數(shù)字信號處理PPT

1第一章離散時間信號與系統(tǒng)2第一章學(xué)習(xí)目標(biāo)

掌握序列的概念及其幾種典型序列的定義,掌握序列的基本運算，并會判斷序列的周期性。掌握線性/移不變/因果/穩(wěn)定的離散時間系統(tǒng)的概念并會判斷。理解常系數(shù)線性差分方程及其用迭代法求解單位抽樣響應(yīng)。了解對連續(xù)時間信號的時域抽樣，掌握奈奎斯特抽樣定理，了解抽樣的恢復(fù)過程。3第一章離散時間信號與系統(tǒng)x(n)代表第n個序列值，在數(shù)值上等于信號的采樣值x(n)只在n為整數(shù)時才有意義一、離散時間信號—序列序列：對模擬信號進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到

n取整數(shù)。對于不同的n值，是一個有序的數(shù)字序列：該數(shù)字序列就是離散時間信號。實際信號處理中，這些數(shù)字序列值按順序存放于存貯器中，此時nT代表的是前后順序。為簡化，不寫采樣間隔，形成x(n)信號，稱為序列。41、序列的運算移位翻褶和積累加差分時間尺度變換卷積和51）移位序列x(n)，當(dāng)m>0時x(n-m)：延時/右移m位x(n+m)：超前/左移m位62）翻褶x(-n)是以n=0的縱軸為 對稱軸將序列x(n)

加以翻褶73）和

同序列號n的序列值逐項對應(yīng)相加84）積同序號n的序列值逐項對應(yīng)相乘95）累加106）差分前向差分：后向差分：117）時間尺度變換

抽取

插值128）卷積和設(shè)兩序列x(n)、h(n)，則其卷積和定義為：1）翻褶：2）移位：3）相乘：4）相加：13舉例說明卷積過程

14151617

卷積和與兩序列的前后次序無關(guān)182、幾種典型序列1）單位取樣序列192）單位階躍序列與單位抽樣序列的關(guān)系203）矩形序列

與其他序列的關(guān)系214）實指數(shù)序列

為實數(shù)225）復(fù)指數(shù)序列為數(shù)字域頻率236）正弦序列

模擬正弦信號：數(shù)字域頻率是模擬域頻率對采樣頻率的歸一化頻率247）任意序列

x(n)可以表示成單位取樣序列的移位加權(quán)和，也可表示成與單位取樣序列的卷積和。例：253、序列的周期性若對所有n存在一個最小的正整數(shù)N，滿足則稱序列x(n)是周期性序列，周期為N。26例：因此，x(n)是周期為8的周期序列27討論一般正弦序列的周期性28分情況討論1）當(dāng)為整數(shù)時2）當(dāng)為有理數(shù)時3）當(dāng)為無理數(shù)時29303132例：判斷是否是周期序列33討論：若一個正弦信號是由連續(xù)信號抽樣得到，則抽樣時間間隔T和連續(xù)正弦信號的周期T0之間應(yīng)是什么關(guān)系才能使所得到的抽樣序列仍然是周期序列？設(shè)連續(xù)正弦信號：抽樣序列：當(dāng)為整數(shù)或有理數(shù)時，x(n)為周期序列34令：例：N，k為互為素數(shù)的正整數(shù)即N個抽樣間隔應(yīng)等于k個連續(xù)正弦信號周期354、序列的能量序列的能量為序列各抽樣值的平方和36二、線性移不變系統(tǒng)一個離散時間系統(tǒng)是將輸入序列變換成輸出序列的一種運算。離散時間系統(tǒng)T[·]x(n)y(n)371、線性系統(tǒng)若系統(tǒng)滿足疊加原理：或同時滿足： 可加性： 比例性/齊次性：其中：則此系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。3839例：證明由線性方程表示的系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)40

增量線性系統(tǒng)

線性系統(tǒng)x(n)y0(n)y(n)412、移不變系統(tǒng)若系統(tǒng)響應(yīng)與激勵加于系統(tǒng)的時刻無關(guān)，則稱為移不變系統(tǒng)（或時不變系統(tǒng)）42例：試判斷是否是移不變系統(tǒng)43

同時具有線性和移不變性的離散時間系統(tǒng)稱為線性移不變系統(tǒng)LSI：LinearShiftInvariant443、單位抽樣響應(yīng)和卷積和單位抽樣響應(yīng)h(n)是指輸入為單位抽樣序列 時的系統(tǒng)輸出：T[·]45對LSI系統(tǒng)，討論對任意輸入的系統(tǒng)輸出T[·]x(n)y(n)46一個LSI系統(tǒng)可以用單位抽樣響應(yīng)h(n)來表征，任意輸入的系統(tǒng)輸出等于輸入序列和該單位抽樣響應(yīng)h(n)的卷積和。LSIh(n)x(n)y(n)474849505152思考:

當(dāng)x(n)的非零區(qū)間為[N1,N2]，h(n)的非零區(qū)間為[M1,M2]時，求解系統(tǒng)的輸出y(n)又如何分段？結(jié)論：若有限長序列x(n)的長度為N，h(n)的長度為M，則其卷積和的長度L為：

L=N+M-1534、LSI系統(tǒng)的性質(zhì)交換律h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)54結(jié)合律h1(n)x(n)h2(n)y(n)h2(n)x(n)h1(n)y(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)55分配律h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)565、因果系統(tǒng)若系統(tǒng)n時刻的輸出，只取決于n時刻以及n時刻以前的輸入序列，而與n時刻以后的輸入無關(guān)，則稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。LSI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件：576、穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)是有界輸入產(chǎn)生有界輸出的系統(tǒng)若LSI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：則58例：某LSI系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)為試討論其是否是因果的、穩(wěn)定的。59結(jié)論：因果穩(wěn)定的LSI系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)是因果的，且是絕對可和的，即：60三、常系數(shù)線性差分方程用差分方程來描述時域離散系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系。一個N階常系數(shù)線性差分方程表示為：其中：61求解常系數(shù)線性差分方程的方法：1）經(jīng)典解法2）遞推解法3）變換域方法62例1：已知常系數(shù)線性差分方程 若邊界條件 求其單位抽樣響應(yīng)。6364例2：已知常系數(shù)線性差分方程同上例 若邊界條件 求其單位抽樣響應(yīng)。6566例3：已知常系數(shù)線性差分方程同上例 若邊界條件 討論系統(tǒng)的線性性和移不變性。6768697071

一些關(guān)于差分方程的結(jié)論：一個差分方程不能唯一確定一個系統(tǒng)常系數(shù)線性差分方程描述的系統(tǒng)不一定是線性移不變的不一定是因果的不一定是穩(wěn)定的72差分方程系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Z-1ax(n)y(n)73四、連續(xù)時間信號的抽樣74

討論：采樣前后信號頻譜的變化什么條件下，可以從采樣信號不失真地恢復(fù)出原信號751、理想抽樣沖激函數(shù)：理想抽樣輸出：7677抽樣信號的頻譜是模擬信號頻譜以抽樣頻率為周期進行周期延拓而成頻譜幅度是原信號頻譜幅度的1/T倍若信號的最高頻率則延拓分量產(chǎn)生頻譜混疊78奈奎斯特抽樣定理

