高等數(shù)學A課件：3－函數(shù)項級數(shù)

高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程——一元微積分學第三講函數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)授課教師：高等數(shù)學A（1）第八章無窮級數(shù)本章學習要求：理解冪級數(shù)的基本概念。掌握冪級數(shù)的收斂判別法。第八章無窮級數(shù)第三節(jié)函數(shù)項級數(shù)一.一般函數(shù)項級數(shù)二.冪級數(shù)及其斂散性三.冪級數(shù)的運算1.函數(shù)項級數(shù)的定義設有一函數(shù)序列為定義在區(qū)間I

上的函數(shù)項級數(shù).一、函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)

可以利用常數(shù)項級數(shù)的知識來處理函數(shù)項級數(shù)2.函數(shù)項級數(shù)的斂散性的收斂點.的發(fā)散點.它的收斂域,記為D.它的發(fā)散域.3.函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù).稱函數(shù)項級數(shù)的前n

項之和為其部分和：不論級數(shù)在點處是否收斂,均可寫出其部分和.如果級數(shù)在點處收斂,則有4.函數(shù)項級數(shù)斂散性判別可以適當?shù)剡\用常數(shù)項級數(shù)的斂散性判別法,判別函數(shù)項級數(shù)的斂散性.特別注意比較判別法的應用.并求其收斂域.即原級數(shù)在整個實數(shù)域上是絕對收斂的.所求收斂域為解例1的斂散性,并求其收斂域.這是等比級數(shù).故該級數(shù)的收斂域為:要打開思路!解例2形如的級數(shù)稱為冪級數(shù),其中,稱為冪級數(shù)的系數(shù).1.冪級數(shù)的定義二.冪級數(shù)及其斂散性冪級數(shù)的一般形式為當冪級數(shù)收斂時,由可知,不論“和函數(shù)”多么復雜,我們可以用多項式來近似它.當n的值充分大時,這種代替可達到相當?shù)木?由此可聯(lián)想到什么？2.冪級數(shù)的斂散性首先進行分析：則由收斂的必要條件,有而有極限的量必有界,故它是收斂的,結論:（）收斂以上分析結論的圖示:（）發(fā)散若在外部一點收斂,會怎么樣？推出則由上面的分析可知,所有滿足這與假設矛盾.該矛盾說明:當原級數(shù)發(fā)散.由以上的分析發(fā)現(xiàn)：既有收斂點,又有發(fā)散點,則從坐標原點開始沿數(shù)軸往右(左)走,最初只可能遇到它的收斂點,然后就會只遇到它的發(fā)散點,這兩部分的分界是關于坐標原點對稱的,冪級數(shù)在分界點處可能收斂,也可能發(fā)散.現(xiàn)將以上的分析用圖表示出來.（）收發(fā)冪級數(shù)在一個以坐標原點為中心的對稱區(qū)間內收斂,在此區(qū)間外發(fā)散,在區(qū)間端點處冪級數(shù)可能收斂,也可能發(fā)散.當冪級數(shù)僅在

現(xiàn)在請你回想并歸納一下我們剛才進行的分析工作,給出你的結論.阿貝爾定理冪級數(shù)斂散性定理都存在一個非負冪級數(shù)的收斂半徑我們稱上述定理中的非負數(shù)R為冪級數(shù)的收斂半徑.

如何求收斂半徑？求收斂半徑的定理

你能證明嗎?

有點像達朗貝爾判別法？由達朗貝爾判別法：討論要證故此時冪級數(shù)發(fā)散,僅當例3解綜上所述,得:誰的收斂半徑？例4解由交錯級數(shù)判別法,可知此時級數(shù)收斂.例5解由級數(shù)收斂的必要條件,可知綜上所述,這是一個缺項的冪級數(shù),不能直接運用求冪級數(shù)收斂半徑的計算公式.今后遇到這類級數(shù)應該按照函數(shù)項級數(shù)的情形處理,通常是采用達朗貝爾判別法.例6解

冪級數(shù)的運算

冪級數(shù)的四則運算

冪級數(shù)的解析運算三.冪級數(shù)的運算冪級數(shù)的四則運算設有兩個冪級數(shù)則有以下運算規(guī)則1.加、減法2.