中職數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊下冊：71《平面向量的概念及線性運算》課件(兩份)

第七章平面向量7.１平面向量的概念及線性運算第七章平面向量7.１平面向量的概念及線性運算1創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入如圖所示，用100N的力，按照不同的方向拉一輛車，效果一樣嗎？創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入如圖所示，用100N的力，按照不同的方向拉2動腦思考探索新知aAB如力、速度、位移等．加箭頭，記作．的向量記作在數(shù)學(xué)與物理學(xué)中，有兩種量．只有大小，沒有方向的量量做數(shù)量（標(biāo)量），例如質(zhì)量、時間、溫度、面積、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），平面上帶有指向的線段（有向線段）叫做平面向量，指向就是向量的方向，線段的長度表示向量的大小．如右圖所示，有向線段的起點叫做平面向量的起點，有向線段的終點叫做平面向量的終點．以A為起點，B為終點也可以使用小寫英文字母，印刷用黑體表示，記作a；手寫時應(yīng)在字母上面動腦思考探索新知aAB如力、速度、位移等．加箭頭，記作3動腦思考探索新知aAB向量的大小叫做向量的模．向量a,的模依次記作模為零的向量叫做零向量．記作0，零向量的方向是不確定的．模為1的向量叫做單位向量．如力、速度、位移等．在數(shù)學(xué)與物理學(xué)中，有兩種量．只有大小，沒有方向的量做數(shù)量（標(biāo)量），例如質(zhì)量、時間、溫度、面積、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），動腦思考探索新知aAB向量的大小叫做向量的模．向量a,的模4例1一架飛機從A處向正南方向飛行200km，另一架飛機從A處朝北偏東45°方向飛行200km，兩架飛機的位移相同嗎？分別用有向線段表示兩架飛機的位移．解位移是向量．雖然這兩個向量的模相等，但是它們的方向不同，所以兩架飛機的位移不相同．兩架飛機位移的有向線段表示分別為圖中的有向線段a

與b．a(chǎn)bA東南100km.鞏固知識典型例題例1一架飛機從A處向正南方向飛行200km，另一架飛機5想一想鞏固知識典型例題KK圖7?４ABCDEFHGMNQPLZ說出下圖中各向量的模，并指出其中的單位向量(小方格邊長為1)．想一想鞏固知識典型例題KK圖7?４ABCDEF6動腦思考探索新知KK圖7?4ABCDEFHGMNQPLZ觀察圖7?4中的向量與，所在的直線平行，兩個向量的與所在的直線平行，兩個向量的方向相反．

方向相同；向量方向相同或相反的兩個非零向量叫做互相平行的向量．向量a與向量b平行記作a//b．規(guī)定：零向量與任何一個向量平行．

由于任意一組平行向量都可以平移到同一條直線上，因此相互平行的向量又叫做共線向量．

動腦思考探索新知KK圖7?4ABCDEFHGM7動腦思考探索新知KTK圖7?4ABCDEFHGMNQPLZ方向相同或相反的兩個非零向量叫做互相平行的向量．向量a與向量b平行記作a//b．規(guī)定：零向量與任何一個向量平行．

由于任意一組平行向量都可以平移到同一條直線上，因此相互平行的向量又叫做共線向量．

想一想下圖中，哪些向量是共線向量？動腦思考探索新知KTK圖7?4ABCDEFHG8動腦思考探索新知KK圖7?4ABCDEFHGMNQPLZ圖7?4中的平行向量與，方向相同，模相等；平行與，方向相反，模相等．

向量向量只有大小與方向兩個要素．當(dāng)向量a與向量b的模相等并且方向相同時，稱向量a與向量b相等，記作a

=b

．與非零向量的模相等，且方向相反的向量叫做向量的負(fù)向量，記作－a．規(guī)定：零向量的負(fù)向量仍為零向量．動腦思考探索新知KK圖7?4ABCDEFHGM9例2在平行四邊形ABCD中（圖7－5），O為對角線交點．鞏固知識典型例題ADCB圖7－5O（1）找出與向量相等的向量；