要想抽樣后能夠不失真地還原出原信號，則抽樣頻率必須大于兩倍信號譜的最高頻率792、抽樣的恢復(fù)利用低通濾波器還原滿足奈奎斯特抽樣定理的抽樣信號。ΩΩs/2-Ωs/2T

0H(jΩ)H[jΩ]理想低通濾波器:80輸出：討論81823、實際抽樣抽樣脈沖不是沖激函數(shù)，而是一定寬度的矩形周期脈沖

其中系數(shù)Ck隨k變化抽樣信號頻譜83抽樣信號的頻譜是連續(xù)信號頻譜的周期延拓，周期為Ωs若滿足奈奎斯特抽樣定理，則不產(chǎn)生頻譜混疊失真抽樣后頻譜幅度隨著頻率的增加而下降幅度變化并不影響信號恢復(fù)，只要取8485解：86874、正弦信號的抽樣連續(xù)時間正弦信號：88作業(yè)89解：1-2已知線性移不變系統(tǒng)的輸入為，系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為，試求系統(tǒng)的輸出，并畫圖。901-10設(shè)有一系統(tǒng)，其輸入輸出關(guān)系由以下

差分方程確定設(shè)系統(tǒng)是因果性的。（a）求該系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)（b）由（a）的結(jié)果，利用卷積和求輸入

的響應(yīng)91（a）系統(tǒng)是因果性的92系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)9394第二章學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握z變換及其收斂域，掌握因果序列的概念及判斷方法會運用任意方法求z反變換理解z變換的主要性質(zhì)理解z變換與Laplace/Fourier變換的關(guān)系掌握序列的Fourier變換并理解其對稱性質(zhì)掌握離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng)，系統(tǒng)函數(shù)與差分方程的互求，因果/穩(wěn)定系統(tǒng)的收斂域95第二章z變換時域分析方法變換域分析方法： 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)

Laplace變換

Fourier變換 離散時間信號與系統(tǒng)

z變換

Fourier變換96一、z變換的定義及收斂域1、z變換的定義序列x(n)的z變換定義為：z是復(fù)變量，所在的復(fù)平面稱為z平面972、z變換的收斂域與零極點對于任意給定序列x(n)，使其z變換X(z)收斂的所有z值的集合稱為X(z)的收斂域。

級數(shù)收斂的充要條件是滿足絕對可和981）有限長序列991002）右邊序列101

因果序列

的右邊序列，Roc:因果序列的z變換必在處收斂在處收斂的z變換，其序列必為因果序列1023）左邊序列1034）雙邊序列104105106107108109給定z變換X(z)不能唯一地確定一個序列，只有同時給出收斂域才能唯一確定。X(z)在收斂域內(nèi)解析，不能有極點，故：右邊序列的z變換收斂域一定在模最大的有限極點所在圓之外左邊序列的z變換收斂域一定在模最小的有限極點所在圓之內(nèi)110111二、z反變換實質(zhì)：求X(z)冪級數(shù)展開式z反變換的求解方法： 圍線積分法（留數(shù)法） 部分分式法 長除法z反變換:從X(z)中還原出原序列x(n)1121、圍線積分法（留數(shù)法）

根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，若函數(shù)X(z)在環(huán)狀區(qū)域內(nèi)是解析的，則在此區(qū)域內(nèi)X(z)可展開成羅朗級數(shù)，即 而

其中圍線c是在X(z)的環(huán)狀收斂域內(nèi)環(huán)繞原點的一條反時針方向的閉合單圍線。113

若F(z)在c外M個極點zm，且分母多項式z的階次比分子多項式高二階或二階以上，則：利用留數(shù)定理求圍線積分，令若F(z)在圍線c上連續(xù)，在c內(nèi)有K個極點zk，則：114留數(shù)的計算公式單階極點的留數(shù)：115116117118思考：n=0,1時，F(xiàn)(z)在圍線c外也無極點，為何1191201211221232、部分分式展開法X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：對各部分分式求z反變換：1241251261273、冪級數(shù)展開法（長除法）把X(z)展開成冪級數(shù)級數(shù)的系數(shù)就是序列x(n)128根據(jù)收斂域判斷x(n)的性質(zhì)，在展開成相應(yīng)的z的冪級數(shù)收斂域x(n)將X(z)展成z的X(z)的分子分母按z的因果序列負冪級數(shù)降冪排列左邊序列正冪級數(shù)升冪排列129解：由Roc判定x(n)是因果序列，用長除法展成z的負冪級數(shù)130解：由Roc判定x(n)是左邊序列，用長除法展成z的正冪級數(shù)131解：X(z)的Roc為環(huán)狀，故x(n)是雙邊序列極點z=1/4對應(yīng)右邊序列，極點z=4對應(yīng)左邊序列先把X(z)展成部分分式132133134三、z變換的基本性質(zhì)與定理1、線性若則1352、序列的移位若則1361373、乘以指數(shù)序列若則證：1384、序列的線性加權(quán)（z域求導(dǎo)數(shù)）若則同理：1391405、共軛序列若則證：1416、翻褶序列若則1427、初值定理證：因為x(n)為因果序列1438、終值定理

設(shè)x(n)為因果序列，且X(z)=ZT[x(n)]的極點處于單位圓以內(nèi)（單位圓上最多在z=1處可有一階極點），則：1441459、有限項累加特性設(shè)x(n)為因果序列，即x(n)=0，n<0則146nmm=n014710、序列的卷積和（時域卷積和）設(shè)y(n)為x(n)與h(n)的卷積和：則且148149150四、序列的z變換與連續(xù)時間信號的Laplace變換、Fourier變換的關(guān)系序列的z變換：連續(xù)時間信號的Laplace變換：連續(xù)時間信號的Fourier變換：1511、序列的z變換與理想抽樣信號的Laplace變換理想抽樣信號：

其Laplace變換：152其z變換：比較理想抽樣信號的Laplace變換：得：153z平面：

（極坐標(biāo)）即：是復(fù)平面s平面到z平面的映射： (直角坐標(biāo)）s平面：抽樣序列的z變換=理想抽樣信號的Laplace變換154單位圓外部r>1右半平面σ>0單位圓內(nèi)部r<1左半平面σ<0單位圓r=1虛軸σ=0Z平面S平面155s平面到z平面的映射是多值映射。輻射線ω=Ω0T平行直線Ω

=Ω0正實軸ω=0實軸Ω

=0Z平面S平面Ω:Ω:ω:ω:156序列Z變換與模擬信號Laplace之間的關(guān)系：1572、序列的z變換與理想抽樣信號的Fourier變換抽樣序列在單位圓上的z變換

=其理想抽樣信號的Fourier變換

Fourier變換是Laplace變換在虛軸上的特例。即:s=j?映射到z平面為單位圓158下面再來討論序列的Z變換與模擬信號的傅立葉變換之間的關(guān)系根據(jù)前面的討論，我們知道：而：所以有：159序列的Fourier變換

