平穩(wěn)時(shí)間序列模型的性質(zhì)概述課件

第五章平穩(wěn)時(shí)間序列模型的性質(zhì)第一節(jié)自回歸過程的性質(zhì)第二節(jié)移動(dòng)平均過程的性質(zhì)第三節(jié)自回歸移動(dòng)平均過程的性質(zhì)12/23/20221第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)第五章平穩(wěn)時(shí)間序列模型的性質(zhì)第一節(jié)自回歸過程的性第一節(jié)自回歸過程的性質(zhì)一、一階自回歸過程AR(1)的性質(zhì)二、二階自回歸過程AR(2)的性質(zhì)三、p階自回歸過程AR(p)的性質(zhì)12/23/20222第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)第一節(jié)自回歸過程的性質(zhì)一、一階自回歸過程AR(1)的性質(zhì)1一、一階自回歸過程AR(1)的性質(zhì)一階自回歸模型的形式為：或12/23/20223第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)一、一階自回歸過程AR(1)的性質(zhì)一階自回歸模型的形式為：或1、平穩(wěn)性和可逆性a.可逆性：一個(gè)有限階的自回歸模型總是可逆的，所以，ar(1)模型總是可逆的。B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性，的根必須在單位圓外，即應(yīng)有：12/23/20224第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)1、平穩(wěn)性和可逆性a.可逆性：B.平穩(wěn)性：12/20/2022.ar(1)過程的自相關(guān)函數(shù)12/23/20225第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.ar(1)過程的自相關(guān)函數(shù)12/20/20225第四章12/23/20226第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/20226第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/23/20227第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/20227第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/23/20228第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/20228第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)通過上述推導(dǎo)可看出，當(dāng)過程平穩(wěn)即時(shí)，AR(1)過程的自相關(guān)函數(shù)（ACF）呈指數(shù)衰減。如果，那么所有的自相關(guān)系數(shù)都為正，并逐漸衰減。如果，自相關(guān)系數(shù)的符號(hào)以負(fù)號(hào)開始，并呈正、負(fù)交替逐漸衰減。12/23/20229第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)通過上述推導(dǎo)可看出，當(dāng)過程平穩(wěn)即例1，下面兩圖表分別是模擬生成的249個(gè)數(shù)據(jù)如下AR(1)過程趨勢圖和自相關(guān)圖12/23/202210第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例1，下面兩圖表分別是模擬生成的249個(gè)數(shù)據(jù)12/20/20-6-4-202482848688909294969800例1，模擬生成的AR(1)過程趨勢圖12/23/202211第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)-6-4-202482848688909294969800例例1：模擬生成的AR(1)過程自相關(guān)圖:呈指數(shù)衰減12/23/202212第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例1：模擬生成的呈指數(shù)衰減12/20/202212第四章時(shí)例2，下面兩圖表分別是模擬生成的249個(gè)數(shù)據(jù)如下AR(1)過程趨勢圖和自相關(guān)圖12/23/202213第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例2，下面兩圖表分別是模擬生成的249個(gè)數(shù)據(jù)12/20/20-6-4-2024682848688909294969800Y例2，模擬生成的AR(1)過程趨勢圖12/23/202214第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)-6-4-2024682848688909294969800例2：模擬生成的AR(1)過程自相關(guān)圖::呈正負(fù)交替指數(shù)衰減12/23/202215第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例2：模擬生成的呈正負(fù)交替12/20/202215第四章時(shí)3.AR(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）A.偏自相關(guān)函數(shù)的一般公式12/23/202216第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)3.AR(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）A.偏自相關(guān)函數(shù)12/23/202217第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202217第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/23/202218第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202218第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/23/202219第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202219第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/23/202220第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202220第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)B.AR(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)12/23/202221第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)B.AR(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)12/20/202221第四上述結(jié)論說明：AR(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)在滯后一階有一峰值，其符號(hào)取決于。滯后一階以后PACF截尾。12/23/202222第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)上述結(jié)論說明：12/20/202222第四章時(shí)間序列模型的另一種思路：根據(jù)定義：偏自相關(guān)函數(shù)是指扣除Xt和Xt-k之間的隨機(jī)變量Xt-1,Xt-2,…Xt-k-1等影響之后的Xt和Xt-k之間的相關(guān)性。對(duì)于p階自回歸過程，當(dāng)s≤p時(shí)，xt與xt-s有直接的相關(guān)性；而s>p時(shí)，兩者沒有直接的相關(guān)性。因此，對(duì)于AR(p)過程，在模型的滯后階數(shù)以內(nèi)，通常有非零的偏自相關(guān)系數(shù)；但在滯后階數(shù)以外，偏自相關(guān)系數(shù)則為零。12/23/202223第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)另一種思路：根據(jù)定義：偏自相關(guān)函數(shù)是指扣除Xt和Xt-k之間例1：模擬生成的AR(1)過程自相關(guān)圖::滯后一階以后截尾12/23/202224第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例1：模擬生成的滯后一階12/20/202224第四章時(shí)間例2：模擬生成的AR(1)過程自相關(guān)圖::滯后一階以后截尾12/23/202225第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例2：模擬生成的滯后一階12/20/202225第四章時(shí)間4.AR(1)過程的傳遞形式和格林函數(shù)12/23/202226第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)4.AR(1)過程的傳遞形式和格林函數(shù)12/20/20222二、二階自回歸AR(2)過程的性質(zhì)二階自回歸模型的形式為：或12/23/202227第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)二、二階自回歸AR(2)過程的性質(zhì)二階自回歸模型的形式為：或B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性，的根必須在單位圓外.1、平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：ar(2)模型總是可逆的。12/23/202228第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)B.平穩(wěn)性：1、平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：12/20/2022.AR(2)過程的自相關(guān)函數(shù)12/23/202229第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.AR(2)過程的自相關(guān)函數(shù)12/20/202229第四章12/23/202230第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202230第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/23/202231第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202231第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/23/202232第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202232第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)通過上述推導(dǎo)可以如下結(jié)論，在AR(2)過程的平穩(wěn)性條件滿足時(shí)，如果特征方程的根為實(shí)根，即時(shí)，AR(2)的自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減。如果特征方程的根為復(fù)根，即時(shí)，AR(2)的自相關(guān)函數(shù)呈阻尼正弦波衰減。12/23/202233第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)通過上述推導(dǎo)可以如下結(jié)論，12/20/202233第四章時(shí)3.AR(2)過程的偏自相關(guān)函數(shù)12/23/202234第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)3.AR(2)過程的偏自相關(guān)函數(shù)12/20/202234第四12/23/202235第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202235第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)另一種思路：直接根據(jù)定義12/23/202236第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)另一種思路：直接根據(jù)定義12/20/202236第四章時(shí)間通過上述證明可以得出如下結(jié)論：12/23/202237第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)通過上述證明可以得出如下結(jié)論：12/20/202237第四章例1，下面兩圖表分別是模擬生成的250個(gè)數(shù)據(jù)如下AR(2)過程趨勢圖和自相關(guān)圖12/23/202238第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例1，下面兩圖表分別是模擬生成的250個(gè)數(shù)據(jù)12/20/20-4-202482848688909294969800例1.