（2）找出向量的負(fù)向量；

（3）找出與向量平行的向量．

要結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)進行分析．兩個向量相等，它們必須是方向相同，模相等；兩個向量互為負(fù)向量，它們必須是方向相反，模相等；兩個平行向量的方向相同或相反．例2在平行四邊形ABCD中（圖7－5），O為對角線交點10例2在平行四邊形ABCD中（圖7－4），O為對角線交點．鞏固知識典型例題ADCB圖7－4O（1）找出與向量相等的向量；

（2）找出向量的負(fù)向量；

（3）找出與向量平行的向量．

解由平行四邊形的性質(zhì)，得（1）（2）（3）例2在平行四邊形ABCD中（圖7－4），O為對角線交點11運用知識強化練習(xí)1．

如圖，中，D、E、F分別是三邊的中點，試寫出（1）與相等的向量；（2）與共線的向量．FADBEC第1題圖EFABCDO第2題圖2．如圖，O點是正六邊形ABCDEF的中心，試寫出（1）與相等的向量；（2）的負(fù)向量；共線的向量．

（3）與運用知識強化練習(xí)1．如圖，中，D、E、F分別是三邊的中點12創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入王濤同學(xué)從家中（A處）出發(fā)，向正南方向行走500m到達超市（B處），買了文具后，又沿著北偏東60°角方向行走200m到達學(xué)校（C處）（如總效果是從家（A處）到達了學(xué)AC500m200m位移叫做位移與位移的和，記作圖）．王濤同學(xué)這兩次位移的校（C處）．創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入王濤同學(xué)從家中（A處）出發(fā)，向正南方向行走13動腦思考探索新知ACBaba+bab一般地，設(shè)向量a與向量b不共線，在平面上任取一點A叫做向量a與向量b的和，則向量依次作記作a＋b，即

（7．1）

求向量的和的運算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法則．

動腦思考探索新知ACBaba+bab一般地，設(shè)向量a與向量14動腦思考探索新知（1）a＋b與b＋a相等嗎？請畫出圖來說明．（2）如果向量a和向量b共線，如何畫出它們的和向量？想一想動腦思考探索新知（1）a＋b與b＋a相等嗎？請畫出圖來說明15動腦思考探索新知ADCB如圖所示，ABCD為平行四邊形，由于根據(jù)三角形法則得

這說明，在平行四邊形ABCD中，

所表示的向量就是與的和．這種求和方法叫做向量加法的平行四邊形法則．

平行四邊形法則不適用于共線向量，可以驗證，向量的加法具有以下的性質(zhì)：(1)a＋0=0＋a=a；a＋（?a）=0；

(2)a＋b=b＋a；(3)（a＋b）＋c=a＋（b＋c）．動腦思考探索新知ADCB如圖所示，ABCD為平行四邊形，由16鞏固知識典型例題例3一艘船以12km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度為5km/h，求該船的實際航行速度．

ABDC速度，由向量加法的平行四邊形法則，是船的實際航行速度，顯然

解如圖所示，表示船速，為水流=13．利用計算器求得即船的實際航行速度大小是13km/h，其方向與河岸線的夾角約鞏固知識典型例題例3一艘船以12km/17鞏固知識典型例題例4用兩條同樣的繩子掛一個物體,設(shè)物體的重力為k，兩條，求物體受到沿兩條繩子的方向的拉力與的大?。?/p>

繩子的方向與垂線的夾角為f1f2k解利用平行四邊形法則，可以得到所以鞏固知識典型例題例4用兩條同樣的繩子掛一個物體,設(shè)物體18動腦思考探索新知想一想根據(jù)例題4的分析，判斷在單杠上懸掛身體時，兩臂成什么角度時，雙臂受力最??？動腦思考探索新知想一想根據(jù)例題4的分析，判斷在單杠上懸掛身19運用知識強化練習(xí)計算：運用知識強化練習(xí)計算：20動腦思考探索新知與數(shù)的運算相類似，可以將向量a與向量b的負(fù)向量的和定義為向量a與向量b的差．即a?b=a＋(?b)．即

