第7章軸向拉伸和壓縮7拉伸和壓縮課件-

第7章軸向拉伸和壓縮7.1拉伸和壓縮7.2拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力7.3軸力圖7.4軸向拉伸與壓縮時(shí)的應(yīng)力7.5拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力7.6軸向拉伸（壓縮）時(shí)的彈性變形、變形能7.7材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能7.8材料壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)7.9拉伸（壓縮）桿件的強(qiáng)度計(jì)算

7.10應(yīng)力集中7.11拉壓超靜定問題第7章軸向拉伸和壓縮7.1拉伸和壓縮7.1拉伸和壓縮軸向拉伸，對(duì)應(yīng)的外力稱為拉力。軸向壓縮，對(duì)應(yīng)的外力稱為壓力。1拉伸和壓縮軸向拉伸，對(duì)應(yīng)的外力稱為拉力。軸向壓縮，對(duì)應(yīng)2拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力以圖示為例，用截面法確定桿件橫截面mm上的內(nèi)力。用假想平面將桿件沿橫截面mm截開根據(jù)平衡，如圖

mmN{mmN}PP桿件左右兩段在橫截面mm上相互作用的內(nèi)力，是一個(gè)分布力系。2拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力以圖示為例，用截面法確

N}mmPmmP{N設(shè)其合力為有平衡條件，可得

(2-1)N與軸線重合，稱為軸力。 一般規(guī)定：拉伸時(shí)的軸力為正，壓縮時(shí)的軸力為負(fù)。N}mmPmmP{N設(shè)其合力為 一般規(guī)定：拉3軸力圖X坐標(biāo)——表示桿件橫截面的位置，平行于桿軸。N坐標(biāo)——表示軸力的大小，垂直于桿軸。NPx按選定的比例繪出表示軸力與截面位置關(guān)系的圖線——稱為軸力圖3軸力圖X坐標(biāo)——表示桿件橫截面的位置，平行于桿軸。軸力圖的意義：①反映出軸力與截面位置的變化關(guān)系，較直觀；②反映出最大軸力的數(shù)值及其所在面的位置，即危險(xiǎn)截面位置，為強(qiáng)度計(jì)算提供依據(jù)。軸力圖的意義：①反映出軸力與截面位置的變化關(guān)系，較直觀；軸力的正號(hào)使微元區(qū)段有伸長(zhǎng)趨勢(shì)的軸力正。軸力的負(fù)號(hào)軸力的正號(hào)使微元區(qū)段有伸長(zhǎng)趨勢(shì)的軸力正。軸力的負(fù)號(hào)例：桿件受力如圖（a）所示，試?yán)L制軸力圖。(b)解：（1）計(jì)算各段桿的軸力AB段：軸力假設(shè)為拉力，用表示

得

(負(fù)號(hào)說明為壓力)(a)P2PBCDABNPA例：桿件受力如圖（a）所示，試?yán)L制軸力圖。(b)解：（1）計(jì)同理：求得BC、CD、段的軸力分別為：PP2PABCDPPABPP2PABC(a)(d)(c)BCNCDN同理：求得BC、CD、段的軸力分別為：PP2PABCDPPA

（2）軸力圖如圖（e）所示。NxP(e)2P在軸力圖中，突變值=集中載荷PP2PABCD（2）軸力圖如圖（e）所示。NxP(e)2P在軸力圖中

例2-1等截面直桿受力如圖a所示，P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，試?yán)L制該桿的軸力圖。3P1P2PABCD(a)1m2m1.5m3PR1P2PABCDIIIIIIIIIIII(b)解

