幾何體的外接球附練習題

幾何體的外接球一、球的性質回顧如右圖所示:0為球心Q'為球O的一個小圓的圓心，則此時00垂直于圓O所在平面.二、常見平面幾何圖形的外接圓外接圓半徑(r)的求法1、三角形：(1)等邊三角形：:五心合一等邊三角形也即正三角形，其滿足正多邊形的基本特征即內心、外心、重心、垂心、中心重合于一點。:五心合一內心：內切圓圓心，各角角平分線的交點；外心：外接圓圓心，各邊中垂線的交點；重心：各邊中線的交點；垂心:各邊垂線的交點；中心：正多邊形特有。從而等邊三角形的外接圓半徑通常結合重心的性質進行求解:2.3.3…，…一ar一—a—a(其中a為等邊二角形的邊長)323(2)直角三角形：結合直角三角形的性質：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；可知：直角三角形的外接圓圓心位于斜邊的中點處，求解過程比較簡單，該處不做重點說明。(3)等腰三角形：結合等腰三角形中三線合一的性質可知：等腰三角形的外接圓圓心位于底邊的高線即中線上。AD=h,BD=-a'2a由圖可得：r(hr)2思考：鈍角三角形和銳角三角形外接圓圓心位置的區(qū)別。(4)非特殊三角形：考察較少，若出現(xiàn)除以上三種情況以外的三角形在求解外接圓半徑時可以參考使用正弦定理。2、四邊形

常見具有外接圓的四邊形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形與長方形半徑求解方法類似，等腰梯形的外接圓圓心不在中學考察范圍內，不用掌握。外接圓圓心是在幾何圖形所在平面的一個到各個頂點距離相同的點；外接球球心則是空間中到幾何體各個頂點距離相同的點。結合上述所講內容，外接圓圓心與外接球球心有許多相似之處以三角形為例，過三角形的外接圓圓心作三角形所在平面的一條垂線，不難得到：該垂線上的任意一點到該三角形三個頂點的距離恒定相等。轉化到幾何體中，如正方體，其外接球球心位于體心位置，其與正方體任一表面正方形的中心連線均垂直于該正方形。從而我們得出如下結論：幾何體的外接球球心與底面外心的連線垂直于底面，也即球心落在過底面外心的垂線上，簡單稱之為：球心落在底面外心的正上方。三、常見幾何體的外接球半徑的求法1、直（正）棱柱以三棱柱為例AA13，求該三例：在正三棱柱ABCA1B1cl中，三角形ABC是邊長為AA13，求該三棱柱的外接球半徑.分析：如右圖，由正三角形的邊長可知底面的外接圓半徑r,要求R,只需確定OO的長度，結合正棱柱也是直棱柱的特征可知，上下兩底面三角形的外心連線與側棱平行與底面垂直，從而球心O必位于上下兩底面外心連線的中點處，即OO'-AA（,從而R可求.2.33由題可得：r,OO1-,32在直角三角形AOO'中，R2r2OO'2從而R從而R.12962、棱錐常見有三棱錐和四棱錐兩類，其中四棱錐的外接球半徑求法相對比較簡單棱錐的外接球。2、棱錐常見有三棱錐和四棱錐兩類，其中四棱錐的外接球半徑求法相對比較簡單棱錐的外接球。（1）含有線面垂直關系（側棱垂直與底面）的三棱錐，此處重點分析三該種三棱錐的外接球半徑求法有兩種，舉例說明如下。例:在三^^錐P—ABC中，三角形ABC是邊長為2的正三角形，PA，平面ABC,PA=3,求該三棱錐的外接球半徑。分析：如右圖法一：該幾何體可由正三棱柱沿平民啊PBC該種三棱錐的外接球半徑求法有兩種，舉例說明如下。例:在三^^錐P—ABC中，三角形ABC是邊長為2的正三角形，PA，平面ABC,PA=3,求該三棱錐的外接球半徑。分析：如右圖法一：該幾何體可由正三棱柱沿平民啊PBC切割而產(chǎn)生，故該三棱錐的外接球可轉化為原三棱柱的外接球；法二:先確定底面三角形ABC的外心O',從而球心位于O的正上方，即OO，平面ABC,同時：OP=OA,故，過O作OMLPA于M,此時M13必為PA中點，從而四邊形OMAO'為矩形，所以OO'AM-PA-,22在直角三角形OOA中有：R2r2OO'2。計算過程略.(2)正棱錐以正三棱錐為例例：在正三棱錐P-ABC中，三角形ABC是邊長為2的正三角形，PA=3,球該三棱錐的外接球半徑.分析：如圖由底面正三角形邊長可得r,在直角三角形OOA中,R2r2OO'2,故只需確定OO的長度即可，結合圖形，BOO=PC/-OP=H-R,帶入上式中即可求解.

