《一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》課件-(公開(kāi)課獲獎(jiǎng))2022年滬科版-3

19.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系19.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系11.一元二次方程的解法

復(fù)習(xí)提問(wèn)2.求根公式1.一元二次方程的解法復(fù)習(xí)提問(wèn)2.求根公式21.

填表

方程

x1,,x2

x1+x2

x1.x2

①x2-3x+2=0

②X2-2x-3=0③X2-5x+4=0問(wèn)題：你發(fā)現(xiàn)這些一元二次方程的根與系數(shù)有什么規(guī)律？當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)x2+px+q=0的兩根為x1,,x2則有2,132-1,32-31,4541.

填表方程x1,,x2x1+x23方程1-22、填表說(shuō)一說(shuō)，你又有什么發(fā)現(xiàn)？方程1-22、填表說(shuō)一說(shuō)，你又有什么發(fā)現(xiàn)？4猜想：

如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)且a=0）的兩根為x1、x2，則

x1.x2與系數(shù)a，b，c的關(guān)系。猜想：5

6

任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的x1+x2，x1.x2與系數(shù)a，b，c的關(guān)系是：x1+x2=-—x1.x2=—abac一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是法國(guó)數(shù)學(xué)家“韋達(dá)”發(fā)現(xiàn)的,所以我們又稱(chēng)之為韋達(dá)定理.abac一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是法國(guó)數(shù)學(xué)家“韋達(dá)”發(fā)現(xiàn)的7例1

已知方程2x2+kx-4=0的一個(gè)根是-4，求它的另一個(gè)根及k的值。答：方程的另一個(gè)根是k的值是7。解:設(shè)方程的另一根為了,則例1已知方程2x2+kx-4=0的一個(gè)根是-4，求它的8（1）x2-3x+1=0（2）3x2-2x=2（3）2x2+3x=0（4）3x2=11.下列方程兩根的和與兩根的積各是多少?（不解方程）自主練習(xí)靈活運(yùn)用（1）x2-3x+1=01.下列方程兩根的和與兩根的積各是多9自主練習(xí)靈活運(yùn)用2、設(shè)x1.x2是方程2x2+4x-3=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值。（1）（x1+1）（x2+1）（2）—+—x1x2x1x2自主練習(xí)靈活運(yùn)用2、設(shè)x1.x2是方程2x2+4x-3=010小結(jié)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系？小結(jié)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系？11作業(yè)1、課外作業(yè)P54面55面練習(xí)第1、2、3題2、課堂作業(yè)P65面A組復(fù)習(xí)題第4、5、6題作業(yè)1、課外作業(yè)12再見(jiàn)再見(jiàn)13

14觀察與思考∠1是∠3的

，兩邊分別在同一條直線(xiàn)上.因此一個(gè)角的對(duì)頂角可看作是把這個(gè)角的兩邊

延長(zhǎng)得到的沒(méi)有公共邊的角觀察與思考∠1是∠3的15∠AOC和∠BOD有公共頂點(diǎn)，且∠AOC的兩邊分別是∠BOD兩邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn).如圖直線(xiàn)AB與CD相交于點(diǎn)O，∠1和∠3有公共頂點(diǎn)O，并且它們的兩邊互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)，這樣的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角.對(duì)頂角：觀察總結(jié)

∠AOC和∠BOD有公共頂點(diǎn)，且∠AOC的兩邊分別是∠BOD16那么對(duì)頂角有什么樣的關(guān)系呢？對(duì)頂角相等那么對(duì)頂角有對(duì)頂角相等17實(shí)驗(yàn)探究

由∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，可得∠1＝∠3.對(duì)頂角相等實(shí)驗(yàn)探究由∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠318（對(duì)頂角相等）∵∠3=∠1∠1=68°（）已知∴∠3=68°解：（等量代換）∴∠2=180°—∠1=112°∴∠4=∠2=112°（對(duì)頂角相等）（對(duì)頂角相等）∵∠3=∠1∠1=68°（）已知19

如圖所示，有一個(gè)破損的扇形零件，怎樣用量角器量出這個(gè)扇形零件的圓心角的度數(shù).如圖所示，有一個(gè)破損的扇形零件，怎樣用量角器量出這個(gè)20生活拓展觀察下列各圖，尋找對(duì)頂角（不含平角)

⑴如圖a，圖中共有

對(duì)對(duì)頂角⑵如圖b，圖中共有

對(duì)對(duì)頂角⑶如圖c，圖中共有

對(duì)對(duì)頂角⑷研究⑴～⑶小題中直線(xiàn)條數(shù)與對(duì)頂角的對(duì)數(shù)之間的關(guān)系，若有n條直線(xiàn)相交于一點(diǎn)，則可形成

對(duì)對(duì)頂角⑸若有2008條直線(xiàn)相交于一點(diǎn)，則可形成

對(duì)對(duì)頂角.