（1）求支座反力設(shè)支反力為R如b圖根據(jù)整個(gè)桿的平衡條件求得例2-1等截面直桿受力如圖a所示，3P1P2PAB

例2-1等截面直桿受力如圖a所示，P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，試?yán)L制該桿的軸力圖。AIIR1N(c)（2）計(jì)算各段桿的軸力AB段：用假想平面在AB段內(nèi)將桿截開，取左段為研究對(duì)象（圖c），截面上的軸力假設(shè)為拉力，用N1表示。由平衡條件IIIIIIIIII3P1P2P例2-1等截面直桿受力如圖a所示，AIIR1N(c

例2-1等截面直桿受力如圖a所示，P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，試?yán)L制該桿的軸力圖。AII(c)IIIIIIIIII3P1P2P同理求得:BC段（圖d）、CD段（圖e）的軸力：1PABIIIIR2NN3P3IIIIII(e)(d)例2-1等截面直桿受力如圖a所示，AII(c)II（3）繪制軸力圖軸力圖如圖f所示。從軸力圖可見，AB段內(nèi)的軸力值最大，Nmax=N1=120kN。軸力是內(nèi)力，它與外力有關(guān)，但又不同于外力。3P1P2PABCD(a)N/kNx(f)6090（3）繪制軸力圖軸力是內(nèi)力，它與外力有關(guān)，但又不同于外力。34軸向拉伸與壓縮時(shí)的應(yīng)力一.正應(yīng)力公式：

僅由上述靜力關(guān)系式還不能確定σ和N之間的具體關(guān)系。4軸向拉伸與壓縮時(shí)的應(yīng)力僅由上述靜力關(guān)系式還不能確定下面從研究桿件的變形入手來尋求σ的變化規(guī)律。如左圖：變形后可觀察到如下現(xiàn)象：變形前變形后（1）桿件被拉長(zhǎng)。但各橫向線仍保持為直線，任意兩相鄰橫向線相對(duì)地沿軸線平行移動(dòng)了一段距離；（2）變形后，橫線仍垂直于軸線。變形前變形后（1）桿件被拉長(zhǎng)。但各橫向線仍保持為直線，任意兩扭轉(zhuǎn)彎曲由以上的觀察可得，桿件變形的平截面假設(shè)拉壓

桿件的橫截面在拉壓、扭轉(zhuǎn)或彎曲變形過程中始終保持是平面，并始終保持與軸線垂直。扭轉(zhuǎn)彎曲由以上的觀察可得，桿件變形的平截面假設(shè)拉壓桿根據(jù)平面假設(shè)和材料均勻、連續(xù)的性質(zhì)，可知：橫截面各點(diǎn)處的分布內(nèi)力集度（即正應(yīng)力σ）均相等，于是有因此拉（壓）桿橫截面上的正應(yīng)力為σ的符號(hào)規(guī)定與N相同，拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。根據(jù)平面假設(shè)和材料均勻、連續(xù)的性質(zhì)，可知：σ的符號(hào)上述正應(yīng)力公式的推導(dǎo)過程用到了變形幾何，物理和靜力平衡三方面的規(guī)律。材料力學(xué)的分析方法力學(xué)分析力學(xué)分析物理分析力學(xué)分析物理分析幾何分析三類分析的綜合力學(xué)分析物理分析幾何分析力學(xué)分析物理分析幾何分析力學(xué)分析物理分析幾何分析物理分析幾何分析力學(xué)分析幾何分析力學(xué)分析物理分析上述正應(yīng)力公式的推導(dǎo)過程用到了變形幾何，物理和靜力平衡三方面1.

