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文檔簡介
二次函數(shù)y=ax2+bx+c
的圖象二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象一般地,拋物線y=a(x-h)2+k與y=ax2的
相同,
不同知識(shí)回顧:y=ax2y=a(x-h)2+k形狀位置一般地,拋物線y=a(x-h)2+k與y=ax2的y=ax2y=ax2+k
y=a(x–h)2y=a(x–h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移y=ax2y=ax2+ky=a(x–h拋物線y=a(x-h)2+k的圖象與性質(zhì):1.當(dāng)a﹥0時(shí),開口
,當(dāng)a﹤0時(shí),開口
,2.對(duì)稱軸是
;3.頂點(diǎn)坐標(biāo)是
。向上向下(h,k)直線x=h拋物線y=a(x-h)2+k的圖象與性質(zhì):1.當(dāng)a﹥0時(shí),開二次函數(shù)開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)y=2(x+3)2+5y=-3x(x-1)2-2y=4(x-3)2+7y=-5(2-x)2-6向上(1,-2)向下向下(3,7)(2,-6)向上直線x=-3直線x=1直線x=3直線x=2(-3,5)練習(xí):思考二次函數(shù)開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)y=2(x+3)2+5y=探究:一般地,我們可以用配方法求拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)與對(duì)稱軸y=ax2+bx+c
探究:一般地,我們可以用配方法求拋物線y=ax2+bx+c(二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)歸納二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)歸納例1:利用公式法求下列拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo),并指出它的最值。(1)y=x2+4x-1(2)y=-0.5x2+2x-1例1:利用公式法求下列拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo),并指出它的最1、利用公式法求出下列拋物線對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo),并說出它的開口方向及最值.(1)y=3x2+2x(2)y=-x2-2x(3)y=-2x2+8x-8練習(xí):1、利用公式法求出下列拋物線對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo),并說出它的開口3、已知一次函數(shù)y=-2x+c與二次函數(shù)y=ax2+bx-4的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A(1,-1),二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=-1,請(qǐng)求出一次函數(shù)和二次函數(shù)的表達(dá)式.2、當(dāng)m=_____時(shí),拋物線y=mx2
+2(m+2)x+m+3的對(duì)稱軸是y軸;當(dāng)m=_____時(shí),圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是1;當(dāng)m=_____時(shí),函數(shù)的最小值是-2.4.寫出一個(gè)二次函數(shù)的解析式,使它的頂點(diǎn)在第二象限且開口向下(要求用一般式表示)3、已知一次函數(shù)y=-2x+c與二次函數(shù)y=ax2+bx-5.如圖,在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)y=ax+b與y=ax2+bx(ab≠0)的圖象只可能是()xyoABxyoCxyoDxyo5.如圖,在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)y=ax+b與y=ax2+bx6.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下列各式中是正數(shù)的有()a②b③c
a+b+c⑤a-b+c⑥
4a+b⑦2a+bBy-1...12xyA.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)6.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下列各式中是7.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下列結(jié)論:①a+b+c<0②a-b+c>0③acb>0④b=2a,其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A.4B.3C.2D.17.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,例2.用總長為60m的籬笆墻圍成矩形場地,矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化,當(dāng)l為多少時(shí),場地的面積S最大?實(shí)際應(yīng)用例2.用總長為60m的籬笆墻圍成矩形場地,矩形面積S隨矩形一實(shí)際應(yīng)用已知直角三角形兩條直角邊的和等于8,兩條直角邊各為多少時(shí),這個(gè)直角三角形的面積最大,最大值是多少?實(shí)際應(yīng)用已知直角三角形兩條直角邊的和等于8,兩條直角邊各為多心理學(xué)家發(fā)現(xiàn),學(xué)生對(duì)概念的接受能力y與提出概念所用的時(shí)間x(分鐘)之間滿足函數(shù)關(guān)系:y=-0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30),y值越大表示接受能力越強(qiáng).(1)x在什么范圍內(nèi),學(xué)生的接受能力逐步增加?
