近代數(shù)學(xué)2巨星-歐拉與高斯課件

近代數(shù)學(xué)兩位巨星—?dú)W拉與高斯---07數(shù)學(xué)普本楊慧25,李萌萌26（測(cè)試）你的數(shù)學(xué)天賦是歐拉型還是高斯型？一列士兵，每行排7個(gè)，余4個(gè)；每行排13個(gè)，余3個(gè)；每行排17個(gè)，余2個(gè)；問(wèn)列兵幾何？

于3分鐘內(nèi)用枚舉法心算報(bào)出答案者，為歐拉型。于5分鐘內(nèi)列出方程求出者，為高斯型。10分鐘內(nèi)一頭霧水者，請(qǐng)自動(dòng)停止發(fā)言三天。

初等數(shù)論—對(duì)于互質(zhì)的整數(shù)a和n，有a^φ(n)≡1(modn)平面幾何—（1）(Euler定理)設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R2-2Rr．（2）四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD的中點(diǎn)分別為M、N,則：AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4MN^2.公式簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E間有關(guān)系V+F-E=2失明前歐拉小時(shí)候他就特別喜歡數(shù)學(xué)，不滿10歲就開(kāi)始自學(xué)《代數(shù)學(xué)》。這本書連他的幾位老師都沒(méi)讀過(guò)，可小歐拉卻讀得津津有味，遇到不懂的地方，就用筆作個(gè)記號(hào)，事后再向別人請(qǐng)教。13歲就進(jìn)巴塞爾大學(xué)讀書，這在當(dāng)時(shí)是個(gè)奇跡，曾轟動(dòng)了數(shù)學(xué)界。小歐拉是這所大學(xué)，也是整個(gè)瑞士大學(xué)校園里年齡最小的學(xué)生。在大學(xué)里得到當(dāng)時(shí)最有名的數(shù)學(xué)家微積分權(quán)威約翰·伯努利（JohannBernoulli，1667-1748年）的精心指導(dǎo)，并逐漸與其歐拉建立了深厚的友誼。約翰·伯努利后來(lái)曾這樣稱贊青出于藍(lán)而勝于藍(lán)的學(xué)生：“我介紹高等分析時(shí)，他還是個(gè)孩子，而你將他帶大成人?！眱赡旰蟮南奶?，歐拉獲得巴塞爾大學(xué)的學(xué)士學(xué)位，次年，歐拉又獲得巴塞爾大學(xué)的哲學(xué)碩士學(xué)位。1725年，歐拉開(kāi)始了他的數(shù)學(xué)生涯。

歐拉的父親保羅·歐拉（PaulEuler）也是一個(gè)數(shù)學(xué)家，原希望小歐拉學(xué)神學(xué)，同時(shí)教他一點(diǎn)數(shù)學(xué)。由于小歐拉的才能和異常勤奮的精神，又受到約翰·伯努利的賞識(shí)和特殊指導(dǎo)，當(dāng)他在19歲時(shí)寫了一篇關(guān)于船桅的論文，獲得巴黎科學(xué)院的獎(jiǎng)金后，他的父親就不再反對(duì)他攻讀數(shù)學(xué)了。

