歷年考研數(shù)學一真題及答案(1987-2015)

十一、(本題滿分7分)設維隨機變量的概率密度為對獨立地重復觀察4次,用表示觀察值大于的次數(shù),求的數(shù)學期望.十二、(本題滿分7分)設總體的概率分布為0123其中()是未知參數(shù),利用總體的如下樣本值3,1,3,0,3,1,2,3.求的矩估計和最大似然估計值.2003年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)(1)=.(2)曲面與平面平行的切平面的方程是.(3)設,則=.(4)從的基到基的過渡矩陣為.(5)設二維隨機變量的概率密度為,則.(6)已知一批零件的長度(單位:cm)服從正態(tài)分布,從中隨機地抽取16個零件,得到長度的平均值為40(cm),則的置信度為0.95的置信區(qū)間是.(注:標準正態(tài)分布函數(shù)值二、選擇題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設函數(shù)在內(nèi)連續(xù),其導函數(shù)的圖形如圖所示,則有(A)一個極小值點和兩個極大值點(B)兩個極小值點和一個極大值點(C)兩個極小值點和兩個極大值點(D)三個極小值點和一個極大值點(2)設均為非負數(shù)列,且,,,則必有(A)對任意成立 (B)對任意成立(C)極限不存在 (D)極限不存在(3)已知函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)連續(xù),且,則(A)點不是的極值點(B)點是的極大值點(C)點是的極小值點(D)根據(jù)所給條件無法判斷點是否為的極值點(4)設向量組=1\*ROMANI:可由向量組=2\*ROMANII:線性表示,則(A)當時,向量組=2\*ROMANII必線性相關(guān) (B)當時,向量組=2\*ROMANII必線性相關(guān)(C)當時,向量組=1\*ROMANI必線性相關(guān) (D)當時,向量組=1\*ROMANI必線性相關(guān)(5)設有齊次線性方程組和,其中均為矩陣,現(xiàn)有4個命題:=1\*GB3①若的解均是的解,則秩秩=2\*GB3②若秩秩,則的解均是的解=3\*GB3③若與同解,則秩秩=4\*GB3④若秩秩,則與同解以上命題中正確的是(A)=1\*GB3①=2\*GB3② (B)=1\*GB3①=3\*GB3③ (C)=2\*GB3②=4\*GB3④ (D)=3\*GB3③=4\*GB3④(6)設隨機變量,則(A) (B) (C) (D)三、(本題滿分10分)過坐標原點作曲線的切線,該切線與曲線及軸圍成平面圖形.(1)求的面積.(2)求繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.四、(本題滿分12分)將函數(shù)展開成的冪級數(shù),并求級數(shù)的和.五、(本題滿分10分)已知平面區(qū)域,為的正向邊界.試證:(1).(2)六、(本題滿分10分)某建筑工程打地基時,需用汽錘將樁打進土層.汽錘每次擊打,都將克服土層對樁的阻力而作功.設土層對樁的阻力的大小與樁被打進地下的深度成正比(比例系數(shù)為).汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M地下m.根據(jù)設計方案,要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一次擊打時所作的功之比為常數(shù).問(1)汽錘擊打樁3次后,可將樁打進地下多深?(2)若擊打次數(shù)不限,汽錘至多能將樁打進地下多深?(注:m表示長度單位米.)七、(本題滿分12分)設函數(shù)在內(nèi)具有二階導數(shù),且是的反函數(shù).(1)試將所滿足的微分方程變換為滿足的微分方程.(2)求變換后的微分方程滿足初始條件的解.八、(本題滿分12分)設函數(shù)連續(xù)且恒大于零,,,其中,(1)討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.(2)證明當時,九、(本題滿分10分)設矩陣,,,求的特征值與特征向量,其中為的伴隨矩陣,為3階單位矩陣.十、(本題滿分8分)已知平面上三條不同直線的方程分別為,,.試證這三條直線交于一點的充分必要條件為十一、(本題滿分10分)已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品,其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品,乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學期望.(2)從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.十二、(本題滿分8分)設總體的概率密度為其中是未知參數(shù).從總體中抽取簡單隨機樣本,記(1)求總體的分布函數(shù).(2)求統(tǒng)計量的分布函數(shù).(3)如果用作為的估計量,討論它是否具有無偏性.