生活拓展觀察下列各圖，尋找對(duì)頂角（不含平角)⑴如圖21其中一條直線(xiàn)叫做另一條直線(xiàn)的垂線(xiàn)1.定義：當(dāng)兩條直線(xiàn)AB和CD所成的四個(gè)角中，如果有一個(gè)角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條直線(xiàn)互相垂直.2.垂直用符號(hào)“⊥”來(lái)表示，讀作“垂直于”.如“直線(xiàn)AB垂直于直線(xiàn)CD”，就記作“AB⊥CD”.OABCD3.交點(diǎn)O叫做垂足探究新知：垂線(xiàn)的定義其中一條直線(xiàn)叫做另一條直線(xiàn)的垂線(xiàn)1.定義：當(dāng)兩條直線(xiàn)AB和C22FEMNO記作：_________,垂足為_(kāi)__.ABOE記作：

______，垂足為_(kāi)___.試一試填一填MN⊥EFOAB⊥OEO或者M(jìn)N⊥EF于O或者AB⊥OE于OFEMNO記作：_________,垂足為_(kāi)__.ABOE23日常生活中,兩條直線(xiàn)互相垂直的情形很常見(jiàn),說(shuō)出圖中的一些互相垂直的線(xiàn)條.你能再舉出其他例子嗎?你能舉出生活中直線(xiàn)互相垂直的例子嗎？日常生活中,兩條直線(xiàn)互相垂直的情形很常見(jiàn),說(shuō)出圖中的一些互相24生活中的垂直生活中的垂直251、∵AB⊥CD（已知）∴∠1=90°（垂線(xiàn)的定義）2、∵∠1=90°（已知）∴AB⊥CD（垂線(xiàn)的定義）ABCD1ABCD1垂直有以下兩層含義1、∵AB⊥CD（已知）2、∵∠1=90°（已知）ABCD126解：∵∠1＝35°，∠2＝55°（已知）

垂直∴∠AOE＝180°－∠1－∠2

＝180°－35°－55°

＝90°∴OE⊥AB(垂直的定義)CDABOE12例如圖，已知直線(xiàn)AB、CD都經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，OE為射線(xiàn)，若∠1＝35°∠2＝55°，則OE與AB的位置關(guān)系是

.

應(yīng)用新知解：垂直∴∠AOE＝180°－∠1－∠2∴OE⊥A271、兩條直線(xiàn)相交所成的四個(gè)角中，下列條件中能判定兩條直線(xiàn)垂直的是()

（A）有兩個(gè)角相等（B）有兩對(duì)角相等（C）有三個(gè)角相等（D）有四對(duì)鄰補(bǔ)角（C）

練一練（C）練一練282、下面四種判定兩條直線(xiàn)的垂直的方法，正確的有（）個(gè)（1）兩條直線(xiàn)相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，則這兩條直線(xiàn)互相垂直（2）兩條直線(xiàn)相交，只要有一組鄰補(bǔ)角相等，則這兩條直線(xiàn)互相垂直（3）兩條直線(xiàn)相交，所成的四個(gè)角相等，這兩條直線(xiàn)互相垂直（4）兩條直線(xiàn)相交，有一組對(duì)頂角互補(bǔ)，則這兩條直線(xiàn)互相垂直（A）4（B）3