x在什么范圍內(nèi),學(xué)生的接受能力逐步降低?(2)第10分鐘時(shí),學(xué)生的接受能力是多少?第幾分鐘時(shí),學(xué)生的接受能力最強(qiáng)?思考:心理學(xué)家發(fā)現(xiàn),學(xué)生對(duì)概念的接受能力y與提出思考1.拋物線y=-x2+mx-n的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,-3),求m,n的值。2.不畫圖象,說明拋物線y=-x2+4x+5可由拋物線y=-x2經(jīng)過怎樣的平移得到?1.拋物線y=-x2+mx-n的頂點(diǎn)坐標(biāo)是2.不畫圖象,說明3.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,試求出a,b,c的值。230yx3.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,試求出a,思考二次函數(shù)解析式有哪幾種表達(dá)式?一般式:y=ax2+bx+c頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k兩根式:y=a(x-x1)(x-x2)思考二次函數(shù)解析式有哪幾種表達(dá)式?一般式:y=ax2+b一般式:y=ax2+bx+c兩根式:y=a(x-x1)(x-x2)頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k解:設(shè)所求的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c由條件得:a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得:因此:所求二次函數(shù)是:a=2,b=-3,c=5y=2x2-3x+5已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(-1,10)、(1,4)、(2,7)三點(diǎn),求這個(gè)函數(shù)的解析式?oxy例1一般式:y=ax2+bx+c兩根式:頂點(diǎn)式:解:設(shè)所求的二一、一般式
1.已知一個(gè)二次函數(shù)圖象經(jīng)過(-1,10)、(2,7)和(1,4)三點(diǎn),那么這個(gè)函數(shù)的解析式是_______。一、一般式2.已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(-1,8),(1,2),(2,5)三點(diǎn)。求這個(gè)函數(shù)的解析式2.已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過解:設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x+1)2-3由條件得:已知拋物線的頂點(diǎn)為(-1,-3),與y軸交點(diǎn)為(0,-5),求拋物線的解析式?yox點(diǎn)(0,-5)在拋物線上a-3=-5,得a=-2故所求的拋物線解析式為y=-2(x+1)2-3即:y=-2x2-4x-5一般式:y=ax2+bx+c兩根式:y=a(x-x1)(x-x2)頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k例2解:設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x+1)2-3由條件得:已知二、頂點(diǎn)式
1.已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是A(-1,4)且經(jīng)過點(diǎn)(1,2),求其解析式。二、頂點(diǎn)式2、已知拋物線的頂點(diǎn)為(2,3),且過點(diǎn)(1,4),求這個(gè)函數(shù)的解析式。2、已知拋物線的頂點(diǎn)為解:設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x+1)(x-1)由條件得:已知拋物線與X軸交于A(-1,0),B(1,0)并經(jīng)過點(diǎn)M(0,1),求拋物線的解析式?yox點(diǎn)M(0,1)在拋物線上所以:a(0+1)(0-1)=1得:
a=-1故所求的拋物線解析式為y=-(x+1)(x-1)即:y=-x2+1一般式:y=ax2+bx+c兩根式:y=a(x-x1)(x-x2)頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k例3解:設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x+1)(x-1)由條件得:三、交點(diǎn)式
1.已知拋物線y=-2x2+8x-9的頂點(diǎn)為A點(diǎn),若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A點(diǎn),且與x軸交于B(0,0)、C(3,0)兩點(diǎn),試求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。三、交點(diǎn)式例題選講有一個(gè)拋物線形的立交橋拱,這個(gè)橋拱的最大高度為16m,跨度為40m.現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系里(如圖所示),求拋物線的解析式.例4設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,解:根據(jù)題意可知拋物線經(jīng)過(0,0),(20,16)和(40,0)三點(diǎn)可得方程組通過利用給定的條件列出a、b、c的三元一次方程組,求出a、b、c的值,從而確定函數(shù)的解析式.過程較繁雜,評(píng)價(jià)例題選講有一個(gè)拋物線形的立交橋拱,這個(gè)橋拱的最大高度例例題選講有一個(gè)拋物線形的立交橋拱,這個(gè)橋拱的最大高度為16m,跨度為40m.現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系里(如圖所示),求拋物線的解析式.例4設(shè)拋物線為y=a(x-20)2+16
解:根據(jù)題意可知∵點(diǎn)(0,0)在拋物線上,通過利用條件中的頂點(diǎn)和過愿點(diǎn)選用頂點(diǎn)式求解,方法比較靈活評(píng)價(jià)∴所求拋物線解析式為
