殘差分析課件

1、求回歸直線方程的步驟：（3）代入公式（4）寫出直線方程為y=bx+a,即為所求的回歸直線方程。^（1）畫散點圖第1頁/共21頁1、求回歸直線方程的步驟：（3）代入公式（4）寫出直線方程為1例1從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據如表1-1所示。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重。3、從散點圖還看到，樣本點散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關系。思考產生隨機誤差項e的原因是什么？

我們可以用下面的線性回歸模型來表示：y=bx+a+e，其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機誤差。第2頁/共21頁例1從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據如表12思考產生隨機誤差項e的原因是什么？隨機誤差e的來源(可以推廣到一般）：1、其它因素的影響：影響身高y的因素不只是體重x，可能還包括遺傳基因、飲食習慣、生長環(huán)境等因素；2、用線性回歸模型近似真實模型所引起的誤差；3、身高y的觀測誤差。第3頁/共21頁思考隨機誤差e的來源(可以推廣到一般）：第3頁/共21頁35943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號

假設隨機誤差對體重沒有影響，也就是說，體重僅受身高的影響，那么散點圖中所有的點將完全落在回歸直線上。但是，在圖中，數(shù)據點并沒有完全落在回歸直線上。這些點散布在回歸直線附近，所以一定是隨機誤差把這些點從回歸直線上“推”開了。在例1中，殘差平方和約為128.361。

因此，數(shù)據點和它在回歸直線上相應位置的差異是隨機誤差的效應，稱為殘差。例如，編號為6的女大學生，計算殘差為：對每名女大學生計算這個差異，然后分別將所得的值平方后加起來，用數(shù)學符號稱為殘差平方和，表示為：類似于方差的定義第4頁/共21頁5943616454505748體重/kg1701551654表1-4列出了女大學生身高和體重的原始數(shù)據以及相應的殘差數(shù)據。

在研究兩個變量間的關系時，首先要根據散點圖來粗略判斷它們是否線性相關，是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據。殘差分析與殘差圖的定義：

然后，我們可以通過殘差來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據中是否存在可疑數(shù)據，這方面的分析工作稱為殘差分析。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382

我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)據，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。第5頁/共21頁表1-4列出了女大學生身高和體重的原始數(shù)據以及相應的殘差數(shù)據5殘差圖的制作及作用。坐標縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；若模型選擇的正確，殘差圖中的點應該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；對于遠離橫軸的點，要特別注意。身高與體重殘差圖異常點

錯誤數(shù)據模型問題

幾點說明：第一個樣本點和第6個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集過程中是否有人為的錯誤。如果數(shù)據采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據；如果數(shù)據采集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因。另外，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高。第6頁/共21頁殘差圖的制作及作用。身高與體重殘差圖異常點錯誤數(shù)據6我們可以用相關指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計算公式是R2越接近1，表示回歸的效果越好（因為R2越接近1，表示解析變量和預報變量的線性相關性越強）。

如果某組數(shù)據可能采取幾種不同回歸方程進行回歸分析，則可以通過比較R2的值來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據的模型。總的來說：相關指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標。在線性模型中，它代表自變量刻畫預報變量的能力。第7頁/共21頁我們可以用相關指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計算公式是7例關于x與y有如下數(shù)據：

有如下的兩個線性模型：（1）；（2）試比較哪一個擬合效果更好。x24568y3040605070第一個好第8頁/共21頁例關于x與y有如下數(shù)據：x24568y30406050708一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪個變量是解析變量，哪個變量是預報變量。（2）畫出確定好的解析變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（如是否存在線性關系等）。（3）由經驗確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據呈線性關系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。（5）得出結果后分析殘差圖是否有異常（個別數(shù)據對應殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據是否有誤，或模型是否合適等。第9頁/共21頁一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪9案例2

一只紅鈴蟲的產卵數(shù)y和溫度x有關?，F(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據列于表中：（1）試建立產卵數(shù)y與溫度x之間的回歸方程；并預測溫度為28oC時產卵數(shù)目。（2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產卵數(shù)的變化？溫度xoC21232527293235產卵數(shù)y/個711212466115325第10頁/共21頁案例2一只紅鈴蟲的產卵數(shù)y和溫度x有關?，F(xiàn)收集了7組觀10選變量

解：選取氣溫為解析變量x，產卵數(shù)為預報變量y。畫散點圖假設線性回歸方程為：?=bx+a選模型分析和預測當x=28時，y=19.87×28-463.73≈93估計參數(shù)由計算器得：線性回歸方程為y=19.87x-463.73

