全國各地中考數(shù)學(xué)壓軸題目專集答案圓

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精益求精，善益求善。全國各地中考數(shù)學(xué)壓軸題目專集答案圓2011年中考數(shù)學(xué)壓軸題專集（全國各地）2011年中考數(shù)學(xué)壓軸題專集（全國各地）PAGEPAGE1072011年中考數(shù)學(xué)壓軸題專集（全國各地）PAGE2012年全國各地中考數(shù)學(xué)壓軸題專集答案圓八、圓1．（北京模擬）在△ABC中，分別以AB、AC為直徑在△ABC外作半圓O1和半圓O2，其中O1和O2分別為兩個(gè)半圓的圓心．F是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別為兩個(gè)半圓圓弧的中點(diǎn)．（1）如圖1，連接O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，證明：△DO1F≌△FO2E；（2）如圖2，過點(diǎn)A分別作半圓O1和半圓O2的切線，交BD的延長線和CE的延長線于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，連接PQ，若∠ACB＝90°，DB＝5，CE＝3，求線段PQ的長；（3）如圖3，過點(diǎn)A作半圓O2的切線，交CE的延長線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作直線FA的垂線，交BD的延長線于點(diǎn)P，連接PA．求證：PA是半圓O1的切線．AAO1CBO2EDFPQ圖2AOAO1CBO2EDF圖1圖3AO1CBO2EDFPQ（1）證明：∵O1，O2，F(xiàn)分別是AB，AC，BC邊的中點(diǎn)AO1CBO2EDF∴O1F∥AC且O1F＝AO2，O2F∥AO1CBO2EDF∴∠BO1F＝∠BAC，∠CO2F＝∠BAC∴∠BO1F＝∠CO2F∵點(diǎn)D和點(diǎn)E分別為兩個(gè)半圓圓弧的中點(diǎn)∴O1F＝AO2＝O2E，O2F＝AO1＝O1D，∠BO1D＝90°，∠CO2E＝90°∴∠BO1D＝∠∠CO2E，∴∠DO1F＝∠FO2E∴△DO1F≌△FO2EAO1CBO2EDFPQG（2）解：延長AO1CBO2EDFPQG∵點(diǎn)E是半圓O2圓弧的中點(diǎn)，∴AE＝CE＝3∵AC為半圓O2的直徑，∴∠AEC＝90°∴∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝3eq\r(,2)∵AQ是半圓O2的切線，∴CA⊥AQ，∴∠CAQ＝90°∴∠AQE＝∠ACE＝45°，∠GAQ＝90°，∴AQ＝AC＝AG＝3eq\r(,2)同理：∠BAP=90°，AB=AP＝5eq\r(,2)∴CG＝6eq\r(,2)，∠GAB＝∠QAP∴△AQP≌△AGB，∴PQ＝BG∵∠ACB＝90°，∴BC＝eq\r(,AB2－AC2)＝4eq\r(,2)∴BG＝eq\r(,BC2＋GC2)＝2eq\r(,26)，∴PQ＝2eq\r(,26)（3）設(shè)直線FA與PQ的垂足為M，過C作CG⊥MF于G，過B作BH⊥MF于H，連接DH、AD、DM∵F是BC邊的中點(diǎn)，∴S△ABF＝S△ACF，∴BH＝CG由（2）知，∠CAQ＝90°，AC＝AQ，∴∠2＋∠3＝90°∵FM⊥PQ，∴∠2＋∠1＝90°，∴∠1＝∠3同理：∠2＝∠4AO1CBO2EDFPQMGH∴△AMQAO1CBO2EDFPQMGH同（2）可證AD＝BD，∠ADB＝∠ADP＝90°∴∠ADB＝∠AHB＝90°，∠ADP＝∠AMP＝90°∴A、D、B、H四點(diǎn)在以AB為直徑的圓上A、D、P、M四點(diǎn)在以AP為直徑的圓上且∠DBH＋∠DAH＝180°∴∠5＝∠8，∠6＝∠7∵∠DAM＋∠DAH＝180°，∴∠DBH＝∠DAM∴△DBH≌△DAM，∴∠5＝∠9∴∠HDM＝90°，∴∠5＋∠7＝90°∴∠6＋∠8＝90°，∴∠PAB＝90°，∴PA⊥AB又AB是半圓O1的直徑，∴PA是半圓O1的切線2．（上海）如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，點(diǎn)C是EQ\o\ac(AB,\s\up9(︵))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E．（1）當(dāng)BC＝1時(shí)，求線段OD的長；（2）在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度；如果不存在，請說明理由；（3）設(shè)BD＝x，△DOE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域．AAECDOB解：（1）∵OD⊥BC，∴BD＝EQ\F(1,2)BC＝EQ\F(1,2)在Rt△BOD中，OD＝eq\r(,OB2－BD2)＝EQ\F(eq\r(,15),2)AECDAECDOB連接AB∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，∴AB＝eq\r(,OA2＋OB2)＝2eq\r(,2)∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴D是BC中點(diǎn)，E是AC中點(diǎn)∴DE＝EQ\F(1,2)AB＝eq\r(,2)（3）連接OC，過D作DF⊥OE于F∵OD＝2，BD＝x，∴OD＝eq\r(,4－x2)∵OA＝OB＝OC，OD⊥BC，OE⊥ACAECDOBF∴∠1＝∠2AECDOBF∵∠AOB＝90°，∴∠DOE＝45°在Rt△DOF中，DF＝OF＝EQ\F(eq\r(,4－x2),eq\r(,2))在Rt△DFE中，EF＝eq\r(,DE2－DF2)＝eq\r(,2－EQ\F(4－x2,2))＝EQ\F(eq\r(,2),2)x∴y＝EQ\F(1,2)OE·DF＝EQ\F(1,2)(EQ\F(eq\r(,4－x2),eq\r(,2))＋EQ\F(eq\r(,2),2)x·EQ\F(eq\r(,4－x2),eq\r(,2))即y＝EQ\F(4－x2＋xeq\r(,4－x2),4)（0＜x＜eq\r(,2)）3．（上海模擬）BACNPM如圖，已知在△ABC中，AB＝15，AC＝20，cotA＝2，P是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，⊙P的半徑為定長．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，⊙P恰好與邊AC相切；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合，且⊙P與邊AC相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N時(shí)，設(shè)AP＝x，BACNPM（1）求⊙P的半徑；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）當(dāng)AP＝6eq\r(,5)時(shí)，試比較∠CPN與∠A的大小，并說明理由．解：（1）過B作BD⊥AC于D∵⊙P與邊AC相切，∴BD是⊙P的半徑BACNPMDH∵cotA＝2，∴sinA＝EQ\F(eq\r(,5),5BACNPMDH又∵sinA＝EQ\F(BD,AB)，AB＝15，∴BD＝3eq\r(,5)（2）過P作PH⊥MN于H則PH＝EQ\F(eq\r(,5),5)x，PM＝BD＝3eq\r(,5)∴MH＝eq\r(,PM2－PH2)＝eq\r(,45－EQ\F(1,5)x2)∴y＝2MH＝2eq\r(,45－EQ\F(1,5)x2)即y＝EQ\F(2,5)eq\r(,1125－5x2)（3eq\r(,5)≤x＜15）（3）當(dāng)AP＝6eq\r(,5)時(shí)，∠CPN＝∠A理由如下：當(dāng)AP＝6eq\r(,5)時(shí)，PH＝6，MH＝3，AH＝12，∴AM＝9∵AC＝20，MN＝6，∴CN＝5∵EQ\F(AM,MP)＝EQ\F(9,3eq\r(,5))＝EQ\F(3eq\r(,5),5)，EQ\F(PN,CN)＝EQ\F(3eq\r(,5),5)，∴EQ\F(AM,MP)＝EQ\F(PN,CN)又∵PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM∴∠AMP＝∠PNC，∴△AMP∽△PNC∴∠CPN＝∠A4．