模擬生成的AR(2)過程趨勢圖12/23/202239第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)-4-202482848688909294969800例1.例1.模擬生成的AR(2)過程自相關(guān)圖呈混合指數(shù)衰滯后二階以后截尾12/23/202240第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例1.模擬生成的呈混合指數(shù)衰滯后二階以后截尾12/20/20例2，下面兩圖表分別是模擬生成的250個(gè)數(shù)據(jù)如下AR(2)過程趨勢圖和自相關(guān)圖12/23/202241第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例2，下面兩圖表分別是模擬生成的250個(gè)數(shù)據(jù)12/20/20-6-4-2024682848688909294969800例2.模擬生成的AR(2)過程趨勢圖12/23/202242第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)-6-4-2024682848688909294969800例2.模擬生成的AR(2)過程自相關(guān)圖呈混合指數(shù)衰減滯后二階以后截尾12/23/202243第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例2.模擬生成的呈混合指數(shù)衰減滯后二階以后截尾12/20/2例3，下面兩圖表分別是模擬生成的250個(gè)數(shù)據(jù)如下AR(2)過程趨勢圖和自相關(guān)圖12/23/202244第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例3，下面兩圖表分別是模擬生成的250個(gè)數(shù)據(jù)12/20/20-4-202482848688909294969800模擬生成的AR(2)過程趨勢圖12/23/202245第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)-4-202482848688909294969800模擬生模擬生成的AR(2)過程自相關(guān)圖呈阻尼正弦波衰減滯后二階以后截尾12/23/202246第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)模擬生成的呈阻尼正弦波滯后二階以后12/20/202246第4.AR(2)過程的傳遞形式和格林函數(shù)（1）傳遞形式（2）格林函數(shù)12/23/202247第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)4.AR(2)過程的傳遞形式和格林函數(shù)（1）傳遞形式12/2三、p階自回歸過程AR(p)的性質(zhì)二階自回歸模型的形式為：或12/23/202248第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)三、p階自回歸過程AR(p)的性質(zhì)二階自回歸模型的形式為：或B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性，的根必須在單位圓外.1、平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：ar(p)模型總是可逆的。12/23/202249第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)B.平穩(wěn)性：1、平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：12/20/202對(duì)于高階的自回歸過程，其平穩(wěn)性條件用其模型參數(shù)表示雖比較復(fù)雜，但都有最基本的一點(diǎn)：這是自回歸過程平穩(wěn)的必要條件之一。12/23/202250第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)對(duì)于高階的自回歸過程，其平穩(wěn)性條件這是自回歸過程平穩(wěn)的必要條2.AR(p)的自相關(guān)函數(shù)ACF12/23/202251第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.AR(p)的自相關(guān)函數(shù)ACF12/20/202251第四12/23/202252第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202252第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)通過上述推導(dǎo)有如下結(jié)論：對(duì)于平穩(wěn)過程，有|λi|<1，AR(p)過程的ACF是由差分方程的根確定的，呈混合指數(shù)衰減或出現(xiàn)復(fù)根時(shí)的阻尼正弦波衰減。12/23/202253第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)通過上述推導(dǎo)有如下結(jié)論：12/20/202253第四章時(shí)間3.AR(p)過程的偏自相關(guān)函數(shù)PACF12/23/202254第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)3.AR(p)過程的偏自相關(guān)函數(shù)PACF12/20/2022可以很容易地看出，當(dāng)k>p時(shí)，上式分母行列式最后列是同一矩陣前面各列的線性組合。于是當(dāng)k>p時(shí),有φkk=0。所以，AR(p)過程的偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)滯后p階截尾。12/23/202255第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)可以很容易地看出，當(dāng)k>p時(shí)，上式分母行12/20/20224.AR(p)模型的傳遞形式和格林函數(shù)(1)傳遞形式(2)格林函數(shù)12/23/202256第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)4.AR(p)模型的傳遞形式和格林函數(shù)(1)傳遞形式12/2例:考察如下AR模型的自相關(guān)和偏自相關(guān)12/23/202257第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例:考察如下AR模型的自相關(guān)和偏自相關(guān)12/20/20225ACFPACF12/23/202258第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)ACFPACF12/20/202258第四章時(shí)間序列模型的ACFPACF12/23/202259第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)ACFPACF12/20/202259第四章時(shí)間序列模型的ACFPACF12/23/202260第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)ACFPACF12/20/202260第四章時(shí)間序列模型的ACFPACF12/23/202261第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)ACFPACF12/20/202261第四章時(shí)間序列模型的第二節(jié)移動(dòng)平均過程的性質(zhì)一、一階移動(dòng)平均過程MA(1)的性質(zhì)二、二階移動(dòng)平均過程MA(2)的性質(zhì)三、q階移動(dòng)平均過程MA(q)的性質(zhì)12/23/202262第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)第二節(jié)移動(dòng)平均過程的性質(zhì)一、一階移動(dòng)平均過程MA(1)的性一、一階移動(dòng)平均過程MA(1)的性質(zhì)一階移動(dòng)平均模型MA(1)的形式為：其中：xt為零均值平穩(wěn)序列，εt為零均值的白噪聲。12/23/202263第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)一、一階移動(dòng)平均過程MA(1)的性質(zhì)一階移動(dòng)平均模型MA(11.MA(1)過程的平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：AR(1)過程總是平穩(wěn)的。B.可逆性：為滿足可逆性，θ(B)=1－θ1B=0的根必須在單位圓外，即有：12/23/202264第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)1.MA(1)過程的平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：AR(1)過程注：以后對(duì)MA(1)過程性質(zhì)的討論中，都假定可逆性條件滿足，即有：|θ1|<1。12/23/202265第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)注：以后對(duì)MA(1)過程性質(zhì)的討論中，12/20/202262.MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)ACF12/23/202266第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)ACF12/20/20226612/23/202267第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202267第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/23/202268第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202268第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)3.MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)PACF這里不加證明的給出偏自相關(guān)函數(shù)的遞推公式：12/23/202269第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)3.MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)PACF這里不加證明的給出偏自12/23/202270第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202270第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)由上推導(dǎo)可得出如下結(jié)論：在可逆性條件滿足情況下,MA(1)過程的PACF呈指數(shù)拖尾。如果θ1>0,那么PACF都為負(fù)，且呈指數(shù)衰減；如果θ1<0,那么PACF正負(fù)交替呈指數(shù)衰減。12/23/202271第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)由上推導(dǎo)可得出如下結(jié)論：12/20/202271第四章時(shí)間另一種證明思路：對(duì)于移動(dòng)平均過程MA(q)，其偏自相關(guān)函數(shù)會(huì)是什么樣的呢？為了考察yt與yt-k是否直接相關(guān)，可將MA模型轉(zhuǎn)換成AR模型；事實(shí)上，只要MA(q)過程是可逆的，它就可以表示成AR(∞)。12/23/202272第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)另一種證明思路：對(duì)于移動(dòng)平均過程MA(q)，其偏自相關(guān)函數(shù)會(huì)例1：模擬產(chǎn)生的250個(gè)數(shù)據(jù)的如下MA(1)過程的趨勢圖和自相關(guān)圖：12/23/202273第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例1：模擬產(chǎn)生的250個(gè)數(shù)據(jù)的如下MA(1)過程12/20/12/23/202274第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202274第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)Xt=εt－0.85εt-1