力學(xué)分析研究構(gòu)件中的各個(gè)力學(xué)要素（包括外力和內(nèi)力；包括力和力偶矩）之間的關(guān)系。2.物理分析研究材料的力學(xué)性能，研究構(gòu)件的力學(xué)要素（有時(shí)還包括熱學(xué)要素）與幾何要素之間的關(guān)系。荷載與變形量之間的關(guān)系溫度變化與應(yīng)力、變形量之間的關(guān)系構(gòu)件內(nèi)部應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系1.力學(xué)分析研究構(gòu)件中的各個(gè)力學(xué)要素（包括外力和3.幾何分析研究構(gòu)件和結(jié)構(gòu)中各幾何要素之間的關(guān)系。構(gòu)件中應(yīng)變和變形量之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)中各構(gòu)件變形量之間的關(guān)系3.幾何分析研究構(gòu)件和結(jié)構(gòu)中各幾何要素之間的關(guān)系。構(gòu)件中應(yīng)變二.正應(yīng)力公式的使用條件1.外力合力作用線必須與桿軸線重合。2.桿件必須是等直桿。若橫截面尺寸沿軸線變化，對(duì)于變化緩慢的桿：（2-4）3.公式只在距外力作用點(diǎn)一定距離外才是正確的。二.正應(yīng)力公式的使用條件（2-4）3.公式只在距外力作PP/2P/2P/AP圣維南原理——雖然力作用于桿端的方式不同，只要它們是靜力等效的，則桿件中應(yīng)力分布僅在作用點(diǎn)附近不大的范圍內(nèi)(不大于桿的橫向尺寸)有明顯影響。

應(yīng)力等效PP/2P/2P/APPP/2P/2P/AP圣維南原理——雖然力作用例2-2圖所示鉸接支架，AB為圓截面桿，直徑為d=16mm，BC為正方形截面桿，邊長(zhǎng)為a=14mm。若載荷P=15kN，試計(jì)算各桿橫截面上的應(yīng)力。ACBP解（1）計(jì)算各桿軸力用截面法，截取結(jié)點(diǎn)B為研究對(duì)象，各桿軸力假定為拉力。由平衡方程得BPABNBCN例2-2圖所示鉸接支架，AB為圓截面桿，直徑為d=16m例2-2圖所示鉸接支架，AB為圓截面桿，直徑為d=16mm，BC為正方形截面桿，邊長(zhǎng)為a=14mm。若載荷P=15kN，試計(jì)算各桿橫截面上的應(yīng)力。ACBP（2）計(jì)算各桿應(yīng)力，得BPABNBCN例2-2圖所示鉸接支架，AB為圓截面桿，直徑為d=16m5拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力沿斜截面kk（如圖），將桿截分為二。研究左段桿的平衡，得到斜截面kk上內(nèi)力

pp(a)(b)kkppkk（a）5拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力pp(a)(b)kkppkk（a斜截面kk的面積為，橫截面積為A，于是有

pp(a)(b)kkppkk式中為橫截面（）上的正應(yīng)力。（b）A斜截面kk的面積為，橫截面積為A，pp斜截面全應(yīng)力的分解：垂直于斜截面的正應(yīng)力：（2-5）相切于斜截面的剪應(yīng)力：

可見，斜截面上不僅存在正應(yīng)力，而且還存在剪應(yīng)力，其大小隨截面的方位而變化。Patasaa（2-6）斜截面全應(yīng)力的分解：可見，斜截面上不x、、的符號(hào)規(guī)定如下xx、、的符號(hào)規(guī)定如下x1.當(dāng)時(shí)（橫截面）

即橫截面上的正應(yīng)力是所有各截面上正應(yīng)力的最大值。（2-5）（2-6）即橫截面上的正應(yīng)力是所有各截面上正應(yīng)力的最大值。（2-5）（