（7．2）觀察圖可以得到：起點相同的個向量，其起點是減向量b的終點，兩個向量a、b，其差a?b仍然是一終點是被減向量a的終點．

aAa－bBbO設(shè)a

，b

，則動腦思考探索新知與數(shù)的運算相類似，可以將向量a與向量b的負(fù)21a鞏固知識典型例題例5已知如圖所示向量a

、b

，請畫出向量a?b．BbOAba解

如圖所示，以平面上任一點O=b，連接BA，=a，為起點，作為所求，即

則向量=a?b．

a鞏固知識典型例題例5已知如圖所示向量a、b，請畫22運用知識強化練習(xí)計算：運用知識強化練習(xí)計算：23創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入aaaaOABC3a是一個向量，其方向與a的方向相同,其模是a的模的3倍，即

|3a|=3|a|．

觀察下圖可以看出向量與向量a共線，并且a創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入aaaaOABC3a是一個向量，其方向與a24動腦思考探索新知一般地，實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作a，它的模為

（7．3）（7．4）由上面定義可以得到，對于非零向量a、b，當(dāng)時，有

若0，則當(dāng)時,

a的方向與a的方向相同，當(dāng)時，a的方向與a的方向相反．

動腦思考探索新知一般地，實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作a25動腦思考探索新知一般地，有

0a=0,λ0=0．

數(shù)與向量的乘法運算叫做向量的數(shù)乘運算，容易驗證，對于，向量數(shù)乘運算滿足如下的法則：

任意向量a,b及任意實數(shù)向量加法及數(shù)乘運算在形式上與實數(shù)的有關(guān)運算規(guī)律相類似，因此，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項等變形，可直接應(yīng)用于向量的運算中．但是，要注意向量的運算與數(shù)的運算的意義是不同的．

做一做請畫出圖形來，分別驗證這些法則．動腦思考探索新知一般地，有0a=0,λ0=026鞏固知識典型例題例6

在平行四邊形ABCD中，O為兩對角線交點如圖，＝a，＝b，試用a,b表示向量、解

＝a＋b，＝b?a，

因為O分別為AC，BD的中點，所以（a＋b）＝a＋b，

（b?a）＝a＋b，

a＋b和

a＋b

都叫做向量a，b的線性組合，或者說，可以用向量a，b線性表示．

鞏固知識典型例題例6在平行四邊形ABCD中，O為兩對角線27鞏固知識典型例題一般地，a＋b叫做a,b的一個線性組合（其中均為實數(shù)），如果l＝a＋

b，則稱l可以用a，b線性表示．

向量的加法、減法、數(shù)乘運算都叫做向量的線性運算．

鞏固知識典型例題一般地，a＋b叫做a,b的一個線性組合（28運用知識強化練習(xí)計算：（1）3(a?2b)?2(2a＋b)；（2）3a?2(3a?4b)＋3(a?b)．（1）?a?8b；（2）5b．運用知識強化練習(xí)計算：（1）3(a?2b)?229當(dāng)一種量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，這種量叫做向量（矢量）向量的大小叫做向量的模．向量a,的模依次記作，．

向量a與向量b的模相等并且方向相同時，稱向量a與向量b相等，記作a=b

．

向量、向量的模、向量相等是如何定義的？

自我反思目標(biāo)檢測當(dāng)一種量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，這種量30

學(xué)習(xí)行為學(xué)習(xí)效果學(xué)習(xí)方法

自我反思目標(biāo)檢測學(xué)習(xí)行為學(xué)習(xí)效果學(xué)習(xí)方法自我反思目31作業(yè)讀書部分：閱讀教材相關(guān)章節(jié)

實踐調(diào)查：試著用向量的觀點解釋書面作業(yè)：教材習(xí)題７.1Ａ組（必做）生活中的一些問題．

教材習(xí)題７.1Ｂ組（選做）繼續(xù)探索活動探究作業(yè)讀書部分：閱讀教材相關(guān)章節(jié)實踐調(diào)查：試著用向量的觀點32平面向量的線性運算平面向量的線性運算33創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入王靜同學(xué)從家中（A處）出發(fā)，向正南方向行走500m到達超市（B處），買了文具后，又沿著北偏東60°角方向行走200m到達學(xué)校（C處）（如總效果是從家（A處）到達了學(xué)位移叫做位移與位移的和，記作圖）．王靜同學(xué)這兩次位移的校（C處）．一、平面向量的加法AC500m200mB創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入王靜同學(xué)從家中（A處）出發(fā)，向正南方向行走34動腦思考探索新知ACB求向量的和的運算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法則．