1725年約翰·伯努利的兒子丹尼爾·伯努利赴俄國(guó)，并向沙皇喀德林一世推薦了歐拉，這樣，在1727年5月17日歐拉來(lái)到了彼得堡。1733年，年僅26歲的歐拉擔(dān)任了彼得堡科學(xué)院數(shù)學(xué)教授。1735年，歐拉解決了一個(gè)天文學(xué)的難題（計(jì)算彗星軌道），這個(gè)問(wèn)題經(jīng)幾個(gè)著名數(shù)學(xué)家?guī)讉€(gè)月的努力才得到解決，而歐拉卻用自己發(fā)明的方法，三天便完成了。失明后過(guò)度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，這時(shí)他才28歲。1741年歐拉到柏林擔(dān)任科學(xué)院物理數(shù)學(xué)所所長(zhǎng)，直到1766年，后來(lái)在沙皇喀德林二世的誠(chéng)懇敦聘下重回彼得堡，不料沒(méi)有多久，左眼視力衰退，最后完全失明。不幸的事情接踵而來(lái)，1771年彼得堡的大火災(zāi)殃及歐拉住宅，帶病而失明的64歲的歐拉被圍困在大火中，雖然他被別人從火海中救了出來(lái)，但他的書房和大量研究成果全部化為灰燼了。沉重的打擊，仍然沒(méi)有使歐拉倒下，他發(fā)誓要把損失奪回來(lái)。歐拉完全失明以后，雖然生活在黑暗中，但仍然以驚人的毅力與黑暗搏斗，憑著記憶和心算進(jìn)行研究，直到逝世，竟達(dá)17年之久。1783年9月18日，在不久前才剛計(jì)算完氣球上升定律的歐拉，在興奮中突然停止了呼吸，享年76歲。1.超人的記憶和心算能力歐拉的記憶力和心算能力是罕見(jiàn)的.有一個(gè)例子足以說(shuō)明他的本領(lǐng)，歐拉的兩個(gè)學(xué)生把一個(gè)復(fù)雜的收斂級(jí)數(shù)的17項(xiàng)加起來(lái)，算到第50位數(shù)字，兩人相差一個(gè)單位，歐拉為了確定究竟誰(shuí)對(duì)，用心算進(jìn)行全部運(yùn)算，最后把錯(cuò)誤找了出來(lái)。歐拉在失明的17年中；還解決了使牛頓頭痛的月離問(wèn)題和很多復(fù)雜的分析問(wèn)題。2.高尚的風(fēng)格歐拉的風(fēng)格是很高的，拉格朗日是稍后于歐拉的大數(shù)學(xué)家，從19歲起和歐拉通信，討論等周問(wèn)題的一般解法，這引起變分法的誕生。等周問(wèn)題是歐拉多年來(lái)苦心考慮的問(wèn)題，拉格朗日的解法，博得歐拉的熱烈贊揚(yáng)，1759年10月2日歐拉在回信中盛稱拉格朗日的成就，并謙虛地壓下自己在這方面較不成熟的作品，使年青的拉格朗日的工作得以發(fā)表和流傳。定理1：凡有理整方程f(x)=0必至少有一個(gè)根。推論：一元n次方程f(x)=a_0x^n+a_1x^(n-1)+……+a_(n-1)x+a_n=0必有n個(gè)根，且只有n個(gè)根（包括虛根和重根）。定理2：正整數(shù)n可被表示為兩整數(shù)平方和的充要條件為n的一切形如4k+3形狀的質(zhì)因子的冪次均為偶數(shù)

在數(shù)學(xué)史上，很少有人象高斯一樣很幸運(yùn)地有一位鼎力支持他成才的母親。斯一生下來(lái)，就對(duì)一切現(xiàn)象和事物十分好奇，而且決心弄個(gè)水落石出，這已經(jīng)超出了一個(gè)孩子能被許可的范圍。當(dāng)丈夫?yàn)榇擞?xùn)斥孩子時(shí)，她總是支持高斯，堅(jiān)決反對(duì)頑固的丈夫。羅捷雅真誠(chéng)地希望兒子能干出一番偉大的事業(yè)，對(duì)高斯的才華極為珍視。然而，他也不敢輕易地讓兒子投入當(dāng)時(shí)尚不能養(yǎng)家糊口的數(shù)學(xué)研究中。在高斯19歲那年，盡管他已做出了許多偉大的數(shù)學(xué)成就，但她仍向數(shù)學(xué)界的朋友W.波爾約（W.Bolyai,非歐幾何創(chuàng)立者之一J.波爾約之父）問(wèn)道：高斯將來(lái)會(huì)有出息嗎？W.波爾約說(shuō)她的兒子將是“歐洲最偉大的數(shù)學(xué)家”，為此她激動(dòng)得熱淚盈眶。不過(guò)，這很可能是一個(gè)不真實(shí)的傳說(shuō)。據(jù)對(duì)高斯素有研究的著名數(shù)學(xué)史家E·T·貝爾考證，布特納當(dāng)時(shí)給孩子們出的是一道更難的加法題：81297+81495+81693+…+100899。