3.當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)即在斜截面上，剪應(yīng)力有最大、最小值，且其數(shù)值為最大正應(yīng)力的一半。（2-5）（2-6）（2-5）（2-6）一、縱向變形虎克定律一等直桿如圖所示，設(shè)桿的原長(zhǎng)為，橫截面面積為A。在軸向拉力P作用下，桿的長(zhǎng)度由變?yōu)椤?軸向拉伸（壓縮）時(shí)的彈性變形、變形能pp軸線方向總伸長(zhǎng)為(a)一、縱向變形虎克定律6軸向拉伸（壓縮）時(shí)的彈性變形、變形能ppp試驗(yàn)表明：引入比例系數(shù)E，則有（b）對(duì)于僅在兩端受軸向外力作用的等直桿，由于N=P，故式（b）可改寫為桿件拉伸時(shí)，為正；桿件壓縮時(shí)，為負(fù)。（2-7）pp試驗(yàn)表明：桿件拉伸時(shí)，為正；桿件壓縮時(shí)，為負(fù)。式（2-7）就是軸向拉伸與壓縮時(shí)等直桿軸向變形的計(jì)算公式，通常稱為虎克定律。E——與材料的性質(zhì)有關(guān)，稱為材料的拉壓彈性模量，其值可由實(shí)驗(yàn)確定。EA——反映了桿件抵抗拉伸（壓縮）變形的能力，稱為桿件的抗拉（壓）剛度。（2-7）pp式（2-7）就是軸向拉伸與壓縮時(shí)等直桿軸向變形的計(jì)算公式，通若將和代入公式（2-7）可得或（2-8）這是虎克定律的另一種表示形式。虎克定律又可表述為：當(dāng)應(yīng)力不超過某一極限值時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。因?yàn)閼?yīng)變?chǔ)艣]有量綱，彈性模量E有與應(yīng)力相同的量綱。最后指出，公式（2-7）只有當(dāng)軸力N、橫截面面積A、材料的彈性模量E在桿長(zhǎng)l內(nèi)為常量時(shí)才能應(yīng)用。（2-7）若將和代入公式（2-7）（2-7）對(duì)于階梯桿或軸力分段變化的桿件：

當(dāng)軸力和橫截面積沿桿軸線x方向連續(xù)變化時(shí)，有 二、橫向變形泊松比

設(shè)桿件變形前的橫向尺寸為b，變形后為b1，則桿的橫向線應(yīng)變?yōu)?/p>

（2-9）（2-10）對(duì)于階梯桿或軸力分段變化的桿件：（2-9）（2-10）

試驗(yàn)表明：橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變?chǔ)胖g滿足如下關(guān)系

因ε’與ε的符號(hào)相反，故有μ——稱為泊松比或橫向變形系數(shù)，是一個(gè)無量綱的量，其值隨材料的不同而不同。E、μ都是材料本身所固有的彈性常數(shù)，是反映材料彈性變形能力的參數(shù)。（2-11）（2-12）

例1階梯鋼桿如圖所示。已知AC段的截面面積為A1=500mm2，CD段的截面面積為A2=200mm2，鋼桿的彈性模量E=200GPa。試求：（1）各段桿橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力；（2）桿的總伸長(zhǎng)。BACD1P=30KN2P=10KN100100100例1階梯鋼桿如圖所示。已知AC段的截面面積為A1=502P1P1122R解（1）內(nèi)力計(jì)算2P1P1N2P2N用截面法沿11、22面截開，計(jì)算軸力,得：2P1P1122R解（1）內(nèi)力計(jì)算2P1P1N2P2N繪出軸力圖。20+10_xN(KN)BACD繪出軸力圖。20+10_xN(KN)BACD（2）應(yīng)力計(jì)算（3）桿的總伸長(zhǎng)計(jì)算結(jié)果為負(fù)，說明整個(gè)桿是縮短的。（2）應(yīng)力計(jì)算例2尺寸為=的鋼板如圖所示，其材料的彈性模量E=200GPa，泊松比。求鋼板在兩端受到合力為140kN的均布載荷作用時(shí)厚度的變化。2501050140KN{140KN}例2尺寸為=的鋼板如圖所示，其材料的彈性模量E=200G2501050140KN{140KN}解在兩端的均布載荷作用下，鋼板發(fā)生軸向拉伸變形。其橫截面上正應(yīng)力可按公式（2-1）計(jì)算，即（a）由虎克定律（b）