1、向量加法的三角形法則abab記作a＋b

。一般地，設(shè)向量與向量

不共線，在平面上任取一點Aab叫做向量與向量的和，則向量依次作aba+b兩向量的和仍然是一個向量，簡稱和向量首尾相接，結(jié)果為“首尾”（1）圖示：動腦思考探索新知ACB求向量的和的運算叫做向量的加法．上述35例題1、如圖，已知向量與向量，求作：aba＋babABCaba+b作法：1、在平面內(nèi)任取一點A；2、作3、則=a+b試一試：教材P29頁第1、2題根據(jù)教材P29頁第2題的圖示，請畫圖驗證下列式子是否成立？例題1、如圖，已知向量與向量，求作：a36如果向量和向量共線，如何畫出它們的和向量？ab歸納：三角形法則適用于兩向量的任意位置關(guān)系可以驗證，向量的加法具有以下的性質(zhì)：如果向量和向量共線，如何畫出它們的和向量37試一試：（1）求下列各和向量：（2）教材P29頁第3題、第32頁第2題（2）算式：探究：看圖填空BACDO字母相連，結(jié)果為“首尾”試一試：（1）求下列各和向量：（2）算式：探究：看圖填空BA38ADCB如圖所示，ABCD為平行四邊形，由于根據(jù)三角形法則得

這說明，在平行四邊形ABCD中，

所表示的向量就是與的和．這種求和方法叫做向量加法的平行四邊形法則．

平行四邊形法則不適用于共線向量。2、向量加法的平行四邊形法則特點：兩向量與和向量共起點ADCB如圖所示，ABCD為平行四邊形，由于根據(jù)三角形法則得39例2一艘船以12km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度為5km/h，求該船的實際航行速度．

例2一艘船以12km/h的速度航行，方向40鞏固知識典型例題ABDC速度，由向量加法的平行四邊形法則，是船的實際航行速度，顯然

解如圖所示，表示船速，為水流=13．利用計算器求得即船的實際航行速度大小是13km/h，其方向與河岸線的夾角約鞏固知識典型例題ABDC速度，由向量加法的平行四邊形法則，41判斷在單杠上懸掛身體時，兩臂成什么角度時，雙臂受力最??？f1f2k解

利用平行四邊形法則，可以得到所以判斷在單杠上懸掛身體時，f1f2k解利用平行四邊形法則，可42當(dāng)a,b不共線時，a+b的方向與a、b都不同向，且|a+b|<|a|+|b|.當(dāng)a與b共線時，

若a與b同向，則a+b的方向與a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|.

若a與b反向，

當(dāng)|a|>|b|時，a+b的方向與a相同，且|a+b|=|a|-|b|；

當(dāng)|a|<|b|時，a+b的方向與b相同，且|a+b|=|b|-|a|.歸納當(dāng)a,b不共線時，a+b的方向與a、b都不同向，且|a+b|43

減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，向量的減法是否也有類似的法則？減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，向量的減法是否44動腦思考探索新知為向量

與向量

的差．即=

即

（7．2）試一試：:教材第30頁練習(xí)7.1.3第1、2題。二、平面向量的減法與數(shù)的運算相類似，可以將向量

與向量

的負(fù)向量的和定義abbaa-ba+（-b）設(shè)

，

，則ab兩向量的差仍然是一個向量，簡稱差向量（1）算式：起點相同，結(jié)果為“尾尾”動腦思考探索新知為向量與向量的45aBbOAba解

如圖所示，以平面上任一點O=b，連接BA，=a，為起點，作為所求，即

則向量=a?b．

試一試：:練習(xí)冊第22頁第3題；第24頁第3題。例4已知如圖所示向量a

、b

，請畫出向量a?b．（2）圖示：觀察圖可以得到：起點相同的個向量，其起點是減向量

的終點，兩個向量，其差仍然是一終點是被減向量

的終點．

a-bbbaa思考：當(dāng)a,b共線時，如何畫出a-b?共起點，連終點aBbOAba解如圖所示，以平面上任一點O=b，連接BA4647復(fù)習(xí)1:向量的加法BA如圖,已知向量a和向量b,作向量a+b.bao.O.Ca+bbaABba+ba1.向量加法三角形法則:特點:首尾順次連，起點指終點2.向量加法平行四邊形法則:特點:起點相同,對角為和47復(fù)習(xí)1:向量的加法BA如圖,已知向量a和向量b,作向量a4748復(fù)習(xí)2:向量的減法o.BAa-b如圖,已知向量a和向量b,作向量a-b.abab向量減法三角形法則:特點：平移同起點，方向指被減48復(fù)習(xí)2:向量的減法o.BAa-b如圖,已知向量a和向量b4849已知非零向量,作出,你能發(fā)現(xiàn)什么？類比上述結(jié)論，又如何呢？OABCPQMN與方向相同與方向相反探究新知:49已知非零向量,作出,你4950

