2019版河北省中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《課題32：圓的有關(guān)概念》課件

課題32圓的有關(guān)概念課題32圓的有關(guān)概念1基礎(chǔ)知識梳理考點一圓的基本概念考點二垂徑定理及推論考點三圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系考點四確定圓的條件考點五圓周角定理及其推論基礎(chǔ)知識梳理考點一圓的基本概念考點二垂徑定理及推2中考題型突破題型一考查圓的基本概念題型二考查垂徑定理題型三考查圓周角定理中考題型突破題型一考查圓的基本概念題型二考查垂徑3易錯一盲目套用弦與弧之間的關(guān)系易錯二忽略圓的軸對稱性而丟解易錯三忽略圓的軸對稱性而丟解易混易錯突破易錯一盲目套用弦與弧之間的關(guān)系易錯二忽略圓的軸對4考點年份題號分值考查方式1.圓周角20182510以解答題的形式,在有關(guān)圓的綜合性題

目中,考查圓心角的知識20162510以解答題的形式,在有關(guān)圓的綜合性題

目中,考查圓周角2.三角形的外接圓2018239以解答題的形式,與全等三角形等知識

相結(jié)合,考查三角形外心的知識2017239以解答題的形式,以圓的切線、扇形等

知識為載體,考查三角形外心的知識201693以選擇題的形式,考查三角形的外接圓備考策略:圓周角定理與三角形外接圓的知識,是圓的兩個重要內(nèi)容,貫穿于圓的知識的始終,一直是我省中考的熱點內(nèi)容,在中考中,或以選擇題、填空題的形式單獨考查,或與圓的位置關(guān)系、相似三角

形、勾股定理等知識相結(jié)合,以綜合題的形式考查.預(yù)計今后我省中考對本部分內(nèi)容的考查不會有太大的變化.河北考情探究考點年份題號分值考查方式1.圓周角20182510以解答題的5考點一圓的基本概念基礎(chǔ)知識梳理1.圓的定義:平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓.定點

叫做①

圓心

,定長叫做②

半徑

.其中,圓心確定圓的③

位置

,半徑

確定圓的④

大小

.圓心相同的圓叫做同心圓,半徑相等的圓叫做等圓.基礎(chǔ)知識梳理1.圓的定義:平面上到定點的距離等于定長的所有點62.圓的有關(guān)概念:(1)弦:連接圓上任意兩點的線段;(2)直徑:經(jīng)過圓心的弦;(3)

弧:圓上任意兩點間的部分叫做弧,其中大于半圓的弧稱為優(yōu)弧,小于半圓的

弧稱為劣弧;(4)圓心角:頂點在⑤

圓心

的角;(5)圓周角:頂點在⑥

圓

上

且兩邊都和圓相交的角.3.圓的對稱性:圓既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,任何一條直徑所在的⑦

直線

都是它的對稱軸,對稱中心是⑧

圓心

.另外,圓具有旋轉(zhuǎn)不變性,

即圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與原來的圓⑨

重合

.注:圓上任意一條弦對應(yīng)⑩

兩

條弧.2.圓的有關(guān)概念:(1)弦:連接圓上任意兩點的線段;(2)直71.垂徑定理:垂直于弦的直徑

平分

這條弦,并且平分弦所對的兩條弧.考點二垂徑定理及推論2.推論:平分弦(不是直徑)的直徑

垂直

于弦,并且

平分

弦所對的兩條弧.1.垂徑定理:垂直于弦的直徑?

平分

這條弦,并83.利用垂徑定理還可以得到:如圖所示,根據(jù)圓的對稱性,在以下五條結(jié)論中:(1)

=

;(2)

=

;(3)AE=BE;(4)AB⊥CD;(5)CD是直徑,只要滿足其中兩個,另外三個結(jié)論一定成立,即

知二推三.

3.利用垂徑定理還可以得到:91.在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧

相等

,所對的弦

相等

,所對的弦的弦心距

相等

.考點三圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系2.在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦的弦心距中

有一組量相等,那么它們對應(yīng)的其余各組量都分別

相等

.?溫馨提示

圓中同一條弦所對的圓周角

相等或互補(bǔ)

.1.在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧?