單位圓上序列的z變換160五、序列的Fourier變換及其對稱性質(zhì)序列的Fourier變換和反變換：161若序列x(n)絕對可和，即則其Fourier變換存在且連續(xù)，是序列的z變換在單位圓上的值：162若序列的Fourier變換存在且連續(xù)，且是其z變換在單位圓上的值，則序列x(n)一定絕對可和，將展成Fourier級數(shù)，其系數(shù)即為x(n)：

163164165序列的Fourier變換的對稱性質(zhì)定義： 共軛對稱序列：共軛反對稱序列：任意序列可表示成xe(n)和xo(n)之和:其中：166其中：同樣，x(n)的Fourier變換也可分解成：167對稱性質(zhì)

序列Fourier變換168實數(shù)序列的對稱性質(zhì)

序列Fourier變換169實數(shù)序列的Fourier變換滿足共軛對稱性實部是ω的偶函數(shù)虛部是ω的奇函數(shù)幅度是ω的偶函數(shù)幅角是ω的奇函數(shù)170六、離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)、

系統(tǒng)的頻率響應(yīng)LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)： 單位抽樣響應(yīng)h(n)的z變換其中：y(n)=x(n)*h(n)Y(z)=X(z)H(z)171系統(tǒng)的頻率響應(yīng)：單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)單位抽樣響應(yīng)h(n)的Fourier變換1721、若LSI系統(tǒng)為因果穩(wěn)定系統(tǒng)

穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的Roc須包含單位圓， 即頻率響應(yīng)存在且連續(xù)H(z)須從單位圓到的整個z域內(nèi)收斂

1）因果：2）穩(wěn)定：序列h(n)絕對可和，即而h(n)的z變換的Roc：3）因果穩(wěn)定：Roc：1731742、系統(tǒng)函數(shù)與差分方程常系數(shù)線性差分方程：取z變換則系統(tǒng)函數(shù)1751761771781793、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的意義1）LSI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：1802）LSI系統(tǒng)對正弦序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)輸出同頻正弦序列幅度受頻率響應(yīng)幅度加權(quán)相位為輸入相位與系統(tǒng)相位響應(yīng)之和1813）LSI系統(tǒng)對任意輸入序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)其中：微分增量（復(fù)指數(shù)）：1824、頻率響應(yīng)的幾何確定法利用H(z)在z平面上的零極點分布頻率響應(yīng)：183則頻率響應(yīng)的令幅角：幅度：184零點位置影響凹谷點的位置與深度零點在單位圓上，谷點為零零點趨向于單位圓，谷點趨向于零極點位置影響凸峰的位置和深度極點趨向于單位圓，峰值趨向于無窮極點在單位圓外，系統(tǒng)不穩(wěn)定1851861871881891905、IIR系統(tǒng)和FIR系統(tǒng)無限長單位沖激響應(yīng)（IIR）系統(tǒng)：單位沖激響應(yīng)h(n)是無限長序列有限長單位沖激響應(yīng)（FIR）系統(tǒng)：單位沖激響應(yīng)h(n)是有限長序列191IIR系統(tǒng)：至少有一個FIR系統(tǒng)：全部全極點系統(tǒng)：分子只有常數(shù)項零極點系統(tǒng)：分子不止常數(shù)項收斂域內(nèi)無極點，是全零點系統(tǒng)192IIR系統(tǒng)：至少有一個有反饋環(huán)路，采用遞歸型結(jié)構(gòu)FIR系統(tǒng)：全部無反饋環(huán)路，多采用非遞歸結(jié)構(gòu)193第二章學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握z變換及其收斂域，掌握因果序列的概念及判斷方法會運用任意方法求z反變換理解z變換的主要性質(zhì)理解z變換與Laplace/Fourier變換的關(guān)系掌握序列的Fourier變換并理解其對稱性質(zhì)掌握離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng)，系統(tǒng)函數(shù)與差分方程的互求，因果/穩(wěn)定系統(tǒng)的收斂域194第三章離散傅里葉變換DFT:DiscreteFourierTransform195一、Fourier變換的幾種可能形式

時間函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)時間、連續(xù)頻率—傅里葉變換連續(xù)時間、離散頻率—傅里葉級數(shù)離散時間、連續(xù)頻率—序列的傅里葉變換離散時間、離散頻率—離散傅里葉變換196連續(xù)時間、連續(xù)頻率—傅里葉變換時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜，而時域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜密度函數(shù)。197連續(xù)時間、離散頻率—傅里葉級數(shù)

時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜，而頻域的離散對應(yīng)時域是周期函數(shù)。198離散時間、連續(xù)頻率—序列的傅里葉變換

時域的離散化造成頻域的周期延拓，而時域的非周期對應(yīng)于頻域的連續(xù)199離散時間、離散頻率—離散傅里葉變換

一個域的離散造成另一個域的周期延拓，因此離散傅里葉變換的時域和頻域都是離散的和周期的200四種傅里葉變換形式的歸納時間函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)和非周期非周期和連續(xù)連續(xù)和周期(T0)非周期和離散(Ω0=2π/T0)離散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和連續(xù)離散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和離散(Ω0=2π/T0)201二、周期序列的DFS及其性質(zhì)202

雖然表現(xiàn)形式上和連續(xù)周期函數(shù)是相同的，但是離散傅里葉級數(shù)的諧波，獨立成分有限，這是和連續(xù)傅里葉級數(shù)不同之處(后者有無窮多個諧波成分)，這是因為：r為任意整數(shù)也就是

因而對離散傅里葉級數(shù),只能取k=0到k=N-1的獨立諧波分量,不然就會產(chǎn)生二義性.因而，可展成如下的離散傅里葉級數(shù)．即這里的1/N是一個常用的常數(shù),是k次諧波的系數(shù)。203求解系數(shù)注意：其它r時:204對離散傅里葉級數(shù)式兩端同乘,然后從n＝0到N-1的一個周期內(nèi)求和，則得到當(dāng)k=r時，當(dāng)k≠r時，因為：205把r換成k可得這就是求k＝0到N-1的N個諧波系數(shù)的公式。同時看出也是一個以N為周期的周期序列，即這和復(fù)指數(shù)只在k＝0,1，…，N一1時才各不相同，即離散博里葉級數(shù)只有N個不同的系數(shù)的說法是一致的。所以可看出，時域周期序列的離散傅里葉級數(shù)頻域(即其系數(shù))也是一個周期序列。因而我們把兩式一起看作是周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)對。206周期序列的DFS正變換和反變換：其中：207208209210

可看作是對的一個周期做變換然后將變換在平面單位圓上按等間隔角抽樣得到211DFS的性質(zhì)1、線性：其中，為任意常數(shù)若則2122、序列的移位2133、調(diào)制特性2144、對偶性因為所以有：上式即為：2155、周期卷積和若則21621721821922005…054321…432154…543210…321043…432105…210532…321054…105421…210543…054310…105432…543212…123450…345011…111100…110067…012345…-4-3-2-110