=(1－0.85B)εt其中θ1=0.85>0εt為白噪聲滯后一階截尾呈負(fù)指數(shù)衰減12/23/202275第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)Xt=εt－0.85εt-1滯后一階截尾呈負(fù)指數(shù)衰減12/2例2：模擬產(chǎn)生的250個(gè)數(shù)據(jù)的如下MA(1)過程的趨勢圖和自相關(guān)圖：12/23/202276第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例2：模擬產(chǎn)生的250個(gè)數(shù)據(jù)的如下MA(1)過程12/20/12/23/202277第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202277第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)Xt=εt－(－0.85)εt-1

=(1－(－0.85)B)εt其中θ1=－0.85<0呈正負(fù)交替指數(shù)衰減滯后一階截尾12/23/202278第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)Xt=εt－(－0.85)εt-1呈正負(fù)交替滯后一階截尾14.MA(1)過程的逆轉(zhuǎn)形式12/23/202279第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)4.MA(1)過程的逆轉(zhuǎn)形式12/20/202279第四章二、二階移動(dòng)平均過程MA(2)的性質(zhì)二階移動(dòng)平均模型MA(2)的形式為：其中：xt為零均值平穩(wěn)序列，εt為零均值的白噪聲。12/23/202280第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)二、二階移動(dòng)平均過程MA(2)的性質(zhì)二階移動(dòng)平均模型MA(21.MA(2)過程的平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：MA(2)過程總是平穩(wěn)的。B.可逆性：為滿足可逆性,的根必須在單位圓外。12/23/202281第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)1.MA(2)過程的平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：MA(2)過程2.MA(2)過程的自相關(guān)函數(shù)ACF12/23/202282第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.MA(2)過程的自相關(guān)函數(shù)ACF12/20/20228212/23/202283第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202283第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/23/202284第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202284第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.MA(2)過程的偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)12/23/202285第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.MA(2)過程的偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)12/20/20對(duì)于MA(2)過程，我們有如下結(jié)論：如果其特征方程:1－θ1B－θ2B2=0的根是實(shí)數(shù)，則φkk是兩個(gè)衰減指數(shù)的和；如果其根是復(fù)數(shù)，則φkk是一衰減的正弦波。12/23/202286第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)對(duì)于MA(2)過程，我們有如下結(jié)論：12/20/20228612/23/202287第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202287第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)滯后二階截尾指數(shù)衰減(拖尾)12/23/202288第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)滯后二階指數(shù)衰減12/20/202288第四章時(shí)間序列模型12/23/202289第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202289第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)滯后二階截尾阻尼正弦波衰減(拖尾)12/23/202290第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)滯后二階阻尼正弦波衰減12/20/202290第四章時(shí)間序4.MA(2)過程的逆轉(zhuǎn)形式12/23/202291第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)4.MA(2)過程的逆轉(zhuǎn)形式12/20/202291第四章三、q階移動(dòng)平均過程MA(q)性質(zhì)12/23/202292第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)三、q階移動(dòng)平均過程MA(q)性質(zhì)12/20/202292第1.平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：有限階移動(dòng)平均過程MA(q)總是平穩(wěn)的。B.可逆性：為滿足可逆性，的根必須在單位圓外。12/23/202293第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)1.平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：有限階移動(dòng)平均過程MA(q)總對(duì)于高階的移動(dòng)平均過程，其可逆性條件用其模型參數(shù)表示雖比較復(fù)雜，但都有最基本的一點(diǎn)：這是移動(dòng)平均過程可逆的必要條件之一。12/23/202294第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)對(duì)于高階的移動(dòng)平均過程，其可逆性條件這是移動(dòng)平均過程可逆的必2.MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)(ACF)12/23/202295第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)(ACF)12/20/2022因而：MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)是滯后q階截尾的。12/23/202296第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)因而：12/20/202296第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)3.MA(q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）要用明確的公式表示出MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)是很困難的，但是從前面我們對(duì)MA(1)、MA(2)的討論中，可以看出：MA(q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)是由的根確定的，呈混合指數(shù)衰減或阻尼正弦波衰減。12/23/202297第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)3.MA(q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）要用明確的公式表例:考察如下MA模型的相關(guān)性質(zhì)12/23/202298第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例:考察如下MA模型的相關(guān)性質(zhì)12/20/202298第四章MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾

12/23/202299第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾12/20/202299第四章MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾

12/23/2022100第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾12/20/2022100第四章MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾

12/23/2022101第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾12/20/2022101第四MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾

12/23/2022102第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾12/20/2022102第四MA模型可逆性MA模型自相關(guān)系數(shù)的不唯一性例中不同的MA模型具有完全相同的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)12/23/2022103第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)MA模型可逆性MA模型自相關(guān)系數(shù)的不唯一性12/20/202可逆概念的重要性一個(gè)自相關(guān)系數(shù)列唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)可逆MA模型。

12/23/2022104第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)可逆概念的重要性12/20/2022104第四章時(shí)間序列第三節(jié)自回歸移動(dòng)平均ARMA(p,q)過程一、ARMA(1,1)的性質(zhì)二、ARMA(p,q)過程的性質(zhì)12/23/2022105第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)第三節(jié)自回歸移動(dòng)平均ARMA(p,q)過程一、ARMA(一、ARMA(1,1)的性質(zhì)12/23/2022106第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)一、ARMA(1,1)的性質(zhì)12/20/2022106第四章1.ARMA(1,1)過程的平穩(wěn)性和可逆性12/23/2022107第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)1.ARMA(1,1)過程的平穩(wěn)性和可逆性12/20/2022.ARMA(1,1)過程的ACF12/23/2022108第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.ARMA(1,1)過程的ACF12/20/202210812/23/2022109第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/2022109第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/23/2022110第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/2022110第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)通過上式可以看出，ARMA(1,1)過程的自相關(guān)函數(shù)具有AR(1)過程和MA(1)過程的組合特性。當(dāng)k=1時(shí)，自相關(guān)系數(shù)有一峰值，并且是由φ1和θ1共同決定，。當(dāng)k≥2時(shí)，自相關(guān)系數(shù)僅取決于φ1即自回歸部分對(duì)應(yīng)的差分方程的根，呈指數(shù)衰減。12/23/2022111第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)通過上式可以看出，ARMA(1,1)過程的自相關(guān)函數(shù)具有AR3.ARMA(1,1)過程的PACFARMA(1,1)過程的PACF和它的ACF一樣，也是滯后一階有一峰值，一階以后呈指數(shù)衰減，不過指數(shù)衰減的形態(tài)由φ1和θ1共同決定，因此指數(shù)衰減的形態(tài)比MA(1)過程PACF指數(shù)衰減形式更多12/23/2022112第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)3.ARMA(1,1)過程的PACFARMA(1,1)過程的例1：模擬產(chǎn)生的250個(gè)數(shù)據(jù)的如下ARMA(1,1)過程的樣本ACF和樣本PACF：12/23/2022113第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例1：模擬產(chǎn)生的250個(gè)數(shù)據(jù)的如下ARMA(1,1)過12/例1.模擬生成的ARMA(1,1)過程的樣本ACF和樣本PACF滯后一階有一峰值之后呈指數(shù)衰減滯后一階有一峰值之后呈指數(shù)衰減12/23/2022114第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例1.模擬生成的滯后一階有一峰值滯后一階有一峰值12/20/例2：模擬產(chǎn)生的250個(gè)數(shù)據(jù)的如下ARMA(1,1)過程的樣本ACF和樣本PACF：12/23/2022115第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例2：模擬產(chǎn)生的250個(gè)數(shù)據(jù)的如下ARMA(1,1)過12/例2.模擬生成的ARMA(1,1)過程的樣本ACF和樣本PACF指數(shù)拖尾指數(shù)拖尾滯后一階有峰值12/23/2022116第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例2.模擬生成的指數(shù)拖尾指數(shù)拖尾滯后一階有峰值12/20/24.ARMA(1,1)過程的傳遞形式和逆轉(zhuǎn)形式（1）傳遞形式和格林函數(shù)：xt=φ-1(B)θ(B)at（2）逆轉(zhuǎn)形式和逆函數(shù)θ-1(B)φ