2004年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)(1)曲線上與直線垂直的切線方程為__________.(2)已知,且,則=__________.(3)設為正向圓周在第一象限中的部分,則曲線積分的值為__________.(4)歐拉方程的通解為__________.(5)設矩陣,矩陣滿足,其中為的伴隨矩陣,是單位矩陣,則=__________.(6)設隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,則=__________.二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(7)把時的無窮小量,使排在后面的是前一個的高階無窮小,則正確的排列次序是(A) (B)(C) (D)(8)設函數(shù)連續(xù),且則存在,使得(A)在(0,內(nèi)單調(diào)增加 (B)在內(nèi)單調(diào)減少(C)對任意的有 (D)對任意的有(9)設為正項級數(shù),下列結(jié)論中正確的是(A)若=0,則級數(shù)收斂(B)若存在非零常數(shù),使得,則級數(shù)發(fā)散(C)若級數(shù)收斂,則(D)若級數(shù)發(fā)散,則存在非零常數(shù),使得(10)設為連續(xù)函數(shù),,則等于(A) (B)(C) (D)0(11)設是3階方陣,將的第1列與第2列交換得,再把的第2列加到第3列得,則滿足的可逆矩陣為(A) (B) (C) (D)(12)設為滿足的任意兩個非零矩陣,則必有(A)的列向量組線性相關(guān)的行向量組線性相關(guān)(B)的列向量組線性相關(guān)的列向量組線性相關(guān)(C)的行向量組線性相關(guān)的行向量組線性相關(guān)(D)的行向量組線性相關(guān)的列向量組線性相關(guān)(13)設隨機變量服從正態(tài)分布對給定的,數(shù)滿足,若,則等于(A) (B)(C) (D)(14)設隨機變量獨立同分布,且其方差為令,則(A) (B)(C) (D)三、解答題(本題共9小題,滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(15)(本題滿分12分)設,證明.(16)(本題滿分11分)某種飛機在機場降落時,為了減少滑行距離,在觸地的瞬間,飛機尾部張開減速傘,以增大阻力,使飛機迅速減速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機,著陸時的水平速度為700km/h經(jīng)測試,減速傘打開后,飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比(比例系數(shù)為問從著陸點算起,飛機滑行的最長距離是多少?(注:kg表示千克,km/h表示千米/小時)(17)(本題滿分12分)計算曲面積分其中是曲面的上側(cè).(18)(本題滿分11分)設有方程,其中為正整數(shù).證明此方程存在惟一正實根,并證明當時,級數(shù)收斂.(19)(本題滿分12分)設是由確定的函數(shù),求的極值點和極值.(20)(本題滿分9分)設有齊次線性方程組試問取何值時,該方程組有非零解,并求出其通解.(21)(本題滿分9分)設矩陣的特征方程有一個二重根,求的值,并討論是否可相似對角化.(22)(本題滿分9分)設為隨機事件,且,令求:(1)二維隨機變量的概率分布.(2)和的相關(guān)系數(shù)(23)(本題滿分9分)設總體的分布函數(shù)為其中未知參數(shù)為來自總體的簡單隨機樣本,求:(1)的矩估計量.(2)的最大似然估計量.