（上海模擬）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，∠B＝60°，AB＝10，AD＝4，⊙M與∠BAD的兩邊相切，點(diǎn)N在射線AB上，⊙N與⊙M是等圓，且兩圓外切．（1）設(shè)AN＝x，⊙M的半徑為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，⊙M與CD相切？（3）直線CD被⊙M所截得的弦與直線BC被⊙N所截得的弦的長是否可能相等？如果能，求出符合要求的x的值；如果不能，請說明理由．AAMCBDN解：（1）連接AM、MN，設(shè)⊙M與AB相切于點(diǎn)E，連接MEAMCBDNAMCBDNE∴在Rt△MNE中，MN＝2ME，∴∠ANM＝30°∵AD∥BC，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°∵⊙M與∠BAD的兩邊相切∴∠NAM＝60°，∴∠AMN＝90°∴在Rt△AMN中AM＝EQ\F(1,2)AN＝EQ\F(1,2)x∴ME＝AM·sin60°＝EQ\F(eq\r(,3),4)x即y＝EQ\F(eq\r(,3),4)x（x＞0）AMCBDNGF（2）設(shè)⊙M分別與AD、CD相切于點(diǎn)F、AMCBDNGF則MF＝FD＝MG＝y(tǒng)且AF＝MF·cot60°＝EQ\F(eq\r(,3),3)y＝EQ\F(eq\r(,3),3)·EQ\F(eq\r(,3),4)x＝EQ\F(1,4)x∵AD＝4，AF＋FD＝AD，∴EQ\F(1,4)x＋EQ\F(eq\r(,3),4)x＝4∴x＝8(eq\r(,3)－1)（3）作NH⊥BC于點(diǎn)H若直線CD被⊙M所截得的弦與直線BC被⊙N所截得的弦的長相等，則弦心距MG＝NHAMCBDNHFG①AMCBDNHFG∵AB＝10，∴BN＝10－x∴FD＝MG＝NH＝BN·sin60°＝EQ\F(eq\r(,3),2)(10－x)AMCBDNHFG∵AF＝EQ\F(1,4)x，AF＋FD＝AD，∴EQ\F(1,4)x＋EQ\F(eq\r(,3),2)(10－x)＝4AMCBDNHFG∴x＝EQ\F(104－12eq\r(,3),11)②當(dāng)點(diǎn)N在AB延長線上時(shí)則FD＝MG＝NH＝BN·sin60°＝EQ\F(eq\r(,3),2)(x－10)EQ\F(1,4)x＋EQ\F(eq\r(,3),2)(x－10)＝4∴x＝EQ\F(104＋12eq\r(,3),11)∴當(dāng)x＝EQ\F(104－12eq\r(,3),11)或x＝EQ\F(104＋12eq\r(,3),11)時(shí)，直線CD被⊙M所截得的弦與直線BC被⊙N所截得的弦的長相等5．（上海模擬）已知：半圓O的半徑OA＝4，P是OA延長線上一點(diǎn)，過線段OP的中點(diǎn)B作OP的垂線交半圓O于點(diǎn)C，射線PC交半圓O于點(diǎn)D，連接OD．（1）當(dāng)EQ\o\ac(AC,\s\up9(︵))＝EQ\o\ac(CD,\s\up9(︵))時(shí)，求弦CD的長；（2）設(shè)PA＝x，CD＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；（3）設(shè)CD的中點(diǎn)為E，射線BE與射線OD交于點(diǎn)F，當(dāng)DF＝1時(shí)，求tan∠P的值．BBAOPCDAOAO備用圖AO備用圖解：（1）連接OCBAOPCDE當(dāng)EQ\o\ac(AC,\s\up9(︵))＝EQ\o\ac(CD,\s\up9(︵))時(shí)，∠POC＝∠DOCBAOPCDE∵BC垂直平分OP，∴PC＝OC＝4∴∠P＝∠POC＝∠DOC∴△DOC∽△DPO，∴EQ\F(DO,DP)＝EQ\F(CD,DO)即EQ\F(4,4＋CD)＝EQ\F(CD,4)，解得CD＝2eq\r(,5)－2（2）作OE⊥CD于E，則CE＝DE＝EQ\F(1,2)y①當(dāng)點(diǎn)C在EQ\o\ac(AD,\s\up9(︵))上時(shí)∵∠PBC＝∠PEO＝90°，∠P＝∠P∴△PBC∽△PEO，∴EQ\F(PB,PE)＝EQ\F(PC,PO)即EQ\F(EQ\F(x＋4,2),4＋EQ\F(y,2))＝EQ\F(4,x＋4)，∴y＝EQ\F(1,4)x2＋2x－4顯然，B不與A重合，∴x＜4當(dāng)D與C重合時(shí)，PC是半圓O的切線∴PC⊥OC，∠PCO＝90°此時(shí)△PCO是等腰直角三角形∴OP＝eq\r(,2)OC，即x＋4＝4eq\r(,2)，x＝4eq\r(,2)－4∵D不與C重合，∴x＞4eq\r(,2)－4∴4eq\r(,2)－4＜x＜4∴y＝EQ\F(1,4)x2＋2x－4（4eq\r(,2)－4＜x＜4）②當(dāng)點(diǎn)C在EQ\o\ac(AD,\s\up9(︵))外時(shí)BAOPCDE同理，△PBC∽△PEO，∴EQ\F(PB,PE)＝EQ\F(PC,PO)BAOPCDE即EQ\F(EQ\F(x＋4,2),4－EQ\F(y,2))＝EQ\F(4,x＋4)，∴y＝－EQ\F(1,4)x2－2x＋4（0＜x＜4eq\r(,2)－4）（3）①當(dāng)點(diǎn)C在EQ\o\ac(AD,\s\up9(︵))上時(shí)，過D作DG∥OP交BF于G則△DEG∽△PEB，△DEF∽△OBFBAOPCDEFG∴EQ\F(DE,PE)＝EQ\F(DG,PB)＝EQ\F(DG,OB)＝EQ\F(DF,OF)＝EQ\F(1,4＋1)BAOPCDEFG∴EQ\F(DE,PE)＝EQ\F(1,5)，即EQ\F(EQ\F(y,2),4＋EQ\F(y,2))＝EQ\F(1,5)，解得EQ\F(y,2)＝1∴CE＝1，PE＝5，OE＝eq\r(,42－12)＝eq\r(,15)∴tan∠P＝EQ\F(OE,PE)＝EQ\F(eq\r(,15),5)②當(dāng)點(diǎn)C在EQ\o\ac(AD,\s\up9(︵))外時(shí)，過D作DG∥OP交BE于GBAOPCDEFG則△BAOPCDEFG∴EQ\F(DE,PE)＝EQ\F(DG,PB)＝EQ\F(DG,OB)＝EQ\F(DF,OF)＝EQ\F(1,4－1)∴EQ\F(DE,PE)＝EQ\F(1,3)，即EQ\F(EQ\F(y,2),4－EQ\F(y,2))＝EQ\F(1,3)，解得EQ\F(y,2)＝1∴CE＝1，PE＝3，OE＝eq\r(,42－12)＝eq\r(,15)∴tan∠P＝EQ\F(OE,PE)＝EQ\F(eq\r(,15),3)6．（上海模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinB＝EQ\F(3,5)，⊙B的半徑長為1，⊙B交邊BC于點(diǎn)P，點(diǎn)O是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，將⊙B繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得到⊙M，請判斷⊙M與直線AB的位置關(guān)系；（2）在（1）的條件下，當(dāng)△OMP是等腰三角形時(shí)，求OA的長；（3）如圖2，點(diǎn)N是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，如果以NB為半徑的⊙N和以O(shè)A為半徑的⊙O外切，設(shè)NB＝y(tǒng)，OA＝x，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及定義域．