四川省天府教育大聯考2023年高三第一次調研測試數學試卷（含答案解析）

2023高考數學模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數列的通項公式為，將這個數列中的項擺放成如圖所示的數陣.記為數陣從左至右的列，從上到下的行共個數的和，則數列的前2020項和為（）A． B． C． D．2．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上,平面,是邊長為的等邊三角形,若球的表面積為,則直線與平面所成角的正切值為()A． B． C． D．3．已知我市某居民小區(qū)戶主人數和戶主對戶型結構的滿意率分別如圖和如圖所示，為了解該小區(qū)戶主對戶型結構的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取的戶主進行調查，則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數分別為A．240，18 B．200，20C．240，20 D．200，184．若均為任意實數，且，則的最小值為（）A． B． C． D．5．已知向量，且，則m=()A．?8 B．?6C．6 D．86．橢圓的焦點為，點在橢圓上，若，則的大小為（）A． B． C． D．7．在中，分別為所對的邊，若函數有極值點，則的范圍是（）A． B．C． D．8．若函數f(x)＝x3＋x2－在區(qū)間(a，a＋5)上存在最小值，則實數a的取值范圍是A．[－5，0) B．(－5，0) C．[－3，0) D．(－3，0)9．已知集合，，則集合子集的個數為（）A． B． C． D．10．設，則““是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必條件11．若，則下列不等式不能成立的是（）A． B． C． D．12．已知f（x）=ax2+bx是定義在[a–1，2a]上的偶函數，那么a+b的值是A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復數（為虛數單位），則的共軛復數是_____，_____．14．如圖，已知扇形的半徑為1，面積為，則_____.15．已知內角的對邊分別為外接圓的面積為，則的面積為_________.16．已知平面向量與的夾角為，，，則________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知的面積為，且.（1）求角的大小及長的最小值；（2）設為的中點，且，的平分線交于點，求線段的長.18．（12分）語音交互是人工智能的方向之一，現在市場上流行多種可實現語音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小愛同學”智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈”智能音箱，它們可以通過語音交互滿足人們的部分需求.某經銷商為了了解不同智能音箱與其購買者性別之間的關聯程度，從某地區(qū)隨機抽取了100名購買“小愛同學”和100名購買“天貓精靈”的人，具體數據如下：“小愛同學”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計男4560105女554095合計100100200（1）若該地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學”，有12000人購買了“天貓精靈”，試估計該地區(qū)購買“小愛同學”的女性比購買“天貓精靈”的女性多多少人？（2）根據列聯表，能否有95%的把握認為購買“小愛同學”、“天貓精靈”與性別有關？附：0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）如圖，三棱錐中，點，分別為，的中點，且平面平面．求證：平面；若，，求證：平面平面.20．（12分）在中，角，，的對邊分別為，其中，.（1）求角的值；（2）若，，為邊上的任意一點，求的最小值.21．（12分）設函數，，（Ⅰ）求曲線在點（1,0）處的切線方程；（Ⅱ）求函數在區(qū)間上的取值范圍．22．（10分）在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）把曲線向下平移個單位，然后各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€（縱坐標不變），設點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最小值.

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【答案解析】

由題意，設每一行的和為，可得，繼而可求解，表示，裂項相消即可求解.【題目詳解】由題意，設每一行的和為故因此：故故選：D【答案點睛】本題考查了等差數列型數陣的求和，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.2．C【答案解析】

設為中點,先證明平面，得出為所求角,利用勾股定理計算,得出結論．【題目詳解】設分別是的中點平面是等邊三角形又平面為與平面所成的角是邊長為的等邊三角形，且為所在截面圓的圓心球的表面積為球的半徑平面本題正確選項：【答案點睛】本題考查了棱錐與外接球的位置關系問題，關鍵是能夠通過垂直關系得到直線與平面所求角，再利用球心位置來求解出線段長，屬于中檔題．3．A【答案解析】