2005年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)(1)曲線的斜漸近線方程為_____________.(2)微分方程滿足的解為____________.(3)設函數(shù),單位向量,則=.________.(4)設是由錐面與半球面圍成的空間區(qū)域,是的整個邊界的外側(cè),則____________.(5)設均為3維列向量,記矩陣,,如果,那么.(6)從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù),記為,再從中任取一個數(shù),記為,則=____________.二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(7)設函數(shù),則在內(nèi)(A)處處可導 (B)恰有一個不可導點(C)恰有兩個不可導點 (D)至少有三個不可導點(8)設是連續(xù)函數(shù)的一個原函數(shù),表示的充分必要條件是則必有(A)是偶函數(shù)是奇函數(shù) (B)是奇函數(shù)是偶函數(shù)(C)是周期函數(shù)是周期函數(shù) (D)是單調(diào)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)(9)設函數(shù),其中函數(shù)具有二階導數(shù),具有一階導數(shù),則必有(A) (B) (C) (D)(10)設有三元方程,根據(jù)隱函數(shù)存在定理,存在點的一個鄰域,在此鄰域內(nèi)該方程(A)只能確定一個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)(B)可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)和(C)可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)和(D)可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)和(11)設是矩陣的兩個不同的特征值,對應的特征向量分別為,則,線性無關(guān)的充分必要條件是(A) (B) (C) (D)(12)設為階可逆矩陣,交換的第1行與第2行得矩陣分別為的伴隨矩陣,則(A)交換的第1列與第2列得 (B)交換的第1行與第2行得(C)交換的第1列與第2列得 (D)交換的第1行與第2行得(13)設二維隨機變量的概率分布為XY0100.410.1已知隨機事件與相互獨立,則(A) (B)(C) (D)(14)設為來自總體的簡單隨機樣本,為樣本均值,為樣本方差,則(A) (B)(C) (D)三、解答題(本題共9小題,滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(15)(本題滿分11分)設,表示不超過的最大整數(shù).計算二重積分(16)(本題滿分12分)求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù).(17)(本題滿分11分)如圖,曲線的方程為,點是它的一個拐點,直線與分別是曲線在點與處的切線,其交點為.設函數(shù)具有三階連續(xù)導數(shù),計算定積分(18)(本題滿分12分)已知函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導,且.證明:(=1\*ROMAN1)存在使得.(2)存在兩個不同的點,使得(19)(本題滿分12分)設函數(shù)具有連續(xù)導數(shù),在圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線上,曲線積分的值恒為同一常數(shù).(=1\*ROMAN1)證明:對右半平面內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線有.(2)求函數(shù)的表達式.(20)(本題滿分9分)已知二次型的秩為2.(=1\*ROMAN1)求的值；(2)求正交變換,把化成標準形.(3)求方程=0的解.(21)(本題滿分9分)已知3階矩陣的第一行是不全為零,矩陣(為常數(shù)),且,求線性方程組的通解.(22)(本題滿分9分)設二維隨機變量的概率密度為求:(=1\*ROMAN1)的邊緣概率密度.(2)的概率密度(23)(本題滿分9分)設為來自總體的簡單隨機樣本,為樣本均值,記求:(=1\*ROMAN1)的方差.(2)與的協(xié)方差

2006年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)(1).(2)微分方程的通解是.(3)設是錐面()的下側(cè),則.(4)點到平面的距離=.(5)設矩陣,為2階單位矩陣,矩陣滿足,則=.(6)設隨機變量與相互獨立,且均服從區(qū)間上的均勻分布,則=.二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(7)設函數(shù)具有二階導數(shù),且,為自變量在處的增量,與分別為在點處對應的增量與微分,若,則(A) (B)(C) (D)(8)設為連續(xù)函數(shù),則等于(A) (B)(C) (C)(9)若級數(shù)收斂,則級數(shù)(A)收斂 (B)收斂 (C)收斂 (D)收斂(10)設與均為可微函數(shù),且.已知是在約束條件下的一個極值點,下列選項正確的是(A)若,則 (B)若,則(C)若,則 (D)若,則(11)設均為維列向量,是矩陣,下列選項正確的是 (A)若線性相關(guān),則線性相關(guān) (B)若線性相關(guān),則線性無關(guān) (C)若線性無關(guān),則線性相關(guān)(D)若線性無關(guān),則線性無關(guān).(12)設為3階矩陣,將的第2行加到第1行得,再將的第1列的-1倍加到第2列得,記,則(A) (B) (C) (D)(13)設為隨機事件,且,則必有 (A) (B) (C) (D)(14)設隨機變量服從正態(tài)分布,服從正態(tài)分布,且則(A) (B) (C) (D)三、解答題(本題共9小題,滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(15)(本題滿分10分)設區(qū)域D=,計算二重積分.(16)(本題滿分12分)設數(shù)列滿足.求:(1)證明存在,并求之.(2)計算.(17)(本題滿分12分)將函數(shù)展開成的冪級數(shù).(18)(本題滿分12分)設函數(shù)滿足等式.(1)驗證.(2)若求函數(shù)的表達式.(19)(本題滿分12分)設在上半平面內(nèi),數(shù)是有連續(xù)偏導數(shù),且對任意的都有.證明:對內(nèi)的任意分段光滑的有向簡單閉曲線,都有.(20)(本題滿分9分)已知非齊次線性方程組有3個線性無關(guān)的解,(1)證明方程組系數(shù)矩陣的秩.(2)求的值及方程組的通解.(21)(本題滿分9分)設3階實對稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個解.(1)求的特征值與特征向量.(2)求正交矩陣和對角矩陣,使得.(22)(本題滿分9分)隨機變量的概率密度為為二維隨機變量的分布函數(shù).(1)求的概率密度.(2).(23)(本題滿分9分)設總體的概率密度為,其中是未知參數(shù),為來自總體的簡單隨機樣本,記為樣本值中小于1的個數(shù),求的最大似然估計.