ABABCN圖2OABCP圖1ABCPMD解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinB＝EQ\F(3,5ABCPMD∴AB＝10，BC＝eq\r(,AB2－AC2)＝eq\r(,102－62)＝8過點(diǎn)M作MD⊥AB于D在Rt△MDB中，∠MDB＝90°，∴sinB＝EQ\F(MD,MB)＝EQ\F(3,5)∵M(jìn)B＝2，∴MD＝EQ\F(3,5)×2＝EQ\F(6,5)＞1∴⊙M與直線AB相離ABCPMO（2）∵M(jìn)D＝EQ\F(6,5)＞1＝MP，∴OMABCPMO若OP＝MP，易得∠MOB＝90°∴cosB＝EQ\F(OB,BM)＝EQ\F(BC,AB)＝EQ\F(8,10)，∴OB＝EQ\F(8,5)∴OA＝10－EQ\F(8,5)＝EQ\F(42,5)ABCPMOE若OM＝OP，過OABCPMOE∴cosB＝EQ\F(EB,OB)＝EQ\F(BC,AB)＝EQ\F(8,10)，∴OB＝EQ\F(15,8)∴OA＝10－EQ\F(15,8)＝EQ\F(65,8)∴當(dāng)△OMP是等腰三角形時(shí)，OA的長為EQ\F(42,5)或EQ\F(65,8)（3）連接ON，過N作NF⊥AB于FABCNOF在Rt△NFB中，∠NFB＝90°，sinB＝EQ\F(3,5)，NBABCNOF∴NF＝EQ\F(3,5)y，BF＝EQ\F(4,5)y，∴OF＝10－x－EQ\F(4,5)y∵⊙N和⊙O外切，∴ON＝x＋y在Rt△NFB中，ON2＝OF2＋NF2∴(x＋y)2＝(10－x－EQ\F(4,5)y)2＋(EQ\F(3,5)y)2∴y＝EQ\F(250－50x,x＋40)（0＜x＜5）7．（上海模擬）如圖，⊙O的半徑為6，線段AB與⊙O相交于點(diǎn)C、D，AC＝4，∠BOD＝∠A，OB與⊙O相交于點(diǎn)E，設(shè)OA＝x，CD＝y(tǒng)．ABDCABDCEO（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（3）當(dāng)CE⊥OD時(shí)，求AO的長．解：（1）∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠OCA＝∠ODBABDCEO∵∠BOD＝∠A，∴△OBD∽△AOC，∴EQ\F(BD,OC)＝EQ\F(OD,AC)ABDCEO∵OC＝OD＝6，AC＝4，∴EQ\F(BD,6)＝EQ\F(6,4)，∴BD＝9（2）∵△OBD∽△AOC，∴∠AOC＝∠B又∵∠A＝∠A，∴△ACO∽△AOB，∴EQ\F(AB,AO)＝EQ\F(AO,AC)∵AB＝AC＋CD＋BD＝y(tǒng)＋13，∴EQ\F(y＋13,x)＝EQ\F(x,4)∴y＝EQ\F(1,4)x2－13∵0＜y＜8，∴0＜EQ\F(1,4)x2－13＜12，解得2eq\r(,13)＜x＜10∴定義域?yàn)?eq\r(,13)＜x＜10（3）∵OC＝OE，CE⊥OD．∴∠COD＝∠BOD＝∠A∴∠AOD＝180o－∠A－∠ODC＝180o－∠COD－∠OCD＝∠ADO∴AD＝AO，∴y＋4＝x，∴EQ\F(1,4)x2－13＋4＝x∴x＝2±2eq\r(,10)（舍去負(fù)值）∴AO＝2±2eq\r(,10)8．（安徽某校自主招生）如圖，△ABC的內(nèi)心為I，過點(diǎn)A作直線BI的垂線，垂足為H，且直線AH交BC于F．設(shè)D、E、G分別為內(nèi)切圓I與邊BC、CA、AB的切點(diǎn)，求證：GEIAHFDCB（1）AG＝DF；（GEIAHFDCB證明：（1）由題意I為△ABC的內(nèi)心，所以∠ABH＝∠HBF∵AF⊥BH，∴∠AHB＝∠FHB＝90o又BH＝BH，∴△AHB≌△FHB，∴AB＝BF又由切線長定理，得BG＝BDGEIAHGEIAHFDCB（2）連接DE、EH、AI、EI∵∠AEI＝∠AHI＝90o，∴A、E、H、I四點(diǎn)在以AI為直徑的圓上∴∠AEH＝∠AIB∵I為△ABC的內(nèi)心，∴∠AIB＝90o＋EQ\F(1,2)∠C∴∠AEH＝90o＋EQ\F(1,2)∠C∵CD＝CE，∴∠DEC＝EQ\F(180o－∠C,2)＝90o－EQ\F(1,2)∠C∴∠AEH＋∠DEC＝180o∴D、H、E三點(diǎn)共線9．（安徽某校自主招生）如圖，扇形OMN的半徑為1，圓心角90°，點(diǎn)B是EQ\o\ac(MN,\s\up9(︵))上一動(dòng)點(diǎn)，BA⊥OM于點(diǎn)A，BC⊥ON于點(diǎn)C，點(diǎn)D、E、F、G分別是線段OA、AB、BC、CO的中點(diǎn)，GF與CE相交于點(diǎn)P，DE與AG相交于點(diǎn)Q．（1）求證：四邊形EPGQ是平行四邊形；（2）探索OA的長為何值時(shí)，四邊形EPGQ是矩形；NOM備用圖NOMBCGFDAQNOM備用圖NOMBCGFDAQEP（1）證明：∵∠AOC＝90°，BA⊥OM，BC⊥ON∴四邊形OABC是矩形，∴AB∥OC，AB＝OCNOMBCGFDAQNOMBCGFDAQEP∴AE∥GC，AE＝GC∴四邊形AECG為平行四邊形，∴CE∥AG連接OB∵點(diǎn)D、E、F、G分別是線段OA、AB、BC、CO的中點(diǎn)∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ∴四邊形EPGQ是平行四邊形（2）當(dāng)∠CED＝90°時(shí)，□EPGQ是矩形此時(shí)∠AED＋∠CEB＝90°NOMBCGFDAQEP又∵∠NOMBCGFDAQEP∴△AED∽△BCE，∴EQ\F(AD,BE)＝EQ\F(AE,BC)設(shè)OA＝x，AB＝y(tǒng)，則EQ\F(EQ\F(x,2),EQ\F(y,2))＝EQ\F(EQ\F(y,2),x)，得y2＝2x2又OA2＋AB2＝OB2，即x2＋y2＝12∴x2＋2x2＝1，解得x＝EQ\F(eq\r(,3),3)NOMBCGFDAQEPB′A′O′∴當(dāng)OA的長為EQ\F(eq\r(,NOMBCGFDAQEPB′A′O′（3）連接GE交PQ于點(diǎn)O′，則O′P＝O′Q，O′G＝O′E過P作OC的平行線分別交BC、GE于點(diǎn)B′、A′由△PCF∽△PEG得，EQ\F(PG,PF)＝EQ\F(PE,PC)＝EQ\F(GE,FC)＝2∴PA′＝EQ\F(2,3)A′B′＝EQ\F(1,3)AB，GA′＝EQ\F(1,3)GE＝EQ\F(1,3)OA∴A′O′＝EQ\F(1,2)GE－GA′＝EQ\F(1,6)OA在Rt△PA′O′中，PO′2＝PA′2＋A′O′2，即EQ\F(PQ2,4)＝EQ\F(AB2,9)＋EQ\F(OA2,36)又AB2＋OA2＝12，∴3PQ2＝AB2＋EQ\F(1,3)∴3PQ2＋OA2＝AB2＋EQ\F(1,3)＋OA2＝1＋EQ\F(1,3)＝EQ\F(4,3)10．（浙江杭州）如圖，AE切⊙O于點(diǎn)E，AT交⊙O于點(diǎn)M、N，線段OE交AT于點(diǎn)C，OB⊥AT于點(diǎn)B，已知∠EAT＝30°，AE＝3eq\r(,3)，MN＝2eq\r(,22)．（1）求∠COB的度數(shù)；（2）求⊙O的半徑R；（3）點(diǎn)F在⊙O上（EQ\o\ac(FME,\s\up9(︵))是劣?。?，且EF＝5，將△OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個(gè)頂點(diǎn)分別與點(diǎn)E、F重合．在EF的同一側(cè)，這樣的三角形共有多少個(gè)？你能在其中找出另一個(gè)頂點(diǎn)也在⊙O上的三角形嗎？請?jiān)趫D中畫出這個(gè)三角形，并求出這個(gè)三角形與△OBC的周長之比．AABCEFMONT解：（1）∵AE切⊙O于點(diǎn)E，∴OE⊥AE∵OB⊥AT于點(diǎn)B，∴∠AEC＝∠OBC＝90°又∵∠ACE＝∠OCB，∴△ACE∽△OCB∴∠COB＝∠EAT＝30°ABCEFMONTG(BABCEFMONTG(B′)(C′)(O′)∠OCB＝∠ACE＝60°設(shè)BC＝x，則OB＝eq\r(,3)x，OC＝2x連接ON，得(eq\r(,3)x)2＋(eq\r(,22))2＝(2x＋3)2解得x＝1或x＝－13（舍去），∴x＝1∴R＝2x＋3＝5（3）這樣的三角形有3個(gè)畫直徑FG，連接GE∵EF＝OE＝OF＝5，∴∠EFG＝60°＝∠BCO∴△GEF即為所要畫出的三角形∵三種圖形變換都不改變圖形的形狀，即變換前后的兩個(gè)三角形相似∴變換前后兩個(gè)三角形的周長之比等于它們的相似比又∵兩個(gè)直角三角形斜邊長FG＝2R＝10，OC＝2∴△GEF與△OBC的周長之比為5:111．（浙江臺(tái)州）定義：P、Q分別是兩條線段a和b上任意一點(diǎn)，線段PQ長度的最小值叫做線段a與線段b的距離．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m＋4，n）是平面直角坐標(biāo)系中四點(diǎn)．