8

6

10

14

12

221同樣若則222三、離散傅里葉變換（DFT）同樣：X(k)也是一個N點的有限長序列223有限長序列的DFT正變換和反變換：其中：224x(n)的N點DFT是x(n)的z變換在單位圓上的N點等間隔抽樣；x(n)的DTFT在區(qū)間[0，2π]上的N點等間隔抽樣。225226227228229四、離散傅里葉變換的性質(zhì)DFT正變換和反變換：2301、線性：這里，序列長度及DFT點數(shù)均為N若不等，分別為N1，N2，則需補零使兩序列長度相等，均為N，且若則2312、序列的圓周移位

定義：232233有限長序列的圓周移位導(dǎo)致頻譜線性相移，而對頻譜幅度無影響。234調(diào)制特性：時域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位2352363、共軛對稱性序列的Fourier變換的對稱性質(zhì)中提到：其中：任意序列可表示成和之和:237238其中：共軛反對稱分量：共軛對稱分量：任意周期序列：239定義：則任意有限長序列：圓周共軛反對稱序列：圓周共軛對稱序列：240圓周共軛對稱序列滿足：241圓周共軛反對稱序列滿足：242同理：其中：243244對稱性質(zhì)1證明：245對稱性質(zhì)2246證明：247對稱性質(zhì)3證明：248對稱性質(zhì)4證明：249對稱性質(zhì)5對稱性質(zhì)6250

序列DFT共軛對稱性251

序列DFT實數(shù)序列的共軛對稱性252純虛序列的共軛對稱性

序列DFT253偶序列的DFT偶對稱即時有：對稱性質(zhì)7254255證明：256奇對稱序列的DFT奇對稱即時有：證明同上對稱性質(zhì)8257DFT的奇偶虛實性x(n)X(k)偶序列偶序列奇序列奇序列實序列實部為偶，虛部為奇虛序列實部為奇，虛部為偶實偶實偶實奇虛奇虛偶虛偶虛奇實奇258

例：設(shè)x1(n)和x2(n)都是N點的實數(shù)序列，試用一次N點DFT運算來計算它們各自的DFT:2592602614、對偶性若則有：2625、DFT形式下的Parseval定理2632646、圓周卷積和若則265266圓周卷積過程：1）補零2）周期延拓3）翻褶，取主值序列4）圓周移位5）相乘相加NNN267268…-3-2-101234567…543210111100…10011110011……11110011110…1001111100111110011111000111100011118

10

12

14

10

6

269270同樣，可得若則2717、有限長序列的線性卷積與圓周卷積線性卷積：N點圓周卷積：NN272討論圓周卷積和線性卷積之間的關(guān)系：對x1(n)和x2(n)補零，使其長度均為N點；對x2(n)周期延拓：圓周卷積：273N274275276小結(jié)：線性卷積求解方法時域直接求解補N-N1個零x(n)N點DFT補N-N2個零h(n)N點DFTN點IDFTy(n)=x(n)*h(n)z變換法DFT法2778、線性相關(guān)與圓周相關(guān)線性相關(guān)：自相關(guān)函數(shù)：278相關(guān)函數(shù)不滿足交換率：279相關(guān)函數(shù)的z變換：280相關(guān)函數(shù)的頻譜：281圓周相關(guān)定理282283當(dāng)時，圓周相關(guān)可完全代表線性相關(guān)類似于線性卷積與圓周卷積之間的關(guān)系284六、抽樣z變換—頻域抽樣理論時域抽樣定理：在滿足奈奎斯特定理條件下，時域抽樣信號可以不失真地還原原連續(xù)信號。頻域抽樣呢？抽樣條件？內(nèi)插公式？285286287x(n)為無限長序列—混疊失真x(n)為有限長序列，長度為M由頻域抽樣序列還原得到的周期序列是原非周期序列的周期延拓序列，其周期為頻域抽樣點數(shù)N。所以：時域抽樣造成頻域周期延拓同樣，頻域抽樣造成時域周期延拓288頻率采樣定理若序列長度為M，則只有當(dāng)頻域采樣點數(shù):時，才有即可由頻域采樣不失真地恢復(fù)原信號，否則產(chǎn)生時域混疊現(xiàn)象。289用頻域采樣表示的內(nèi)插公式290291用頻域采樣表示的內(nèi)插公式292293294七、用DFT對模擬信號作頻譜分析295對連續(xù)時間非周期信號的DFT逼近1）將在軸上等間隔（T）分段2）將截短成有限長序列2963）頻域抽樣：一個周期分N段，采樣間隔，時域周期延拓周期為:

297對連續(xù)時間非周期信號的DFT逼近過程

1）時域抽樣

2）時域截斷

3）頻域抽樣近似逼近：298對連續(xù)時間周期信號的DFS逼近1）將在軸上等間隔（T）分段2992）頻域截斷：長度正好等于一個周期近似逼近：300信號的頻譜分析：計算信號的傅里葉變換301302303304頻率響應(yīng)的混疊失真及參數(shù)的選擇305同時提高信號最高頻率和頻率分辨率，需增加采樣點數(shù)N。所以：信號最高頻率與頻率分辨率之間的矛盾306307308309

1-14有一調(diào)幅信號

用DFT做頻譜分析，要求能分辨的所有頻率分量，問(1)抽樣頻率應(yīng)為多少赫茲（Hz）?(2)抽樣時間間隔應(yīng)為多少秒（Sec）?(3)抽樣點數(shù)應(yīng)為多少點？(4)若用頻率抽樣，抽樣數(shù)據(jù)為512點，做頻譜分析，求，512點，并粗略畫出的幅頻特性，標(biāo)出主要點的坐標(biāo)值。310（1）抽樣頻率應(yīng)為解：（2）抽樣時間間隔應(yīng)為311312313314315頻譜泄漏改善方法：對時域截短，使頻譜變寬拖尾，稱為泄漏1）增加x(n)長度2）緩慢截短316柵欄效應(yīng)改善方法：增加頻域抽樣點數(shù)N（時域補零），使譜線更密DFT只計算離散點（基頻F0的整數(shù)倍處）的頻譜，而不是連續(xù)函數(shù)317頻率分辨率提高頻率分辨率方法： 增加信號實際記錄長度 補零并不能提高頻率分辨率318319320321322323324八、序列的抽取與插值信號時間尺度變換（抽樣頻率的變換） 抽?。簻p小抽樣頻率 插值：加大抽樣頻率3251、序列的抽取將x(n)的抽樣頻率減小D倍 每D個抽樣中取一個，D為整數(shù)， 稱為抽樣因子326相當(dāng)于抽樣間隔增加D倍后對時域連續(xù)信號的抽樣327328329330序列域直接抽取：

