1981年~2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題分類匯編（4）平面向量與解三角形（含答案）

PAGE1981年~2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題分類匯編平面向量與解三角形部分2019A3、平面直角坐標(biāo)系中，是單位向量，向量滿足，且對任意實數(shù)恒成立，則的取值范圍為。◆答案：★解析：不妨設(shè)，，由得，等價于，即，解得，所以。2019A9、在中，，若是與的等比中項，且是與的等差中項，求的值．★解析：因為是與的等比中項，故存在，使得①由是與的等差中項，得，結(jié)合正余弦定理得，即，將①代入得，解得，所以。2019B2.若平面向量與垂直，其中為實數(shù)，則的模為．◆答案：★解析：由條件得，解得，所以。2019B3.設(shè)，是方程的兩根，則的值為．◆答案：★解析：由已知得，，從而2018A7、設(shè)為的外心，若，則的值為◆答案：★解析：取的中點，則。由得，知，且在直線同側(cè)。不妨設(shè)圓的半徑為，則,，在中，有余弦定理得,在中，由正弦定理得。2017A7、在中，為邊的中點，是線段的中點，若，的面積為，則的最小值為◆答案：★解析：由條件知，，則，由得所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等。則。2017B4、在中，若，且三條邊成等比數(shù)列，則的值為◆答案：★解析：由正弦定理知，，又，于是，從而由余弦定理得：.2016A9、（本題滿分16分）在中，已知，求的最大值。★解析：由數(shù)量積的定義及余弦定理知，．同理得，，．故已知條件化為即．………………8分由余弦定理及基本不等式，得所以．………………12分等號成立當(dāng)且僅當(dāng)．因此的最大值是．……………16分2016B10、（本題滿分20分）在中，已知（1）將的長分別記為，證明：；（2）求的最小值．★解析：（1）由數(shù)量積的定義及余弦定理知，同理得，故已知條件化為即（2）由余弦定理及基本不等式，得等號成立當(dāng)且僅當(dāng)因此的最小值為2015A4、在矩形中，,,邊上（包含,）的動點與線段延長線上（包含）的動點滿足,則向量與向量的數(shù)量積的最小值為◆答案：★解析：不妨設(shè)A(0,0),B(2,0),D(0,l)．設(shè)P的坐標(biāo)為（,l)（其中），則由得Q的坐標(biāo)為（2，-)，故,因此，．當(dāng)時，．2005*2、空間四點滿足，，，，則的取值A(chǔ).只有一個B.有二個C.有四個D.有無窮多個◆答案：A★解析：注意到由于則=即2014A7、設(shè)等邊三角形的內(nèi)切圓半徑為，圓心為。若點滿足，則與的面積之比最大值為◆答案：★解析：由PI=1知點P在以I為圓心的單位圓K上。設(shè)，在圓上取一點，使得取到最大值，此時應(yīng)落在內(nèi)，且是與圓的切點。由于，故①其中，由知，，于是，所以②根據(jù)①、②可知，當(dāng)時，的最大值為2014B4、若果三角形的三個內(nèi)角的余切值依次成等差數(shù)列，則角的最大值是◆答案：★解析：記，，，它們成等差數(shù)列，即①，由于三個內(nèi)角和為，所以中至多有一個小于等于，這說明.另一方面，，即，即②，聯(lián)立①②消去得，有，得，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，角取得最大值。2013A3、在中，已知，，則的值為◆答案：★解析：由于，即2013B1、已知銳角三角形的三條邊長都是整數(shù)，其中兩條邊長分別為3和4，則第三條邊的邊長為．◆答案：或★解析：設(shè)第三條邊長為。因為是銳角三角形，所以，且，即，因為是整數(shù)，得或2012A2、設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足，則的取值為◆答案：★解析：由題設(shè)及余弦定理得,即，故2012B5、在中，若,,則面積的最大值為◆答案：★解析：記的中點為，則,因為，所以，從而所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號）故所求面積最大值為。