（C）2（D）1A2、下面四種判定兩條直線(xiàn)的垂直的方法，正確的有（）29問(wèn)題：這樣畫(huà)L的垂線(xiàn)可以畫(huà)幾條？1靠、2畫(huà)線(xiàn)、LO(1)如圖，已知直線(xiàn)L,作L的垂線(xiàn).A無(wú)數(shù)條1.用三角尺畫(huà)垂線(xiàn)動(dòng)手操作問(wèn)題：怎么樣畫(huà)已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)？問(wèn)題：LO(1)如圖，已知直線(xiàn)L,作L的垂線(xiàn).A無(wú)數(shù)條1.30LA(2)如圖，已知直線(xiàn)L和L上的一點(diǎn)A,作L的垂線(xiàn).B1靠（線(xiàn)）:把三角板的一直角邊靠在直線(xiàn)上;3畫(huà)（線(xiàn)）:沿著三角板的另一直角邊畫(huà)出垂線(xiàn).2過(guò)（點(diǎn)）:三角板的另一條直角邊過(guò)已知點(diǎn);則所畫(huà)直線(xiàn)AB是過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)L的垂線(xiàn).問(wèn)題：這樣畫(huà)L的垂線(xiàn)可以畫(huà)幾條？1條LA(2)如圖，已知直線(xiàn)L和L上的一點(diǎn)A,作L的垂線(xiàn).31LA(3)如圖，已知直線(xiàn)L和L外的一點(diǎn)A,作L的垂線(xiàn).B3畫(huà)（線(xiàn)）:沿著三角板的另一直角邊畫(huà)出垂線(xiàn).2過(guò)（點(diǎn)）:三角板的另一條直角邊過(guò)已知點(diǎn);1靠（線(xiàn)）:把三角板的一直角邊靠在直線(xiàn)上;則所畫(huà)直線(xiàn)AB是過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)L的垂線(xiàn).問(wèn)題：這樣畫(huà)L的垂線(xiàn)可以畫(huà)幾條？1條LA(3)如圖，已知直線(xiàn)L和L外的一點(diǎn)A,作L的垂線(xiàn).32根據(jù)以上的操作，你能得出什么結(jié)論？垂線(xiàn)的第一性質(zhì)：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直.

（1）“過(guò)一點(diǎn)”中的點(diǎn)，可以在已知直線(xiàn)上，也可以在已知直線(xiàn)外.

（2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.注意：

總結(jié)：根據(jù)以上的操作，你能得出什么結(jié)論？垂線(xiàn)的第一性質(zhì)：過(guò)一點(diǎn)有且331.在小學(xué)學(xué)段我們?cè)ㄟ^(guò)折紙的方法，得到兩條垂線(xiàn)，現(xiàn)在你可以用幾種折法得到兩條垂線(xiàn)？

2.用折紙方法畫(huà)垂線(xiàn)1.在小學(xué)學(xué)段我們?cè)ㄟ^(guò)折紙的方法，得到兩條垂線(xiàn)，現(xiàn)在你可以342.如圖(5)：直線(xiàn)a上有一點(diǎn)A，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，你能折出幾條與a垂直的直線(xiàn)？如圖(6)：直線(xiàn)a外有一點(diǎn)B,經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，你能折出幾條與a垂直的直線(xiàn)？想一想做一做過(guò)點(diǎn)A、B分別可以做直線(xiàn)a的幾條垂線(xiàn)呢？2.如圖(5)：直線(xiàn)a上有一點(diǎn)A，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，你能折出幾條與a351.過(guò)點(diǎn)P向線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)引垂線(xiàn)，正確的是（）.

ABCDC課堂練習(xí)PPPPPPABO1.過(guò)點(diǎn)P向線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)引垂線(xiàn)，正確的是（36EEE注意:畫(huà)線(xiàn)段(或射線(xiàn))的垂線(xiàn)時(shí),有時(shí)要將線(xiàn)段延長(zhǎng)(或?qū)⑸渚€(xiàn)反向延長(zhǎng))后再畫(huà)垂線(xiàn).2、問(wèn)題：如何畫(huà)一條線(xiàn)段或射線(xiàn)的垂線(xiàn)？EEE注意:畫(huà)線(xiàn)段(或射線(xiàn))的垂線(xiàn)時(shí),有時(shí)要將線(xiàn)段延長(zhǎng)(或?qū)?73.如圖，已知AB.CD相交于O,OE⊥CD于O,∠AOC=36°，則∠BOE=.

（A）36°(B)64°(C)144°(D)54°ABOCDED3.如圖，已知AB.CD相交于O,OE⊥CD3819.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系19.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系391.一元二次方程的解法

復(fù)習(xí)提問(wèn)2.求根公式1.一元二次方程的解法復(fù)習(xí)提問(wèn)2.求根公式401.

填表

方程

x1,,x2

x1+x2

x1.x2

①x2-3x+2=0

②X2-2x-3=0③X2-5x+4=0問(wèn)題：你發(fā)現(xiàn)這些一元二次方程的根與系數(shù)有什么規(guī)律？當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)x2+px+q=0的兩根為x1,,x2則有2,132-1,32-31,4541.