時域序列乘脈沖串3313323332、序列的插值將x(n)的抽樣頻率增加I倍 相鄰兩點之間等間隔插入I-1個零點，

I稱為插值因子3343353、比值為有理數(shù)的抽樣率轉(zhuǎn)換將x(n)的抽樣頻率增加I/D倍 先插值I倍，再作D倍抽取336337小結(jié)本章主要講幾個問題：（1）付里葉變換的四種形式（2）離散付里葉級數(shù)（3）離散付里葉變換（4）離散付里葉變換的有關(guān)性質(zhì)（5）頻率抽樣理論（6）離散付里葉變換的應(yīng)用（7）DFT逼近連續(xù)時間信號產(chǎn)生的問題338第四章快速傅里葉變換FFT:FastFourierTransform1965年，Cooley,Tukey《機器計算傅里葉級數(shù)的一種算法》339一、直接計算DFT的問題及改進途徑340運算量復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)加法一個X(k)NN–1N個X(k)(N點DFT)N2N(N–1)實數(shù)乘法實數(shù)加法一次復(fù)乘42一次復(fù)加2一個X(k)4N2N+2(N–1)=2(2N–1)N個X(k)(N點DFT)4N22N(2N–1)341改善DFT運算效率的基本途徑：利用DFT運算的系數(shù)的固有對稱性和周期性，改善DFT的運算效率。1.合并法：合并DFT運算中的某些項。2.分解法：將長序列DFT利用對稱性和周期性，分解為短序列DFT。342343把N點數(shù)據(jù)分成二半：其運算量為：再分二半：+=+++=這樣一直分下去，剩下兩點的變換。344FFT算法分類:時間抽選法

DIT:Decimation-In-Time頻率抽選法

DIF:Decimation-In-Frequency345二、按時間抽選的基-2FFT算法1、算法原理設(shè)序列點數(shù)N=2L，L為整數(shù)。若不滿足，則補零將序列x(n)按n的奇偶分成兩組：N為2的整數(shù)冪的FFT算法稱基-2FFT算法。346則x(n)的DFT:347再利用周期性求X(k)的后半部分348349分解后的運算量：復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)加法一個N/2點DFT(N/2)2N/2(N/2–1)兩個N/2點DFTN2/2N(N/2–1)一個蝶形12N/2個蝶形N/2N總計運算量減少了近一半350N/2仍為偶數(shù)，進一步分解：N/2N/4351同理：其中：352353這樣逐級分解，直到2點DFT當(dāng)N=8時，即分解到X3(k)，X4(k)，X5(k)，X6(k)，k=0,1354

m=1m=2m=3355FFT算法中一些概念

（1）“級”概念將N點DFT先分成兩個N/2點DFT，再是四個N/4點DFT…直至N/2個兩點DFT.每分一次稱為“一”級運算。因為N=2L所以N點DFT可分成L級如上圖所示依次m=1,m=2….L共L級356（2）“組”概念

每一級都有N/2個蝶形單元，例如：N=8,則每級都有4個蝶形單元。每一級的N/2個蝶形單元可以分成若干組，每一組具有相同的結(jié)構(gòu)，相同的因子分布，第m級的組數(shù)為：例：N=8=23，分3級。m=1級,分成四組,每組系數(shù)為m=2級,分成二組,每組系數(shù)為m=3級,分成一組,每組系數(shù)為3572、運算量當(dāng)N=2L時，共有L級蝶形，每級N/2個蝶形，每個蝶形有1次復(fù)數(shù)乘法2次復(fù)數(shù)加法。復(fù)數(shù)乘法：復(fù)數(shù)加法：比較DFT358

m=1m=2m=33593、算法特點1）原位計算m表示第m級迭代，k，j表示數(shù)據(jù)所在的行數(shù)3602）倒位序倒位序自然序00000000100410010102201011063011001141001015510101136110111771113613623）蝶形運算對N=2L點FFT，輸入倒位序，輸出自然序，第m級運算每個蝶形的兩節(jié)點距離為2m–1第m級運算：363

m=1m=2m=3364

因子的確定方法結(jié)論：每由后向前（m由L-->1級）推進一級，則此系數(shù)為后級系數(shù)中偶數(shù)序號的那一半。365

蝶形運算兩節(jié)點的第一個節(jié)點為k值，表示成L位二進制數(shù)，左移L–

m位，把右邊空出的位置補零，結(jié)果為r的二進制數(shù)。方法二：3664）存儲單元輸入序列x(n):N個存儲單元系數(shù)：N/2個存儲單元3674、DIT算法的其他形式流圖輸入倒位序輸出自然序輸入自然序輸出倒位序輸入輸出均自然序相同幾何形狀輸入倒位序輸出自然序輸入自然序輸出倒位序368

369370371372373三、按頻率抽選的基-2FFT算法1、算法原理設(shè)序列點數(shù)N=2L，L為整數(shù)。將X(k)按k的奇偶分組前，先將輸入x(n)按n的順序分成前后兩半：374375

按k的奇偶將X(k)分成兩部分：376令則X(2r)和X(2r+1)分別是x1(n)和x2(n)的N/2點DFT，記為X1(k)和X2(k)377x1(0)x1(1)-1x1(2)x1(3)-1x2(0)x2(1)-1x2(2)x2(3)-1N/2點DFTN/2點DFTx(0)x(7)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)X1(0)=X(0)X2(0)=X(1)X1(1)=X(2)X1(2)=X(4)X1(3)=X(6)X2(1)=X(3)X2(2)=X(5)X2(3)=X(7)378N/2仍為偶數(shù)，進一步分解：N/2N/4379x3(0)x3(1)-1-1x4(0)x4(1)N/4點DFTN/4點DFTx1(0)x1(1)x1(2)x1(3)X3(0)=X1(0)=X(0)X4(0)=X1(1)=X(2)X3(1)=X1(2)=X(4)X4(1)=X1(3)=X(6)380同理：其中：381382逐級分解，直到2點DFT當(dāng)N=8時，即分解到x3(n)，x4(n)，x5(n)，x6(n)，n=0,13833842、算法特點1）原位計算-1L級蝶形運算，每級N/2個蝶形，每個蝶形結(jié)構(gòu)：

m表示第m級迭代，k，j表示數(shù)據(jù)所在的行數(shù)3852）蝶形運算對N=2L點FFT，輸入自然序，輸出倒位序，兩節(jié)點距離：2L-m=N/2m第m級運算：386387方法二：蝶形運算兩節(jié)點的第一個節(jié)點為k值，表示成L位二進制數(shù)，左移m-1位，把右邊空出的位置補零，結(jié)果為r的二進制數(shù)。3883893、DIT與DIF的異同基本蝶形不同DIT:先復(fù)乘后加減DIF:先減后復(fù)乘運算量相同都可原位運算DIT和DIF的基本蝶形互為轉(zhuǎn)置390

m=1m=2m=3391四、IFFT算法比較：IDFT:DFT:392393共軛FFT共軛乘1/N直接調(diào)用FFT子程序計算IFFT的方法：394五、線性卷積的FFT算法1、線性卷積的FFT算法需運算量：若系統(tǒng)滿足線性相位，即：則需運算量：若L點x(n)，M點h(n)，則直接計算其線性卷積y(n)395FFT法：以圓周卷積代替線性卷積1)H(k)=FFT[h(n)]N/2*log2N4)y(n)=IFFT[Y(k)]N/2*log2N3)Y(k)=H(k)X(k)N2)X(k)=FFT[x(n)]N/2*log2NN396比較直接計算和FFT法計算的運算量討論：1）當(dāng)2）當(dāng)3971）重疊相加法