B由題可知：r2-—,HPA2O'A2-—933所以R2r2(HR)2…9.69解得：R——46(3)含有側面垂直于底面(不含側棱垂直于底面)的三棱錐該類問題的求解難點在于球心位置的尋找，確定球心時需要分別取兩相互垂直的面的過外心的垂線，球心位于兩垂線的交點處。例：在三^^錐P-ABC中，面PABL面ABC,三角形ABC和三角形PAB均為等邊三角形，且AB=3,求該幾何體外接球半徑.分析：設4ABC和4PAB的球心分別為O',O'；取AB中點M,球心設為O,則OO，平面ABC,OO''，平面PAB,從而四邊形OO'MO'是矩形，可得：OO'=O'M,在三角形OO'C中結合溝通定理即可求解.133由題可得：OO'O''M-PM——,r——AB.3323所以Rr2OO'2上竺2練習題組一.某幾何體的三視圖如圖，若該幾何體的所有頂點都在一個球面上，則該球面的表面積為兀D.20%兀D.20%123.體積為32K的球有一個內接正三棱錐123.體積為32K的球有一個內接正三棱錐P-ABC,PQ是球的直徑，/APQ=60°,則三棱.三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上，已知PA、PB、PC兩兩垂直，PA=1,PB+PC=4,當三棱錐的體積最大時，球心O到平面ABC的距離是（D.錐P-ABC的體積為（D.4.四面體ABCD的四個頂點都在某個球O的表面上，ABCD是邊長為短的等邊三角形,4.四面體ABCD的四個頂點都在某個球O的表面上，ABCD是邊長為短的等邊三角形,當A在千O表面上運動時，四面體ABCD所能達到的最大體積為,則四面體OBCD的體積為（A.!B)27^34C.9■D.27V32.點A,B,C,D均在同一球面上，且AB,AC,AD兩兩垂直，且AB=1,AC=2,AD=3,則該球的表面積為（A.7兀B.14兀C.畀D..已知點A、B、C、D均在球O上,AB-BC-有,AC=3,若三棱錐D-ABC體積的最大

值為逗O則球O的表面積為（A.367tB.16兀C.12兀D.匹兀3.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點都在球O的球面上，且AB=AC=1,BC=\3,若球o的體積為工兔5兀，則這個直三棱柱的體積等于（）A.V2B,V3C.2D.我.已知正三棱錐P-ABC,點巳A,B,C都在半徑為妻的球面上，若PA,PB,PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為（）AV3BV2CV3DV2ABCD3344是邊長為1的正三角形，）,AB=2,若該四棱錐的所.是邊長為1的正三角形，）,AB=2,若該四棱錐的所PC為球O的直徑，該三棱錐的體積為牛,則球O的表面積為（A.4兀B.8兀C.12%D.16%.四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PAL底面ABCD有頂點都在體積為上看一同一球面上，則PA=（）A.3B.：C.2丁.：練習題組二.《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬；將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉月需.若三棱錐P-ABC為鱉月需，PA，平面ABC,TOC\o"1-5"\h\zPA=AB=2,AC=4，三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A.8兀B.12兀C.20%D.24%.已知三棱錐P-ABC的四個頂點均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PAL平面ABC,PA=2AB=2近，則該球的表面積為（）A.8兀B.16兀C.32%D.36%.已知三棱錐A-BCD的四個頂點A、B、C、D都在球O的表面上，AC，平面BCD,BC±CD,且AC=-/S,BC=2,CD=J虧，則球O的表面積為（）4.已知4.已知A,B,C三點都在以O為球心的球面上,OA,OB,OC兩兩垂直，三棱錐O-ABC,4…，一,的體積為戰(zhàn)，則球,4…，一,的體積為戰(zhàn)，則球O的表面積為（16兀B.16%C.32兀)D.32兀.已知四棱錐P-ABCD的頂點都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD,底面TOC\o"1-5"\h\zABCD,△PAD為正三角形，AB=2AD=4,則球O的表面積為（）56兀64兀80兀A.---B.-n-C.24TtD.-n-wJJ.已知三棱錐P-ABC中,PAL底面ABC,AB±BC,PA=AC=2,且該三棱錐所有頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A.4兀B.8兀C.16%D.20%.點A,B,C,D在同一個球的球面上，AB=BC=/ABC=90°,若四面體ABCD體積的最大值為3,則這個球的表面積為（A.2兀B.4兀C.8兀D.16兀

.三棱柱ABC-A1B1C1的側棱垂直于底面，且AB^BC,AB=BC=AA1=2，若該三棱柱的所TOC\o"1-5"\h\z有頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）A.487tB.32兀C.12兀D.8兀.三棱錐P-ABC中，側棱PA=2,PB=PC=JE,則當三棱錐P-ABC的三個側面的面積和最大時，經(jīng)過點P,A,B,C的球的表面積是（）A.4兀B.8兀C.12%D.16%10.如圖1,ABCD是邊長為2的正方形，點E,F分別為BC,CD的中點，將△ABE,^ECF,△FDA分別沿AE,EF,FA折起，使B,C,D三點重合于點P若四面體PAEF的四個頂點在同一個球面上，則該球的表面積是（）口FE—■JTJ圖1圖工A.泥兀B,6兀C.4遮nD.12兀11.如圖某空間幾何體