知識(shí)講解 波的傳播的多解性 基礎(chǔ)

波的傳播的多解性編稿：張金虎審稿：吳嘉峰【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解波傳播的時(shí)間周期性特征。理解波傳播的空間周期性特征?！疽c(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、波的傳播的多解性的形成原因機(jī)械波傳播過(guò)程中在時(shí)間和空間上的周期性、傳播方向上的雙向性、質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向的不確定性都是形成波動(dòng)問(wèn)題多解的主要原因.解題時(shí)常出現(xiàn)漏解，現(xiàn)歸類(lèi)分析.1波動(dòng)圖像的周期性形成多解機(jī)械波在一個(gè)周期內(nèi)不同時(shí)刻圖像的形狀是不同的，但在相隔時(shí)間為周期整數(shù)倍的不同時(shí)刻圖像的形狀則是相同的.機(jī)械波的這種周期性必然導(dǎo)致波的傳播距離、時(shí)間和速度等物理量有多值與之對(duì)應(yīng)，即這三個(gè)物理量可分別表示為：s=nX+As,t=kT+At,v=s/1=(nk+As)/(kT+Ar),其中n=0,1,2,3,；k—0,1,2,3,.?波的傳播方向的雙向性形成多解在一維條件下，機(jī)械波既可以向x軸正方向傳播，也可以向x軸負(fù)方向傳播，這就是波傳播的雙向性.?波形的隱含性形成多解許多波動(dòng)習(xí)題往往只給出完整波形的一部分，或給出了幾個(gè)特點(diǎn)，而其余部分處于隱含狀態(tài).這樣，一道習(xí)題就有多個(gè)圖形與之對(duì)應(yīng)，從而形成多解.由于波動(dòng)的時(shí)間周期性、空間周期性及傳播的雙向性，從而造成波動(dòng)問(wèn)題的多解.解題時(shí)要先建立通式，再根據(jù)限制條件從中取出符合題意的解.要點(diǎn)二、波的傳播的多解性的解題方法1多解問(wèn)題的解題技巧方向性不確定出現(xiàn)多解.波總是由波源發(fā)出向外傳播的，介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)情況是根據(jù)波的傳播方向來(lái)確定的，反之亦然.因此，題目中不確定波的傳播方向或者不確定質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向，就會(huì)出現(xiàn)多解，學(xué)生在解題時(shí)往往憑主觀選定某一方向?yàn)椴ǖ膫鞑シ较蚧蛸|(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向，這樣就會(huì)漏掉一個(gè)相反方向的解.【例】圖為一列簡(jiǎn)諧橫波在某時(shí)刻的波形圖，其中M點(diǎn)為介質(zhì)中一質(zhì)點(diǎn)，此時(shí)刻恰好過(guò)平衡位置，已知振動(dòng)周期為0.8s，問(wèn)M至少過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間達(dá)到波峰位置？【解析】題設(shè)條件中沒(méi)有給出M點(diǎn)過(guò)平衡位置的振動(dòng)方向，也沒(méi)給出波的傳播方向，故我們應(yīng)分情況討論，當(dāng)波向右傳播時(shí)，M點(diǎn)向下振動(dòng)，則至少經(jīng)過(guò)3T/4才能達(dá)到波峰；當(dāng)波向左傳播時(shí)，質(zhì)點(diǎn)M向上振動(dòng)，則至少需要T/4才能夠到達(dá)波峰，所以此題應(yīng)該有兩個(gè)答案.即至少再經(jīng)過(guò)0.6s或0.2s,M點(diǎn)到達(dá)波峰.時(shí)間、距離不確定形成多解.