2007年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、選擇題(本題共10小題,每小題4分,滿分40分,在每小題給的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后括號內(nèi))(1)當時,與等價的無窮小量是(A) (B) (C) (D)(2)曲線,漸近線的條數(shù)為(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(3)如圖,連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周,在區(qū)間的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周,設.則下列結(jié)論正確的是(A) (B)(C) (D)(4)設函數(shù)在處連續(xù),下列命題錯誤的是(A)若存在,則 (B)若存在,則(C)若存在,則 (D)若存在,則(5)設函數(shù)在(0,+)上具有二階導數(shù),且,令則下列結(jié)論正確的是(A)若,則{}必收斂 (B)若,則{}必發(fā)散(C)若,則{}必收斂 (D)若,則{}必發(fā)散(6)設曲線(具有一階連續(xù)偏導數(shù)),過第2象限內(nèi)的點和第Ⅳ象限內(nèi)的點為上從點到的一段弧,則下列小于零的是(A) (B)(C) (D)(7)設向量組線性無關(guān),則下列向量組線形相關(guān)的是(A) (B)(C) (D)(8)設矩陣,,則與(A)合同,且相似 (B)合同,但不相似(C)不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似(9)某人向同一目標獨立重復射擊,每次射擊命中目標的概率為,則此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率為(A) (B) (C) (D)(10)設隨即變量服從二維正態(tài)分布,且與不相關(guān),,分別表示的概率密度,則在的條件下,的條件概率密度為(A) (B) (C) (D)二、填空題(11－16小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上)(11)=_______.(12)設為二元可微函數(shù),,則=______.(13)二階常系數(shù)非齊次線性方程的通解為=____________.(14)設曲面,則=_____________.(15)設矩陣,則的秩為________.(16)在區(qū)間中隨機地取兩個數(shù),則這兩個數(shù)之差的絕對值小于的概率為________.三、解答題(17－24小題,共86分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(17)(本題滿分11分)求函數(shù)在區(qū)域上的最大值和最小值.(18)(本題滿分10分)計算曲面積分其中為曲面的上側(cè).(19)(本題滿分11分)設函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)具有二階導數(shù)且存在相等的最大值,,證明:存在,使得.(20)(本題滿分10分)設冪級數(shù)在內(nèi)收斂,其和函數(shù)滿足(1)證明:(2)求的表達式.(21)(本題滿分11分)設線性方程組與方程有公共解,求的值及所有公共解.(22)(本題滿分11分)設3階實對稱矩陣的特征向量值是的屬于特征值的一個特征向量,記其中為3階單位矩陣.(1)驗證是矩陣的特征向量,并求的全部特征值與特征向量.(2)求矩陣.(23)(本題滿分11分)設二維隨機變量的概率密度為(1)求(2)求的概率密度.(24)(本題滿分11分)設總體的概率密度為是來自總體的簡單隨機樣本,是樣本均值(1)求參數(shù)的矩估計量.(2)判斷是否為的無偏估計量,并說明理由.