一般地，我們規(guī)定實數(shù)λ與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：（1）（2）當(dāng)時，的方向與的方向相同；當(dāng)時，的方向與的方向相反。特別的，當(dāng)時，一、向量數(shù)乘:50一般地，我們規(guī)定實數(shù)λ與向量的積是一個向量，5051(1)

根據(jù)定義，求作向量3(2a)和(6a)(a為非零向量)，并進行比較。=(2)

已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并進行比較。探究新知

51(1)根據(jù)定義，求作向量3(2a)和(6a)5152二、向量的數(shù)乘運算運算律：向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算52二、向量的數(shù)乘運算運算律：向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向52例1、化簡下列各式提示：向量式的化簡要依照性質(zhì)進行，可考慮首先去括號再將共線的向量進行合并。試一試：教材P31頁練習(xí)7.1.4第1題例1、化簡下列各式提示：向量式的化簡要依照性質(zhì)進行，可考慮首53三、向量的線性組合及線性表示：三、向量的線性組合及線性表示：54試一試：教材P32頁習(xí)題7.1.第5題試一試：教材P32頁習(xí)題7.1.第5題5556成立四、向量共線的充要條件：探究新知:56成立四、向量共線的充要條件：探究新知:56第七章平面向量7.１平面向量的概念及線性運算第七章平面向量7.１平面向量的概念及線性運算57創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入如圖所示，用100N的力，按照不同的方向拉一輛車，效果一樣嗎？創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入如圖所示，用100N的力，按照不同的方向拉58動腦思考探索新知aAB如力、速度、位移等．加箭頭，記作．的向量記作在數(shù)學(xué)與物理學(xué)中，有兩種量．只有大小，沒有方向的量量做數(shù)量（標(biāo)量），例如質(zhì)量、時間、溫度、面積、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），平面上帶有指向的線段（有向線段）叫做平面向量，指向就是向量的方向，線段的長度表示向量的大?。缬覉D所示，有向線段的起點叫做平面向量的起點，有向線段的終點叫做平面向量的終點．以A為起點，B為終點也可以使用小寫英文字母，印刷用黑體表示，記作a；手寫時應(yīng)在字母上面動腦思考探索新知aAB如力、速度、位移等．加箭頭，記作59動腦思考探索新知aAB向量的大小叫做向量的模．向量a,的模依次記作模為零的向量叫做零向量．記作0，零向量的方向是不確定的．模為1的向量叫做單位向量．如力、速度、位移等．在數(shù)學(xué)與物理學(xué)中，有兩種量．只有大小，沒有方向的量做數(shù)量（標(biāo)量），例如質(zhì)量、時間、溫度、面積、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），動腦思考探索新知aAB向量的大小叫做向量的模．向量a,的模60例1一架飛機從A處向正南方向飛行200km，另一架飛機從A處朝北偏東45°方向飛行200km，兩架飛機的位移相同嗎？分別用有向線段表示兩架飛機的位移．解位移是向量．雖然這兩個向量的模相等，但是它們的方向不同，所以兩架飛機的位移不相同．兩架飛機位移的有向線段表示分別為圖中的有向線段a

與b．a(chǎn)bA東南100km.鞏固知識典型例題例1一架飛機從A處向正南方向飛行200km，另一架飛機61想一想鞏固知識典型例題KK圖7?４ABCDEFHGMNQPLZ說出下圖中各向量的模，并指出其中的單位向量(小方格邊長為1)．想一想鞏固知識典型例題KK圖7?４ABCDEF62動腦思考探索新知KK圖7?4ABCDEFHGMNQPLZ觀察圖7?4中的向量與，所在的直線平行，兩個向量的與所在的直線平行，兩個向量的方向相反．