沿波的傳播方向，相隔一個(gè)波長(zhǎng)的兩個(gè)相鄰的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的步調(diào)是完全相同的，相隔一定周期的前后兩個(gè)相鄰時(shí)刻的波形圖線是完全相同的，所以題目中沒(méi)有給定傳播時(shí)間與周期的關(guān)系或傳播距離與波長(zhǎng)的關(guān)系，就會(huì)出現(xiàn)多解現(xiàn)象，學(xué)生解題時(shí)只按At小于T或Ax小于九來(lái)解，就會(huì)造成用特解取代通解的現(xiàn)象.【例】如圖所示。實(shí)線表示t時(shí)刻的波形圖線，箭頭表示波的傳播方向，虛線表示經(jīng)過(guò)At時(shí)的波【解析】此題并未給定傳播距離，將實(shí)線波形和虛線波形相比較，在出時(shí)間內(nèi)，波向右傳播的距離可能是九/4，5九/4，9九/4，…即(k+1/4)九(k=0,1,2,3,)，則可求出波速的通解.即v=Ax/At=(k+1/4)九/At=(4k+1)?九/(4-At)(k=0,1,2,3,)波形的隱含性形成多解. ?.?在波的傳播方向上，如果兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的距離不確定或者相位之間的關(guān)系不確定，就會(huì)形成多解，學(xué)生在想不到所有可能的情況下，就會(huì)出現(xiàn)漏解.【例】如圖所示，A、B是一列簡(jiǎn)諧橫波中的兩點(diǎn).某時(shí)刻，A正處于正向最大位移處，另一點(diǎn)B

恰好通過(guò)平衡位置向-y方向振動(dòng).已知A、B的橫坐標(biāo)分別為x=0,x=70m，并且波長(zhǎng)九符A B合不等式：20mV九V80m，求波長(zhǎng)九.BO20 4060I80 x/111【解析】根據(jù)題目中A點(diǎn)和B點(diǎn)的位置，作出A、B間的兩種最簡(jiǎn)波形圖(如圖中的實(shí)、虛兩種曲線波形).

①由實(shí)線最簡(jiǎn)波形圖寫(xiě)出這種情況的通式為Xb-Xa(1A=n+—九，得(1A=n+—九，得70=I4丿所以波長(zhǎng)通式為九= m，其中n=0,1,2,3,，將n=0,1,2,3, 依次代入通式解得4n+1TOC\o"1-5"\h\z7 1九=280m,56m,31-m,,由已知20mV九V80°m的限制條件，波長(zhǎng)應(yīng)為21—m或31—m\o"CurrentDocument"^9 1^3 ^9或56m，且該波向-x方向傳播。( 3A 4n+3②由虛線最簡(jiǎn)波形，寫(xiě)出這種情況的通式為x-x=n+丁九，得70^―—X，所以波長(zhǎng)的BA[ 4丿 44x70通式X=m,其中n=0,1,2,3,將n=0,1,2,3依次代入通式解得4n+3九=—3—m,40m,25—m, 由已知20mV久V80m的限制條件，波長(zhǎng)應(yīng)為25—m或40m,且波向+x方向傳播.即波長(zhǎng)X可能為且波向+x方向傳播.即波長(zhǎng)X可能為21gm,31丄m,56m,—A.該波的振幅可能是20cm2?波動(dòng)的周期性理解要點(diǎn)A.該波的振幅可能是20cm內(nèi)容說(shuō)明或提示(1)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)路程的周期性(1)式中A為振幅,As為不足一次全振動(dòng)通s=n?4A+As(n=0,1,2 )過(guò)的路程(2)傳播距離的周期性： ???(2)式中X為波長(zhǎng),Ax是不足個(gè)波長(zhǎng)的那x=nX+Ax(n=0,1,2 )部分距離,如Ax=X/4等(3)傳播時(shí)間的周期性： ???(3)式中T為周期,At是不足一個(gè)周期的那t=nT+At(n=0,1,2,)部分時(shí)間,女口At=T/4等(4)傳播速度可能的多解性:…XxnX+AxAxv= == =TtnT+AtAt(4)式中n=0【典型例題】類(lèi)型一、波的周期與雙向性引起多解的問(wèn)題例1.(2016楊浦區(qū)二模)一列簡(jiǎn)諧橫波沿直線由a向b傳播,相距10.5m的a、b兩處的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)圖象如圖中a、b所示，則()

