幾何體的外接球附練習(xí)題

幾何體的外接球一、球的性質(zhì)回顧如右圖所示:0為球心Q'為球O的一個(gè)小圓的圓心，則此時(shí)00垂直于圓O所在平面.二、常見平面幾何圖形的外接圓外接圓半徑(r)的求法1、三角形：(1)等邊三角形：:五心合一等邊三角形也即正三角形，其滿足正多邊形的基本特征即內(nèi)心、外心、重心、垂心、中心重合于一點(diǎn)。:五心合一內(nèi)心：內(nèi)切圓圓心，各角角平分線的交點(diǎn)；外心：外接圓圓心，各邊中垂線的交點(diǎn)；重心：各邊中線的交點(diǎn)；垂心:各邊垂線的交點(diǎn)；中心：正多邊形特有。從而等邊三角形的外接圓半徑通常結(jié)合重心的性質(zhì)進(jìn)行求解:2.3.3…，…一ar一—a—a(其中a為等邊二角形的邊長)323(2)直角三角形：結(jié)合直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；可知：直角三角形的外接圓圓心位于斜邊的中點(diǎn)處，求解過程比較簡單，該處不做重點(diǎn)說明。(3)等腰三角形：結(jié)合等腰三角形中三線合一的性質(zhì)可知：等腰三角形的外接圓圓心位于底邊的高線即中線上。AD=h,BD=-a'2a由圖可得：r(hr)2思考：鈍角三角形和銳角三角形外接圓圓心位置的區(qū)別。(4)非特殊三角形：考察較少，若出現(xiàn)除以上三種情況以外的三角形在求解外接圓半徑時(shí)可以參考使用正弦定理。2、四邊形

常見具有外接圓的四邊形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形與長方形半徑求解方法類似，等腰梯形的外接圓圓心不在中學(xué)考察范圍內(nèi)，不用掌握。外接圓圓心是在幾何圖形所在平面的一個(gè)到各個(gè)頂點(diǎn)距離相同的點(diǎn)；外接球球心則是空間中到幾何體各個(gè)頂點(diǎn)距離相同的點(diǎn)。結(jié)合上述所講內(nèi)容，外接圓圓心與外接球球心有許多相似之處以三角形為例，過三角形的外接圓圓心作三角形所在平面的一條垂線，不難得到：該垂線上的任意一點(diǎn)到該三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離恒定相等。轉(zhuǎn)化到幾何體中，如正方體，其外接球球心位于體心位置，其與正方體任一表面正方形的中心連線均垂直于該正方形。從而我們得出如下結(jié)論：幾何體的外接球球心與底面外心的連線垂直于底面，也即球心落在過底面外心的垂線上，簡單稱之為：球心落在底面外心的正上方。三、常見幾何體的外接球半徑的求法1、直（正）棱柱以三棱柱為例AA13，求該三例：在正三棱柱ABCA1B1cl中，三角形ABC是邊長為AA13，求該三棱柱的外接球半徑.分析：如右圖，由正三角形的邊長可知底面的外接圓半徑r,要求R,只需確定OO的長度，結(jié)合正棱柱也是直棱柱的特征可知，上下兩底面三角形的外心連線與側(cè)棱平行與底面垂直，從而球心O必位于上下兩底面外心連線的中點(diǎn)處，即OO'-AA（,從而R可求.2.33由題可得：r,OO1-,32在直角三角形AOO'中，R2r2OO'2從而R從而R.12962、棱錐常見有三棱錐和四棱錐兩類，其中四棱錐的外接球半徑求法相對(duì)比較簡單棱錐的外接球。2、棱錐常見有三棱錐和四棱錐兩類，其中四棱錐的外接球半徑求法相對(duì)比較簡單棱錐的外接球。（1）含有線面垂直關(guān)系（側(cè)棱垂直與底面）的三棱錐，此處重點(diǎn)分析三該種三棱錐的外接球半徑求法有兩種，舉例說明如下。例:在三^^錐P—ABC中，三角形ABC是邊長為2的正三角形，PA，平面ABC,PA=3,求該三棱錐的外接球半徑。分析：如右圖法一：該幾何體可由正三棱柱沿平民啊PBC該種三棱錐的外接球半徑求法有兩種，舉例說明如下。例:在三^^錐P—ABC中，三角形ABC是邊長為2的正三角形，PA，平面ABC,PA=3,求該三棱錐的外接球半徑。分析：如右圖法一：該幾何體可由正三棱柱沿平民啊PBC切割而產(chǎn)生，故該三棱錐的外接球可轉(zhuǎn)化為原三棱柱的外接球；法二:先確定底面三角形ABC的外心O',從而球心位于O的正上方，即OO，平面ABC,同時(shí)：OP=OA,故，過O作OMLPA于M,此時(shí)M13必為PA中點(diǎn)，從而四邊形OMAO'為矩形，所以O(shè)O'AM-PA-,22在直角三角形OOA中有：R2r2OO'2。計(jì)算過程略.(2)正棱錐以正三棱錐為例例：在正三棱錐P-ABC中，三角形ABC是邊長為2的正三角形，PA=3,球該三棱錐的外接球半徑.分析：如圖由底面正三角形邊長可得r,在直角三角形OOA中,R2r2OO'2,故只需確定OO的長度即可，結(jié)合圖形，BOO=PC/-OP=H-R,帶入上式中即可求解.

