統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)復(fù)習(xí)題及答案

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NigiiNigiiNJ6!32460274425920txN!3!2!1!（2）在N個(gè)不同粒子中取出Ni個(gè)粒子放在i中，其放法為CN1種。在i能級(jí)上有g(shù)i個(gè)不同狀態(tài),故在1上總共有g(shù)—CN1種放法，同理在從（N-N1）中取出N2個(gè)粒子放在2上的放法為g；2CN2N1種放法。所以這種分布的微觀狀態(tài)數(shù):.在公園的猴舍中陳列著三個(gè)金絲猴和兩種長臂猿，金絲猴有紅、綠兩種帽子，仍戴一種，而長臂猿可在黃、灰和黑中選戴一種，試問陳列時(shí)間可出現(xiàn)幾種不同的情況，并列出求算公式。解：設(shè)Ni=3,N解：設(shè)Ni=3,N2=2,而gi=2,g2=3則W(N1g11)!(N2 g2 1)! (321)!(231)!24N1！(g11)!心!。1)!3!(21)! 2!(31)!種,因?yàn)槊恳环N動(dòng)物必須戴：三個(gè)金絲猴：（紅、紅、紅）（綠、綠、綠）（紅、紅、綠）（綠、綠、紅）共4種。兩種長臂猿：（黑、黑）（灰、灰）（黑、灰）（黃、灰）（黑、黃）。共6種?？偣矠?64種。兩種長臂猿：（黑、黑）（灰、灰）種。4.已知對(duì)非定位體系（U,V,N）1N!N!NiNNiiUNig-試證明式(3.2%(3.25)和Ni!(3.26)。解：對(duì)定位體系:ti(N!4.已知對(duì)非定位體系（U,V,N）1N!N!NiNNiiUNig-試證明式(3.2%(3.25)和Ni!(3.26)。解：對(duì)定位體系:ti(N!NigiiNi!（第二題的結(jié)果）對(duì)非定位體系:ti摘取最大項(xiàng)原理:tmN!1N!rNigiNi!(N!rNigiNi!（定位體系）對(duì)非定位體系：tmgiNi!lntNilngiln(Ni!)NilngiNilnNiNi微分：1nt1ngiNilnNiNilnNiNi1lngigillnNVlnlNi用拉格朗日乘因子法，求得：（書中189頁）lntNi,即ln戛NigV*Ni*NiigieNgiei*Nigiegie…geiN——gveigekT

N-g——igekT*Nj

NikTg^e一與定位體系的玻茲曼分布公igiekT式相同lntmlngiNiInNiNVlngiNiInNiNiNiln包NiN(NiN)ln(ln(Niln(giigiekTNgieigvekTkT、NgiekT)kTNgie)S非klnklntmF非UTSUNiInigiekT

i——NiNekTNiInigiekTNiln(NekT)NNiIn,…UlnN!—kTiNilnekTNln(TT、NgiekT)InN!NvkTkTN?(gie)lni

ekT)NN!kTN(gvekT)

kTlnN!5.試證明玻茲曼分布的微觀狀態(tài)數(shù)公式為Int證：利用定位體系任意分配方式公式：t即定位體系）取自然對(duì)數(shù)：lntlnN!lngiNi對(duì)最概然分布:6.設(shè)有一圓柱形鐵皮筒，體積為V0R2L因子法當(dāng)鐵皮面積為最小時(shí)，圓柱半徑（R）皮?不討論（可自己求解）N!UkTkTln-Nln(qNiN!TNi!lnNi!kTNgvekT)N!UekT)式中qgiexo(—L),UNiiikT（玻茲曼統(tǒng)計(jì)是指經(jīng)典統(tǒng)計(jì)認(rèn)為粒子是可區(qū)別的,1.00dm3鐵皮面積為S2R22RL,試用拉格朗日乘和高（L）之間的關(guān)系？并算出至少要消耗多少面積的鐵-1解：L2R2S2R22RL2R2-(Rr2l極值時(shí)：dSdR4R320R32RL-)

R23

J32R（圓柱半徑R與高之間的關(guān)系）設(shè)：f(R,L)R2g(R,L)_2RL1,F(R,L,2R2f(R,L)g(R,L)RLr2l1)RL(DF