該波的波長(zhǎng)可能是8.4m該波的波速可能是10.5m/s該波由a傳播到b可能歷時(shí)7.0s【思路點(diǎn)撥】根據(jù)振動(dòng)圖象讀出質(zhì)點(diǎn)的振幅，即為該波的振幅.由圖讀出同一時(shí)亥a、b兩質(zhì)點(diǎn)的位置和速度方向，結(jié)合波形分析質(zhì)點(diǎn)間的距離與波長(zhǎng)的關(guān)系，得到波長(zhǎng)的通項(xiàng)，再求解波長(zhǎng)的特殊值,求出波速的通項(xiàng)，求解波速的特殊值.【答案】BC【解析】A、由圖讀出，該波的振幅為A=10cm.故A錯(cuò)誤.B、C由圖看出，在t=0時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)a經(jīng)過(guò)平衡位置向上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)b位于波谷，波由a向b傳播，結(jié)合波形得到：a、b間距離與波長(zhǎng)的關(guān)系為：Ax=（n+；）九，（n=0，1，2,…），得到波長(zhǎng)為：44Ax 424Ax 42\o"CurrentDocument"X= =m，\o"CurrentDocument"4n+1 4n+1當(dāng)n=1時(shí)，J=8.4m；波速為:\o"CurrentDocument"X10.5 /v= =m/s，\o"CurrentDocument"T 4n+1當(dāng)n=0時(shí)，v=10.5m/s.故BC均正確.D、該波由a傳播到b的時(shí)間為==（n+扣=（4n+1）s，（n=0,1，2,…），由于n是整數(shù)，，不可能等于7s.故D錯(cuò)誤.故選BC【總結(jié)升華】由于波的周期性，造成了多解，所以得到的波長(zhǎng)、波速都是通項(xiàng)，再由通項(xiàng)求解特殊值.舉一反三：【高清課堂：波的傳播的多解性例1】【變式1】有一列沿水平繩傳播的簡(jiǎn)諧橫波，頻率為10Hz，振動(dòng)方向沿豎直方向.當(dāng)繩上的質(zhì)點(diǎn)P到達(dá)其平衡位置且向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，在其右方相距0.6m處的質(zhì)點(diǎn)Q剛好到達(dá)最高點(diǎn).由此可知波速和傳播方向可能是（ ）A、8m/s，向右傳播 B、8m/s，向左傳播；C、24m/s，向右傳播 D、24m/s，向左傳播；【答案】BC【高清課堂：波的傳播的多解性例8】【變式2】在波的傳播直線上有兩個(gè)介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)A、B，它們相距60cm，當(dāng)A質(zhì)點(diǎn)在平衡位置處向上振動(dòng)時(shí)，B質(zhì)點(diǎn)處于波谷位置?若波速的大小為24m/s，則波的頻率可能值是（）A.30HzB.410HzC.400HzD.490Hz【答案】ABD【解析】向右傳播：0.6r=n(+—X)(n=0,1，2,3)40.6…X=廠，n+14