相等

10考點四確定圓的條件1.不在同一條直線上的三個點確定一個圓.2.三角形的外接圓:三角形的三個頂點在同一個圓上,這個圓叫做三角形的外

接圓,外接圓的圓心是三角形三邊

垂直平分線

的交點,叫做三角形的外心.2.三角形的外接圓:三角形的三個頂點在同一個圓上,這個圓叫做11考點五圓周角定理及其推論1.圓周角定理:圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.考點五圓周角定理及其推論122.圓周角定理的推論:(1)同弧或等弧所對的圓周角

相等

,都等于這條弧所對的圓心角的

一半

;(2)半圓(或直徑)所對的圓周角是

直角

;(3)90°的圓周角所對的弦是

直徑

;(4)圓內(nèi)接四邊形的對角

互補(bǔ)

.

?溫馨提示

在解決與圓內(nèi)接四邊形有關(guān)的問題時,為了方便解題,經(jīng)常運(yùn)用

“圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角”的結(jié)論,這個結(jié)論可以看

做“圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)”的一個推論.2.圓周角定理的推論:(1)同弧或等弧所對的圓周角?

13題型一考查圓的基本概念該題型主要考查圓的基本概念,如弦、弧、圓心角的概念以及它們之間的聯(lián)

系,三角形的外接圓等內(nèi)容,考查的方式以選擇題或填空題為主,主要考查基

礎(chǔ)知識.中考題型突破中考題型突破14典例1

(2017唐山灤縣模擬)如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是矩形內(nèi)部

的一個動點,且AE⊥BE,則線段CE的最小值為

(B)

A.

B.2

-2C.2

-2

D.4典例1

(2017唐山灤縣模擬)如圖,在矩形ABCD中15答案

B∵AE⊥BE,∴點E在以AB為直徑的☉O上,如圖所示.

連接OC交☉O于點E',則當(dāng)點E位于點E'位置時,線段CE取得最小值.∵AB=4,∴OA=OB=OE'=2.∵BC=6,∴OC=

=

=2

.∴CE'=OC-OE'=2

-2.答案

B∵AE⊥BE,∴點E在以AB為直徑的☉O上,16名師點撥

根據(jù)“兩點之間,線段最短”,得到點E在點E'的位置時線段CE取

得最小值,由此把求線段CE的最小值轉(zhuǎn)化為求線段CE'的長度.由于直接求CE

'比較困難,故把求線段CE'的長度轉(zhuǎn)化為求線段OC與線段OE'的差,因此利用

勾股定理與同圓的半徑相等解答本題即可.名師點撥

根據(jù)“兩點之間,線段最短”,得到點E在點E'17變式訓(xùn)練1

(2018河北模擬)如圖,C是以點O為圓心,AB為直徑的半圓上一

點,且CO⊥AB,在OC兩側(cè)分別作矩形OGHI和正方形ODEF,且點I,F在OC上,

點H,E在半圓上,可證:IG=FD.小云發(fā)現(xiàn)連接圖中已知點得到兩條線段,便可證

明IG=FD.請回答:(1)小云所作的兩條線段分別是

OH

和

OE

;(2)證明IG=FD的依據(jù)是矩形的對角線相等,

同圓的半徑相等

和等量代換.

變式訓(xùn)練1

(2018河北模擬)如圖,C是以點O為圓心18解析連接OH、OE,如圖所示.∴在矩形OGHI中,IG=OH;在正方形ODEF中,OE=DF.∵OH=OE,∴IG=FD.

解析連接OH、OE,如圖所示.19題型二考查垂徑定理該題型主要考查利用垂徑定理進(jìn)行計算,垂徑定理是中考的必考內(nèi)容,常與圓

周角定理、勾股定理、等腰三角形、直角坐標(biāo)系等知識相結(jié)合,考查的題型

既有選擇題、填空題,也有解答題.題型二考查垂徑定理20典例2

(2018襄陽中考)如圖,點A,B,C,D都在半徑為2的☉O上,若OA⊥BC,∠CDA=30°,則弦BC的長為

(D)

A.4

B.2

C.

D.2

典例2

(2018襄陽中考)如圖,點A,B,C,D都在21答案

D∵OA⊥BC,∴CH=BH,

=

.∴∠AOB=2∠CDA=60°.在Rt△BOH中,得BH=OBsin∠AOB=2sin60°=

.∴BC=2BH=2

.名師點撥

利用垂徑定理計算時,需要利用圖中的直角三角形,當(dāng)圖中沒有可

以利用的直角三角形時,需要構(gòu)造直角三角形,一般情況下,所構(gòu)造的直角三

角形由三條線段組成,即弦的一半,圓心到該弦的垂線段,過弦的一個端點的

半徑.答案

D∵OA⊥BC,名師點撥

利用垂徑定理計22變式訓(xùn)練2

(2017保定涿州模擬)如圖,☉O的半徑是5,☉O是△ABC的外接

圓,過圓心O分別作AB、BC、AC的垂線,垂足分別為E、F、G,連接EF,若OG

=3,則EF=

4

.