B由題可知：r2-—,HPA2O'A2-—933所以R2r2(HR)2…9.69解得：R——46(3)含有側(cè)面垂直于底面(不含側(cè)棱垂直于底面)的三棱錐該類問題的求解難點(diǎn)在于球心位置的尋找，確定球心時(shí)需要分別取兩相互垂直的面的過外心的垂線，球心位于兩垂線的交點(diǎn)處。例：在三^^錐P-ABC中，面PABL面ABC,三角形ABC和三角形PAB均為等邊三角形，且AB=3,求該幾何體外接球半徑.分析：設(shè)4ABC和4PAB的球心分別為O',O'；取AB中點(diǎn)M,球心設(shè)為O,則OO，平面ABC,OO''，平面PAB,從而四邊形OO'MO'是矩形，可得：OO'=O'M,在三角形OO'C中結(jié)合溝通定理即可求解.133由題可得：OO'O''M-PM——,r——AB.3323所以Rr2OO'2上竺2練習(xí)題組一.某幾何體的三視圖如圖，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球面的表面積為兀D.20%兀D.20%123.體積為32K的球有一個(gè)內(nèi)接正三棱錐123.體積為32K的球有一個(gè)內(nèi)接正三棱錐P-ABC,PQ是球的直徑，/APQ=60°,則三棱.三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，已知PA、PB、PC兩兩垂直，PA=1,PB+PC=4,當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，球心O到平面ABC的距離是（D.錐P-ABC的體積為（D.4.四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在某個(gè)球O的表面上，ABCD是邊長為短的等邊三角形,4.四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在某個(gè)球O的表面上，ABCD是邊長為短的等邊三角形,當(dāng)A在千O表面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四面體ABCD所能達(dá)到的最大體積為,則四面體OBCD的體積為（A.!B)27^34C.9■D.27V32.點(diǎn)A,B,C,D均在同一球面上，且AB,AC,AD兩兩垂直，且AB=1,AC=2,AD=3,則該球的表面積為（A.7兀B.14兀C.畀D..已知點(diǎn)A、B、C、D均在球O上,AB-BC-有,AC=3,若三棱錐D-ABC體積的最大

值為逗O則球O的表面積為（A.367tB.16兀C.12兀D.匹兀3.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在球O的球面上，且AB=AC=1,BC=\3,若球o的體積為工兔5兀，則這個(gè)直三棱柱的體積等于（）A.V2B,V3C.2D.我.已知正三棱錐P-ABC,點(diǎn)巳A,B,C都在半徑為妻的球面上，若PA,PB,PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為（）AV3BV2CV3DV2ABCD3344是邊長為1的正三角形，）,AB=2,若該四棱錐的所.是邊長為1的正三角形，）,AB=2,若該四棱錐的所PC為球O的直徑，該三棱錐的體積為牛,則球O的表面積為（A.4兀B.8兀C.12%D.16%.四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PAL底面ABCD有頂點(diǎn)都在體積為上看一同一球面上，則PA=（）A.3B.：C.2丁.：練習(xí)題組二.《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬；將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉月需.若三棱錐P-ABC為鱉月需，PA，平面ABC,TOC\o"1-5"\h\zPA=AB=2,AC=4，三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A.8兀B.12兀C.20%D.24%.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PAL平面ABC,PA=2AB=2近，則該球的表面積為（）A.8兀B.16兀C.32%D.36%.已知三棱錐A-BCD的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D都在球O的表面上，AC，平面BCD,BC±CD,且AC=-/S,BC=2,CD=J虧，則球O的表面積為（）4.已知4.已知A,B,C三點(diǎn)都在以O(shè)為球心的球面上,OA,OB,OC兩兩垂直，三棱錐O-ABC,4…，一,的體積為戰(zhàn)，則球,4…，一,的體積為戰(zhàn)，則球O的表面積為（16兀B.16%C.32兀)D.32兀.已知四棱錐P-ABCD的頂點(diǎn)都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD,底面TOC\o"1-5"\h\zABCD,△PAD為正三角形，AB=2AD=4,則球O的表面積為（）56兀64兀80兀A.---B.-n-C.24TtD.-n-wJJ.已知三棱錐P-ABC中,PAL底面ABC,AB±BC,PA=AC=2,且該三棱錐所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A.4兀B.8兀C.16%D.20%.點(diǎn)A,B,C,D在同一個(gè)球的球面上，AB=BC=/ABC=90°,若四面體ABCD體積的最大值為3,則這個(gè)球的表面積為（A.2兀B.4兀C.8兀D.16兀

.三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，且AB^BC,AB=BC=AA1=2，若該三棱柱的所TOC\o"1-5"\h\z有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）A.487tB.32兀C.12兀D.8兀.三棱錐P-ABC中，側(cè)棱PA=2,PB=PC=JE,則當(dāng)三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面的面積和最大時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)P,A,B,C的球的表面積是（）A.4兀B.8兀C.12%D.16%10.如圖1,ABCD是邊長為2的正方形，點(diǎn)E,F分別為BC,CD的中點(diǎn)，將△ABE,^ECF,△FDA分別沿AE,EF,FA折起，使B,C,D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P若四面體PAEF的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積是（）口FE—■JTJ圖1圖工A.泥兀B,6兀C.4遮nD.12兀11.如圖某空間幾何體