤1-S1+S2

……

即:

1-S1≤P(T)≤1-S1+S2

(3-23)

S1+S2≥P(T)≥1-S1+S2-S3

……

式

(3-23)中的1-S1,1-S1+S2,1-S1+S2-S3,……等,依次給出了頂事件發(fā)生概率的上、下限。從理論上講,式(3-22)和式(3-23)的上、下限數(shù)列都是單調(diào)無限收斂于P(T)的,但是在實際應用中,因基本事件的發(fā)生概率較小,而應當采用最小割集逼近法,以得到較精確的計算結(jié)果。

則：P(T)≥1-S1

P(T)≤1-S1+

(3)平均近似法。為了使近似算法接近精確值,計算時保留式

(3-18)中第一、二項,并取第二項的1/2值,即:

這種算法,稱為平均近似法。

(4)獨立事件近似法。若最小割集Er(r=1,2,…

,k)