相關指數(shù)R2=r2≈0.8642=0.7464所以，一次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產卵數(shù)變化。探索新知050100150200250300350036912151821242730333639方案1當x=28時，y=19.87×28-463.73≈93線性模型第11頁/共21頁選變量解：選取氣溫為解析變量x，產卵數(shù)畫散點圖假設線11奇怪？93>66?模型不好？第12頁/共21頁奇怪？93>66?第12頁/共21頁12

y=bx2+a變換y=bt+a非線性關系線性關系方案2問題１選用y=bx2+a

，還是y=bx2+cx+a

？問題3

產卵數(shù)氣溫問題2如何求a、b

？合作探究

t=x2二次函數(shù)模型第13頁/共21頁y=bx2+a變13方案2解答平方變換：令t=x2，產卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)模型y=bx2+a就轉化為產卵數(shù)y和溫度的平方t之間線性回歸模型y=bt+a溫度21232527293235溫度的平方t44152962572984110241225產卵數(shù)y/個711212466115325作散點圖，并由計算器得：y和t之間的線性回歸方程為y=0.367t-202.54，相關指數(shù)R2=r2≈0.8962=0.802將t=x2代入線性回歸方程得：

y=0.367x2-202.54當x=28時，y=0.367×282-202.54≈85，且R2=0.802，所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了80.2%的產卵數(shù)變化。t第14頁/共21頁方案2解答平方變換：令t=x2，產卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)14問題２

變換y=bx+a非線性關系線性關系問題１如何選取指數(shù)函數(shù)的底?產卵數(shù)氣溫指數(shù)函數(shù)模型方案3合作探究對數(shù)第15頁/共21頁問題２15方案3解答溫度xoC21232527293235z=lgy0.851.041.321.381.822.062.51產卵數(shù)y/個711212466115325xz當x=28oC時，y≈44，指數(shù)回歸模型中溫度解釋了98.5%的產卵數(shù)的變化由計算器得：z關于x的線性回歸方程為z=0.118x-1.665，相關指數(shù)R2=r2≈0.99252=0.985

對數(shù)變換：在中兩邊取常用對數(shù)得令，則就轉換為z=bx+a第16頁/共21頁方案3解答溫度xoC21232527293235z=lgy016最好的模型是哪個?

產卵數(shù)氣溫產卵數(shù)氣溫線性模型二次函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型第17頁/共21頁最好的模型是哪個?產卵數(shù)氣溫產卵數(shù)氣溫線性模型二次17比一比函數(shù)模型相關指數(shù)R2線性回歸模型0.7464二次函數(shù)模型0.802指數(shù)函數(shù)模型0.985最好的模型是哪個?第18頁/共21頁比一比函數(shù)模型相關指數(shù)R2線性回歸模型0.7464二次函數(shù)模18總結

對于給定的樣本點兩個含有未知參數(shù)的模型：其中a和b都是未知參數(shù)。擬合效果比較的步驟為：（1）分別建立對應于兩個模型的回歸方程與其中和分別是參數(shù)a和b的估計值；（2）分別計算兩個回歸方程的相關指數(shù)與（3）若則的效果比較好；反之，的效果比較好。第19頁/共21頁總結對于給定的樣本點其中a和b都是未知參19作業(yè)：《導航》P63Ex1~4P66Ex1~4第20頁/共21頁作業(yè)：第20頁/共21頁20感謝您的欣賞第21頁/共21頁感謝您的欣賞第21頁/共21頁211、求回歸直線方程的步驟：（3）代入公式（4）寫出直線方程為y=bx+a,即為所求的回歸直線方程。^（1）畫散點圖第1頁/共21頁1、求回歸直線方程的步驟：（3）代入公式（4）寫出直線方程為22例1從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據如表1-1所示。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重。3、從散點圖還看到，樣本點散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關系。思考產生隨機誤差項e的原因是什么？

我們可以用下面的線性回歸模型來表示：y=bx+a+e，其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機誤差。第2頁/共21頁例1從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據如表123思考產生隨機誤差項e的原因是什么？隨機誤差e的來源(可以推廣到一般）：1、其它因素的影響：影響身高y的因素不只是體重x，可能還包括遺傳基因、飲食習慣、生長環(huán)境等因素；2、用線性回歸模型近似真實模型所引起的誤差；3、身高y的觀測誤差。第3頁/共21頁思考隨機誤差e的來源(可以推廣到一般）：第3頁/共21頁245943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號

假設隨機誤差對體重沒有影響，也就是說，體重僅受身高的影響，那么散點圖中所有的點將完全落在回歸直線上。但是，在圖中，數(shù)據點并沒有完全落在回歸直線上。這些點散布在回歸直線附近，所以一定是隨機誤差把這些點從回歸直線上“推”開了。在例1中，殘差平方和約為128.361。