變式訓(xùn)練2

(2017保定涿州模擬)如圖,☉O的半徑是23解析連接OA,如圖所示,∵OG⊥AC,∴AG=

=

=4,∴AC=2AG=8.

∵OE⊥AB,OF⊥BC,

∴AE=EB,CF=FB,

∴EF是△ABC的中位線,∴EF=

AC=4.解析連接OA,如圖所示,∵OG⊥AC,∴AG=?=?=4,24題型三考查圓周角定理該題型主要考查圓周角定理,主要考查內(nèi)容有利用圓周角定理進(jìn)行計算或證

明,常與垂徑定理、勾股定理、圓的切線、銳角三角函數(shù)、全等三角形、相

似三角形等知識相結(jié)合,以綜合題的形式考查.題型三考查圓周角定理25典例3

(2017浙江臺州中考)如圖,已知等腰直角三角形ABC,點P是斜邊BC

上一點(不與B,C重合),PE是△ABP的外接圓☉O的直徑.(1)求證:△APE是等腰直角三角形;(2)若☉O的直徑為2,求PC2+PB2的值.

典例3

(2017浙江臺州中考)如圖,已知等腰直角三角26答案(1)證明:易知AB=AC,∠BAC=90°,∴∠C=∠ABC=45°.∴∠AEP=∠ABP=45°.∵PE是直徑,∴∠PAE=90°.∴∠APE=90°-45°=45°,∴△PAE是等腰直角三角形.(2)作PM⊥AC于M,PN⊥AB于N,如圖所示,則四邊形PMAN是矩形.答案(1)證明:易知AB=AC,∠BAC=90°,27

∴PM=AN.由(1)知△PAE是等腰直角三角形,∴PE=

PA=

AE.易知△PCM,△PNB都是等腰直角三角形,∴PC=

PM,PB=

PN.∴PC2+PB2=(

PM)2+(

PN)2=2(PM2+PN2)=2(AN2+PN2)=2PA2=PE2=22=4.名師點撥

本題求解的關(guān)鍵是在圓中利用等腰直角三角形的性質(zhì)與判定.?=2(PM2+PN2)=2(AN2+PN2)=2PA2=P28變式訓(xùn)練3

(2018無錫中考)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,AB=17,CD=10,∠A=90°,cos∠ABC=

,求AD的長.

變式訓(xùn)練3

(2018無錫中考)如圖,四邊形ABCD內(nèi)29答案∵四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,∠A=90°,∴∠C=180°-∠A=90°,∠ABC+∠ADC=180°.作AE⊥BC于E,DF⊥AE于F,如圖所示,

則四邊形CDFE是矩形,EF=CD=10.答案∵四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,∠A=90°,30在Rt△AEB中,BE=AB·cos∠ABC=17×

=

.∴AE=

=

=

.∴AF=AE-EF=

-10=

.∵∠ABC+∠ADC=180°,∠CDF=90°,∴∠ABC+∠ADF=90°.∴sin∠ADF=cos∠ABC=

.在Rt△AEB中,31在Rt△ADF中,∵∠AFD=90°,sin∠ADF=

,∴AD=

=

=6.在Rt△ADF中,32易錯一盲目套用弦與弧之間的關(guān)系易混易錯突破典例1

(2017江蘇宿遷模擬)如圖所示,在☉O中,

=2

,則弦AB與弦CD的大小關(guān)系是

(C)

A.AB>2CD

B.AB=2CDC.AB<2CD

D.AB=CD易混易錯突破典例1

(2017江蘇宿遷模擬)如圖所示,33易錯警示

本題容易出現(xiàn)的錯誤是盲目套用弦與弧之間的關(guān)系,根據(jù)“同圓

中相等的弧所對的弦相等”,誤認(rèn)為弧增加為原來的2倍,所對的弦也增加為

原來的2倍.解析取

的中點E,連接EA、EB,如圖所示,則

=

=

,所以AE=BE=CD.在△ABE中,AE+BE>AB,即2CD>AB,∴AB<2CD,故選C.