例題選講有一個(gè)拋物線形的立交橋拱,這個(gè)橋拱的最大高度例例題選講有一個(gè)拋物線形的立交橋拱,這個(gè)橋拱的最大高度為16m,跨度為40m.現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系里(如圖所示),求拋物線的解析式.例4設(shè)拋物線為y=ax(x-40)解:根據(jù)題意可知∵點(diǎn)(20,16)在拋物線上,選用兩根式求解,方法靈活巧妙,過程也較簡捷評(píng)價(jià)例題選講有一個(gè)拋物線形的立交橋拱,這個(gè)橋拱的最大高度例課堂小結(jié)求二次函數(shù)解析式的一般方法:已知圖象上三點(diǎn)或三對(duì)的對(duì)應(yīng)值,通常選擇一般式已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)(對(duì)稱軸和最值)通常選擇頂點(diǎn)式已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫x1、x2,通常選擇兩根式y(tǒng)xo確定二次函數(shù)的解析式時(shí),應(yīng)該根據(jù)條件的特點(diǎn),恰當(dāng)?shù)剡x用一種函數(shù)表達(dá)式,課堂小結(jié)求二次函數(shù)解析式的一般方法:已知圖象上三點(diǎn)或二次函數(shù)y=ax2+bx+c
的圖象二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象一般地,拋物線y=a(x-h)2+k與y=ax2的
相同,
不同知識(shí)回顧:y=ax2y=a(x-h)2+k形狀位置一般地,拋物線y=a(x-h)2+k與y=ax2的y=ax2y=ax2+k
y=a(x–h)2y=a(x–h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移y=ax2y=ax2+ky=a(x–h拋物線y=a(x-h)2+k的圖象與性質(zhì):1.當(dāng)a﹥0時(shí),開口
,當(dāng)a﹤0時(shí),開口
,2.對(duì)稱軸是
;3.頂點(diǎn)坐標(biāo)是
。向上向下(h,k)直線x=h拋物線y=a(x-h)2+k的圖象與性質(zhì):1.當(dāng)a﹥0時(shí),開二次函數(shù)開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)y=2(x+3)2+5y=-3x(x-1)2-2y=4(x-3)2+7y=-5(2-x)2-6向上(1,-2)向下向下(3,7)(2,-6)向上直線x=-3直線x=1直線x=3直線x=2(-3,5)練習(xí):思考二次函數(shù)開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)y=2(x+3)2+5y=探究:一般地,我們可以用配方法求拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)與對(duì)稱軸y=ax2+bx+c
探究:一般地,我們可以用配方法求拋物線y=ax2+bx+c(二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)歸納二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)歸納例1:利用公式法求下列拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo),并指出它的最值。(1)y=x2+4x-1(2)y=-0.5x2+2x-1例1:利用公式法求下列拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo),并指出它的最1、利用公式法求出下列拋物線對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo),并說出它的開口方向及最值.(1)y=3x2+2x(2)y=-x2-2x(3)y=-2x2+8x-8練習(xí):1、利用公式法求出下列拋物線對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo),并說出它的開口3、已知一次函數(shù)y=-2x+c與二次函數(shù)y=ax2+bx-4的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A(1,-1),二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=-1,請(qǐng)求出一次函數(shù)和二次函數(shù)的表達(dá)式.2、當(dāng)m=_____時(shí),拋物線y=mx2
+2(m+2)x+m+3的對(duì)稱軸是y軸;當(dāng)m=_____時(shí),圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是1;當(dāng)m=_____時(shí),函數(shù)的最小值是-2.4.寫出一個(gè)二次函數(shù)的解析式,使它的頂點(diǎn)在第二象限且開口向下(要求用一般式表示)3、已知一次函數(shù)y=-2x+c與二次函數(shù)y=ax2+bx-5.如圖,在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)y=ax+b與y=ax2+bx(ab≠0)的圖象只可能是()xyoABxyoCxyoDxyo5.如圖,在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)y=ax+b與y=ax2+bx6.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下列各式中是正數(shù)的有()a②b③c
a+b+c⑤a-b+c⑥
4a+b⑦2a+bBy-1...12xyA.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)6.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下列各式中是7.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下列結(jié)論:①a+b+c<0②a-b+c>0③acb>0④b=2a,其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A.4B.3C.2D.17.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,例2.用總長為60m的籬笆墻圍成矩形場地,矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化,當(dāng)l為多少時(shí),場地的面積S最大?實(shí)際應(yīng)用例2.用總長為60m的籬笆墻圍成矩形場地,矩形面積S隨矩形一實(shí)際應(yīng)用已知直角三角形兩條直角邊的和等于8,兩條直角邊各為多少時(shí),這個(gè)直角三角形的面積最大,最大值是多少?實(shí)際應(yīng)用已知直角三角形兩條直角邊的和等于8,兩條直角邊各為多心理學(xué)家發(fā)現(xiàn),學(xué)生對(duì)概念的接受能力y與提出概念所用的時(shí)間x(分鐘)之間滿足函數(shù)關(guān)系:y=-0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30),y值越大表示接受能力越強(qiáng).(1)x在什么范圍內(nèi),學(xué)生的接受能力逐步增加?