（1）根據(jù)上述定義，當(dāng)m＝2，n＝2時(shí)，如圖1，線段BC與線段OA的距離是___________；當(dāng)m＝5，n＝2時(shí)，如圖2，線段BC與線段OA的距離（即線段AB長）為___________．（2）如圖3，若點(diǎn)B落在圓心為A，半徑為2的圓上，線段BC與線段OA的距離記為d，求d關(guān)于m的函數(shù)解析式．（3）當(dāng)m的值變化時(shí)，動(dòng)線段BC與線段OA的距離始終為2，線段BC的中點(diǎn)為M．①求出點(diǎn)M隨線段BC運(yùn)動(dòng)所圍成的封閉圖形的周長；②點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），m≥0，n≥0．作MH⊥x軸，垂足為H，是否存在m的值使以A，M，H為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似，若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．AOyAOyx（圖3）BCAOByxC（圖2）AOByxC（圖1）AOAOyx（備用圖2）AOyxC（備用圖1）M解：（1）2（2）當(dāng)4≤m≤6時(shí)，顯然線段BC與線段OA的距離等于⊙A半徑，即d＝2當(dāng)2≤m＜4時(shí)，作BN⊥x軸于點(diǎn)N，線段BC與線段OA的距離等于BN長AOyxBCBCN∴d＝eq\r(,22－(4－m)2)＝eq\r(,－m2＋8m－12AOyxBCBCN∴d關(guān)于m的函數(shù)解析式為：d＝eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(eq\r(,－m2＋8m－12)（2≤m＜4）,2（4≤m≤6）))AOyxCMEBPNFKG（3）①由題意可知，由線段AOyxCMEBPNFKG∴點(diǎn)M隨線段BC運(yùn)動(dòng)所圍成的封閉圖形的周長為：2×π×2＋2×2×4＝16＋4π②∵m≥0，n≥0，∴點(diǎn)M隨線段BC運(yùn)動(dòng)所形成圖形的是線段M0E和EQ\o\ac(EF,\s\up9(︵))AOyxCM0EBFAOyxCM0EBFM1M2M3H3H2H1R(D)x若△AMH與△AOD相似，則EQ\F(MH,HA)＝EQ\F(1,2)或EQ\F(MH,HA)＝2當(dāng)2≤m＋2＜4時(shí)，顯然M1H1＞H1A，∴EQ\F(M1H1,H1A)＝2∵M(jìn)1H1＝2，∴H1A＝1，∴OH1＝3∴m1＝3－2＝1當(dāng)4≤m＋2≤6即M2在線段CE上時(shí)，同理可求m2＝5－2＝3當(dāng)6＜m＋2≤8即M3在線段EQ\o\ac(EF,\s\up9(︵))上時(shí)，∵AH3≥2≥M3H3，∴EQ\F(M3H3,H3A)＝EQ\F(1,2)設(shè)M3H3＝x，則AH3＝2x，∴AH3＝2x－2又∵RH3＝2，∴(2x－2)2＋x2＝22，∴x1＝EQ\F(8,5)，x2＝0（不合題意，舍去）∴OH3＝4＋2x＝EQ\F(36,5)，∴m3＝EQ\F(36,5)－2＝EQ\F(26,5)綜上可知，存在m的值使以A，M，H為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似，相應(yīng)m的值為1，3，EQ\F(26,5)B12．（浙江某校自主招生）已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5，點(diǎn)E是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE、CE，以BE為直徑作⊙O，交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FH⊥CE于H，直線FH交⊙O于點(diǎn)G．B（1）當(dāng)直線FH與⊙O相切時(shí)，求AE的長；（2）當(dāng)FH∥BE時(shí)，求FG的長；DBACOFEH（3）在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，△OFG能否成為等腰直角DBACOFEH解：（1）連接OF、EF∵BE是⊙O的直徑，∴∠BFE＝90°又∠A＝∠ABF＝90°，∴四邊形ABFE為矩形DBACOFEH∴AEDBACOFEH∵FH與⊙O相切，∴OF⊥FH∵FH⊥CE，∴OF∥CE∵BO＝OE，∴BF＝CF∴AE＝DE＝EQ\F(1,2)AD＝EQ\F(5,2)（2）作OM⊥FG于M，連接OF∵FH∥BE，∴∠BEC＝∠FHC＝90°易證△ABE∽△DEC，∴EQ\F(AE,DC)＝EQ\F(AB,DE)即EQ\F(AE,2)＝EQ\F(2,5－AE)，解得AE＝1或4DBACOFEHMG①當(dāng)AE＝DBACOFEHMG∴BE＝eq\r(,5)，CE＝2eq\r(,5)，OF＝EQ\F(eq\r(,5),2)由△CFH∽△CBE，得CH＝EQ\F(8eq\r(,5),5)∴OM＝EH＝CE－CH＝EQ\F(2eq\r(,5),5)，∴FM＝eq\r(,OF2－OM2)＝EQ\F(3eq\r(,5),10)∴FG＝2FM＝EQ\F(3eq\r(,5),5)DBACOFEHMG②當(dāng)AE＝DBACOFEHMG∴BE＝2eq\r(,5)，CE＝eq\r(,5)，OG＝eq\r(,5)由△CFH∽△CBE，得CH＝EQ\F(eq\r(,5),5)∴OM＝EH＝CE－CH＝EQ\F(4eq\r(,5),5)，∴FM＝eq\r(,OG2－OM2)＝EQ\F(3eq\r(,5),5)∴FG＝2FM＝EQ\F(6eq\r(,5),5)（3）連接EF，設(shè)AE＝x則EF＝AB＝2，BF＝AE＝x，CF＝DE＝5－x若△OFG是等腰直角三角形，則∠FOG＝90°①當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F上方時(shí)ODBACHGEFMK連接BG、EG，設(shè)BGODBACHGEFMK則∠FBG＝∠FEG＝45°∴△BFK和△EGK都是等腰直角三角形∴KF＝BF＝x，EK＝2－x，GM＝KM＝EQ\F(1,2)EK＝1－EQ\F(1,2)xFM＝x＋1－EQ\F(1,2)x＝1＋EQ\F(1,2)x∵∠GFM＝∠ECF＝90°－∠FEC∴Rt△GMF∽R(shí)t△EFC，∴EQ\F(GM,FM)＝EQ\F(EF,CF)DBACHGEFKOM∴EQ\F(1－EQ\F(1,2)x,1＋EQ\F(1,2)x)＝EQ\F(2,5－x)，解得x1＝EQ\F(9－eq\r(,57),2)，x2＝EQ\F(9＋eq\r(,57),2)＞5（舍去）DBACHGEFKOM②當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F下方時(shí)連接BG、EG，設(shè)BC、EG交于點(diǎn)K，作GM⊥BF于M則∠GBF＝∠GEF＝45°∴△BGK和△EFK都是等腰直角三角形∴KF＝EF＝2，EK＝2eq\r(,2)BK＝x－2，GM＝KM＝EQ\F(1,2)(x－2)，F(xiàn)M＝2＋EQ\F(1,2)(x－2)＝EQ\F(1,2)(x＋2)∵∠MFG＝∠HFC＝∠FEC＝90°－∠HCF∴Rt△FMG∽R(shí)t△EFC，∴EQ\F(FM,GM)＝EQ\F(EF,CF)∴EQ\F(EQ\F(1,2)(x＋2),EQ\F(1,2)(x－2))＝EQ\F(2,5－x)，解得x1＝EQ\F(1＋eq\r(,57),2)，x2＝EQ\F(1－eq\r(,57),2)（舍去）綜上所述，△OFG能成為等腰直角三角形，此時(shí)AE的長為EQ\F(9－eq\r(,57),2)或EQ\F(1＋eq\r(,57),2)13．（浙江模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0）、B（6，8），點(diǎn)P是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)O重合），以PA為半徑的⊙P與線段AB的另一個(gè)交點(diǎn)為C，作CD⊥OB于D（如圖1）．（1）求證：CD是⊙P的切線；（2）當(dāng)⊙P與OB相切時(shí)，求⊙P的半徑；（3）在（2）的條件下，設(shè)⊙P與OB相切于點(diǎn)E，連接PB交CD于F（如圖2）．