答案

C易錯警示

本題容易出現(xiàn)的錯誤是盲目套用弦與弧之間的關(guān)系34易錯二在無圖的情況下出現(xiàn)丟解的錯誤典例2已知CD是☉O的直徑,A是☉O上的任意一點,過點D的弦DE平行于

半徑OA,連接AC,若∠D的度數(shù)是50°,則∠C的度數(shù)是

(C)A.25°

B.65°C.25°或65°

D.25°或50°易錯警示

在無圖的題目中,一定要先根據(jù)題意畫出正確的圖形,以免出現(xiàn)丟

解的錯誤.如本題,因為圓的半徑有無數(shù)條,所以與DE平行的半徑OA有兩種情

況,即點A與點E位于CD同側(cè)或異側(cè),所以本題的答案有兩個.易錯警示

在無圖的題目中,一定要先根據(jù)題意畫出正確的圖35解析根據(jù)題意,可以畫出兩種圖形,當(dāng)點A,E位于直徑CD的兩側(cè)時,如圖1所

示,∵OA∥DE,∴∠AOD=∠D=50°,則∠C=

∠AOD=

×50°=25°;當(dāng)點A,E位于直徑CD的同側(cè)時,如圖2所示,∵OA∥DE,∴∠AOC=∠D=50°,則∠C=

(180°-∠AOC)=65°.答案

C解析根據(jù)題意,可以畫出兩種圖形,當(dāng)點A,E位于直徑CD的兩36易錯三忽略圓的軸對稱性而丟解典例3

(2017廣東茂名模擬)已知☉O的半徑為13,AB,CD都是圓的弦,若AB

∥CD,AB=24,CD=10,則AB,CD之間的距離是

(D)A.7

B.17C.12

D.7或17易錯警示

本題中既沒有給出圖形,也沒有告訴AB,CD與點O的位置關(guān)系,因

此容易出現(xiàn)丟解的情形.實際上,由圓的軸對稱性知本題應(yīng)分兩種情況求解,

即AB,CD位于點O的同側(cè)及AB,CD位于點O的異側(cè).易錯三忽略圓的軸對稱性而丟解易錯警示

本題中既沒有給37解析當(dāng)AB,CD在圓心O的同側(cè)時,如圖1所示,過O作OE⊥AB于E,延長OE交

CD于F,連接OA,OC.∵AB∥CD,∴OF⊥CD.由此可得AE=

AB=12,CF=

CD=5.在Rt△AEO中,根據(jù)勾股定理,得OE=

=

=5,在Rt△CFO中,根據(jù)勾股定理,得OF=

=

=12.∴EF=OF-OE=12-5=7.當(dāng)AB,CD在圓心O的異側(cè)時,如圖2所示,過O作OE⊥AB于E,延長EO交CD于F,

同理可得OF=12,OE=5,∴EF=OE+OF=17.解析當(dāng)AB,CD在圓心O的同側(cè)時,如圖1所示,過O作OE⊥38綜上,AB,CD之間的距離為7或17.

答案

D綜上,AB,CD之間的距離為7或17.答案

D391.(2018石家莊長安模擬)把地球和籃球的半徑都增加一米,那么地球和籃球

的大圓的周長也都增加了,增加情況是

(C)A.地球多

B.籃球多C.一樣多

D.不能確定隨堂鞏固檢測隨堂鞏固檢測402.如圖,AB是☉O的直徑,D、C在☉O上,AD∥OC,∠DAB=60°,連接AC,則∠

DAC等于

(B)

A.15°

B.30°C.45°

D.60°2.如圖,AB是☉O的直徑,D、C在☉O上,AD∥OC,∠D413.當(dāng)點A、B、C滿足下列條件時,總能確定一個圓的是

(D)A.AB=1,BC=4B.AB=1,BC=2,AC=1C.AB=

-1,BC=2

+2,AC=

+3D.AB=3,BC=7,AC=53.當(dāng)點A、B、C滿足下列條件時,總能確定一個圓的是?(424.(2018邵陽中考)如圖所示,四邊形ABCD為☉O的內(nèi)接四邊形,∠BCD=120°,

則∠BOD的大小是

(B)

A.80°

B.120°C.100°

D.90°4.(2018邵陽中考)如圖所示,四邊形ABCD為☉O的內(nèi)接435.如圖,四邊形PAOB是一個矩形,其中點P在

上且不與M,N重合,點A在☉O的半徑OM上,點B在☉O的半徑ON上,當(dāng)P點在

上移動時,矩形PAOB的形狀、大小隨之變化,則PA2+PB2的值

(C)

A.變大

B.變小C.不變

D.不能確定5.如圖,四邊形PAOB是一個矩形,其中點P在?上且不與M,446.如圖,☉O的半徑等于4,如果弦AB所對的圓心角等于120°,那么圓心O到弦

AB的距離等于

2

.