因此，數(shù)據點和它在回歸直線上相應位置的差異是隨機誤差的效應，稱為殘差。例如，編號為6的女大學生，計算殘差為：對每名女大學生計算這個差異，然后分別將所得的值平方后加起來，用數(shù)學符號稱為殘差平方和，表示為：類似于方差的定義第4頁/共21頁5943616454505748體重/k1-4列出了女大學生身高和體重的原始數(shù)據以及相應的殘差數(shù)據。

在研究兩個變量間的關系時，首先要根據散點圖來粗略判斷它們是否線性相關，是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據。殘差分析與殘差圖的定義：

然后，我們可以通過殘差來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據中是否存在可疑數(shù)據，這方面的分析工作稱為殘差分析。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382

我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)據，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。第5頁/共21頁表1-4列出了女大學生身高和體重的原始數(shù)據以及相應的殘差數(shù)據26殘差圖的制作及作用。坐標縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；若模型選擇的正確，殘差圖中的點應該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；對于遠離橫軸的點，要特別注意。身高與體重殘差圖異常點

錯誤數(shù)據模型問題

幾點說明：第一個樣本點和第6個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集過程中是否有人為的錯誤。如果數(shù)據采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據；如果數(shù)據采集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因。另外，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高。第6頁/共21頁殘差圖的制作及作用。身高與體重殘差圖異常點錯誤數(shù)據27我們可以用相關指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計算公式是R2越接近1，表示回歸的效果越好（因為R2越接近1，表示解析變量和預報變量的線性相關性越強）。

如果某組數(shù)據可能采取幾種不同回歸方程進行回歸分析，則可以通過比較R2的值來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據的模型。總的來說：相關指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標。在線性模型中，它代表自變量刻畫預報變量的能力。第7頁/共21頁我們可以用相關指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計算公式是28例關于x與y有如下數(shù)據：

有如下的兩個線性模型：（1）；（2）試比較哪一個擬合效果更好。x24568y3040605070第一個好第8頁/共21頁例關于x與y有如下數(shù)據：x24568y304060507029一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪個變量是解析變量，哪個變量是預報變量。（2）畫出確定好的解析變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（如是否存在線性關系等）。（3）由經驗確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據呈線性關系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。（5）得出結果后分析殘差圖是否有異常（個別數(shù)據對應殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據是否有誤，或模型是否合適等。第9頁/共21頁一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪30案例2

一只紅鈴蟲的產卵數(shù)y和溫度x有關。現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據列于表中：（1）試建立產卵數(shù)y與溫度x之間的回歸方程；并預測溫度為28oC時產卵數(shù)目。（2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產卵數(shù)的變化？溫度xoC21232527293235產卵數(shù)y/個711212466115325第10頁/共21頁案例2一只紅鈴蟲的產卵數(shù)y和溫度x有關。現(xiàn)收集了7組觀31選變量

解：選取氣溫為解析變量x，產卵數(shù)為預報變量y。畫散點圖假設線性回歸方程為：?=bx+a選模型分析和預測當x=28時，y=19.87×28-463.73≈93估計參數(shù)由計算器得：線性回歸方程為y=19.87x-463.73

相關指數(shù)R2=r2≈0.8642=0.7464所以，一次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產卵數(shù)變化。探索新知050100150200250300350036912151821242730333639方案1當x=28時，y=19.87×28-463.73≈93線性模型第11頁/共21頁選變量解：選取氣溫為解析變量x，產卵數(shù)畫散點圖假設線32奇怪？93>66?模型不好？第12頁/共21頁奇怪？93>66?第12頁/共21頁33

y=bx2+a變換y=bt+a非線性關系線性關系方案2問題１選用y=bx2+a

，還是y=bx2+cx+a

？問題3

產卵數(shù)氣溫問題2如何求a、b

？合作探究

t=x2二次函數(shù)模型第13頁/共21頁y=bx2+a變34方案2解答平方變換：令t=x2，產卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)模型y=bx2+a就轉化為產卵數(shù)y和溫度的平方t之間線性回歸模型y=bt+a溫度21232527293235溫度的平方t44152962572984110241225產卵數(shù)y/個711212466115325作散點圖，并由計算器得：y和t之間的線性回歸方程為y=0.367t-202.54，相關指數(shù)R2=r2≈0.8962=0.802將t=x2代入線性回歸方程得：

y=0.367x2-202.54當x=28時，y=0.367×282-202.54≈85，且R2=0.802，所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了80.2%的產卵數(shù)變化。t第14頁/共21頁方案2解答平方變換：令t=x2，產卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)35問題２

變換y=bx+a非線性關系線性關系問題１如何選取指數(shù)函數(shù)的底?產卵數(shù)氣溫指數(shù)函數(shù)模型方案3合作探究對數(shù)第15頁/共21頁