另法：由得，由，平方可得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），所以所求面積最大值為。2008AB6、設(shè)D的內(nèi)角所對的邊成等比數(shù)列，則的取值范圍為（）A.B.C.D.◆答案：C★解析：設(shè)的公比為，則，而．因此，只需求的取值范圍．因為成等比數(shù)列，最大邊只能是或，因此要構(gòu)成三角形的三邊，必須且只需且．即有不等式組即得從而，因此所求的取值范圍是．2007*8、在和中，是的中點，，，，若，則與的夾角的余弦值為◆答案：★解析：因為，所以，即。因為，，，所以，即。設(shè)與的夾角為θ，則有，即，所以。2006*1、已知，若對任意,，則一定為A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.答案不確定◆答案：C★解析：令，過A作于D。由，推出,令，代入上式，得，即,也即。從而有。由此可得。2005*3、內(nèi)接于單位圓，三個內(nèi)角的平分線延長后分別交此圓于.則的值為A.B.C.D.◆答案：A★解析：如圖，連，則所以，,。所以，即可求得。2004*4、設(shè)點在的內(nèi)部，且有,則與的面積的比為A.B.C.D.◆答案：C★解析：如圖，設(shè)面積，則，，．，進而得。2001*4、如果滿足，，的恰有一個，那么的取值范圍是A.B.C.D.或◆答案：D★解析：根據(jù)正弦定理得,得，顯然，要使得恰有一個，則或，得或1999*9、在中，記，，，，則_______．◆答案：★解析：1993*5、在中，角的對邊長分別為，若等于邊上的高，則的值是()

A.B.C.D.◆答案：A★解析：由題設(shè)得，即，即．整理得，又，故選A．1992*4、在中，角的對邊分別記為()，且都是方程的根，則()A.是等腰三角形，但不是直角三角形B.是直角三角形，但不是等腰三角形C.是等腰直角三角形D.不是等腰三角形，也不是直角三角形◆答案：B★解析：由題意得．根為．∴，，．所以，即．得．選B．1991*8．在中，已知三個角成等差數(shù)列，假設(shè)它們所對的邊分別為，并且等于邊上的高，則．◆答案：★解析：易知，，由已知，．∴，即，即(舍去)，．1988*8．在中，已知，、分別是、上的高，則．◆答案：★解析：注意到，．1986*6、邊長為的三角形，其面積等于，而外接圓半徑為，若，，則與的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.不確定◆答案：C★解析：，由，，知．且三角形不是等邊三角形．∴．(且等號不成立)．選C．1985*7、在中，角的對邊分別為，若角的大小成等比數(shù)列，且，則角的弧度為等于．◆答案：★解析：由余弦定理，．故．即．所以．∴由，得．，即，．或(不可能)∴．1985*一、在直角坐標(biāo)系中，點和點的坐標(biāo)均為一位的正整數(shù)．與x軸正方向的夾角大于，與軸正方向的夾角小于，在軸上的射影為，在軸上的射影為，的面積比的面積大，由組成的四位數(shù)．試求出所有這樣的四位數(shù)，并寫出求解過程．★解析：由題意得，，，且都是不超過10的正整數(shù)．∴，則或．但，故舍去．∴．即，．∴．，，∴．1984*9、如圖，是單位圓的直徑，在上任取一點，作，交圓周于，若點的坐標(biāo)為，則當(dāng)時，線段、、可以構(gòu)成銳角三角形．◆答案：★解析：由對稱性，先考慮的情況，設(shè)，則，，且必有，于是只要考慮，即，解得．∴．1983*3、已知等腰三角形的底邊及高的長都是整數(shù)，那么，和中（）A.一個是有理數(shù)，另一個是無理數(shù)；B.兩個都是有理數(shù)；C.兩個都是無理數(shù)；D.是有理數(shù)還是無理數(shù)要根據(jù)和的數(shù)值來確定?！舸鸢福築★解析：為有理數(shù)，得和都是有理數(shù)．選B．1983*8、任意，設(shè)它的周長、外接圓半徑長與內(nèi)切圓半徑長分別為、與，那么（）A．B．C．D．三種關(guān)系都不對◆答案：C★解析：，當(dāng)時，最大，而可大于任意指定的正數(shù)．從而可有，否定A、C．又正三