7.如圖,已知☉O的半徑為10,弦AB=12,M是AB上任意一點,則線段OM的長度

的取值范圍是

8≤OM≤10

.

6.如圖,☉O的半徑等于4,如果弦AB所對的圓心角等于120458.(2018邢臺臨城模擬)如圖,已知四邊形ADBC是☉O的內(nèi)接四邊形,AB是直

徑,AB=10cm,BC=8cm,CD平分∠ACB.(1)求AC與BD的長;(2)求四邊形ADBC的面積.

8.(2018邢臺臨城模擬)如圖,已知四邊形ADBC是☉O的46答案(1)∵AB是直徑,∴∠ACB=90°.∴AC=

=

=6(cm).∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD,∴BD=AD=

AB=

×10=5

(cm).(2)S四邊形ADBC=S△ABC+S△ADB=

AC·BC+

AD·BD=

×6×8+

×5

×5

=49(cm2).答案(1)∵AB是直徑,479.如圖,OA、OB是☉O的半徑且OA⊥OB,作OA的垂直平分線交☉O于點C、

D,連接CB、AB.求證:∠ABC=2∠CBO.

9.如圖,OA、OB是☉O的半徑且OA⊥OB,作OA的垂直平48答案連接OC、AC,如圖所示.∵CD垂直平分OA,∴OC=AC=OA.∴△OAC是等邊三角形,則∠AOC=60°.∴∠ABC=

∠AOC=30°.∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°,在△BOC中,∠BOC=∠AOC+∠AOB=150°.答案連接OC、AC,如圖所示.49∵OB=OC,∴∠CBO=

(180°-∠BOC)=

×(180°-150°)=15°,∴∠ABC=2∠CBO.

∵OB=OC,50海納百川有容乃大海納百川有容乃大51謝謝您的觀看謝謝您的觀看52課題32圓的有關(guān)概念課題32圓的有關(guān)概念53基礎(chǔ)知識梳理考點一圓的基本概念考點二垂徑定理及推論考點三圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系考點四確定圓的條件考點五圓周角定理及其推論基礎(chǔ)知識梳理考點一圓的基本概念考點二垂徑定理及推54中考題型突破題型一考查圓的基本概念題型二考查垂徑定理題型三考查圓周角定理中考題型突破題型一考查圓的基本概念題型二考查垂徑55易錯一盲目套用弦與弧之間的關(guān)系易錯二忽略圓的軸對稱性而丟解易錯三忽略圓的軸對稱性而丟解易混易錯突破易錯一盲目套用弦與弧之間的關(guān)系易錯二忽略圓的軸對56考點年份題號分值考查方式1.圓周角20182510以解答題的形式,在有關(guān)圓的綜合性題

目中,考查圓心角的知識20162510以解答題的形式,在有關(guān)圓的綜合性題

目中,考查圓周角2.三角形的外接圓2018239以解答題的形式,與全等三角形等知識

相結(jié)合,考查三角形外心的知識2017239以解答題的形式,以圓的切線、扇形等

知識為載體,考查三角形外心的知識201693以選擇題的形式,考查三角形的外接圓備考策略:圓周角定理與三角形外接圓的知識,是圓的兩個重要內(nèi)容,貫穿于圓的知識的始終,一直是我省中考的熱點內(nèi)容,在中考中,或以選擇題、填空題的形式單獨考查,或與圓的位置關(guān)系、相似三角

形、勾股定理等知識相結(jié)合,以綜合題的形式考查.預(yù)計今后我省中考對本部分內(nèi)容的考查不會有太大的變化.河北考情探究考點年份題號分值考查方式1.圓周角20182510以解答題的57考點一圓的基本概念基礎(chǔ)知識梳理1.圓的定義:平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓.定點

叫做①

圓心

,定長叫做②

半徑

.其中,圓心確定圓的③

位置

,半徑

確定圓的④

大小

.圓心相同的圓叫做同心圓,半徑相等的圓叫做等圓.基礎(chǔ)知識梳理1.圓的定義:平面上到定點的距離等于定長的所有點582.圓的有關(guān)概念:(1)弦:連接圓上任意兩點的線段;(2)直徑:經(jīng)過圓心的弦;(3)

弧:圓上任意兩點間的部分叫做弧,其中大于半圓的弧稱為優(yōu)弧,小于半圓的

弧稱為劣弧;(4)圓心角:頂點在⑤

圓心

的角;(5)圓周角:頂點在⑥

圓

上

且兩邊都和圓相交的角.3.圓的對稱性:圓既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,任何一條直徑所在的⑦