2501050140KN{140KN}解在兩端的均布載荷2501050140KN{140KN}橫向線應(yīng)變?yōu)橛谑牵╟）2501050140KN{140KN}橫向線應(yīng)變?yōu)?501050140KN{140KN}將式（b）代入式（c），并考慮式（a），得

即鋼板的厚度減小了0.0035mm。2501050140KN{140KN}將式（b）代入式（c）三、軸向拉壓時(shí)的變形能

在外力作用下，彈性體因變形而儲(chǔ)存的能量，成為變形能或應(yīng)變能。彈性體變形儲(chǔ)存能量外力做功外力減小變形減小釋放能量三、軸向拉壓時(shí)的變形能

在外力作用下，彈性體因變形而儲(chǔ)存的能如圖，受軸向拉伸的直桿，下端受從零開始逐漸增加的拉力作用，直至最終數(shù)值P。作用點(diǎn)的位移也逐漸增大至,在應(yīng)力小于比例極限的范圍內(nèi)，拉力P與成正比。pp(a)(b)如圖，受軸向拉伸的直桿，下端受從零開始逐漸增加的拉力作用，直

顯然dW等于圖中畫陰影線部分的微分面積。W等于圖中三角形的面積:若不計(jì)任何能量損耗，根據(jù)功能原理，彈性體內(nèi)儲(chǔ)存的變形能U應(yīng)等于拉力P所做的功W。即

考慮軸力，并引出虎克定律，得

（2-13）（2-14）若不計(jì)任何能量損耗，根據(jù)功能變形能的單位為焦（J）引入單位體積內(nèi)的變形能的概念，我們稱為變形比能（簡(jiǎn)稱比能），記作u。

由虎克定律，上式又可寫成

比能的單位是（2-15）（2-16）變形能的單位為焦（J）（2-15）（2-16）7材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能

材料的力學(xué)性能——材料在受力變形過程中所表現(xiàn)出來的變形、破壞等方面的特性。1.實(shí)驗(yàn)條件：材料在室溫下，以緩慢平穩(wěn)加載方式進(jìn)行的拉伸試驗(yàn)和壓縮試驗(yàn)2.實(shí)驗(yàn)對(duì)象：圓截面的拉伸標(biāo)準(zhǔn)試件如圖所示：ppl7材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能

材料的力學(xué)性能——材料在受力lpp——標(biāo)矩?！獔A試件的直徑在國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)中標(biāo)矩，與直徑d有兩種比例：即和lpp——標(biāo)矩。一、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)

低碳鋼是指含碳量在0.25%以下的各種碳素鋼。用它來闡明塑性材料的一些特性。下圖是低碳鋼拉伸時(shí)繪制的曲線，這個(gè)曲線也稱為拉伸圖。efgpl0abcdh一、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)

低碳鋼是指含碳量在0.25%以下1.在低碳鋼的整個(gè)拉伸試驗(yàn)過程中，其曲線可以分為如下四個(gè)階段：

hgbd0aec一、彈性階段二、屈服階段三、強(qiáng)化階段四、局部變形階段f1.在低碳鋼的整個(gè)拉伸試驗(yàn)過程中，其曲線可以分為如下四個(gè)2.延伸率和截面收縮率延伸率是衡量材料塑性的主要指標(biāo)。（1）延伸率：（2-17）（2）截面收縮率

A1

——試件斷裂后斷口處最小橫截面面積，A0——試件原來的橫截面面積截面收縮率ψ也是衡量材料塑性的指標(biāo)。（2-18）2.延伸率和截面收縮率延伸率是衡量材料塑性的主要指標(biāo)。（1）3.卸載定律和冷作硬化

（1）卸載定律

超過彈性范圍后的任一點(diǎn)d所對(duì)應(yīng)的總應(yīng)變包含彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變兩部分。hgef0abcd3.卸載定律和冷作硬化