=24==24=40n+100.6向左傳播：30.m=n+九)(n二0,1,2,3)4f=40i+30對(duì)左右傳播方向的頻率分別代入(n=0,1,2,3,)可得ABD正確。類(lèi)型二、波的傳播方向不確定引起的多解例2.(2015嘉興校級(jí)期中)如圖所示，實(shí)線是沿x軸傳播的一列簡(jiǎn)諧橫波在t=0時(shí)刻的波形圖,虛線是這列波在t=0.2s時(shí)刻的波形圖.已知該波的波速是0.8m/s,則下列說(shuō)法正確的是(A.這列波的波長(zhǎng)是A.這列波的波長(zhǎng)是B.這列波的周期是0.125s這列波可能是沿x軸正方向傳播的t=0時(shí)，x=4cm處的質(zhì)點(diǎn)的速度方向沿y軸負(fù)方向【答案】D012【解析】由圖象可知該波的波長(zhǎng)為12cm，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；波的周期T=—= s=0.15s，選項(xiàng)v0.8B錯(cuò)誤；若波沿x軸正方向傳播則滿(mǎn)足At=(n+j)T(n=0,1,2,3.?.)，把周期和時(shí)間間隔代入解得n不符合條件，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由C選項(xiàng)錯(cuò)誤可知這列波是沿x軸負(fù)方向傳播的，所以在t=0時(shí)，x=4cm處的質(zhì)點(diǎn)的速度方向沿y軸負(fù)方向.答案為D.舉一反三：【高清課堂：波的傳播的多解性例2】【變式】如圖所示，實(shí)線是一列簡(jiǎn)諧橫波在t=0時(shí)刻的波形圖，虛線是這列簡(jiǎn)諧橫波在t=0.2s時(shí)刻的波形圖，波中質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期T大于0.2s，求:

vcmvcm由圖中讀出波的振幅和波長(zhǎng)；若波沿x軸正方向傳播，波速是多大？波動(dòng)周期是多大?若波沿x軸負(fù)方向傳播，波速是多大？波動(dòng)周期是多大?【答案】(1)10cm24cm

s【答案】(1)10cm24cm

s0.18v= = =0.9m/st0.2s0.06v= = =0.3m/st0.2\o"CurrentDocument"九 0.24 4—= =s\o"CurrentDocument"v 0.9 150.240.3=0.8s例3例3.—列簡(jiǎn)諧橫波沿直線傳播，該直線上的a、b兩點(diǎn)相距4.42m圖中實(shí)、虛兩條曲線分別).).A.此列波的頻率一定是10Hz B.此列波的波長(zhǎng)一定是0.1mC.此列波的傳播速度可能是34m/s D.a點(diǎn)一定比b點(diǎn)距波源近【思路點(diǎn)撥】有些問(wèn)題我們可以判斷，但有些問(wèn)題我們卻不能判斷。【答案】A、C【解析】本題考查機(jī)械波和機(jī)械振動(dòng)有關(guān)的知識(shí)，本題為中等難度題目.由振動(dòng)圖像可得其周期為0.1s，可得其振動(dòng)頻率為10Hz，a和b相距4.42m，由圖像可知：3s=4.42=九+n九 (n=0,1,2,3)TOC\o"1-5"\h\zab 10 1 1或 …7s=4.42=九+n九 (n=0,1，2,3)，\o"CurrentDocument"ab 10 2 2所以 …44.2九=10n+3或44.2九=10n+7在前一個(gè)等式中若n=1，則九1=3.4,九v=1=34m/s,Ta和b哪個(gè)質(zhì)點(diǎn)更靠近波源，我們是無(wú)法判斷的.【總結(jié)升華】有些問(wèn)題我們可以判斷，但有些問(wèn)題我們卻不能判斷。類(lèi)型三、傳播時(shí)間與周期關(guān)系不確定引起的多解例4.一列簡(jiǎn)諧橫波圖像如圖所示，t時(shí)刻的波形如圖中實(shí)線所示，t時(shí)刻的波形如圖中虛線所12示，已知At=t—t=0.5s，求：這列波的可能波速的表達(dá)式？若波向左傳播，且3TVAtV4T，波速多大?若波速v=68m/s，則波向哪個(gè)方向傳播？答案】見(jiàn)解析【解析】(1)未明確波的傳播方向和&與T的關(guān)系，故有兩組系列解.