直線

都是它的對稱軸,對稱中心是⑧

圓心

.另外,圓具有旋轉(zhuǎn)不變性,

即圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與原來的圓⑨

重合

.注:圓上任意一條弦對應(yīng)⑩

兩

條弧.2.圓的有關(guān)概念:(1)弦:連接圓上任意兩點的線段;(2)直591.垂徑定理:垂直于弦的直徑

平分

這條弦,并且平分弦所對的兩條弧.考點二垂徑定理及推論2.推論:平分弦(不是直徑)的直徑

垂直

于弦,并且

平分

弦所對的兩條弧.1.垂徑定理:垂直于弦的直徑?

平分

這條弦,并603.利用垂徑定理還可以得到:如圖所示,根據(jù)圓的對稱性,在以下五條結(jié)論中:(1)

=

;(2)

=

;(3)AE=BE;(4)AB⊥CD;(5)CD是直徑,只要滿足其中兩個,另外三個結(jié)論一定成立,即

知二推三.

3.利用垂徑定理還可以得到:611.在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧

相等

,所對的弦

相等

,所對的弦的弦心距

相等

.考點三圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系2.在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦的弦心距中

有一組量相等,那么它們對應(yīng)的其余各組量都分別

相等

.?溫馨提示

圓中同一條弦所對的圓周角

相等或互補(bǔ)

.1.在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧?

相等

62考點四確定圓的條件1.不在同一條直線上的三個點確定一個圓.2.三角形的外接圓:三角形的三個頂點在同一個圓上,這個圓叫做三角形的外

接圓,外接圓的圓心是三角形三邊

垂直平分線

的交點,叫做三角形的外心.2.三角形的外接圓:三角形的三個頂點在同一個圓上,這個圓叫做63考點五圓周角定理及其推論1.圓周角定理:圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.考點五圓周角定理及其推論642.圓周角定理的推論:(1)同弧或等弧所對的圓周角

相等

,都等于這條弧所對的圓心角的

一半

;(2)半圓(或直徑)所對的圓周角是

直角

;(3)90°的圓周角所對的弦是

直徑

;(4)圓內(nèi)接四邊形的對角

互補(bǔ)

.

?溫馨提示

在解決與圓內(nèi)接四邊形有關(guān)的問題時,為了方便解題,經(jīng)常運(yùn)用

“圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角”的結(jié)論,這個結(jié)論可以看

做“圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)”的一個推論.2.圓周角定理的推論:(1)同弧或等弧所對的圓周角?

65題型一考查圓的基本概念該題型主要考查圓的基本概念,如弦、弧、圓心角的概念以及它們之間的聯(lián)

系,三角形的外接圓等內(nèi)容,考查的方式以選擇題或填空題為主,主要考查基

礎(chǔ)知識.中考題型突破中考題型突破66典例1

(2017唐山灤縣模擬)如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是矩形內(nèi)部

的一個動點,且AE⊥BE,則線段CE的最小值為

(B)

A.

B.2

-2C.2

-2

D.4典例1

(2017唐山灤縣模擬)如圖,在矩形ABCD中67答案

B∵AE⊥BE,∴點E在以AB為直徑的☉O上,如圖所示.

連接OC交☉O于點E',則當(dāng)點E位于點E'位置時,線段CE取得最小值.∵AB=4,∴OA=OB=OE'=2.∵BC=6,∴OC=

=

=2

.∴CE'=OC-OE'=2

-2.答案

B∵AE⊥BE,∴點E在以AB為直徑的☉O上,68名師點撥

根據(jù)“兩點之間,線段最短”,得到點E在點E'的位置時線段CE取

得最小值,由此把求線段CE的最小值轉(zhuǎn)化為求線段CE'的長度.由于直接求CE

'比較困難,故把求線段CE'的長度轉(zhuǎn)化為求線段OC與線段OE'的差,因此利用

勾股定理與同圓的半徑相等解答本題即可.名師點撥

根據(jù)“兩點之間,線段最短”,得到點E在點E'69變式訓(xùn)練1

(2018河北模擬)如圖,C是以點O為圓心,AB為直徑的半圓上一

點,且CO⊥AB,在OC兩側(cè)分別作矩形OGHI和正方形ODEF,且點I,F在OC上,

點H,E在半圓上,可證:IG=FD.小云發(fā)現(xiàn)連接圖中已知點得到兩條線段,便可證

明IG=FD.請回答:(1)小云所作的兩條線段分別是

OH

和

OE

;(2)證明IG=FD的依據(jù)是矩形的對角線相等,

同圓的半徑相等

和等量代換.