(T)rR2()RLr2lR2R(2R)0(4)（4）代入（1）,(2)0,2R由V。r2lR2(2R)R31R310,542-27.試用配分函數(shù)表示出單原子理想氣體的吉布斯自由能G和始H。答：理想氣體為非定位體系：對(duì)單元子分子,只有電子核和平動(dòng)配分函數(shù)NkTln—N!N

qt

kTln-kTln

N!NqekTlnqN,GUPVTSFF()TNVNkT(lnqtN!為常數(shù)。qe,qn與體積無關(guān)）J占TTVN中U[^^]VN產(chǎn)吉布斯一亥姆霍茲公式8.CO2氣體可作為理想氣體,并設(shè)其各個(gè)自由度都服從經(jīng)典的能量均分原理，已知.15試用計(jì)算方法判斷CO2是否為線性分子。…tC解：由一CCR1.15~^m——1.15C

7vm（第一章中討論到理想氣體CpmCvmR)TOC\o"1-5"\h\z-,一r113CvmR1.15Cv.m.0.15CvmR.Cvm——R一R0.152設(shè)：若CO2為線性分子，補(bǔ)：平動(dòng)有3個(gè)自由度。根據(jù)其總自由度為3n。.??振動(dòng)自由度應(yīng)為3n3233324。由于一個(gè)振動(dòng)的能量中的表達(dá)式中包括2個(gè)平方項(xiàng)（83頁小字部分）,振動(dòng)的動(dòng)能和振動(dòng)的位能，每個(gè)平方項(xiàng)都提供」kT的能量（若為1mol。則為［kT）若一個(gè)分子有七221個(gè)平動(dòng)自由度，r個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。S個(gè)振動(dòng)自由度。則：總能量-（tr2s）kT,2一U1Cv（——）一（tr2s）k。T2若CO2為線性分子1322(3332)]R萬1322(3332)]R萬R.Cvm[tr2(3ntr)]R[322與原來題中給的條件求出的Cvm一致。故假設(shè)正確，CO2是直線型分子9.四種分子的有關(guān)參數(shù)如下:分子Mt0/k0v/kH2287.55976HBr8112.23682N2282.893353Cl2710.35801問在同溫同壓下，那種氣體的摩爾平動(dòng)嫡最大？那種氣體的摩爾轉(zhuǎn)動(dòng)嫡最大？那種氣體的轉(zhuǎn)動(dòng)基本頻率最小？解：先寫出平動(dòng)嫡，轉(zhuǎn)動(dòng)嫡及振動(dòng)特征溫度的表達(dá)式：tStNk[lnq-

N52]Nk[ln3(2mkT)2解：先寫出平動(dòng)嫡，轉(zhuǎn)動(dòng)嫡及振動(dòng)特征溫度的表達(dá)式：tStNk[lnq-

N52]Nk[ln3(2mkT)2

Nh3（沙克爾一特魯?shù)鹿剑?qt3(2mkT)'3(h2),3(2mkT)3V

h33t(2mkT)2

SmR[ln 3VmLh2](物質(zhì)量為1mol.NL.LkVVm)由公式可見，粒子的質(zhì)量m越大，平動(dòng)嫡則越大，所以HBr的摩爾嫡最大。NklntN!InqNkT(NklntN!InqNkT(「^)vNNklnqklnN!NkT(lnq、)vNTNklnqrklnN!NkT(NklnqrklnN!NkT(1nq)VN Nkln--2Zl82Ik82 (ln2lnT)Sr非Nkln82klnN!NkT( h )vnh2 TlnjklnN!NkT( h—)VNNkln8-IkTklnN!Nk

h2NklnTHNklnTH7klnN!NkC2..(雙原子分子：qr-kT)hSr非Sr非mklnqrkk(6.021023)lnNNkklnqrkklnLkk(lnqrlnL2)說明轉(zhuǎn)動(dòng)特征溫度越小，S說明轉(zhuǎn)動(dòng)特征溫度越小，Sr非m越大，所以Q2的Sr非m最大。HrHrk所以振動(dòng)特征溫度越小,所以振動(dòng)特征溫度越小,越小，所以CO2的振動(dòng)基本頻率最小10.請(qǐng)定性說明下列各種氣體，為什么在不同溫度下的Cv，m值不等，找出其中的變化規(guī)律。298.158002000He12.4812.4812.48N220.8123.1227.68Cl225.5328.8929.99CO22