2008年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)設函數(shù)則的零點個數(shù)(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2)函數(shù)在點處的梯度等于(A) (B)- (C) (D)(3)在下列微分方程中,以(為任意常數(shù))為通解的是(A) (B)(C) (D)(4)設函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界,為數(shù)列,下列命題正確的是(A)若收斂,則收斂 (B)若單調(diào),則收斂(C)若收斂,則收斂 (D)若單調(diào),則收斂(5)設為階非零矩陣,為階單位矩陣.若,則 (A)不可逆,不可逆 (B)不可逆,可逆 (C)可逆,可逆 (D)可逆,不可逆(6)設為3階實對稱矩陣,如果二次曲面方程在正交變換下的標準方程的圖形如圖,則的正特征值個數(shù)為(A)0 (B)1(C)2 (D)3(7)設隨機變量獨立同分布且分布函數(shù)為,則分布函數(shù)為(A) (B)(C) (D)(8)設隨機變量,且相關(guān)系數(shù),則(A) (B)(C) (D)二、填空題(9-14小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上.)(9)微分方程滿足條件的解是.(10)曲線在點處的切線方程為.(11)已知冪級數(shù)在處收斂,在處發(fā)散,則冪級數(shù)的收斂域為.(12)設曲面是的上側(cè),則.(13)設為2階矩陣,為線性無關(guān)的2維列向量,,則的非零特征值為.(14)設隨機變量服從參數(shù)為1的泊松分布,則.三、解答題(15－23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15)(本題滿分10分)求極限.(16)(本題滿分10分) 計算曲線積分,其中是曲線上從點到點的一段.(17)(本題滿分10分)已知曲線,求曲線距離面最遠的點和最近的點.(18)(本題滿分10分)設是連續(xù)函數(shù),(=1\*ROMAN1)利用定義證明函數(shù)可導,且.(2)當是以2為周期的周期函數(shù)時,證明函數(shù)也是以2為周期的周期函數(shù).(19)(本題滿分10分),用余弦級數(shù)展開,并求的和.(20)(本題滿分11分),為的轉(zhuǎn)置,為的轉(zhuǎn)置.證明:(=1\*ROMAN1).(2)若線性相關(guān),則.(21)(本題滿分11分)設矩陣,現(xiàn)矩陣滿足方程,其中,,(=1\*ROMAN1)求證.(2)為何值,方程組有唯一解,求.(3)為何值,方程組有無窮多解,求通解.(22)(本題滿分11分)設隨機變量與相互獨立,的概率分布為,的概率密度為,記,(=1\*ROMAN1)求.(2)求的概率密度.(本題滿分11分)設是總體為的簡單隨機樣本.記,,(=1\*ROMAN1)證明是的無偏估計量.(2)當時,求.

2009年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)當時,與等價無窮小,則(A) (B) (C) (D)(2)如圖,正方形被其對角線劃分為四個區(qū)域,,則(A) (B)(C) (D) (3)設函數(shù)在區(qū)間上的圖形為1-21-2023-1O則函數(shù)的圖形為(A) 0230231-2-110231-2-11(C)0230231-110231-2-11(4)設有兩個數(shù)列,若,則(A)當收斂時,收斂. (B)當發(fā)散時,發(fā)散. (C)當收斂時,收斂. (D)當發(fā)散時,發(fā)散.(5)設是3維向量空間的一組基,則由基到基的過渡矩陣為(A) (B) (C) (D)(6)設均為2階矩陣,分別為的伴隨矩陣,若,則分塊矩陣的伴隨矩陣為(A) (B) (C) (D)(7)設隨機變量的分布函數(shù)為,其中為標準正態(tài)分布函數(shù),則(A)0 (B)0.3 (C)0.7 (D)1(8)設隨機變量與相互獨立,且服從標準正態(tài)分布,的概率分布為,記為隨機變量的分布函數(shù),則函數(shù)的間斷點個數(shù)為(A)0 (B)1 (C)2 (D)3二、填空題(9-14小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上.)(9)設函數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù),,則.(10)若二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為,則非齊次方程滿足條件的解為.(11)已知曲線,則.(12)設,則.(13)若3維列向量滿足,其中為的轉(zhuǎn)置,則矩陣的非零特征值為.(14)設為來自二項分布總體的簡單隨機樣本,和分別為樣本均值和樣本方差.若為的無偏估計量,則.三、解答題(15－23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15)(本題滿分9分)求二元函數(shù)的極值.(16)(本題滿分9分)設為曲線與所圍成區(qū)域的面積,記,求與的值.