①求CF的長；②在線段DE上是否存在點(diǎn)G使∠GPF＝45°？若存在，求出EG的長；若不存在，請說明理由．AOAOPBDyxC圖1AOPBDyxC圖2EFAOPBDyxCN12AOPBDyxCN12∵PC＝PA，∴∠1＝∠2∵A（10，0），B（6，8），∴OA＝10，BN＝8，ON＝6在Rt△OBN中，OB＝eq\r(,ON2＋BN2)＝eq\r(,62＋82)＝10∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠1∴∠OBA＝∠2，∴PC∥OB∵CD⊥OB，∴CD⊥PC∴CD是⊙P的切線（2）解：設(shè)⊙P的半徑為rAOPBDyxCEFN∵⊙AOPBDyxCEFN∴在Rt△OPE中，sin∠EOP＝EQ\F(PE,OP)＝EQ\F(r,10－r)在Rt△OBN中，sin∠BON＝EQ\F(BN,OB)＝EQ\F(8,10)＝EQ\F(4,5)∴EQ\F(r,10－r)＝EQ\F(4,5)，解得r＝EQ\F(40,9)（3）①由（2）知r＝EQ\F(40,9)，∴OP＝10－EQ\F(40,9)＝EQ\F(50,9)∴OE＝eq\r(,OP2－PE2)＝EQ\F(10,3)∵∠PCD＝∠CDE＝∠PED＝90°∴四邊形PCDE是矩形∵PE＝PC，∴矩形PCDE是正方形∴PE＝DC＝EQ\F(40,9)∴BD＝OB－OE－DE＝10－EQ\F(10,3)－EQ\F(40,9)＝EQ\F(20,9)∵∠BFD＝∠PFC，∠BDF＝∠PCF＝90°∴△BDF∽△PCF，∴EQ\F(DF,CF)＝EQ\F(BD,PC)AOPBDyxCEFGT34即EQ\F(EQ\F(40,9)－CF,CF)＝EQ\F(EQ\F(20,9),EQ\F(40,9))，解得CF＝EQ\F(80,27)AOPBDyxCEFGT34②存在在DE延長線上截取ET＝CF∵四邊形PCDE是正方形∴∠PET＝∠PCF＝90°，PE＝PC∴△PET≌△PCF，∴∠4＝∠3，PT＝PF∵∠CPE＝90°，∠GPF＝45°∴∠GPE＋∠3＝45°，∴∠GPE＋∠4＝45°即∠GPT＝45°，∴∠GPT＝∠GPF又PG＝PG，∴△PGT≌△PGF∴GF＝GT＝GE＋ET＝GE＋CF設(shè)GE＝a，則DG＝EQ\F(40,9)－a，GF＝EQ\F(80,27)＋a又DF＝DC－CF＝EQ\F(40,9)－EQ\F(80,27)＝EQ\F(40,27)在Rt△DFG中，DF2＋DG2＝GF2∴(EQ\F(40,27)2＋(EQ\F(40,9)－a2＝(EQ\F(80,27)＋a2，解得a＝EQ\F(8,9)即EG的長為EQ\F(8,9)14．（浙江模擬）如圖，以△ABC的邊BC為弦，在點(diǎn)A的同側(cè)畫EQ\o\ac(BC,\s\up9(︵))交AB于D，且∠BDC＝90°＋EQ\F(1,2)∠A，點(diǎn)P是EQ\o\ac(BC,\s\up9(︵))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）判定△ADC的形狀，并說明理由；（2）若∠A＝70°，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到∠PBA＝∠PBC＝15°時(shí)，求∠ACB和∠ACP的度數(shù)；（3）當(dāng)點(diǎn)P在EQ\o\ac(BC,\s\up9(︵))運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)P作直線MN⊥AP，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△BMP和△BPC和△CPN彼此相似？請說明理由．PBPBACDBACD備用圖解：（1）△ADC是等腰三角形∵∠BDC＝90°＋EQ\F(1,2)∠A∴∠ADC＝90°－EQ\F(1,2)∠A，∠ACD＝90°＋EQ\F(1,2)∠A－∠A＝90°－EQ\F(1,2)∠APBACDMN∴∠ACDPBACDMN（2）∵∠A＝70°，∠PBA＝∠PBC＝15°∴∠ACB＝180°－70°－2×15°＝80°∵∠BPC＝∠BDC＝90°＋EQ\F(1,2)∠A＝90°＋EQ\F(1,2)×70°＝125°∴∠PCB＝180°－15°－125°＝40°∴∠ACP＝∠ACB－∠PCB＝80°－40°＝40°（3）存在．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至EQ\o\ac(CD,\s\up9(︵))的中點(diǎn)時(shí)，△BMP和△BPC和△CPN彼此相似∵P是EQ\o\ac(CD,\s\up9(︵))的中點(diǎn)，∴∠ABP＝∠CBP設(shè)∠A＝x°，∠ABP＝∠CBP＝y(tǒng)°則∠ACB＝180°－x－2y，∠PCB＝180°－y－(90°＋EQ\F(1,2)x)＝90°－y－EQ\F(1,2)x∴∠ACP＝∠ACB－∠PCB＝180°－x－2y－(90°－y－EQ\F(1,2)x)＝90°－y－EQ\F(1,2)x∴∠PCB＝∠ACP，∴PC平分∠ACB∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至EQ\o\ac(CD,\s\up9(︵))的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P是△ABC的角平分線的交點(diǎn)連接AP，則AP平分∠BAC，∴∠BMP＝∠CNP＝90°＋EQ\F(1,2)x＝∠BPC∴△BMP和△BPC和△CPN彼此相似15．（浙江模擬）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝4AD＝4eq\r(,2)，∠B＝45°．將直角三角板含45°角的頂點(diǎn)E放在邊BC上移動(dòng)（不與點(diǎn)C重合），一直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)A，斜邊與CD交于點(diǎn)F．BCAEFD（1）在點(diǎn)E移動(dòng)過程中，當(dāng)△ABE為等腰三角形時(shí)BCAEFD（2）在點(diǎn)E移動(dòng)過程中，求△ADF外接圓半徑的最小值．解：（1）∵BC＝4AD＝4eq\r(,2)，∴AD＝eq\r(,2)∵等腰梯形ABCD，∠B＝45°，∴AB＝eq\r(,2)×EQ\F(1,2)(BC－AD)＝×EQ\F(1,2)(4eq\r(,2)－eq\r(,2))＝3∵∠B＝45°，∴∠BAE＋∠AEB＝135°∵∠AEF＝45°，∴∠CEF＋∠AEB＝135°BCAEFD∴∠BAE＝∠CEF，又BCAEFD∴△BAE∽△CEF，∴EQ\F(BE,CF)＝EQ\F(AB,EC)∴CF＝EQ\F(EC,AB)·BE＝EQ\F(BC－BE,AB)·BE＝EQ\F(4eq\r(,2)－BE,3)·BE（1）若AE＝BE，則∠AEB＝90°，BE＝EQ\F(eq\r(,2),2)AB＝EQ\F(3eq\r(,2),2)，代入（1）得CF＝EQ\F(5,2)若AB＝AE，則∠BAE＝90°，BE＝eq\r(,2)AB＝3eq\r(,2)，代入（1）得CF＝2若AB＝BE，則BE＝3，代入（1）得CF＝4eq\r(,2)－3（2）設(shè)△ADF外接圓的圓心為O∵∠ADF＝135°，∴∠AOF＝90°，∴AF＝eq\r(,2)r當(dāng)AF最小時(shí)，r也最??；又當(dāng)CF最大時(shí)，AF最小由（1）知CF＝EQ\F(4eq\r(,2)－BE,3)·BE＝－EQ\F(1,3)BE2＋EQ\F(4eq\r(,2),3)BE＝－EQ\F(1,3)(BE－2eq\r(,2))2＋EQ\F(8,3)BCAEFDGO當(dāng)BE＝2eq\r(,2)即E為BC中點(diǎn)時(shí)，CF最大，為EQ\F(8,3BCAEFDGO此時(shí)DF＝3－EQ\F(8,3)＝EQ\F(1,3)作FG⊥AD于G，則FG＝DG＝EQ\F(eq\r(,2),6)，AG＝AD＋DG＝EQ\F(7eq\r(,2),6)∴AF長的最小值為：eq\r(,AG2＋FG2)＝EQ\F(5,3)∴△ADF外接圓半徑的最小值為EQ\F(eq\r(,2),2)AF＝EQ\F(5eq\r(,2),6)16．