x在什么范圍內(nèi),學(xué)生的接受能力逐步降低?(2)第10分鐘時(shí),學(xué)生的接受能力是多少?第幾分鐘時(shí),學(xué)生的接受能力最強(qiáng)?思考:心理學(xué)家發(fā)現(xiàn),學(xué)生對(duì)概念的接受能力y與提出思考1.拋物線y=-x2+mx-n的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,-3),求m,n的值。2.不畫圖象,說明拋物線y=-x2+4x+5可由拋物線y=-x2經(jīng)過怎樣的平移得到?1.拋物線y=-x2+mx-n的頂點(diǎn)坐標(biāo)是2.不畫圖象,說明3.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,試求出a,b,c的值。230yx3.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,試求出a,思考二次函數(shù)解析式有哪幾種表達(dá)式?一般式:y=ax2+bx+c頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k兩根式:y=a(x-x1)(x-x2)思考二次函數(shù)解析式有哪幾種表達(dá)式?一般式:y=ax2+b一般式:y=ax2+bx+c兩根式:y=a(x-x1)(x-x2)頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k解:設(shè)所求的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c由條件得:a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得:因此:所求二次函數(shù)是:a=2,b=-3,c=5y=2x2-3x+5已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(-1,10)、(1,4)、(2,7)三點(diǎn),求這個(gè)函數(shù)的解析式?oxy例1一般式:y=ax2+bx+c兩根式:頂點(diǎn)式:解:設(shè)所求的二一、一般式
1.已知一個(gè)二次函數(shù)圖象經(jīng)過(-1,10)、(2,7)和(1,4)三點(diǎn),那么這個(gè)函數(shù)的解析式是_______。一、一般式2.已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(-1,8),(1,2),(2,5)三點(diǎn)。求這個(gè)函數(shù)的解析式2.已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過解:設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x+1)2-3由條件得:已知拋物線的頂點(diǎn)為(-1,-3),與y軸交點(diǎn)為(0,-5),求拋物線的解析式?yox點(diǎn)(0,-5)在拋物線上a-3=-5,得a=-2故所求的拋物線解析式為y=-2(x+1)2-3即:y=-2x2-4x-5一般式:y=ax2+bx+c兩根式:y=a(x-x1)(x-x2)頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k例2解:設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x+1)2-3由條件得:已知二、頂點(diǎn)式
1.已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是A(-1,4)且經(jīng)過點(diǎn)(1,2),求其解析式。二、頂點(diǎn)式2、已知拋物線的頂點(diǎn)為(2,3),且過點(diǎn)(1,4),求這個(gè)函數(shù)的解析式。2、已知拋物線的頂點(diǎn)為解:設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x+1)(x-1)由條件得:已知拋物線與X軸交于A(-1,0),B(1,0)并經(jīng)過點(diǎn)M(0,1),求拋物線的解析式?yox點(diǎn)M(0,1)在拋物線上所以:a(0+1)(0-1)=1得:
a=-1故所求的拋物線解析式為y=-(x+1)(x-1)即:y=-x2+1一般式:y=ax2+bx+c兩根式:y=a(x-x1)(x-x2)頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k例3解:設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x+1)(x-1)由條件得:三、交點(diǎn)式
1.已知拋物線y=-2x2+8x-9的頂點(diǎn)為A點(diǎn),若二次函數(shù)y=a
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