(17)(本題滿分11分)橢球面是橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成,圓錐面是過點且與橢圓相切的直線繞軸旋轉(zhuǎn)而成.(1)求及的方程.(2)求與之間的立體體積.(18)(本題滿分11分)(1)證明拉格朗日中值定理:若函數(shù)在上連續(xù),在可導,則存在,使得.(2)證明:若函數(shù)在處連續(xù),在內(nèi)可導,且,則存在,且(19)(本題滿分10分)計算曲面積分,其中是曲面的外側(cè).(20)(本題滿分11分)設,(1)求滿足的.的所有向量,.(2)對(1)中的任意向量,證明無關(guān).(21)(本題滿分11分)設二次型.(1)求二次型的矩陣的所有特征值;(2)若二次型的規(guī)范形為,求的值.(22)(本題滿分11分)袋中有1個紅色球,2個黑色球與3個白球,現(xiàn)有回放地從袋中取兩次,每次取一球,以分別表示兩次取球所取得的紅球、黑球與白球的個數(shù).求.(2)求二維隨機變量概率分布(23)(本題滿分11分)設總體的概率密度為,其中參數(shù)未知,,,…是來自總體的簡單隨機樣本.(1)求參數(shù)的矩估計量.(2)求參數(shù)的最大似然估計量.2010年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)極限=(A)1 (B) (C) (D)(2)設函數(shù)由方程確定,其中為可微函數(shù),且則=(A) (B) (C) (D) (3)設為正整數(shù),則反常積分的收斂性(A)僅與取值有關(guān) (B)僅與取值有關(guān) (C)與取值都有關(guān) (D)與取值都無關(guān)(4)=(A) (B) (C) (D)(5)設為型矩陣為型矩陣,若則(A)秩秩 (B)秩秩 (C)秩秩 (D)秩秩(6)設為4階對稱矩陣,且若的秩為3,則相似于(A) (B) (C) (D)(7)設隨機變量的分布函數(shù)則=(A)0 (B)1 (C) (D)(8)設為標準正態(tài)分布的概率密度為上均勻分布的概率密度,為概率密度,則應滿足(A) (B) (C) (D)二、填空題(9-14小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上.)(9)設求=.(10)=.(11)已知曲線的方程為起點是終點是則曲線積分=.(12)設則的形心的豎坐標=.(13)設若由形成的向量空間的維數(shù)是2,則=.(14)設隨機變量概率分布為則=.三、解答題(15－23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15)(本題滿分10分)求微分方程的通解.(16)(本題滿分10分)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.(17)(本題滿分10分)(1)比較與的大小,說明理由記求極限(18)(本題滿分10分)求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).(19)(本題滿分10分)設為橢球面上的動點,若在點的切平面與面垂直,求點的軌跡并計算曲面積分其中是橢球面位于曲線上方的部分.(20)(本題滿分11分)設已知線性方程組存在兩個不同的解.(1)求(2)求方程組的通解.(21)(本題滿分11分)設二次型在正交變換下的標準形為且的第三列為(1)求(2)證明為正定矩陣,其中為3階單位矩陣.(22)(本題滿分11分)設二維隨機變量的概率密度為求常數(shù)及條件概率密度(23)(本題滿分11分)設總體的概率分布為123其中未知,以來表示來自總體的簡單隨機樣本(樣本容量為)中等于的個數(shù)試求常數(shù)使為的無偏估計量,并求的方差.2011年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)曲線的拐點是（）A（1，0）B（2，0）C（3，0）D（4，0）2、設數(shù)列單調(diào)減少，且。無界，則冪級數(shù)的收斂域為（）ABCD設函數(shù)具有二階連續(xù)的導數(shù)，且.。則函數(shù)在點處取得極小值的一個充分條件是（）ABCD4、設，則的大小關(guān)系是（）ABCD5、設A為3階矩陣，把A的第二列加到第一列得到矩陣B，再交換B的第二行與第3行得到單位陣E，記，，則A=（）ABCD6、設是4階矩陣，為A的伴隨矩陣。若是的一個基礎(chǔ)解系，則的基礎(chǔ)解系可為（）ABCD7、設為兩個分布函數(shù)，且連續(xù)函數(shù)為相應的概率密度，則必為概率密度的是（）ABCD+8、設隨機變量相互獨立，且都存在，記，則（）ABCD二、填空題：9—14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定的位置上。9、曲線的弧長為_____________10、微分方程滿足條件的解為________________11、設函數(shù)，則12、設是柱面方程與平面的交線，從軸正向往軸負向看去為逆時針方向，則曲線積分13、若二次曲面的方程，經(jīng)正交變換化為，則14、設二維隨機變量，則三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15、（本題滿分10分）求極限16、（本題滿分9分）設函數(shù)，其中具有二階連續(xù)的偏導數(shù)，函數(shù)可導且在處取得極值.