當(dāng)然，這也是一個(gè)等差數(shù)列的求和問(wèn)題（公差為198，項(xiàng)數(shù)為100）。當(dāng)布特納剛一寫完時(shí)，高斯也算完并把寫有答案的小石板交了上去。E·T·貝爾寫道，高斯晚年經(jīng)常喜歡向人們談?wù)撨@件事，說(shuō)當(dāng)時(shí)只有他寫的答案是正確的，而其他的孩子們都錯(cuò)了。數(shù)學(xué)史家們傾向于認(rèn)為，高斯當(dāng)時(shí)已掌握了等差數(shù)列求和的方法。一位年僅10歲的孩子，能獨(dú)立發(fā)現(xiàn)這一數(shù)學(xué)方法實(shí)屬很不平常。

1788年，11歲的高斯進(jìn)入了文科學(xué)校，他在新的學(xué)校里，所有的功課都極好，特別是古典文學(xué)、數(shù)學(xué)尤為突出。經(jīng)過(guò)巴特爾斯等人的引薦，布倫茲維克公爵召見(jiàn)了14歲的高斯。這位樸實(shí)、聰明但家境貧寒的孩子贏得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意作高斯的資助人，讓他繼續(xù)學(xué)習(xí)。

1792年，高斯進(jìn)入布倫茲維克的卡羅琳學(xué)院繼續(xù)學(xué)習(xí)。

1795年，公爵又為他支付各種費(fèi)用，送他入德國(guó)著名的哥丁根大學(xué)，高斯得以按照自己的理想，勤奮地學(xué)習(xí)和開(kāi)始創(chuàng)造性的研究。

1806年，公爵在抵抗法軍時(shí)不幸陣亡，這給高斯以沉重打擊。彼得堡科學(xué)院不斷暗示他。為了不使德國(guó)失去最偉大的天才，德國(guó)著名學(xué)者洪堡聯(lián)合其他學(xué)者和政界人物，為高斯?fàn)幦〉搅讼碛刑貦?quán)的哥丁根大學(xué)數(shù)學(xué)和天文學(xué)教授。

1807年，高斯赴哥丁根就職，全家遷居于此。從這時(shí)起，除了一次到柏林去參加科學(xué)會(huì)議以外，他一直住在哥丁根。1799年，高斯已被授予博士學(xué)位，同時(shí)獲得了講師職位，但他沒(méi)有能成功地吸引學(xué)生，因此只能回老家，又是公爵伸手救援他。高斯的學(xué)術(shù)地位，歷來(lái)為人們推崇得很高。他有“數(shù)學(xué)王子”、“數(shù)學(xué)家之王”的美稱、被認(rèn)為是人類有史以來(lái)“最偉大的三位（或四位）數(shù)學(xué)家之一”（阿基米德、牛頓、高斯或加上歐拉）。高斯的研究領(lǐng)域，遍及純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，并且開(kāi)辟了許多新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，從最抽象的代數(shù)數(shù)論到內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)，都留下了他的足跡。從研究風(fēng)格、方法乃至所取得的具體成就方面，他都是18----19世紀(jì)之交的中堅(jiān)人物。如果我們把18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家想象為一系列的高山峻嶺，那么最后一個(gè)令人肅然起敬的巔峰就是高斯；如果把19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家想象為一條條江河，那么其源頭就是高斯。高斯依然生逢其時(shí)，因?yàn)樵谒觳饺攵⒅曛H，歐洲資本主義的發(fā)展，使各國(guó)政府都開(kāi)始重視科學(xué)研究。隨著拿破侖對(duì)法國(guó)科學(xué)家、科學(xué)研究的重視，俄國(guó)的沙皇以及歐洲的許多君主也開(kāi)始對(duì)