方向相同；向量方向相同或相反的兩個非零向量叫做互相平行的向量．向量a與向量b平行記作a//b．規(guī)定：零向量與任何一個向量平行．

由于任意一組平行向量都可以平移到同一條直線上，因此相互平行的向量又叫做共線向量．

動腦思考探索新知KK圖7?4ABCDEFHGM63動腦思考探索新知KTK圖7?4ABCDEFHGMNQPLZ方向相同或相反的兩個非零向量叫做互相平行的向量．向量a與向量b平行記作a//b．規(guī)定：零向量與任何一個向量平行．

由于任意一組平行向量都可以平移到同一條直線上，因此相互平行的向量又叫做共線向量．

想一想下圖中，哪些向量是共線向量？動腦思考探索新知KTK圖7?4ABCDEFHG64動腦思考探索新知KK圖7?4ABCDEFHGMNQPLZ圖7?4中的平行向量與，方向相同，模相等；平行與，方向相反，模相等．

向量向量只有大小與方向兩個要素．當(dāng)向量a與向量b的模相等并且方向相同時，稱向量a與向量b相等，記作a

=b

．與非零向量的模相等，且方向相反的向量叫做向量的負(fù)向量，記作－a．規(guī)定：零向量的負(fù)向量仍為零向量．動腦思考探索新知KK圖7?4ABCDEFHGM65例2在平行四邊形ABCD中（圖7－5），O為對角線交點．鞏固知識典型例題ADCB圖7－5O（1）找出與向量相等的向量；

（2）找出向量的負(fù)向量；

（3）找出與向量平行的向量．

要結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)進行分析．兩個向量相等，它們必須是方向相同，模相等；兩個向量互為負(fù)向量，它們必須是方向相反，模相等；兩個平行向量的方向相同或相反．例2在平行四邊形ABCD中（圖7－5），O為對角線交點66例2在平行四邊形ABCD中（圖7－4），O為對角線交點．鞏固知識典型例題ADCB圖7－4O（1）找出與向量相等的向量；

（2）找出向量的負(fù)向量；

（3）找出與向量平行的向量．

解由平行四邊形的性質(zhì)，得（1）（2）（3）例2在平行四邊形ABCD中（圖7－4），O為對角線交點67運用知識強化練習(xí)1．

如圖，中，D、E、F分別是三邊的中點，試寫出（1）與相等的向量；（2）與共線的向量．FADBEC第1題圖EFABCDO第2題圖2．如圖，O點是正六邊形ABCDEF的中心，試寫出（1）與相等的向量；（2）的負(fù)向量；共線的向量．

（3）與運用知識強化練習(xí)1．如圖，中，D、E、F分別是三邊的中點68創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入王濤同學(xué)從家中（A處）出發(fā)，向正南方向行走500m到達超市（B處），買了文具后，又沿著北偏東60°角方向行走200m到達學(xué)校（C處）（如總效果是從家（A處）到達了學(xué)AC500m200m位移叫做位移與位移的和，記作圖）．王濤同學(xué)這兩次位移的校（C處）．創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入王濤同學(xué)從家中（A處）出發(fā)，向正南方向行走69動腦思考探索新知ACBaba+bab一般地，設(shè)向量a與向量b不共線，在平面上任取一點A叫做向量a與向量b的和，則向量依次作記作a＋b，即

（7．1）

求向量的和的運算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法則．

動腦思考探索新知ACBaba+bab一般地，設(shè)向量a與向量70動腦思考探索新知（1）a＋b與b＋a相等嗎？請畫出圖來說明．（2）如果向量a和向量b共線，如何畫出它們的和向量？想一想動腦思考探索新知（1）a＋b與b＋a相等嗎？請畫出圖來說明71動腦思考探索新知ADCB如圖所示，ABCD為平行四邊形，由于根據(jù)三角形法則得

這說明，在平行四邊形ABCD中，

所表示的向量就是與的和．這種求和方法叫做向量加法的平行四邊形法則．

平行四邊形法則不適用于共線向量，可以驗證，向量的加法具有以下的性質(zhì)：(1)a＋0=0＋a=a；a＋（?a）=0；

(2)a＋b=b＋a；(3)（a＋b）＋c=a＋（b＋c）．動腦思考探索新知ADCB如圖所示，ABCD為平行四邊形，由72鞏固知識典型例題例3一艘船以12km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度為5km/h，求該船的實際航行速度．