N398

399重疊相加法例子4002）重疊保留法

舍棄yi(n)的前M-1個點，再將yi(n)順次連接，即得y(n)。分段右移序列卷積N401重疊保留法(1)402403

404

405重疊保留法例子4062、線性相關(guān)的FFT算法

若L點x(n)，M點y(n)，計算線性相關(guān)：407408第五章數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)

409一、數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法

數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：常系數(shù)線性差分方程:410加法器常數(shù)乘法器單位延時基本運算單元方框圖流圖411例：二階數(shù)字濾波器方框圖結(jié)構(gòu)流圖結(jié)構(gòu)412流圖結(jié)構(gòu)節(jié)點源節(jié)點支路阱節(jié)點網(wǎng)絡(luò)節(jié)點分支節(jié)點輸入支路相加器節(jié)點的值=所有輸入支路的值之和輸出支路支路的值=支路起點處的節(jié)點值傳輸系數(shù)413二、IIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)1）系統(tǒng)的單位抽樣相應(yīng)h(n)無限長IIR數(shù)字濾波器的特點：3）存在輸出到輸入的反饋，遞歸型結(jié)構(gòu)2）系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限z平面（）上有極點存在414IIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)：直接Ⅰ型直接Ⅱ型（典范型）級聯(lián)型并聯(lián)型4151、直接Ⅰ型差分方程:需N+M個延時單元416直接I型結(jié)構(gòu)的特點此結(jié)構(gòu)的特點為：(1)兩個網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)：第一個橫向結(jié)構(gòu)M節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)零點，

第二個有反饋的N節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)極點。(2)共需(N+M)級延時單元(3)系數(shù)ai,bi不是直接決定單個零極點，因而不能很好地進行濾

波器性能控制。(4)極點對系數(shù)的變化過于靈敏，從而使系統(tǒng)頻率響應(yīng)對系統(tǒng)

變化過于靈敏，也就是對有限精度（有限字長）運算過于靈

敏，容易出現(xiàn)不穩(wěn)定或產(chǎn)生較大誤差。4172、直接Ⅱ型（典范型）

直接II型原理將上面直接I型結(jié)構(gòu)的兩部分看成兩個獨立的網(wǎng)絡(luò)（即兩個子系統(tǒng)）。原理：一個線性時不變系統(tǒng)，若交換其級聯(lián)子系統(tǒng)的次序，系統(tǒng)函數(shù)不變。把此原理應(yīng)用于直接I型結(jié)構(gòu)。即：（1）交換兩個級聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的次序（2）合并兩個具有相同輸入的延時支路。得到另一種結(jié)構(gòu)即直接II型。418（1）對調(diào)對調(diào)419（2）合并只需實現(xiàn)N階濾波器所需的最少的N個延時單元，故稱典范型。（）合并420直接II型特點直接II型結(jié)構(gòu)特點：(1)兩個網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)。第一個有反饋的N節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)極點；

第二個橫向結(jié)構(gòu)M節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)零點。(2)實現(xiàn)N階濾波器（一般N>=M)只需N級延時單元，

所需延時

單元最少。故稱典范型。(3)同直接I型一樣，具有直接型實現(xiàn)的一般缺點。421

直接型的共同缺點：系數(shù)，對濾波器的性能控制作用不明顯極點對系數(shù)的變化過于靈敏，易出現(xiàn)不穩(wěn)定或較大誤差運算的累積誤差較大422例子已知IIRDF系統(tǒng)函數(shù)，畫出直接I型、直接II型的結(jié)構(gòu)流圖。解：為了得到直接I、II型結(jié)構(gòu)，必須將H(z)化為Z-1的有理式x(n)8-411Z-1Z-1y(n)5/4-3/4Z-1Z-1Z-11/8Z-1-25/4Z-1Z-1Z-1-3/41/8-411-28y(n)x(n)注意反饋部分系數(shù)符號4233、級聯(lián)型將系統(tǒng)函數(shù)按零極點因式分解:424將共軛成對的復(fù)數(shù)組合成二階多項式，系數(shù)即為實數(shù)。為采用相同結(jié)構(gòu)的子網(wǎng)絡(luò)，也將兩個實零點/極點組合成二階多項式當(dāng)零點為奇數(shù)時：有一個當(dāng)極點為奇數(shù)時：有一個425426各二階基本節(jié)的排列次序有種當(dāng)M=N時，二階因子配對方式有種427級聯(lián)型的特點：調(diào)整系數(shù)，能單獨調(diào)整濾波器的第k對零點，而不影響其它零極點

具有最少的存儲器便于調(diào)整濾波器頻率響應(yīng)性能調(diào)整系數(shù)，能單獨調(diào)整濾波器的第k對極點，而不影響其它零極點4284、并聯(lián)型將因式分解的H(z)展成部分分式：當(dāng)N為奇數(shù)時，有一個組合成實系數(shù)二階多項式：429430431并聯(lián)型的特點：通過調(diào)整系數(shù)，可單獨調(diào)整一對極點位置，但不能單獨調(diào)整零點位置各并聯(lián)基本節(jié)的誤差互相不影響，故運算誤差最小可同時對輸入信號進行運算，故運算速度最高432轉(zhuǎn)置定理：原網(wǎng)絡(luò)中所有支路方向倒轉(zhuǎn)，并將輸入x(n)和輸出y(n)相互交換，則其系統(tǒng)函數(shù)H(z)不改變。433434例：設(shè)IIR數(shù)字濾波器差分方程為：試用四種基本結(jié)構(gòu)實現(xiàn)此差分方程。解：對差分方程兩邊取z變換，得系統(tǒng)函數(shù)：435得直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)：典范型結(jié)構(gòu)：436將H(z)因式分解：得級聯(lián)型結(jié)構(gòu)：437將H(z)部分分式分解：得并聯(lián)型結(jié)構(gòu)：438三、FIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)1）系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)有限長，設(shè)N點

FIR數(shù)字濾波器的特點：2）系統(tǒng)函數(shù)H(z)在處收斂，有限z平面只有零點，全部極點在z=0處（因果系統(tǒng)）3）無輸出到輸入的反饋，一般為非遞歸型結(jié)構(gòu)系統(tǒng)函數(shù)：z=0處是N-1階極點有N-1個零點分布于z平面4394401、橫截型（卷積型、直接型）差分方程:4412、級聯(lián)型N為偶數(shù)時，其中有一個（N-1個零點）將H(z)分解成實系數(shù)二階因式的乘積形式:442級聯(lián)型的特點系數(shù)比直接型多，所需的乘法運算多每個基本節(jié)控制一對零點，便于控制濾波器的傳輸零點4433、頻率抽樣型N個頻率抽樣H(k)恢復(fù)H(z)的內(nèi)插公式：444子系統(tǒng)：