（浙江模擬）已知直線y＝x－2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，C是x軸上異于A的一點(diǎn)，以C為圓心的⊙C過點(diǎn)A，D是⊙C上的一點(diǎn)，如果以A、B、C、D為頂點(diǎn)四邊形為平行四邊形，求D點(diǎn)的坐標(biāo)．AAOBxy11解：由題意，得A（2，0），B（0，－2）AOBxyDC∴OA＝OB＝2，AB＝2AOBxyDC①若CD是平行四邊形的邊，則CA＝CD＝AB＝2eq\r(,2)∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2＋2eq\r(,2)，0）或（2－2eq\r(,2)，0）當(dāng)C（2＋2eq\r(,2)，0）時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4＋2eq\r(,2)，2）或（2eq\r(,2)，－2）當(dāng)C（2－2eq\r(,2)，0）時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4－2eq\r(,2)，2）或（－2eq\r(,2)，－2）②若CD是平行四邊形的對(duì)角線，設(shè)AB、CD相交于點(diǎn)M則CA＝CD＝2CM而點(diǎn)C到直線AB的距離為EQ\F(eq\r(,2),2)CA，所以CM≥EQ\F(eq\r(,2),2)CA，即CA≤eq\r(,2)CM故此時(shí)A、B、C、D四點(diǎn)不能構(gòu)成平行四邊形綜上，若以A、B、C、D為頂點(diǎn)四邊形為平行四邊形，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為：AOBAOBxyDCAOBxyDCAOBxyDCxyMOMCMFMAMEMBMDM17．（浙江模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（8，0），以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點(diǎn)B是該半圓周上一動(dòng)點(diǎn)，連接AB并延長AB至點(diǎn)D，使DB＝AB，連接OB、DC相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EFxyMOMCMFMAMEMBMDM（1）如果以點(diǎn)A、C、D為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）如果以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）如果以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．解：（1）由題意，∠OBA＝90°，OC＝CA＝4，CD＞CAxyMOMCMFMAMxyMOMCMFMAMEMBMDMHM作DH⊥CA于H，則CH＝HA＝EQ\F(1,2)CA＝2∵∠DHA＝∠OBA＝90°，∠DAH＝∠OAB∴△DHA∽△OBA，∴EQ\F(DA,HA)＝EQ\F(OA,BA)即EQ\F(2BA,2)＝EQ\F(8,BA)，∴BA＝2eq\r(,2)∴OB＝eq\r(,OA2－BA2)＝2eq\r(,14)，DC＝DA＝4eq\r(,2)，∴DH＝eq\r(,DC2－CH2)＝2eq\r(,7)∵EF⊥OA，∴△ECF∽△DCH∴EQ\F(EF,CF)＝EQ\F(DH,CH)＝EQ\F(2eq\r(,7),2)＝eq\r(,7)設(shè)CF＝x，則EF＝eq\r(,7)x∵∠OFE＝∠OBA＝90°，∠EOF＝∠AOB∴△OEF∽△OAB，即EQ\F(EF,OF)＝EQ\F(AB,OB)∴EQ\F(eq\r(,7)x,4＋x)＝EQ\F(2eq\r(,2),2eq\r(,14))，解得x＝EQ\F(2,3)∴OF＝4＋x＝EQ\F(14,3)，EF＝eq\r(,7)x＝EQ\F(2eq\r(,7),3)∴E（EQ\F(14,3)，EQ\F(2eq\r(,7),3)）②若CA＝DAxyMOMCMFMAMEMBMDMHM則BA＝EQ\F(1,2)DA＝EQ\F(1,2)CA＝2，OB＝eq\r(,OA2－BA2)＝2eq\r(,15)xyMOMCMFMAMEMBMDMHM作DH⊥CA于H，則△DHA∽△OBA∴EQ\F(DA,HA)＝EQ\F(OA,BA)，即EQ\F(4,HA)＝EQ\F(8,2)，∴HA＝1∴CH＝3，DH＝eq\r(,DA2－HA2)＝eq\r(,15)由△ECF∽△DCH，得EQ\F(EF,CF)＝EQ\F(DH,CH)＝EQ\F(eq\r(,15),3)設(shè)CF＝3x，則EF＝eq\r(,15)x由△OEF∽△OAB，得EQ\F(EF,OF)＝EQ\F(AB,OB)∴EQ\F(eq\r(,15)x,4＋3x)＝EQ\F(2,2eq\r(,15))，解得x＝EQ\F(1,3)∴OF＝4＋3x＝5，EF＝eq\r(,15)x＝EQ\F(eq\r(,15),3)∴E（5，EQ\F(eq\r(,15),3)）（2）①當(dāng)點(diǎn)F在O、C之間時(shí)∵∠ECF＞∠BAO，∴要使△ECF與△AOB相似，只能∠ECF＝∠AOB此時(shí)△OCE為等腰三角形，點(diǎn)F為OC中點(diǎn)，即OF＝2過B作BG∥DC交OA于G∵DB＝AB，∴CG＝AG＝2，∴OG＝6xyMOMCMFMAMEMBMDMGM∵xyMOMCMFMAMEMBMDMGM∴EQ\F(OE,OB)＝EQ\F(OC,OG)＝EQ\F(4,6)＝EQ\F(2,3)設(shè)OE＝2x，則OB＝3x由△OEF∽△OAB，得EQ\F(OE,OF)＝EQ\F(OA,OB)∴EQ\F(2x,2)＝EQ\F(8,3x)，解得x＝EQ\F(2eq\r(,6),3)∴OE＝2x＝EQ\F(4eq\r(,6),3)，∴EF＝eq\r(,OE2－OF2)＝EQ\F(2eq\r(,15),3)∴E（2，EQ\F(2eq\r(,15),3)）②當(dāng)點(diǎn)F在C、A之間時(shí)∵∠ECF＞∠BOA，∴要使△CEF與△AOB相似，只能∠ECF＝∠OABxyMOMCMFMxyMOMCMFMAMEMBMDMHM由（1）知，E（EQ\F(14,3)，EQ\F(2eq\r(,7),3)）（3）①若∠FEC＝∠BAE，則△EFC∽△ABE∵OB垂直平分AD，∴AE＝DE∴∠D＝∠BAE，∴∠FEC＝∠D∴∠ECF＝∠DEB＝∠OEC，∴OE＝OC＝4過B作BG∥DC交OA于G∵DB＝AB，∴CG＝AG＝2，∴OG＝6由△OEC∽△OBG，得OB＝OG＝6∴BE＝2，AB＝eq\r(,OA2－OB2)＝2eq\r(,7)xyMOMCMFMAMEMBMDMGM由△OEF∽△OAB，得EF＝EQ\F(1,2)AB＝eq\r(,7)，OF＝EQ\F(1,2)OB＝3xyMOMCMFMAMEMBMDMGM∴E（3，eq\r(,7)）②若∠ECF＝∠EAB，則△CFE∽△ABE∵∠D＝∠EAB，∴∠ECF＝∠D∴CA＝DA由（1）知，此時(shí)E（5，EQ\F(eq\r(,15),3)）18．（江蘇南京）某玩具由一個(gè)圓形區(qū)域和一個(gè)扇形區(qū)域組成．如圖，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1與O2C、O2D分別相切于點(diǎn)A、B．已知∠CO2D＝60°，E、F是直線O1O2與⊙O1、扇形O2CD的兩個(gè)交點(diǎn)，EF＝24cm．設(shè)⊙O1的半徑為xcm．（1）用含x的代數(shù)式表示扇形O2CD的半徑；ABCFO2DEO1（2）若⊙O1和扇形O2CD兩個(gè)區(qū)域的制作成本分別為0.45元/cm2和0.ABCFO2DEO1解：（1）連接O1AABCFO2DEO1∵⊙O1與O2CABCFO2DEO1∴O1A⊥O2C，O2E平分∠CO2D∴∠AO2O1＝EQ\F(1,2)∠CO2D＝30°在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝EQ\F(AO1,O1O2)∴O1O2＝EQ\F(AO1,sin∠AO2O1)＝EQ\F(x,sin30°)＝EQ\F(AO1,O1O2)＝2x∴FO2＝EF－EO1－O1O2＝24－3x，即扇形O2CD的半徑為(24－3x)cm