當(dāng)波向右傳播時(shí)：(n=0,1，2,3)；TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"(n九+Ax)8n+2.v= =m/s(n=0,1，2,3)；右 At 0.5當(dāng)波向左傳播時(shí)：(nX+Ax') 8n+6 . oi23、v= =m/s(n=0,1，2,3).\o"CurrentDocument"左 At 0.5(2)明確了波的傳播方向，并限定3TVAtV4T，設(shè)此時(shí)間內(nèi)波傳播距離為s，則有3XVsV4X,即n=3，代入得v=4(4n+3)m/s=4x(4x3+3)m/s=60m/s.左由給定的波速，則給定時(shí)間At內(nèi)波傳播距離x=v?At=68x0.5m=34m=41X，4故波向右傳播.【總結(jié)升華】未明確波的傳播方向時(shí)，要分別對(duì)向左、向右做出運(yùn)算；當(dāng)給定方向后即可選定該方向上的運(yùn)算式；給定波速是要按給定條件判斷波的傳播方向。舉一反三：【高清課堂：波的傳播的多解性例3】【變式1】如圖所示，實(shí)線為一列沿x軸正方向傳播的簡(jiǎn)諧波在t=0時(shí)的波形，而虛線是該波在t-0.5s時(shí)的波形，此列波的周期大于0.3s而小于0.5s，該波的波速為（）A.2m/sb.10m/sc.18m/s d.6m/s答案】B【解析】由圖可知九=4m。根據(jù)t=0和t=0.5s的波形有0.5=n+-T） （n二0,1,2,3）40.5Tn+—4有題設(shè)知0.主TV0.50. nV1.42取整數(shù)n=1代入Q得T=0.4s所以該波的波速為=10m/s.九4=10m/s.v= =-T0.4B項(xiàng)正確?！靖咔逭n堂：波的傳播的多解性例4】【變式2】一根張緊的水平彈性長(zhǎng)繩上的a、b兩點(diǎn)相距4.2m,b點(diǎn)在a點(diǎn)的右方，一列簡(jiǎn)諧波沿水平繩向右傳播，波速為20m/s，波長(zhǎng)大于2m。某時(shí)刻b點(diǎn)達(dá)到波峰位置，而a點(diǎn)正處于平衡位置且向上運(yùn)動(dòng)，則這列波的周期可能是（）A.0.12sb.0.28sc.0.168s d.0.84s【答案】AB【解析】根據(jù)題意(n=0,1(n=0,1，2,3)4.2=n+九）44.2n+—4nV1.35取整數(shù)n=0,1九56當(dāng)n二0時(shí)，九二5.6m,T= = =0.28s；v20九2.4當(dāng)n=1時(shí)，X=2.4m,T= = =0.12s.v20選項(xiàng)AB正確.舉一反三：【高清課堂：波的傳播的多解性例5】【變式3】一根張緊的水平彈性長(zhǎng)繩上的a、b兩點(diǎn)，相距14.0m,b點(diǎn)在a點(diǎn)的右方。當(dāng)一列簡(jiǎn)諧橫波沿此長(zhǎng)繩向右傳播時(shí)，若a點(diǎn)的位移達(dá)到正極大時(shí)，b點(diǎn)的位移恰為零，且向下運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過(guò)1.00s后，a點(diǎn)的位移為零，且向下運(yùn)動(dòng)，而b點(diǎn)的位移恰達(dá)到負(fù)極大。則這簡(jiǎn)諧橫波的波速可能等于()A.4.67m/s BA.4.67m/s B.6m/sC.10m/sD.14m/s【答案】AC【解析】根據(jù)題意波長(zhǎng)關(guān)系：14.0m=(n+|)14.0m=(n+|)X(n=0,1,2,3)波長(zhǎng)為14X=n+34周期關(guān)系：1s周期關(guān)系：1s=(k+扣(k=0,1,2,3)周期為T(mén)=止波速關(guān)系:14n+n+3414(4k+1)4n+3分別代入(n= 0, 1,2, 3,)和(比=0, 1,2, 3,)，只有n=0