是N節(jié)延時單元的梳狀濾波器

在單位圓上有N個等間隔角度的零點：頻率響應(yīng)：445單位圓上有一個極點：與第k個零點相抵消，使該頻率處的頻率響應(yīng)等于H(k)諧振器子系統(tǒng)：446

447頻率抽樣型結(jié)構(gòu)的優(yōu)缺點調(diào)整H(k)就可以有效地調(diào)整頻響特性若h(n)長度相同，則網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)完全相同，除了各支路增益H(k)，便于標(biāo)準(zhǔn)化、模塊化有限字長效應(yīng)可能導(dǎo)致零極點不能完全對消，導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定系數(shù)多為復(fù)數(shù)，增加了復(fù)數(shù)乘法和存儲量448

修正頻率抽樣結(jié)構(gòu)將零極點移至半徑為r的圓上：449為使系數(shù)為實數(shù)，將共軛根合并由對稱性：又h(n)為實數(shù)，則450將第k個和第(N-k)個諧振器合并成一個實系數(shù)的二階網(wǎng)絡(luò)：451當(dāng)N為偶數(shù)時，還有一對實數(shù)根k=0,N/2處：452453N為奇數(shù)時只有一個實數(shù)根在k=0處：z=r4544、快速卷積結(jié)構(gòu)4555、線性相位FIR濾波器的結(jié)構(gòu)FIR濾波器單位抽樣響應(yīng)h(n)為實數(shù)，且滿足：偶對稱：或奇對稱：即對稱中心在(N-1)/2處則這種FIR濾波器具有嚴(yán)格線性相位。456N為奇數(shù)時457h(n)偶對稱，取“+”h(n)奇對稱，取“”，且458N為偶數(shù)時459第六章IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法數(shù)字濾波器：

是指輸入輸出均為數(shù)字信號，通過一定運算關(guān)系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。

高精度、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活，不要求阻抗匹配，可實現(xiàn)特殊濾波功能優(yōu)點：460第六章學(xué)習(xí)目標(biāo)理解數(shù)字濾波器的基本概念了解最小相位延時系統(tǒng)理解全通系統(tǒng)的特點及應(yīng)用掌握沖激響應(yīng)不變法掌握雙線性變換法了解利用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計過程了解利用頻帶變換法設(shè)計各種類型數(shù)字濾波器的方法461第一節(jié)、數(shù)字濾波器的基本概念1、數(shù)字濾波器的分類

經(jīng)典濾波器：

現(xiàn)代濾波器： 選頻濾波器維納濾波器卡爾曼濾波器自適應(yīng)濾波器等462按功能分：低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器463按實現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或單位抽樣響應(yīng)分：FIR濾波器（N-1階）IIR濾波器（N階）4642、數(shù)字濾波器的設(shè)計過程用一個因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)逼近此性能指標(biāo)按設(shè)計任務(wù)，確定濾波器性能要求，制定技術(shù)指標(biāo)利用有限精度算法實現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運算結(jié)構(gòu)、字長的選擇等實際技術(shù)實現(xiàn)：軟件法、硬件法或DSP芯片法4653、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求選頻濾波器的頻率響應(yīng)：

為幅頻特性：表示信號通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況

為相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況466

：通帶截止頻率

：阻帶截止頻率

：通帶容限

：阻帶容限阻帶：過渡帶：通帶：理想濾波器不可實現(xiàn)，只能以實際濾波器逼近467通帶最大衰減：阻帶最小衰減：其中：當(dāng)時，稱為3dB通帶截止頻率468第二節(jié)、IIRDF設(shè)計方法469一、IIRDF系統(tǒng)函數(shù)IIRDF是一個遞歸型系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)：470二、IIRDF頻率特性它是由三個參量來表征：1.幅度平方響應(yīng)2.相位響應(yīng)3.群延時4711.幅度平方響應(yīng)

通常我們用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器，幅頻特性表示信號通過該濾波器后頻率成分衰減情況。本章主要研究由幅頻特性提出指標(biāo)的選頻濾波器的設(shè)計，即根據(jù)幅度平方響應(yīng)來設(shè)計。472由于沖激響應(yīng)h(n)為實函數(shù)，故滿足：即滿足共軛對稱條件。若

是H(z)的極點，則：是H(z-1)的極點.又由于H(z)的有理表達式中各系數(shù)為實數(shù)，因而，零極點必然都以共軛對形式出現(xiàn)，故必有：兩極點存在473所以（1）H(z)H(z-1)的極點既是共軛的，又是以單位圓鏡像對稱的。（2）為了使H(z)成為可實現(xiàn)的系統(tǒng)，故?。簡挝粓A內(nèi)的那些極點作為H(z)的極點單位圓外的那些極點作為H(z-1)的極點H(z)的零點一般不是唯一確定的，可在z平面上的任意位置。（3）如果選H(z)H(z-1)在z平面單位圓內(nèi)的零點作為H(z)的零點，則所得到的是最小相位延時濾波器。474幅度平方響應(yīng)

的極點既是共軛的，又是以單位圓成鏡像對稱的H(z)的極點：單位圓內(nèi)的極點4752.相位響應(yīng)

濾波器的相頻特性反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況。因此，即使兩個濾波器幅頻特性相同，而相頻特性不一樣，對相同的輸入，濾波器輸出的信號波形也是不一樣的。如果對輸出波形有要求，則需要考慮相頻特性的技術(shù)指標(biāo)，例如語音合成，波形傳輸、圖像信號處理等對波形有嚴(yán)格的要求，則需要設(shè)計線性相位數(shù)字濾波器。（放在第七章講）4763.群延時

它是濾波器平均延遲的一個度量，定義為相頻特性對角頻率w的一階導(dǎo)數(shù)的負值。即：477三、IIRDF的設(shè)計方法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)有兩種方法：1、間接方法2、直接方法4781、間接方法由于模擬濾波器設(shè)計技術(shù)是非常成熟的，歸一化各種模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)已有表可查，利用成熟的設(shè)計技術(shù)，可得到一個間接設(shè)計IIRDF的方法，即間接設(shè)計方法。這種方法通常要先設(shè)計一中間濾波器，然后通過映射或頻率變換完成最終IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計。這種間接設(shè)計方法中包括：

(1)由模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器

(2)頻率變換法（分為模擬頻率變換法和數(shù)字頻率變換法）來設(shè)計數(shù)字濾波器4792、直接方法直接方法(計算機輔助設(shè)計法)

（1）在頻域利用幅度平方誤差最小法直接設(shè)計IIR數(shù)字濾波器。（2）在時域直接設(shè)計IIR數(shù)字濾波器此法根據(jù)性能指標(biāo)和一定的逼近準(zhǔn)則，直接利用計算機完成設(shè)計。480第三節(jié)、用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器設(shè)計思想：

s平面z平面

模擬系統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)H(z)的頻率響應(yīng)要能模仿Ha(s)的頻率響應(yīng)，