（1）卸載定律超過彈性范

（2）冷作硬化

efhg0abcd在常溫下，把材料拉到塑性變形，然后卸載，當(dāng)再次加載時(shí)，比例極限提高而塑性降低（2）冷作硬化efhg0abcd在常溫下，把材料拉工程上某些塑性材料沒有明顯的屈服階段，通常規(guī)定塑性應(yīng)變時(shí)的應(yīng)力為名義屈服極限，用表示。se0.2%二、其他塑性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能工程上某些塑性材料沒有明顯的屈服階段，通常規(guī)定塑性應(yīng)變灰口鑄鐵是典型的脆性材料斷裂時(shí)的應(yīng)力就是強(qiáng)度極限它是唯一的強(qiáng)度指標(biāo)。有時(shí)選一條割線來確定E值，并認(rèn)為材料服從虎克定律。三、鑄鐵拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)12510075502500.150.300.452(MN/m)s(%)e灰口鑄鐵是典型的脆性材料三、鑄鐵拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)1251008材料壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)

（一）塑性材料黃色線—低碳鋼壓縮時(shí)的曲線綠色線—低碳鋼拉伸時(shí)的曲線Pesss8材料壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)

（一）塑性材料Pesss（二）脆性材料如圖：鑄鐵壓縮時(shí)的曲線。實(shí)驗(yàn)表明：曲線沒有“屈服點(diǎn)”，試件在較小變形下突然破壞，破壞面與軸線大致成45度的傾角。pp600500(%)e2MN/m

s1100200300400423506pp600500(%)e2MN/ms11002003004（三）幾種常用材料的主要力學(xué)性能

比例極限彈性極限屈服極限（）強(qiáng)度極限彈性模量E延伸率截面收縮率衡量材料力學(xué)性能的主要指標(biāo)有：（三）幾種常用材料的主要力學(xué)性能

衡量材料力學(xué)性能的主要指標(biāo)——材料允許承受的最大應(yīng)力。——破壞應(yīng)力材料破壞時(shí)的應(yīng)力值， 或稱極限應(yīng)力n——為大于1的數(shù)，稱為安全系數(shù)。(2-19)塑性材料脆性材料9拉伸（壓縮）桿件的強(qiáng)度計(jì)算一、許用應(yīng)力與安全系數(shù)n——為大于1的數(shù)，稱為安全系數(shù)。(2-19)塑性材料脆二、強(qiáng)度條件