求17、（本題滿分10分）求方程的不同實根的個數(shù)，其中為參數(shù)。18、（本題滿分10分）=1\*GB3①證明：對任意的正整數(shù)，都有成立；=2\*GB3②設，證明數(shù)列收斂.19、（本題滿分11分）已知函數(shù)具有二階連續(xù)的偏導數(shù)，且，其中計算二重積分20、（本題滿分11分）設向量組，，不能由向量組，，線性表示；求的值；將用線性表示；21、（本題滿分11分）A為3階實對稱矩陣，A的秩為2，且求（1）A的特征值與特征向量（2）矩陣A22、（本題滿分11分）設隨機變量X與Y的概率分布分別為X01Y-101且求（1）二維隨機變量（X，Y）的概率分布；（2）的概率分布（3）X與Y的相關(guān)系數(shù)23、（本題滿分11分）設是來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，其中已知，未知.為樣本均值和樣本方差.求（1）求參數(shù)的最大似然估計(2)計算E和D2012年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.（1）曲線漸近線的條數(shù)為（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（2）設函數(shù)，其中為正整數(shù)，則（A）（B）（C）（D）（3）如果在處連續(xù)，那么下列命題正確的是（）（A）若極限存在，則在處可微（B）若極限存在，則在處可微（C）若在處可微，則極限存在（D）若在處可微，則極限存在（4）設sinxdx(k=1,2,3),則有D（A）I1<I2<I3. (B)I2<I2<I3.(C)I1<I3<I1, (D)I1<I2<I3.（5）設其中為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的是（）（A）（B）（C）（D）（6）設為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且，，則（）（A）（B）（C）（D）（7）設隨機變量x與y相互獨立，且分別服從參數(shù)為1與參數(shù)為4的指數(shù)分布，則（）（8）將長度為1m的木棒隨機地截成兩段，則兩段長度的相關(guān)系數(shù)為（）二、填空題：914小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（9）若函數(shù)滿足方程及，則=________。（10）________。（11）________。（12）設則________。（13）設X為三維單位向量，E為三階單位矩陣，則矩陣的秩為________。（14）設是隨機事件，互不相容，,,則________。三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）證明：（16）（本題滿分10分）求的極值。（17）（本題滿分10分）求冪級數(shù)x2n的收斂域及和函數(shù)（18）（本題滿分10分）已知曲線，其中函數(shù)具有連續(xù)導數(shù)，且，。若曲線L的切線與x軸的交點到切點的距離恒為1，求函數(shù)的表達式，并求此曲線L與x軸與y軸無邊界的區(qū)域的面積。（19）（本題滿分10分）已知是第一象限中從點沿圓周到點，再沿圓周到點的曲線段，計算曲線積分。（20）（本題滿分10分）設，（Ⅰ）求（Ⅱ）已知線性方程組有無窮多解，求，并求的通解。（21）（本題滿分10分）三階矩陣，為矩陣的轉(zhuǎn)置，已知，且二次型。1）求2）求二次型對應的二次型矩陣，并將二次型化為標準型，寫出正交變換過程。（22）（本題滿分10分）已知隨機變量以及的分布律如下表所示，X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12求：(1)；(2)與.（23）（本題滿分11分）設隨機變量與相互獨立且分別服從正態(tài)分布與，其中是未知參數(shù)且,設,求的概率密度；設為來自總體的簡單隨機樣本，求的最大似然估計量；證明為的無偏估計量。2013碩士研究生入學考試數(shù)學一1.已知極限，其中k，c為常數(shù)，且，則（）A.B.C.D.2.曲面在點處的切平面方程為（）A.B.C.D.3.設，，令，則（）A.B.C.D.4.設，，，為四條逆時針方向的平面曲線，記，則A.B.C.D5.設A,B,C均為n階矩陣，若AB=C，且B可逆，則（）A.矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價B矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價C矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價D矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價6.矩陣與相似的充分必要條件為（）A.B.為任意常數(shù)C.D.為任意常數(shù)7.設是隨機變量，且，，，，則（）A.B.C.D8.設隨機變量,，給定，常數(shù)c滿足，則()9.設函數(shù)y=f(x)由方程y-x=ex(1-y)確定，則＝。10.