ABDC速度，由向量加法的平行四邊形法則，是船的實際航行速度，顯然

解如圖所示，表示船速，為水流=13．利用計算器求得即船的實際航行速度大小是13km/h，其方向與河岸線的夾角約鞏固知識典型例題例3一艘船以12km/73鞏固知識典型例題例4用兩條同樣的繩子掛一個物體,設(shè)物體的重力為k，兩條，求物體受到沿兩條繩子的方向的拉力與的大?。?/p>

繩子的方向與垂線的夾角為f1f2k解利用平行四邊形法則，可以得到所以鞏固知識典型例題例4用兩條同樣的繩子掛一個物體,設(shè)物體74動腦思考探索新知想一想根據(jù)例題4的分析，判斷在單杠上懸掛身體時，兩臂成什么角度時，雙臂受力最??？動腦思考探索新知想一想根據(jù)例題4的分析，判斷在單杠上懸掛身75運用知識強化練習(xí)計算：運用知識強化練習(xí)計算：76動腦思考探索新知與數(shù)的運算相類似，可以將向量a與向量b的負(fù)向量的和定義為向量a與向量b的差．即a?b=a＋(?b)．即

（7．2）觀察圖可以得到：起點相同的個向量，其起點是減向量b的終點，兩個向量a、b，其差a?b仍然是一終點是被減向量a的終點．

aAa－bBbO設(shè)a

，b

，則動腦思考探索新知與數(shù)的運算相類似，可以將向量a與向量b的負(fù)77a鞏固知識典型例題例5已知如圖所示向量a

、b

，請畫出向量a?b．BbOAba解

如圖所示，以平面上任一點O=b，連接BA，=a，為起點，作為所求，即

則向量=a?b．

a鞏固知識典型例題例5已知如圖所示向量a、b，請畫78運用知識強化練習(xí)計算：運用知識強化練習(xí)計算：79創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入aaaaOABC3a是一個向量，其方向與a的方向相同,其模是a的模的3倍，即

|3a|=3|a|．

觀察下圖可以看出向量與向量a共線，并且a創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入aaaaOABC3a是一個向量，其方向與a80動腦思考探索新知一般地，實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作a，它的模為

（7．3）（7．4）由上面定義可以得到，對于非零向量a、b，當(dāng)時，有

若0，則當(dāng)時,

a的方向與a的方向相同，當(dāng)時，a的方向與a的方向相反．

動腦思考探索新知一般地，實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作a81動腦思考探索新知一般地，有

0a=0,λ0=0．

數(shù)與向量的乘法運算叫做向量的數(shù)乘運算，容易驗證，對于，向量數(shù)乘運算滿足如下的法則：

任意向量a,b及任意實數(shù)向量加法及數(shù)乘運算在形式上與實數(shù)的有關(guān)運算規(guī)律相類似，因此，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項等變形，可直接應(yīng)用于向量的運算中．但是，要注意向量的運算與數(shù)的運算的意義是不同的．

做一做請畫出圖形來，分別驗證這些法則．動腦思考探索新知一般地，有0a=0,λ0=082鞏固知識典型例題例6

在平行四邊形ABCD中，O為兩對角線交點如圖，＝a，＝b，試用a,b表示向量、解

＝a＋b，＝b?a，

因為O分別為AC，BD的中點，所以（a＋b）＝a＋b，

（b?a）＝a＋b，

a＋b和

a＋b

都叫做向量a，b的線性組合，或者說，可以用向量a，b線性表示．

鞏固知識典型例題例6在平行四邊形ABCD中，O為兩對角線83鞏固知識典型例題一般地，a＋b叫做a,b的一個線性組合（其中均為實數(shù)），如果l＝a＋

b，則稱l可以用a，b線性表示．

向量的加法、減法、數(shù)乘運算都叫做向量的線性運算．

鞏固知識典型例題一般地，a＋b叫做a,b的一個線性組合（84運用知識強化練習(xí)計算：（1）3(a?2b)?2(2a＋b)；（2）3a?2(3a?4b)＋3(a?b)．（1）?a?8b；（2）5b．運用知識強化練習(xí)計算：（1）3(a?2b)?285當(dāng)一種量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，這種量叫做向量（矢量）向量的大小叫做向量的模．向量a,的模依次記作，．