(B)xt=at12/23/2022117第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)4.ARMA(1,1)過程的傳遞形式和逆轉(zhuǎn)形式（1）傳遞形式二、ARMA(p,q)過程的性質(zhì)12/23/2022118第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)二、ARMA(p,q)過程的性質(zhì)12/20/2022118第1.ARMA(p,q)的平穩(wěn)性和可逆性12/23/2022119第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)1.ARMA(p,q)的平穩(wěn)性和可逆性12/20/2022112/23/2022120第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/2022120第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.ARMA(p,q)過程的ACF12/23/2022121第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.ARMA(p,q)過程的ACF12/20/202212112/23/2022122第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/2022122第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)由上推導(dǎo)可以得出結(jié)論：ARMA(p,q)模型的自相關(guān)函數(shù)滯后q階后拖尾。當(dāng)k≤q時(shí)，即前q項(xiàng)自相關(guān)系數(shù)ρq,ρq-1…ρ1取決于自回歸和移動(dòng)平均的參數(shù)。當(dāng)k≥q+1時(shí)，它僅取決于中自回歸的參數(shù)，即φ(B)=0的根，呈指數(shù)衰減或阻尼正弦波衰減，而與移動(dòng)平均的參數(shù)無關(guān)。12/23/2022123第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)由上推導(dǎo)可以得出結(jié)論：12/20/2022123第四章時(shí)間3.ARMA(p,q)過程的PACFARMA(p,q)過程的PACF的一般形式比較復(fù)雜，由于它包括MA過程這個(gè)特例，所以它的PACF也由θ(B)=0的根確定，呈混合指數(shù)衰減或阻尼正弦波衰減。12/23/2022124第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)3.ARMA(p,q)過程的PACFARMA(p,q)過程的既然ARMA(p,q)模型的ACF和PACF都呈拖尾形態(tài)，那么我們要通過一個(gè)時(shí)間序列的樣本自相關(guān)圖判斷ARMA模型的階數(shù)就比較困難。但是如果通過樣本自相關(guān)圖得到一個(gè)時(shí)間序列的ACF和PACF都呈拖尾形態(tài)，那么我們至少能判斷出該過程不是純AR或純MA過程，而是混合ARMA過程。至于模型階數(shù)的確定，第六章將作介紹。12/23/2022125第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)既然ARMA(p,q)模型的ACF和PACF都12/20/2附：非中心化時(shí)間序列模型的均值12/23/2022126第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)附：非中心化時(shí)間序列模型的均值12/20/2022126第四AR(P)模型的均值如果AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則有根據(jù)平穩(wěn)序列均值為常數(shù)，且為白噪聲序列，有推導(dǎo)出12/23/2022127第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)AR(P)模型的均值如果AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則有MA(q)模型的均值常數(shù)均值12/23/2022128第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)MA(q)模型的均值常數(shù)均值12/20/2022128第四章ARMA(p,q)模型的均值均值為：12/23/2022129第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)ARMA(p,q)模型的均值均值為：12/20/20221第四節(jié)ARMA模型的性質(zhì)總結(jié)12/23/2022130第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)第四節(jié)ARMA模型的性質(zhì)總結(jié)12/20/2022130第12/23/2022131第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/2022131第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)第五章平穩(wěn)時(shí)間序列模型的性質(zhì)第一節(jié)自回歸過程的性質(zhì)第二節(jié)移動(dòng)平均過程的性質(zhì)第三節(jié)自回歸移動(dòng)平均過程的性質(zhì)12/23/2022132第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)第五章平穩(wěn)時(shí)間序列模型的性質(zhì)第一節(jié)自回歸過程的性第一節(jié)自回歸過程的性質(zhì)一、一階自回歸過程AR(1)的性質(zhì)二、二階自回歸過程AR(2)的性質(zhì)三、p階自回歸過程AR(p)的性質(zhì)12/23/2022133第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)第一節(jié)自回歸過程的性質(zhì)一、一階自回歸過程AR(1)的性質(zhì)1一、一階自回歸過程AR(1)的性質(zhì)一階自回歸模型的形式為：或12/23/2022134第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)一、一階自回歸過程AR(1)的性質(zhì)一階自回歸模型的形式為：或1、平穩(wěn)性和可逆性a.可逆性：一個(gè)有限階的自回歸模型總是可逆的，所以，ar(1)模型總是可逆的。B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性，的根必須在單位圓外，即應(yīng)有：12/23/2022135第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)1、平穩(wěn)性和可逆性a.可逆性：B.平穩(wěn)性：12/20/2022.ar(1)過程的自相關(guān)函數(shù)12/23/2022136第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.ar(1)過程的自相關(guān)函數(shù)12/20/20225第四章12/23/2022137第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/20226第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/23/2022138第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/20227第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/23/2022139第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/20228第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)通過上述推導(dǎo)可看出，當(dāng)過程平穩(wěn)即時(shí)，AR(1)過程的自相關(guān)函數(shù)（ACF）呈指數(shù)衰減。如果，那么所有的自相關(guān)系數(shù)都為正，并逐漸衰減。如果，自相關(guān)系數(shù)的符號(hào)以負(fù)號(hào)開始，并呈正、負(fù)交替逐漸衰減。12/23/2022140第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)通過上述推導(dǎo)可看出，當(dāng)過程平穩(wěn)即例1，下面兩圖表分別是模擬生成的249個(gè)數(shù)據(jù)如下AR(1)過程趨勢圖和自相關(guān)圖12/23/2022141第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例1，下面兩圖表分別是模擬生成的249個(gè)數(shù)據(jù)12/20/20-6-4-202482848688909294969800例1，模擬生成的AR(1)過程趨勢圖12/23/2022142第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)-6-4-202482848688909294969800例例1：模擬生成的AR(1)過程自相關(guān)圖:呈指數(shù)衰減12/23/2022143第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例1：模擬生成的呈指數(shù)衰減12/20/202212第四章時(shí)例2，下面兩圖表分別是模擬生成的249個(gè)數(shù)據(jù)如下AR(1)過程趨勢圖和自相關(guān)圖12/23/2022144第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例2，下面兩圖表分別是模擬生成的249個(gè)數(shù)據(jù)12/20/20-6-4-2024682848688909294969800Y例2，模擬生成的AR(1)過程趨勢圖12/23/2022145第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)-6-4-2024682848688909294969800例2：模擬生成的AR(1)過程自相關(guān)圖::呈正負(fù)交替指數(shù)衰減12/23/2022146第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例2：模擬生成的呈正負(fù)交替12/20/202215第四章時(shí)3.AR(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）A.偏自相關(guān)函數(shù)的一般公式12/23/2022147第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)3.AR(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）A.偏自相關(guān)函數(shù)12/23/2022148第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202217第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/23/2022149第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202218第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/23/2022150第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202219第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/23/2022151第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202220第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)B.AR(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)12/23/2022152第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)B.AR(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)12/20/202221第四上述結(jié)論說明：AR(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)在滯后一階有一峰值，其符號(hào)取決于。滯后一階以后PACF截尾。12/23/2022153第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)上述結(jié)論說明：12/20/202222第四章時(shí)間序列模型的另一種思路：根據(jù)定義：偏自相關(guān)函數(shù)是指扣除Xt和Xt-k之間的隨機(jī)變量Xt-1,Xt-2,…Xt-k-1等影響之后的Xt和Xt-k之間的相關(guān)性。對(duì)于p階自回歸過程，當(dāng)s≤p時(shí)，xt與xt-s有直接的相關(guān)性；而s>p時(shí)，兩者沒有直接的相關(guān)性。因此，對(duì)于AR(p)過程，在模型的滯后階數(shù)以內(nèi)，通常有非零的偏自相關(guān)系數(shù)；但在滯后階數(shù)以外，偏自相關(guān)系數(shù)則為零。12/23/2022154第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)另一種思路：根據(jù)定義：偏自相關(guān)函數(shù)是指扣除Xt和Xt-k之間例1：模擬生成的AR(1)過程自相關(guān)圖::滯后一階以后截尾12/23/2022155第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例1：模擬生成的滯后一階12/20/202224第四章時(shí)間例2：模擬生成的AR(1)過程自相關(guān)圖::滯后一階以后截尾12/23/2022156第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例2：模擬生成的滯后一階12/20/202225第四章時(shí)間4.AR(1)過程的傳遞形式和格林函數(shù)12/23/2022157第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)4.AR(1)過程的傳遞形式和格林函數(shù)12/20/20222二、二階自回歸AR(2)過程的性質(zhì)二階自回歸模型的形式為：或12/23/2022158第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)二、二階自回歸AR(2)過程的性質(zhì)二階自回歸模型的形式為：或B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性，的根必須在單位圓外.1、平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：ar(2)模型總是可逆的。12/23/2022159第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)B.