變式訓(xùn)練1

(2018河北模擬)如圖,C是以點O為圓心70解析連接OH、OE,如圖所示.∴在矩形OGHI中,IG=OH;在正方形ODEF中,OE=DF.∵OH=OE,∴IG=FD.

解析連接OH、OE,如圖所示.71題型二考查垂徑定理該題型主要考查利用垂徑定理進(jìn)行計算,垂徑定理是中考的必考內(nèi)容,常與圓

周角定理、勾股定理、等腰三角形、直角坐標(biāo)系等知識相結(jié)合,考查的題型

既有選擇題、填空題,也有解答題.題型二考查垂徑定理72典例2

(2018襄陽中考)如圖,點A,B,C,D都在半徑為2的☉O上,若OA⊥BC,∠CDA=30°,則弦BC的長為

(D)

A.4

B.2

C.

D.2

典例2

(2018襄陽中考)如圖,點A,B,C,D都在73答案

D∵OA⊥BC,∴CH=BH,

=

.∴∠AOB=2∠CDA=60°.在Rt△BOH中,得BH=OBsin∠AOB=2sin60°=

.∴BC=2BH=2

.名師點撥

利用垂徑定理計算時,需要利用圖中的直角三角形,當(dāng)圖中沒有可

以利用的直角三角形時,需要構(gòu)造直角三角形,一般情況下,所構(gòu)造的直角三

角形由三條線段組成,即弦的一半,圓心到該弦的垂線段,過弦的一個端點的

半徑.答案

D∵OA⊥BC,名師點撥

利用垂徑定理計74變式訓(xùn)練2

(2017保定涿州模擬)如圖,☉O的半徑是5,☉O是△ABC的外接

圓,過圓心O分別作AB、BC、AC的垂線,垂足分別為E、F、G,連接EF,若OG

=3,則EF=

4

.

變式訓(xùn)練2

(2017保定涿州模擬)如圖,☉O的半徑是75解析連接OA,如圖所示,∵OG⊥AC,∴AG=

=

=4,∴AC=2AG=8.

∵OE⊥AB,OF⊥BC,

∴AE=EB,CF=FB,

∴EF是△ABC的中位線,∴EF=

AC=4.解析連接OA,如圖所示,∵OG⊥AC,∴AG=?=?=4,76題型三考查圓周角定理該題型主要考查圓周角定理,主要考查內(nèi)容有利用圓周角定理進(jìn)行計算或證

明,常與垂徑定理、勾股定理、圓的切線、銳角三角函數(shù)、全等三角形、相

似三角形等知識相結(jié)合,以綜合題的形式考查.題型三考查圓周角定理77典例3

(2017浙江臺州中考)如圖,已知等腰直角三角形ABC,點P是斜邊BC

上一點(不與B,C重合),PE是△ABP的外接圓☉O的直徑.(1)求證:△APE是等腰直角三角形;(2)若☉O的直徑為2,求PC2+PB2的值.

典例3

(2017浙江臺州中考)如圖,已知等腰直角三角78答案(1)證明:易知AB=AC,∠BAC=90°,∴∠C=∠ABC=45°.∴∠AEP=∠ABP=45°.∵PE是直徑,∴∠PAE=90°.∴∠APE=90°-45°=45°,∴△PAE是等腰直角三角形.(2)作PM⊥AC于M,PN⊥AB于N,如圖所示,則四邊形PMAN是矩形.答案(1)證明:易知AB=AC,∠BAC=90°,79

∴PM=AN.由(1)知△PAE是等腰直角三角形,∴PE=

PA=

AE.易知△PCM,△PNB都是等腰直角三角形,∴PC=

PM,PB=

PN.∴PC2+PB2=(

PM)2+(

PN)2=2(PM2+PN2)=2(AN2+PN2)=2PA2=PE2=22=4.名師點撥

本題求解的關(guān)鍵是在圓中利用等腰直角三角形的性質(zhì)與判定.?=2(PM2+PN2)=2(AN2+PN2)=2PA2=P80變式訓(xùn)練3

(2018無錫中考)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,AB=17,CD=10,∠A=90°,cos∠ABC=

,求AD的長.