填表方程x1,,x2x1+x241方程1-22、填表說(shuō)一說(shuō)，你又有什么發(fā)現(xiàn)？方程1-22、填表說(shuō)一說(shuō)，你又有什么發(fā)現(xiàn)？42猜想：

如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)且a=0）的兩根為x1、x2，則

x1.x2與系數(shù)a，b，c的關(guān)系。猜想：43

44

任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的x1+x2，x1.x2與系數(shù)a，b，c的關(guān)系是：x1+x2=-—x1.x2=—abac一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是法國(guó)數(shù)學(xué)家“韋達(dá)”發(fā)現(xiàn)的,所以我們又稱(chēng)之為韋達(dá)定理.abac一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是法國(guó)數(shù)學(xué)家“韋達(dá)”發(fā)現(xiàn)的45例1

已知方程2x2+kx-4=0的一個(gè)根是-4，求它的另一個(gè)根及k的值。答：方程的另一個(gè)根是k的值是7。解:設(shè)方程的另一根為了,則例1已知方程2x2+kx-4=0的一個(gè)根是-4，求它的46（1）x2-3x+1=0（2）3x2-2x=2（3）2x2+3x=0（4）3x2=11.下列方程兩根的和與兩根的積各是多少?（不解方程）自主練習(xí)靈活運(yùn)用（1）x2-3x+1=01.下列方程兩根的和與兩根的積各是多47自主練習(xí)靈活運(yùn)用2、設(shè)x1.x2是方程2x2+4x-3=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值。（1）（x1+1）（x2+1）（2）—+—x1x2x1x2自主練習(xí)靈活運(yùn)用2、設(shè)x1.x2是方程2x2+4x-3=048小結(jié)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系？小結(jié)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系？49作業(yè)1、課外作業(yè)P54面55面練習(xí)第1、2、3題2、課堂作業(yè)P65面A組復(fù)習(xí)題第4、5、6題作業(yè)1、課外作業(yè)50再見(jiàn)再見(jiàn)51

52觀察與思考∠1是∠3的

，兩邊分別在同一條直線(xiàn)上.因此一個(gè)角的對(duì)頂角可看作是把這個(gè)角的兩邊

延長(zhǎng)得到的沒(méi)有公共邊的角觀察與思考∠1是∠3的53∠AOC和∠BOD有公共頂點(diǎn)，且∠AOC的兩邊分別是∠BOD兩邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn).如圖直線(xiàn)AB與CD相交于點(diǎn)O，∠1和∠3有公共頂點(diǎn)O，并且它們的兩邊互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)，這樣的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角.對(duì)頂角：觀察總結(jié)

∠AOC和∠BOD有公共頂點(diǎn)，且∠AOC的兩邊分別是∠BOD54那么對(duì)頂角有什么樣的關(guān)系呢？對(duì)頂角相等那么對(duì)頂角有對(duì)頂角相等55實(shí)驗(yàn)探究

由∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，可得∠1＝∠3.對(duì)頂角相等實(shí)驗(yàn)探究由∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠356（對(duì)頂角相等）∵∠3=∠1∠1=68°（）已知∴∠3=68°解：（等量代換）∴∠2=180°—∠1=112°∴∠4=∠2=112°（對(duì)頂角相等）（對(duì)頂角相等）∵∠3=∠1∠1=68°（）已知57

如圖所示，有一個(gè)破損的扇形零件，怎樣用量角器量出這個(gè)扇形零件的圓心角的度數(shù).如圖所示，有一個(gè)破損的扇形零件，怎樣用量角器量出這個(gè)58生活拓展觀察下列各圖，尋找對(duì)頂角（不含平角)

⑴如圖a，圖中共有

對(duì)對(duì)頂角⑵如圖b，圖中共有

對(duì)對(duì)頂角⑶如圖c，圖中共有

對(duì)對(duì)頂角⑷研究⑴～⑶小題中直線(xiàn)條數(shù)與對(duì)頂角的對(duì)數(shù)之間的關(guān)系，若有n條直線(xiàn)相交于一點(diǎn)，則可形成

對(duì)對(duì)頂角⑸若有2008條直線(xiàn)相交于一點(diǎn)，則可形成

對(duì)對(duì)頂角.