已知y1=e3x–xe2x，y2=ex–xe2x，y3=–xe2x是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個解，則該方程的通解y=。11.設。12.。13.設A=(aij)是3階非零矩陣，為A的行列式，Aij為aij的代數(shù)余子式.若aij+Aij=0(i，j=1,2,3），則｜A｜＝。14.設隨機變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，a為常數(shù)且大于零，則P{Y≤a+1|Y＞a}=三．解答題：（15）（本題滿分10分）計算，其中f(x)＝(16)(本題10分)設數(shù)列｛an｝滿足條件：S（x）是冪級數(shù)（1）證明：（2）求（17）（本題滿分10分）求函數(shù).(18)(本題滿分10分)設奇函數(shù)f(x)在上具有二階導數(shù)，且f(1)=1，證明：（I）存在（Ⅱ）存在19.(本題滿分10分)設直線L過A（1,0,0），B（0,1,1）兩點將L繞z軸旋轉(zhuǎn)一周得到曲面，與平面所圍成的立體為。求曲面的方程；求的形心坐標。20.（本題滿分11分）設，當a,b為何值時，存在矩陣C使得AC-CA=B,并求所有矩陣C。21.（本題滿分11分）設二次型，記，。證明二次型f對應的矩陣為；若正交且均為單位向量，證明f在正交變換下的標準形為。22.（本題滿分11分）設隨機變量X的概率密度為令隨機變量求Y的分布函數(shù)；求概率.23.(本題滿分11分)設總體X的概率密度為其中為未知參數(shù)且大于零，為來自總體X的簡單隨機樣本。求的矩估計量；求的最大似然估計量。2014年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題答案一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.（1）B（2）D（3）D（4）B（5）B（6）A（7）（B）（8）（D）二、填空題：914小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（9）（10）（11）（12）（13）[-2,2]（14）三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）【答案】【答案】。時，所以為極小值?！敬鸢浮苛睿瑒t，故由得【答案】補的下側(cè)，使之與圍成閉合的區(qū)域，【答案】（1）證單調(diào)由，根據(jù)單調(diào)有界必有極限定理，得存在，設，由收斂，得，故由，兩邊取極限（令），得。解得，故。（20）【答案】①②（21）【答案】利用相似對角化的充要條件證明。（22）【答案】（1）（2）（23）【答案】（1）（2）（3）存在2015年考研數(shù)學一真題及答案（完整版）一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.(1)設函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，其中二階導數(shù)的圖形如圖所示，則曲線的拐點的個數(shù)為()(A)(B)(C)(D)【答案】（C）【解析】拐點出現(xiàn)在二階導數(shù)等于0，或二階導數(shù)不存在的點，并且在這點的左右兩側(cè)二階導函數(shù)異號。因此，由的圖形可得，曲線存在兩個拐點.故選（C）.(2)設是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個特解，則()(A)(B)(C)(D)【答案】（A）【分析】此題考查二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的反問題——已知解來確定微分方程的系數(shù)，此類題有兩種解法，一種是將特解代入原方程，然后比較等式兩邊的系數(shù)可得待估系數(shù)值，另一種是根據(jù)二階線性微分方程解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)來求解，也就是下面演示的解法.【解析】由題意可知，、為二階常系數(shù)齊次微分方程的解，所以2,1為特征方程的根，從而，，從而原方程變?yōu)椋賹⑻亟獯氲?故選（A）(3)若級數(shù)條件收斂，則與依次為冪級數(shù)的()(A)收斂點，收斂點(B)收斂點，發(fā)散點(C)發(fā)散點，收斂點(D)發(fā)散點，發(fā)散點【答案】（B）【分析】此題考查冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間，冪級數(shù)的性質(zhì).【解析】因為條件收斂，即為冪級數(shù)的條件收斂點，所以的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為.而冪級數(shù)逐項求導不改變收斂區(qū)間，故的收斂區(qū)間還是.因而與依次為冪級數(shù)的收斂點，發(fā)散點.故選（B）.(4)設是第一象限由曲線，與直線，圍成的平面區(qū)域，函數(shù)在上連續(xù)，則()(A)(B)(C)(D)【答案】（B）【分析】此題考查將二重積分化成極坐標系下的累次積分【解析】先畫出D的圖形，所以，故選（B）(5)設矩陣，，若集合，則線性方程組有無窮多解的充分必要條件為