（2）設(shè)該玩具的制作成本為y元，則y＝0.45πx2＋0.06×EQ\F((360－60)×π×(24－3x)2,360)＝0.9πx2－7.2πx＋28.8π＝0.9π(x－4)2＋14.4π所以當(dāng)x＝4時(shí)，y的值最?。穑寒?dāng)⊙O1的半徑為4cm時(shí)，該玩具的制作成本最小19．（江蘇南京）如圖，A、B為⊙O上的兩個(gè)定點(diǎn)，P是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)（P不與A、B重合），我們稱∠APB是⊙O上關(guān)于A、B的滑動(dòng)角．（1）已知∠APB是⊙O上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角．①若AB是⊙O的直徑，則∠APB＝___________°；②若⊙O的半徑是1，AB＝eq\r(,2)，求∠APB的度數(shù)；（2）已知O2是⊙O1外一點(diǎn)，以O(shè)2為圓心作一個(gè)圓與⊙O1相交于A、B兩點(diǎn)，∠APB是⊙O1上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角，直線PA、PB分別交⊙O2于點(diǎn)M、N（點(diǎn)M與點(diǎn)A、點(diǎn)N與點(diǎn)B均不重合），連接AN，試探索∠APB與∠MAN、∠ANB之間的數(shù)量關(guān)系．AABPOABP1ABP1OP2②如圖，連接AB、OA、OB在△AOB中，∵OA＝OB＝1，AB＝eq\r(,2)∴OA2＋OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧EQ\o\ac(AB,\s\up9(︵))上時(shí)，∠AP1B＝EQ\F(1,2)∠AOB＝45°當(dāng)點(diǎn)P在劣弧EQ\o\ac(AB,\s\up9(︵))上時(shí)，∠AP2B＝EQ\F(1,2)(360°－∠AOB)＝135°

（2）根據(jù)點(diǎn)P在⊙O1上的位置分為以下四種情況第一種情況：點(diǎn)P在⊙O2外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間，如圖①∵∠MAN＝∠APB＋∠ANB，∴∠APB＝∠MAN－∠ANB第二種情況：點(diǎn)P在⊙O2外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)N在點(diǎn)P與點(diǎn)B之間，如圖②∵∠MAN＝∠APB＋∠ANB＝∠APB＋(180°－∠ANB)∴∠APB＝∠MAN＋∠ANB－180°第三種情況：點(diǎn)P在⊙O2外，且點(diǎn)M在點(diǎn)P與點(diǎn)A之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間，如圖③∵∠APB＋∠ANB＋∠MAN＝180°∴∠APB＝180°－∠ANB－∠MAN第四種情況：點(diǎn)P在⊙O2內(nèi)，如圖④∠APB＝∠MAN＋∠ANBABPOABPO2③NMO1ABPO2①NMO1ABPO2②NMO1ABPO2④NMO120．（江蘇泰州）如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點(diǎn)A，OA＝5，OA與⊙O相交于點(diǎn)P，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，BP的延長線交直線l于點(diǎn)C．（1）試判斷線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若PC＝2eq\r(,5)，求⊙O的半徑和線段PB的長；（3）若在⊙O上存在點(diǎn)Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求⊙O的半徑r的取值范圍．CCPOBAlOOAl（備用圖）（1）AB＝AC．理由如下：連接OB∵AB與⊙O相切于點(diǎn)B，OA⊥AC，∴∠OBA＝∠OAC＝90°CPOBAlD∴∠OBP＋∠ABP＝90°，∠CPOBAlD∵OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB∵∠OPB＝∠APC，∴∠ABP＝∠ACP∴AB＝AC（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OP＝OB＝r，PA＝5－r∴AB2＝OA2－OB2＝52－r2AC2＝PC2－PA2＝(2eq\r(,5))2－(5－r)2∵AB＝AC，∴52－r2＝(2eq\r(,5))2－(5－r)2解得r＝3∴AB＝eq\r(,52－32)＝4，∴sin∠BOP＝EQ\F(AB,OA)＝EQ\F(4,5)，cos∠BOP＝EQ\F(OB,OA)＝EQ\F(3,5)過B作BD⊥OP于D則DB＝OB·sin∠BOP＝3×EQ\F(4,5)＝EQ\F(12,5)，OD＝OB·cos∠BOP＝3×EQ\F(3,5)＝EQ\F(9,5)∴DP＝OP－OD＝3－EQ\F(9,5)＝EQ\F(6,5)CPOBAlEMN∴PB＝eq\r(,DB2＋DP2)＝EQ\F(6,5)eq\r(,5)CPOBAlEMN（3）作線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN則OE＝EQ\F(1,2)AC＝EQ\F(1,2)AB＝EQ\F(1,2)eq\r(,52－r2)由題意，⊙O與直線MN有交點(diǎn)∴OE≤r，即EQ\F(1,2)eq\r(,52－r2)≤r，∴r≥eq\r(,5)又∵直線l與⊙O相離，∴r＜5∴eq\r(,5)≤r＜521．（江蘇常州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在正比例函數(shù)y＝x的圖象上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m＞0）．以點(diǎn)P為圓心，eq\r(,5)m為半徑的圓交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的上方），點(diǎn)E為平行四邊形DOPE的頂點(diǎn)（如圖）．（1）寫出點(diǎn)B、E的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）連接DB、BE，設(shè)△BDE的外接圓交y軸于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q異于點(diǎn)D），連接EQ、BQ．試問線段BQ與線段EQ的長是否相等？為什么？（3）連接BC，求∠DBC－∠DBE的度數(shù)．CBCBPOxDyEA（備用圖）CBPOxDyEA解：（1）B（3m，0），E（m，4m）（2）BQ與EQ相等，理由如下：CBPOxDyEAFK易得DCBPOxDyEAFK則得OB＝OD，EK＝DK∴△BOD和△EKD均為等腰直角三角形∴∠EDB＝90°∴BE為△EDB外接圓的直徑∴∠EQB＝90°，∴∠QDB＝∠QEB＝45°∴∠QBE＝45°，∴∠QEB＝∠QBE∴BQ＝EQ（3）由（2）知，△BDE為直角三角形易得DE＝eq\r(,2)m，BD＝3eq\r(,2)m在Rt△BOC中，BO＝3CO＝3m在△BDE和△BOC中∠BDE＝∠BOC＝90°，且EQ\F(DE,BD)＝EQ\F(CO,BO)＝EQ\F(1,3)∴△BDE∽△BOC，∴∠DBE＝∠OBC∴∠∠DBC－∠DBE＝∠DBC－∠OBC＝45°22．（江蘇揚(yáng)州）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，且OA＝2，OC＝1，矩形對(duì)角線AC、OB相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E的直線與邊OA、BC分別相交于點(diǎn)G、H．（1）①直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)：____________；②求證：AG＝CH；（2）如圖2，以O(shè)為圓心、OC為半徑畫弧交OA于點(diǎn)D，若直線GH與弧CD所在的圓相切于矩形內(nèi)一點(diǎn)F，求直線GH的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的結(jié)論下，梯形ABHG的內(nèi)部有一點(diǎn)P，當(dāng)⊙P與HG、GA、AB都相切時(shí)，求⊙P的半徑．