生活拓展觀察下列各圖，尋找對(duì)頂角（不含平角)⑴如圖59其中一條直線(xiàn)叫做另一條直線(xiàn)的垂線(xiàn)1.定義：當(dāng)兩條直線(xiàn)AB和CD所成的四個(gè)角中，如果有一個(gè)角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條直線(xiàn)互相垂直.2.垂直用符號(hào)“⊥”來(lái)表示，讀作“垂直于”.如“直線(xiàn)AB垂直于直線(xiàn)CD”，就記作“AB⊥CD”.OABCD3.交點(diǎn)O叫做垂足探究新知：垂線(xiàn)的定義其中一條直線(xiàn)叫做另一條直線(xiàn)的垂線(xiàn)1.定義：當(dāng)兩條直線(xiàn)AB和C60FEMNO記作：_________,垂足為_(kāi)__.ABOE記作：

______，垂足為_(kāi)___.試一試填一填MN⊥EFOAB⊥OEO或者M(jìn)N⊥EF于O或者AB⊥OE于OFEMNO記作：_________,垂足為_(kāi)__.ABOE61日常生活中,兩條直線(xiàn)互相垂直的情形很常見(jiàn),說(shuō)出圖中的一些互相垂直的線(xiàn)條.你能再舉出其他例子嗎?你能舉出生活中直線(xiàn)互相垂直的例子嗎？日常生活中,兩條直線(xiàn)互相垂直的情形很常見(jiàn),說(shuō)出圖中的一些互相62生活中的垂直生活中的垂直631、∵AB⊥CD（已知）∴∠1=90°（垂線(xiàn)的定義）2、∵∠1=90°（已知）∴AB⊥CD（垂線(xiàn)的定義）ABCD1ABCD1垂直有以下兩層含義1、∵AB⊥CD（已知）2、∵∠1=90°（已知）ABCD164解：∵∠1＝35°，∠2＝55°（已知）

垂直∴∠AOE＝180°－∠1－∠2

＝180°－35°－55°

＝90°∴OE⊥AB(垂直的定義)CDABOE12例如圖，已知直線(xiàn)AB、CD都經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，OE為射線(xiàn)，若∠1＝35°∠2＝55°，則OE與AB的位置關(guān)系是

.

應(yīng)用新知解：垂直∴∠AOE＝180°－∠1－∠2∴OE⊥A651、兩條直線(xiàn)相交所成的四個(gè)角中，下列條件中能判定兩條直線(xiàn)垂直的是()

（A）有兩個(gè)角相等（B）有兩對(duì)角相等（C）有三個(gè)角相等（D）有四對(duì)鄰補(bǔ)角（C）

練一練（C）練一練662、下面四種判定兩條直線(xiàn)的垂直的方法，正確的有（）個(gè)（1）兩條直線(xiàn)相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，則這兩條直線(xiàn)互相垂直（2）兩條直線(xiàn)相交，只要有一組鄰補(bǔ)角相等，則這兩條直線(xiàn)互相垂直（3）兩條直線(xiàn)相交，所成的四個(gè)角相等，這兩條直線(xiàn)互相垂直（4）兩條直線(xiàn)相交，有一組對(duì)頂角互補(bǔ)，則這兩條直線(xiàn)互相垂直（A）4（B）3

（C）2（D）1A2、下面四種判定兩條直線(xiàn)的垂直的方法，正確的有（）67問(wèn)題：這樣畫(huà)L的垂線(xiàn)可以畫(huà)幾條？1靠、2畫(huà)線(xiàn)、LO(1)如圖，已知直線(xiàn)L,作L的垂線(xiàn).A無(wú)數(shù)條1.用三角尺畫(huà)垂線(xiàn)動(dòng)手操作問(wèn)題：怎么樣畫(huà)已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)？問(wèn)題：LO(1)如圖，已知直線(xiàn)L,作L的垂線(xiàn).A無(wú)數(shù)條1.68LA(2)如圖，已知直線(xiàn)L和L上的一點(diǎn)A,作L的垂線(xiàn).B1靠（線(xiàn)）:把三角板的一直角邊靠在直線(xiàn)上;3畫(huà)（線(xiàn)）:沿著三角板的另一直角邊畫(huà)出垂線(xiàn).2過(guò)（點(diǎn)）:三角板的另一條直角邊過(guò)已知點(diǎn);則所畫(huà)直線(xiàn)AB是過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)L的垂線(xiàn).問(wèn)題：這樣畫(huà)L的垂線(xiàn)可以畫(huà)幾條？1條LA(2)如圖，已知直線(xiàn)L和L上的一點(diǎn)A,作L的垂線(xiàn).69LA(3)如圖，已知直線(xiàn)L和L外的一點(diǎn)A,作L的垂線(xiàn).B3畫(huà)（線(xiàn)）:沿著三角板的另一直角邊畫(huà)出垂線(xiàn).2過(guò)（點(diǎn)）:三角板的另一條直角