變式訓(xùn)練3

(2018無錫中考)如圖,四邊形ABCD內(nèi)81答案∵四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,∠A=90°,∴∠C=180°-∠A=90°,∠ABC+∠ADC=180°.作AE⊥BC于E,DF⊥AE于F,如圖所示,

則四邊形CDFE是矩形,EF=CD=10.答案∵四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,∠A=90°,82在Rt△AEB中,BE=AB·cos∠ABC=17×

=

.∴AE=

=

=

.∴AF=AE-EF=

-10=

.∵∠ABC+∠ADC=180°,∠CDF=90°,∴∠ABC+∠ADF=90°.∴sin∠ADF=cos∠ABC=

.在Rt△AEB中,83在Rt△ADF中,∵∠AFD=90°,sin∠ADF=

,∴AD=

=

=6.在Rt△ADF中,84易錯一盲目套用弦與弧之間的關(guān)系易混易錯突破典例1

(2017江蘇宿遷模擬)如圖所示,在☉O中,

=2

,則弦AB與弦CD的大小關(guān)系是

(C)

A.AB>2CD

B.AB=2CDC.AB<2CD

D.AB=CD易混易錯突破典例1

(2017江蘇宿遷模擬)如圖所示,85易錯警示

本題容易出現(xiàn)的錯誤是盲目套用弦與弧之間的關(guān)系,根據(jù)“同圓

中相等的弧所對的弦相等”,誤認(rèn)為弧增加為原來的2倍,所對的弦也增加為

原來的2倍.解析取

的中點E,連接EA、EB,如圖所示,則

=

=

,所以AE=BE=CD.在△ABE中,AE+BE>AB,即2CD>AB,∴AB<2CD,故選C.

答案

C易錯警示

本題容易出現(xiàn)的錯誤是盲目套用弦與弧之間的關(guān)系86易錯二在無圖的情況下出現(xiàn)丟解的錯誤典例2已知CD是☉O的直徑,A是☉O上的任意一點,過點D的弦DE平行于

半徑OA,連接AC,若∠D的度數(shù)是50°,則∠C的度數(shù)是

(C)A.25°

B.65°C.25°或65°

D.25°或50°易錯警示

在無圖的題目中,一定要先根據(jù)題意畫出正確的圖形,以免出現(xiàn)丟

解的錯誤.如本題,因為圓的半徑有無數(shù)條,所以與DE平行的半徑OA有兩種情

況,即點A與點E位于CD同側(cè)或異側(cè),所以本題的答案有兩個.易錯警示

在無圖的題目中,一定要先根據(jù)題意畫出正確的圖87解析根據(jù)題意,可以畫出兩種圖形,當(dāng)點A,E位于直徑CD的兩側(cè)時,如圖1所

示,∵OA∥DE,∴∠AOD=∠D=50°,則∠C=

∠AOD=

×50°=25°;當(dāng)點A,E位于直徑CD的同側(cè)時,如圖2所示,∵OA∥DE,∴∠AOC=∠D=50°,則∠C=

(180°-∠AOC)=65°.答案

C解析根據(jù)題意,可以畫出兩種圖形,當(dāng)點A,E位于直徑CD的兩88易錯三忽略圓的軸對稱性而丟解典例3

(2017廣東茂名模擬)已知☉O的半徑為13,AB,CD都是圓的弦,若AB

∥CD,AB=24,CD=10,則AB,CD之間的距離是

(D)A.7

B.17C.12

D.7或17易錯警示

本題中既沒有給出圖形,也沒有告訴AB,CD與點O的位置關(guān)系,因

此容易出現(xiàn)丟解的情形.實際上,由圓的軸對稱性知本題應(yīng)分兩種情況求解,

即AB,CD位于點O的同側(cè)及AB,CD位于點O的異側(cè).易錯三忽略圓的軸對稱性而丟解易錯警示

本題中既沒有給89解析當(dāng)AB,CD在圓心O的同側(cè)時,如圖1所示,過O作OE⊥AB于E,延長OE交

CD于F,連接OA,OC.∵AB∥CD,∴OF⊥CD.由此可得AE=

AB=12,CF=

CD=5.在Rt△AEO中,根據(jù)勾股定理,得OE=

=

=5,在Rt△CFO中,根據(jù)勾股定理,得OF=

=

=12.∴EF=OF-OE=12-5=7.當(dāng)AB,CD在圓心O的異側(cè)時,如圖2所示,過O作OE⊥AB于E,延長EO交CD于F,

同理可得OF=12,OE=5,∴EF=OE+OF=17.解析當(dāng)AB,CD在圓心O的同側(cè)時,如圖1所示,過O作OE⊥90綜上,AB,CD之間的距離為7或17.

答案