利用統(tǒng)計圖結合分層抽樣性質能求出樣本容量，利用條形圖能求出抽取的戶主對四居室滿意的人數．【題目詳解】樣本容量為：（150+250+400）×30%＝240，∴抽取的戶主對四居室滿意的人數為：故選A．【答案點睛】本題考查樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意統(tǒng)計圖的性質的合理運用．4．D【答案解析】

該題可以看做是圓上的動點到曲線上的動點的距離的平方的最小值問題，可以轉化為圓心到曲線上的動點的距離減去半徑的平方的最值問題，結合圖形，可以斷定那個點應該滿足與圓心的連線與曲線在該點的切線垂直的問題來解決，從而求得切點坐標，即滿足條件的點，代入求得結果.【題目詳解】由題意可得，其結果應為曲線上的點與以為圓心，以為半徑的圓上的點的距離的平方的最小值，可以求曲線上的點與圓心的距離的最小值，在曲線上取一點，曲線有在點M處的切線的斜率為，從而有，即，整理得，解得，所以點滿足條件，其到圓心的距離為，故其結果為，故選D.【答案點睛】本題考查函數在一點處切線斜率的應用，考查圓的程，兩條直線垂直的斜率關系，屬中檔題.5．D【答案解析】

由已知向量的坐標求出的坐標，再由向量垂直的坐標運算得答案．【題目詳解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝1．故選D．【答案點睛】本題考查平面向量的坐標運算，考查向量垂直的坐標運算，屬于基礎題．6．C【答案解析】

根據橢圓的定義可得，，再利用余弦定理即可得到結論.【題目詳解】由題意，，，又，則，由余弦定理可得.故.故選：C.【答案點睛】本題考查橢圓的定義，考查余弦定理，考查運算能力，屬于基礎題.7．D【答案解析】試題分析：由已知可得有兩個不等實根.考點：1、余弦定理；2、函數的極值.【方法點晴】本題考查余弦定理，函數的極值，涉及函數與方程思想思想、數形結合思想和轉化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力，綜合性較強，屬于較難題型.首先利用轉化化歸思想將原命題轉化為有兩個不等實根，從而可得.8．C【答案解析】

求函數導數，分析函數單調性得到函數的簡圖，得到a滿足的不等式組，從而得解.【題目詳解】由題意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函數，在(－2，0)上是減函數，作出其圖象如圖所示．令x3＋x2－＝－，得x＝0或x＝－3，則結合圖象可知，解得a∈[－3，0)，故選C.【答案點睛】本題主要考查了利用函數導數研究函數的單調性，進而研究函數的最值，屬于常考題型.9．B【答案解析】

首先求出，再根據含有個元素的集合有個子集，計算可得.【題目詳解】解：，，，子集的個數為.故選：.【答案點睛】考查列舉法、描述法的定義，以及交集的運算，集合子集個數的計算公式，屬于基礎題．10．B【答案解析】

解出兩個不等式的解集，根據充分條件和必要條件的定義，即可得到本題答案.【題目詳解】由，得，又由，得，因為集合，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B【答案點睛】本題主要考查必要不充分條件的判斷，其中涉及到絕對值不等式和一元二次不等式的解法.11．B【答案解析】

根據不等式的性質對選項逐一判斷即可.【題目詳解】選項A：由于，即，，所以，所以，所以成立；選項B：由于，即，所以，所以，所以不成立；選項C：由于，所以，所以，所以成立；選項D：由于，所以，所以，所以，所以成立.故選：B.【答案點睛】本題考查不等關系和不等式，屬于基礎題.12．B【答案解析】

依照偶函數的定義，對定義域內的任意實數，f（﹣x）=f（x），且定義域關于原點對稱，a﹣1=﹣2a，即可得解.【題目詳解】根據偶函數的定義域關于原點對稱，且f（x）是定義在[a–1，2a]上的偶函數，得a–1=–2a，解得a=，又f（–x）=f（x），∴b=0，∴a+b=．故選B．【答案點睛】本題考查偶函數的定義，對定義域內的任意實數，f（﹣x）=f（x）；奇函數和偶函數的定義域必然關于原點對稱，定義域區(qū)間兩個端點互為相反數．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【答案解析】