BGOBGOxHyEAC圖2FDBGOxHyEAC圖1BGOxHyEAC備用圖FD解：（1）①（1，EQ\F(1,2)）②證明：在矩形OABC中，∵EA＝EC，OA∥BC∴∠GAE＝∠HCE又∵∠GEA＝∠HEC，∴△AGE≌△CHE∴AG＝CH（2）連接ED、OF、OBBGOxHyEACFDBGOxHyEACFD∴ED＝EQ\F(1,2)AB＝EQ\F(1,2)，且ED∥AB∴∠EDO＝∠BAO＝90°，∴ED切⊙O于D又直線GH切⊙O于F，∴EF＝ED＝EQ\F(1,2)又∵HC是⊙O的切線，∴HF＝HC設(shè)AG＝m，則HC＝HF＝AG＝m，OG＝2－m由（1）可知，EH＝EG，∴EG＝EQ\F(1,2)＋m，F(xiàn)G＝1＋m在Rt△OFG中，OG2＝OF2＋FG2∴(2－m)2＝12＋(1＋m)2，解得m＝EQ\F(1,3)∴OG＝2－m＝EQ\F(5,3)，∴點(diǎn)G坐標(biāo)為（EQ\F(5,3)，0）設(shè)直線GH的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b，將點(diǎn)E（1，EQ\F(1,2)）、G（EQ\F(5,3)，0）代入得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(EQ\F(1,2)＝k＋b,0＝EQ\F(5,3)k＋b))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(k＝－EQ\F(3,4),b＝EQ\F(5,4)))∴直線GH的函數(shù)關(guān)系式為y＝－EQ\F(3,4)x＋EQ\F(5,4)（3）連接BG，作∠BAO的平分線交BC于點(diǎn)M，交BG于點(diǎn)P由（2）知，BH＝EQ\F(5,3)，GH＝EQ\F(5,3)，∴BH＝GH，∴∠HBG＝∠HGB∵BC∥OA，∴∠HBG＝∠AGB，∴∠HGB＝∠AGB即GB平分∠HGA，∴點(diǎn)P即為所求圓的圓心∵AM平分∠BAO，∴∠BAM＝45°∴MB＝AB＝1，∴MC＝1，∴M（1，1）BGOxHyEACFDPMBGOxHyEACFDPM則eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(0＝2k1＋b1,1＝k1＋b1))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(k1＝－1,b1＝2))∴y＝－x＋2設(shè)直線BG的函數(shù)關(guān)系式為y＝k2x＋b2∵B（2，1）、G（EQ\F(5,3)，0）∴eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(1＝2k2＋b2,0＝EQ\F(5,3)k2＋b2))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(k2＝3,b1＝－5))∴y＝3x－5由eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(y＝－x＋2,y＝3x－5))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(x＝EQ\F(7,4),y＝EQ\F(1,4)))∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（EQ\F(7,4)，EQ\F(1,4)）∴⊙P的半徑為EQ\F(1,4)BOxyAO′23．（江蘇連云港）如圖，⊙O的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2，直線y＝x＋b（b＞0）與⊙O交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O關(guān)于直線y＝x＋BOxyAO′（1）求證：四邊形OAO′B是菱形；（2）當(dāng)點(diǎn)O′落在⊙O上時(shí)，求b的值．BOxyAO′MNP（1）證明：∵點(diǎn)O與點(diǎn)OBOxyAO′MNP∴直線y＝x＋b是線段OO′的垂直平分線∴AO＝AO′，BO＝BO′又∵OA，OB都是⊙O的半徑，∴OA＝OB∴AO＝AO′＝BO＝BO′∴四邊形OAO′B是菱形（2）解：如圖，連接OO′交直線y＝x＋b于點(diǎn)M當(dāng)點(diǎn)O′落在⊙O上時(shí)，有OM＝EQ\F(1,2)OO′＝1∵直線y＝x＋b與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是N（－b，0）、P（0，b）∴△ONP為等腰直角三角形，∴∠ONP＝45°又∵OM＝1，∴OP＝eq\r(,2)，即b＝eq\r(,2)24．（江蘇鹽城）如圖所示，AC⊥AB，AB＝2eq\r(,3)，AC＝2，點(diǎn)D是以AB為直徑的半圓O上一動(dòng)點(diǎn)，DE⊥CD交直線AB于點(diǎn)E，設(shè)∠DAB＝α（0°＜α＜90°）．（1）當(dāng)α＝18°時(shí)，求EQ\o\ac(BD,\s\up9(︵))的長；（2）當(dāng)α＝30°時(shí)，求線段BE的長；（3）若要使點(diǎn)E在線段BA的延長線上，則α的取值范圍是______________．（直接寫出答案）DDOBAECα解：（1）連接OD在⊙O中，∵α＝18°，∴∠DOB＝2α＝36°DOBAECα∵AB＝2eq\r(,3)，∴EQ\o\ac(BD,\s\up9(︵))的長為EQ\F(36π×eq\r(,3),180)＝EQ\F(eq\r(,3)π,5)DOBAECα（2）∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°∵α＝30°，AB＝2eq\r(,3)，∴BD＝eq\r(,3)，AD＝AB·cos30°＝3∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴∠CAD＋α＝90°∵∠ADB＝90°，∴α＋∠B＝90°，∴∠CAD＝∠B∵DE⊥CD，∴∠CDE＝90°，∴∠CDA＋∠ADE＝90°∵∠ADE＋∠EDB＝90°，∴∠CDA＝∠EDB∴△CDA∽△EDB，∴EQ\F(AC,BE)＝EQ\F(AD,BD)∴EQ\F(2,BE)＝EQ\F(3,eq\r(,3))，∴BE＝EQ\F(2eq\r(,3),3)（3）60°＜α＜90°提示：如圖，當(dāng)E與A重合時(shí)DOBAE′CαD′(E)∵DOBAE′CαD′(E)∴C、D、B三點(diǎn)共線在Rt△ABC中，AB＝2eq\r(,3)，AC＝2∴tan∠ABC＝EQ\F(AC,AB)＝EQ\F(eq\r(,3),3)，∴∠ABC＝30°∴α＝∠DAB＝90°－∠ABC＝60°當(dāng)E′在BA的延長線上時(shí)，有∠D′AB＞∠DAB∴α＞60°又∵0°＜α＜90°，∴60°＜α＜90°CABODEFG25．（江蘇宿遷）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD與以AB為直徑的半圓相切于點(diǎn)E，EF⊥AB于點(diǎn)F，EF交BD于點(diǎn)G．設(shè)ADCABODEFG（1）求CD的長度（用a、b表示）；（2）求EG的長度（用a、b表示）；（3）試判斷EG與FG是否相等，并說明理由．解：（1）∵∠DAB＝90°，∴DA為⊙O的切線又∵CD為⊙O的切線，∴DA＝DE同理，CE＝CB又∵AD＝a，BC＝b，∴CD＝CE＋ED＝BC＋AD＝b＋a＝a＋b（2）∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°CABODEFG又∵∠ABC＝90°，∴∠CABODEFG∴EF∥CB，∴△DGE∽△DBC∴EQ\F(EG,CB)＝EQ\F(DE,DC)，即EQ\F(EG,b)＝EQ\F(a,a＋b)∴EG＝EQ\F(ab,a＋b)（3）EG＝FG理由：∵△DGE∽△DBC，∴EQ\F(DG,DB)＝EQ\F(DE,DC)＝EQ\F(a,a＋b)∴EQ\F(DB