即s平面的虛軸映射到z平面的單位圓因果穩(wěn)定的Ha(s)映射到因果穩(wěn)定的H(z)， 即s平面的左半平面Re[s]<0

映射到z平面的單位圓內(nèi)|z|<1481設(shè)計方法：-沖激響應(yīng)不變法-階躍響應(yīng)不變法-雙線性變換法482第四節(jié)、沖激響應(yīng)不變法數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng) 模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)1、變換原理T—抽樣周期4834842、混迭失真僅當(dāng)數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻響而不產(chǎn)生混迭失真：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓，周期為485

實際系統(tǒng)不可能嚴(yán)格限帶，都會混迭失真，在 處衰減越快，失真越小當(dāng)濾波器的設(shè)計指標(biāo)以數(shù)字域頻率給定時，不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現(xiàn)象4863、模擬濾波器的數(shù)字化方法487系數(shù)相同：極點：s平面

z平面穩(wěn)定性不變：s平面z平面488當(dāng)T很小時，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正令：則：489試用沖激響應(yīng)不變法，設(shè)計IIR數(shù)字濾波器例：設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：設(shè)T=1s，則490模擬濾波器的頻率響應(yīng)：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)：4914、優(yōu)缺點優(yōu)點：缺點：保持線性關(guān)系： 線性相位模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)混迭 只適用于限帶的低通、帶通濾波器h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應(yīng) 時域逼近良好492例子2--1設(shè)低通DF的3dB帶寬頻率wc=0.2π,止帶頻率ws=0.4π,在w=ws處的止帶衰減

20lg|H(ejws)|=-15dB,試用脈沖響應(yīng)不變法（沖激不變法）設(shè)計一個Butterworth低通DF。解：設(shè)計分為4步。（1）將數(shù)字濾波器的設(shè)計指標(biāo)轉(zhuǎn)變?yōu)槟M濾波器的設(shè)計指標(biāo)。采樣頻率由采樣定理決定，設(shè)為fs=20kHz,則采樣間隔為T=1/fs=1/20kHz493例子2--2對于沖激不變法，頻率變換是線性的。494例子2--3(2)設(shè)計Ha(s)將上述設(shè)計指標(biāo)代入求出N階數(shù)495例子2--4496例子2--5497例子2--6498例子2--7x(n)0.5341.241-0.5331.59y(n)0.5341.241-0.533-1.0010.306y(n)x(n)并聯(lián)型級聯(lián)型-21.333499第五節(jié)、雙線性變換法1、變換原理使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng) 與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似。沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法：時域模仿逼近 缺點是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真500501502為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對應(yīng)關(guān)系，引入系數(shù)c5032、變換常數(shù)c的選擇2）某一特定頻率嚴(yán)格相對應(yīng)：1）低頻處有較確切的對應(yīng)關(guān)系：特定頻率處頻率響應(yīng)嚴(yán)格相等，可以較準(zhǔn)確地控制截止頻率位置5043、逼近情況1）

s平面虛軸z平面單位圓2）左半平面單位圓內(nèi)

s平面z平面右半平面單位圓外虛軸單位圓上5054、優(yōu)缺點優(yōu)點：避免了頻率響應(yīng)的混迭現(xiàn)象s平面與z平面為單值變換506缺點：

除了零頻率附近，與之間嚴(yán)重非線性2）要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)為分段常數(shù)型，不然會產(chǎn)生畸變1）線性相位模擬濾波器非線性相位數(shù)字濾波器分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)型數(shù)字濾波器，但臨界頻率點產(chǎn)生畸變5075、預(yù)畸變

給定數(shù)字濾波器的截止頻率，則按設(shè)計模擬濾波器，經(jīng)雙線性變換后，即可得到為截止頻率的數(shù)字濾波器5086、模擬濾波器的數(shù)字化方法509可分解成級聯(lián)的低階子系統(tǒng)可分解成并聯(lián)的低階子系統(tǒng)510第六節(jié)、最小與最大相位延時系統(tǒng)、最小與最大相位超前系統(tǒng)LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)：頻率響應(yīng)：511模：相角：512當(dāng)位于單位圓內(nèi)的零/極矢量角度變化為位于單位圓外的零/極矢量角度變化為0513令：單位圓內(nèi)零點數(shù)為mi單位圓外的零點數(shù)為mo單位圓內(nèi)的極點數(shù)為pi單位圓外的極點數(shù)為po則：514全部極點在單位圓內(nèi)：po=0，pi=N因果穩(wěn)定系統(tǒng)1）全部零點在單位圓內(nèi)：

2）全部零點在單位圓外：

為最小相位延時系統(tǒng)為最大相位延時系統(tǒng)n<0時，h(n)=0相位延時系統(tǒng)515逆因果穩(wěn)定系統(tǒng)1）全部零點在單位圓內(nèi)：

2）全部零點在單位圓外：

全部極點在單位圓外：po=N，pi=0為最大相位超前系統(tǒng)為最小相位超前系統(tǒng)相位超前系統(tǒng)n>0時，h(n)=0516最小相位延時系統(tǒng)的性質(zhì)1）在相同的系統(tǒng)中，具有最小的相位滯后2）最小相位延時系統(tǒng)的能量集中在n=0附近，而總能量相同5）級聯(lián)一個全通系統(tǒng)，可以將一最小相位系統(tǒng)轉(zhuǎn)變成一相同幅度響應(yīng)的非最小相位延時系統(tǒng)4）在相同的系統(tǒng)中，唯一3）最小相位序列的最大：517第七節(jié)、全通系統(tǒng)對所有，滿足：稱該系統(tǒng)為全通系統(tǒng)518一階全通系統(tǒng)：極點：零點：零極點以單位圓為鏡像對稱極點：零點：519實系數(shù)二階全通系統(tǒng)兩個零點（極點）共軛對稱極點：零點：零點與極點以單位圓為鏡像對稱520N階數(shù)字全通濾波器極點：的根零點：的根521全通系統(tǒng)的應(yīng)用1）任一因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)都可以表示成全通系統(tǒng)Hap(z)和最小相位系統(tǒng)Hmin(z)的級聯(lián)其中：H1(z)為最小相位延時系統(tǒng)， 為單位圓外的一對共軛零點522把H(z)單位圓外的零點： 映射到單位圓內(nèi)的鏡像位置： 構(gòu)成Hmin(z)的零點。而幅度響應(yīng)不變：5235242）級聯(lián)一個全通系統(tǒng)可以使非穩(wěn)定濾波器變成一個穩(wěn)定濾波器把非穩(wěn)定系統(tǒng)的單位圓外的極點映射到單位圓內(nèi)單位圓外極點：5253）作為相位均衡器，校正系統(tǒng)的非線性相位，而不改變系統(tǒng)的幅度特性利用均方誤差最小準(zhǔn)則求均衡器Hap(z)的有關(guān)參數(shù)526第八節(jié)、階躍響應(yīng)不變法變換原理數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng) 模仿模擬濾波器的階躍響應(yīng) T—抽樣周期527528階躍響應(yīng)不變法同樣有頻率響應(yīng)