直接利用復數的乘法運算化簡，從而得到復數的共軛復數和的模．【題目詳解】，則復數的共軛復數為，且.故答案為：；.【答案點睛】本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的基本概念，是基礎的計算題．14．【答案解析】

根據題意，利用扇形面積公式求出圓心角，再根據等腰三角形性質求出，利用向量的數量積公式求出.【題目詳解】設角，則，，所以在等腰三角形中，，則.故答案為：.【答案點睛】本題考查扇形的面積公式和向量的數量積公式，屬于基礎題.15．【答案解析】

由外接圓面積，求出外接圓半徑，然后由正弦定理可求得三角形的內角，從而有，于是可得三角形邊長，可得面積．【題目詳解】設外接圓半徑為，則，由正弦定理，得，∴，，．故答案為：．【答案點睛】本題考查正弦定理，利用正弦定理求出三角形的內角，然后可得邊長，從而得面積，掌握正弦定理是解題關鍵．16．【答案解析】

根據已知求出，利用向量的運算律，求出即可.【題目詳解】由可得，則，所以.故答案為:【答案點睛】本題考查向量的模、向量的數量積運算，考查計算求解能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1），；（2）.【答案解析】

（1）根據面積公式和數量積性質求角及最大邊；（2）根據的長度求出，再根據面積比值求，從而求出．【題目詳解】（1）在中，由，得，由，得，所以，所以，，因為在中，，所以，因為（當且僅當時取等），所以長的最小值為；（2）在三角形中，因為為中線，所以，，所以，因為，所以，所以，由（1）知，所以，或，，所以，因為為角平分線，，，或2，所以，或，所以．【答案點睛】本題考查了平面向量數量積的性質及其運算,余弦定理解三角形及三角形面積公式的應用，屬于中檔題．18．（1）多2350人；（2）有95%的把握認為購買“小愛同學”、“天貓精靈”與性別有關.【答案解析】

（1）根據題意，知100人中購買“小愛同學”的女性有55人，購買“天貓精靈”的女性有40人，即可估計該地區(qū)購買“小愛同學”的女性人數和購買“天貓精靈”的女性的人數，即可求得答案；（2）根據列聯表和給出的公式，求出，與臨界值比較，即可得出結論.【題目詳解】解：（1）由題可知，100人中購買“小愛同學”的女性有55人，購買“天貓精靈”的女性有40人，由于地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學”，有12000人購買了“天貓精靈”，估計購買“小愛同學”的女性有人.估計購買“天貓精靈”的女性有人.則，∴估計該地區(qū)購買“小愛同學”的女性比購買“天貓精靈”的女性多2350人.（2）由題可知，，∴有95%的把握認為購買“小愛同學”、“天貓精靈”與性別有關.【答案點睛】本題考查隨機抽樣估計總體以及獨立性檢驗的應用，考查計算能力.19．證明見解析；證明見解析.【答案解析】

利用線面平行的判定定理求證即可；為中點，為中點，可得，，，可知，故為直角三角形，，利用面面垂直的判定定理求證即可.【題目詳解】解：證明：為中點，為中點，，又平面，平面，平面；證明：為中點，為中點，，又，，則，故為直角三角形，，平面平面，平面平面，，平面，平面，又∵平面，平面平面.【答案點睛】本題考查線面平行和面面垂直的判定定理的應用，屬于基礎題.20．（1）；（2）.【答案解析】

（1）利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化簡即可得出結果；（2）在中，由余弦定理得，在中結合正弦定理求出，從而得出，即可得出的解析式，最后結合斜率的幾何意義，即可求出的最小值.【題目詳解】（1），，由題知，，則，則，，；（2）在中，由余弦定理得，，設，其中.在中，，，，，所以，，所以的幾何意義為兩點連線斜率的相反數，數形結合可得，故的最小值為.【答案點睛】本題考查正弦定理和余弦定理的實際應用，還涉及二倍角正弦公式和誘導公式，考查計算能力.21．（1）（2）【答案解析】分析：(1)先斷定