平穩(wěn)性：1、平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：12/20/2022.AR(2)過程的自相關(guān)函數(shù)12/23/2022160第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.AR(2)過程的自相關(guān)函數(shù)12/20/202229第四章12/23/2022161第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202230第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/23/2022162第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202231第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/23/2022163第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202232第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)通過上述推導(dǎo)可以如下結(jié)論，在AR(2)過程的平穩(wěn)性條件滿足時(shí)，如果特征方程的根為實(shí)根，即時(shí)，AR(2)的自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減。如果特征方程的根為復(fù)根，即時(shí)，AR(2)的自相關(guān)函數(shù)呈阻尼正弦波衰減。12/23/2022164第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)通過上述推導(dǎo)可以如下結(jié)論，12/20/202233第四章時(shí)3.AR(2)過程的偏自相關(guān)函數(shù)12/23/2022165第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)3.AR(2)過程的偏自相關(guān)函數(shù)12/20/202234第四12/23/2022166第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202235第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)另一種思路：直接根據(jù)定義12/23/2022167第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)另一種思路：直接根據(jù)定義12/20/202236第四章時(shí)間通過上述證明可以得出如下結(jié)論：12/23/2022168第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)通過上述證明可以得出如下結(jié)論：12/20/202237第四章例1，下面兩圖表分別是模擬生成的250個(gè)數(shù)據(jù)如下AR(2)過程趨勢圖和自相關(guān)圖12/23/2022169第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例1，下面兩圖表分別是模擬生成的250個(gè)數(shù)據(jù)12/20/20-4-202482848688909294969800例1.模擬生成的AR(2)過程趨勢圖12/23/2022170第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)-4-202482848688909294969800例1.例1.模擬生成的AR(2)過程自相關(guān)圖呈混合指數(shù)衰滯后二階以后截尾12/23/2022171第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例1.模擬生成的呈混合指數(shù)衰滯后二階以后截尾12/20/20例2，下面兩圖表分別是模擬生成的250個(gè)數(shù)據(jù)如下AR(2)過程趨勢圖和自相關(guān)圖12/23/2022172第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例2，下面兩圖表分別是模擬生成的250個(gè)數(shù)據(jù)12/20/20-6-4-2024682848688909294969800例2.模擬生成的AR(2)過程趨勢圖12/23/2022173第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)-6-4-2024682848688909294969800例2.模擬生成的AR(2)過程自相關(guān)圖呈混合指數(shù)衰減滯后二階以后截尾12/23/2022174第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例2.模擬生成的呈混合指數(shù)衰減滯后二階以后截尾12/20/2例3，下面兩圖表分別是模擬生成的250個(gè)數(shù)據(jù)如下AR(2)過程趨勢圖和自相關(guān)圖12/23/2022175第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例3，下面兩圖表分別是模擬生成的250個(gè)數(shù)據(jù)12/20/20-4-202482848688909294969800模擬生成的AR(2)過程趨勢圖12/23/2022176第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)-4-202482848688909294969800模擬生模擬生成的AR(2)過程自相關(guān)圖呈阻尼正弦波衰減滯后二階以后截尾12/23/2022177第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)模擬生成的呈阻尼正弦波滯后二階以后12/20/202246第4.AR(2)過程的傳遞形式和格林函數(shù)（1）傳遞形式（2）格林函數(shù)12/23/2022178第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)4.AR(2)過程的傳遞形式和格林函數(shù)（1）傳遞形式12/2三、p階自回歸過程AR(p)的性質(zhì)二階自回歸模型的形式為：或12/23/2022179第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)三、p階自回歸過程AR(p)的性質(zhì)二階自回歸模型的形式為：或B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性，的根必須在單位圓外.1、平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：ar(p)模型總是可逆的。12/23/2022180第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)B.平穩(wěn)性：1、平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：12/20/202對(duì)于高階的自回歸過程，其平穩(wěn)性條件用其模型參數(shù)表示雖比較復(fù)雜，但都有最基本的一點(diǎn)：這是自回歸過程平穩(wěn)的必要條件之一。12/23/2022181第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)對(duì)于高階的自回歸過程，其平穩(wěn)性條件這是自回歸過程平穩(wěn)的必要條2.AR(p)的自相關(guān)函數(shù)ACF12/23/2022182第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.AR(p)的自相關(guān)函數(shù)ACF12/20/202251第四12/23/2022183第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202252第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)通過上述推導(dǎo)有如下結(jié)論：對(duì)于平穩(wěn)過程，有|λi|<1，AR(p)過程的ACF是由差分方程的根確定的，呈混合指數(shù)衰減或出現(xiàn)復(fù)根時(shí)的阻尼正弦波衰減。12/23/2022184第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)通過上述推導(dǎo)有如下結(jié)論：12/20/202253第四章時(shí)間3.AR(p)過程的偏自相關(guān)函數(shù)PACF12/23/2022185第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)3.AR(p)過程的偏自相關(guān)函數(shù)PACF12/20/2022可以很容易地看出，當(dāng)k>p時(shí)，上式分母行列式最后列是同一矩陣前面各列的線性組合。于是當(dāng)k>p時(shí),有φkk=0。所以，AR(p)過程的偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)滯后p階截尾。12/23/2022186第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)可以很容易地看出，當(dāng)k>p時(shí)，上式分母行12/20/20224.AR(p)模型的傳遞形式和格林函數(shù)(1)傳遞形式(2)格林函數(shù)12/23/2022187第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)4.AR(p)模型的傳遞形式和格林函數(shù)(1)傳遞形式12/2例:考察如下AR模型的自相關(guān)和偏自相關(guān)12/23/2022188第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例:考察如下AR模型的自相關(guān)和偏自相關(guān)12/20/20225ACFPACF12/23/2022189第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)ACFPACF12/20/202258第四章時(shí)間序列模型的ACFPACF12/23/2022190第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)ACFPACF12/20/202259第四章時(shí)間序列模型的ACFPACF12/23/2022191第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)ACFPACF12/20/202260第四章時(shí)間序列模型的ACFPACF12/23/2022192第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)ACFPACF12/20/202261第四章時(shí)間序列模型的第二節(jié)移動(dòng)平均過程的性質(zhì)一、一階移動(dòng)平均過程MA(1)的性質(zhì)二、二階移動(dòng)平均過程MA(2)的性質(zhì)三、q階移動(dòng)平均過程MA(q)的性質(zhì)12/23/2022193第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)第二節(jié)移動(dòng)平均過程的性質(zhì)一、一階移動(dòng)平均過程MA(1)的性一、一階移動(dòng)平均過程MA(1)的性質(zhì)一階移動(dòng)平均模型MA(1)的形式為：其中：xt為零均值平穩(wěn)序列，εt為零均值的白噪聲。12/23/2022194第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)一、一階移動(dòng)平均過程MA(1)的性質(zhì)一階移動(dòng)平均模型MA(11.MA(1)過程的平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：AR(1)過程總是平穩(wěn)的。B.可逆性：為滿足可逆性，θ(B)=1－θ1B=0的根必須在單位圓外，即有：12/23/2022195第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)1.MA(1)過程的平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：AR(1)過程注：以后對(duì)MA(1)過程性質(zhì)的討論中，都假定可逆性條件滿足，即有：|θ1|<1。12/23/2022196第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)注：以后對(duì)MA(1)過程性質(zhì)的討論中，12/20/202262.MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)ACF12/23/2022197第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)ACF12/20/20226612/23/2022198第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202267第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/23/2022199第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202268第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)3.MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)PACF這里不加證明的給出偏自相關(guān)函數(shù)的遞推公式：12/23/2022200第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)3.MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)PACF這里不加證明的給出偏自12/23/2022201第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202270第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)由上推導(dǎo)可得出如下結(jié)論：在可逆性條件滿足情況下,MA(1)過程的PACF呈指數(shù)拖尾。如果θ1>0,那么PACF都為負(fù)，且呈指數(shù)衰減；如果θ1<0,那么PACF正負(fù)交替呈指數(shù)衰減。12/23/2022202第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)由上推導(dǎo)可得出如下結(jié)論：12/20/202271第四章時(shí)間另一種證明思路：對(duì)于移動(dòng)平均過程MA(q)，其偏自相關(guān)函數(shù)會(huì)是什么樣的呢？為了考察yt與yt-k是否直接相關(guān)，可將MA模型轉(zhuǎn)換成AR模型；事實(shí)上，只要MA(q)過程是可逆的，它就可以表示成AR(∞)。12/23/2022203第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)另一種證明思路：對(duì)于移動(dòng)平均過程MA(q)，其偏自相關(guān)函數(shù)會(huì)例1：模擬產(chǎn)生的250個(gè)數(shù)據(jù)的如下MA(1)過程的趨勢圖和自相關(guān)圖：12/23/2022204第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例1：模擬產(chǎn)生的250個(gè)數(shù)據(jù)的如下MA(1)過程12/20/12/23/2022205第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202274第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)Xt=εt－0.85εt-1