向量a與向量b的模相等并且方向相同時，稱向量a與向量b相等，記作a=b

．

向量、向量的模、向量相等是如何定義的？

自我反思目標(biāo)檢測當(dāng)一種量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，這種量86

學(xué)習(xí)行為學(xué)習(xí)效果學(xué)習(xí)方法

自我反思目標(biāo)檢測學(xué)習(xí)行為學(xué)習(xí)效果學(xué)習(xí)方法自我反思目87作業(yè)讀書部分：閱讀教材相關(guān)章節(jié)

實踐調(diào)查：試著用向量的觀點解釋書面作業(yè)：教材習(xí)題７.1Ａ組（必做）生活中的一些問題．

教材習(xí)題７.1Ｂ組（選做）繼續(xù)探索活動探究作業(yè)讀書部分：閱讀教材相關(guān)章節(jié)實踐調(diào)查：試著用向量的觀點88平面向量的線性運算平面向量的線性運算89創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入王靜同學(xué)從家中（A處）出發(fā)，向正南方向行走500m到達超市（B處），買了文具后，又沿著北偏東60°角方向行走200m到達學(xué)校（C處）（如總效果是從家（A處）到達了學(xué)位移叫做位移與位移的和，記作圖）．王靜同學(xué)這兩次位移的校（C處）．一、平面向量的加法AC500m200mB創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入王靜同學(xué)從家中（A處）出發(fā)，向正南方向行走90動腦思考探索新知ACB求向量的和的運算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法則．

1、向量加法的三角形法則abab記作a＋b

。一般地，設(shè)向量與向量

不共線，在平面上任取一點Aab叫做向量與向量的和，則向量依次作aba+b兩向量的和仍然是一個向量，簡稱和向量首尾相接，結(jié)果為“首尾”（1）圖示：動腦思考探索新知ACB求向量的和的運算叫做向量的加法．上述91例題1、如圖，已知向量與向量，求作：aba＋babABCaba+b作法：1、在平面內(nèi)任取一點A；2、作3、則=a+b試一試：教材P29頁第1、2題根據(jù)教材P29頁第2題的圖示，請畫圖驗證下列式子是否成立？例題1、如圖，已知向量與向量，求作：a92如果向量和向量共線，如何畫出它們的和向量？ab歸納：三角形法則適用于兩向量的任意位置關(guān)系可以驗證，向量的加法具有以下的性質(zhì)：如果向量和向量共線，如何畫出它們的和向量93試一試：（1）求下列各和向量：（2）教材P29頁第3題、第32頁第2題（2）算式：探究：看圖填空BACDO字母相連，結(jié)果為“首尾”試一試：（1）求下列各和向量：（2）算式：探究：看圖填空BA94ADCB如圖所示，ABCD為平行四邊形，由于根據(jù)三角形法則得

這說明，在平行四邊形ABCD中，

所表示的向量就是與的和．這種求和方法叫做向量加法的平行四邊形法則．

平行四邊形法則不適用于共線向量。2、向量加法的平行四邊形法則特點：兩向量與和向量共起點ADCB如圖所示，ABCD為平行四邊形，由于根據(jù)三角形法則得95例2一艘船以12km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度為5km/h，求該船的實際航行速度．

例2一艘船以12km/h的速度航行，方向96鞏固知識典型例題ABDC速度，由向量加法的平行四邊形法則，是船的實際航行速度，顯然

解如圖所示，表示船速，為水流=13．利用計算器求得即船的實際航行速度大小是13km/h，其方向與河岸線的夾角約鞏固知識典型例題ABDC速度，由向量加法的平行四邊形法則，97判斷在單杠上懸掛身體時，兩臂成什么角度時，雙臂受力最小？f1f2k解

利用平行四邊形法則，可以得到所以判斷在單杠上懸掛身體時，f1f2k解利用平行四邊形法則，可98當(dāng)a,b不共線時，a+b的方向與a、b都不同向，且|a+b|<|a|+|b|.當(dāng)a與b共線時，

若a與b同向，則a+b的方向與a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|.

若a與b反向，

當(dāng)|a|>|b|時，a+b的方向與a相同，且|a+b|=|a|-|b|；

當(dāng)|a|<|b|時，a+b的方向與b相同，且|a+b|=|b|-|a|.歸納當(dāng)a,b不共線時，a+b的方向與a、b都不同向，且|a+b