=(1－0.85B)εt其中θ1=0.85>0εt為白噪聲滯后一階截尾呈負(fù)指數(shù)衰減12/23/2022206第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)Xt=εt－0.85εt-1滯后一階截尾呈負(fù)指數(shù)衰減12/2例2：模擬產(chǎn)生的250個(gè)數(shù)據(jù)的如下MA(1)過程的趨勢圖和自相關(guān)圖：12/23/2022207第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例2：模擬產(chǎn)生的250個(gè)數(shù)據(jù)的如下MA(1)過程12/20/12/23/2022208第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202277第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)Xt=εt－(－0.85)εt-1

=(1－(－0.85)B)εt其中θ1=－0.85<0呈正負(fù)交替指數(shù)衰減滯后一階截尾12/23/2022209第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)Xt=εt－(－0.85)εt-1呈正負(fù)交替滯后一階截尾14.MA(1)過程的逆轉(zhuǎn)形式12/23/2022210第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)4.MA(1)過程的逆轉(zhuǎn)形式12/20/202279第四章二、二階移動(dòng)平均過程MA(2)的性質(zhì)二階移動(dòng)平均模型MA(2)的形式為：其中：xt為零均值平穩(wěn)序列，εt為零均值的白噪聲。12/23/2022211第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)二、二階移動(dòng)平均過程MA(2)的性質(zhì)二階移動(dòng)平均模型MA(21.MA(2)過程的平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：MA(2)過程總是平穩(wěn)的。B.可逆性：為滿足可逆性,的根必須在單位圓外。12/23/2022212第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)1.MA(2)過程的平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：MA(2)過程2.MA(2)過程的自相關(guān)函數(shù)ACF12/23/2022213第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.MA(2)過程的自相關(guān)函數(shù)ACF12/20/20228212/23/2022214第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202283第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/23/2022215第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202284第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.MA(2)過程的偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)12/23/2022216第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.MA(2)過程的偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)12/20/20對(duì)于MA(2)過程，我們有如下結(jié)論：如果其特征方程:1－θ1B－θ2B2=0的根是實(shí)數(shù)，則φkk是兩個(gè)衰減指數(shù)的和；如果其根是復(fù)數(shù)，則φkk是一衰減的正弦波。12/23/2022217第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)對(duì)于MA(2)過程，我們有如下結(jié)論：12/20/20228612/23/2022218第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202287第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)滯后二階截尾指數(shù)衰減(拖尾)12/23/2022219第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)滯后二階指數(shù)衰減12/20/202288第四章時(shí)間序列模型12/23/2022220第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)12/20/202289第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)滯后二階截尾阻尼正弦波衰減(拖尾)12/23/2022221第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)滯后二階阻尼正弦波衰減12/20/202290第四章時(shí)間序4.MA(2)過程的逆轉(zhuǎn)形式12/23/2022222第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)4.MA(2)過程的逆轉(zhuǎn)形式12/20/202291第四章三、q階移動(dòng)平均過程MA(q)性質(zhì)12/23/2022223第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)三、q階移動(dòng)平均過程MA(q)性質(zhì)12/20/202292第1.平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：有限階移動(dòng)平均過程MA(q)總是平穩(wěn)的。B.可逆性：為滿足可逆性，的根必須在單位圓外。12/23/2022224第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)1.平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：有限階移動(dòng)平均過程MA(q)總對(duì)于高階的移動(dòng)平均過程，其可逆性條件用其模型參數(shù)表示雖比較復(fù)雜，但都有最基本的一點(diǎn)：這是移動(dòng)平均過程可逆的必要條件之一。12/23/2022225第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)對(duì)于高階的移動(dòng)平均過程，其可逆性條件這是移動(dòng)平均過程可逆的必2.MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)(ACF)12/23/2022226第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)(ACF)12/20/2022因而：MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)是滯后q階截尾的。12/23/2022227第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)因而：12/20/202296第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)3.MA(q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）要用明確的公式表示出MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)是很困難的，但是從前面我們對(duì)MA(1)、MA(2)的討論中，可以看出：MA(q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)是由的根確定的，呈混合指數(shù)衰減或阻尼正弦波衰減。12/23/2022228第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)3.MA(q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）要用明確的公式表例:考察如下MA模型的相關(guān)性質(zhì)12/23/2022229第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)例:考察如下MA模型的相關(guān)性質(zhì)12/20/202298第四章MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾

12/23/2022230第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾12/20/202299第四章MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾

12/23/2022231第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾12/20/2022100第四章MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾

12/23/2022232第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾12/20/2022101第四MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾

12/23/2022233第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾12/20/2022102第四MA模型可逆性MA模型自相關(guān)系數(shù)的不唯一性例中不同的MA模型具有完全相同的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)12/23/2022234第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)MA模型可逆性MA模型自相關(guān)系數(shù)的不唯一性12/20/202可逆概念的重要性一個(gè)自相關(guān)系數(shù)列唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)可逆MA模型。

12/23/2022235第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)可逆概念的重要性12/20/2022104第四章時(shí)間序列第三節(jié)自回歸移動(dòng)平均ARMA(p,q)過程一、ARMA(1,1)的性質(zhì)二、ARMA(p,q)過程的性質(zhì)12/23/2022236第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)第三節(jié)自回歸移動(dòng)平均ARMA(p,q)過程一、ARMA(一、ARMA(1,1)的性質(zhì)12/23/2022237第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)一、ARMA(1,1)的性質(zhì)12/20/2022106第四章1.ARMA(1,1)過程的平穩(wěn)性和可逆性12/23/2022238第四章時(shí)間序列模型的性質(zhì)1.ARMA(1,1)過程的平穩(wěn)性和可逆性12/20/2022.A