對(duì)等截面桿

式（2-20a，b）即是軸向拉（壓）桿件的強(qiáng)度條件。產(chǎn)生最大工作應(yīng)力的截面稱為危險(xiǎn)截面。(2-20a)（2-20b）(2-20a)（2-20b）利用強(qiáng)度條件，可以解決工程中下列三個(gè)方面的強(qiáng)度計(jì)算問題：1.強(qiáng)度校核2.設(shè)計(jì)截面由上式算出需要的橫截面面積，然后確定截面尺寸。3.確定許用載荷利用強(qiáng)度條件，可以解決工程中下列三個(gè)方面的強(qiáng)度計(jì)算問題：3.例２－８簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)受力如圖，q是均布在水平長(zhǎng)度上的載荷集度，設(shè)AC為剛性桿，BD桿為圓截面，，。計(jì)算BD桿的直徑以及C點(diǎn)的鉛垂位移。q=17.3kN/m1m1m1mABDC30P=20kN例２－８簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)受力如圖，q是均布在水平長(zhǎng)度上的載荷集度，解（１）設(shè)BD桿的拉力為N，由平衡條件得再由強(qiáng)度條件得q=17.3kN/m1m1m1mABDC30可取d=26mm解（１）設(shè)BD桿的拉力為N，由平衡條件得q=17.(2)計(jì)算C點(diǎn)的鉛垂位移。剛性桿AC轉(zhuǎn)到新位置AC1，D點(diǎn)移到D1。在小變形時(shí)，用作垂線代替作弧，可知CC３就是C的鉛垂位移，可得BD桿的伸長(zhǎng)再由幾何關(guān)系A(chǔ)BDCD2D1C1C2C330(2)計(jì)算C點(diǎn)的鉛垂位移。ABDCD2D1C1C2C330于是討論：對(duì)于本題，如規(guī)定C點(diǎn)的鉛垂位移不超過，即要求整個(gè)結(jié)構(gòu)具有一定的剛度。這時(shí)，可先算出C點(diǎn)的鉛垂位移，再和容許位移進(jìn)行比較，如能滿足，剛度是足夠的，我們稱此條件為剛度條件。對(duì)于某些結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)，如桁架，汽閥機(jī)械等要考慮剛度條件，即要求某些點(diǎn)的位移不能過大。對(duì)于大多數(shù)承受拉壓的工程構(gòu)件，往往只要求強(qiáng)度足夠，而不用討論它的剛度于是例3等圓截面直桿受力如圖所示，材料為鑄鐵，其拉伸許用應(yīng)力，壓縮許用應(yīng)力，彈性模量。求：（1）畫出軸力圖；（2）設(shè)計(jì)橫截面直徑；（3）計(jì)算桿的總伸長(zhǎng)。2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII例3等圓截面直桿受力如圖所示，材料為鑄鐵，其拉伸許用應(yīng)力解（1）畫軸力圖。由截面法求得N1=20kN、N2=0、N3=-30kN,由此可畫出軸力圖如圖所示。20KNN(b)2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII30KN解（1）畫軸力圖。20KNN(b)2m2m2m20KN20（2）設(shè)計(jì)橫截面直徑。I、III兩段中的截面都是危險(xiǎn)截面。按拉伸強(qiáng)度設(shè)計(jì)2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII（2）設(shè)計(jì)橫截面直徑。2m2m2m20KN20KN30KN32m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII按壓縮強(qiáng)度設(shè)計(jì)故該桿直徑應(yīng)取20.6。結(jié)果表明，盡管該桿的軸向拉力比軸向壓力小，但是桿件的橫截面尺寸還是由拉力決定，這是因?yàn)殍T鐵的抗拉能力比抗壓能力低。2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIII2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII（3）計(jì)算桿的總伸長(zhǎng)。根據(jù)公式（2-6），該桿的總伸長(zhǎng)為“-”表示桿件實(shí)際上是縮短了。2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIII例4鉚釘連接結(jié)構(gòu)如圖a所示，已知主板受到的軸向拉力P=110kN，其材料許用應(yīng)力，板寬b=80mm，板厚t=12mm。若各鉚釘?shù)牟牧虾椭睆骄嗤毅T釘孔直徑d=16mm。試校核板的強(qiáng)度。PP(a)dP(b)P例4鉚釘連接結(jié)構(gòu)如圖a所示，已知主板受到的軸向拉力P=11解（1）分析內(nèi)力，做出上主板的軸力圖。（2）確定危險(xiǎn)截面。得出2-3段和1-2段都是危險(xiǎn)截面。1-2段2-3段因?yàn)榘宓母鞫味紳M足強(qiáng)度要求，故此主板安全。2345P321(c)45123PSx(d)1解（1）分析內(nèi)力，做出上主板的軸力圖。2-3段234例5薄壁圓筒容器承受內(nèi)壓p作用，如圖a所示。若已知圓筒直徑為D，壁厚為t，試求其橫截面上的應(yīng)力及縱截面上的應(yīng)力。mnABCDs￠s￠s￠￠s￠￠mnl(a)s￠nn(b)s￠￠s￠￠lmnnmp(c)

pyttDNNj(d)例5薄壁圓筒容器承受內(nèi)壓p作用，如圖a所示。若已知圓筒直解因?yàn)閳A筒承受內(nèi)壓，故其橫截面和縱截面上的應(yīng)力都是拉應(yīng)力。求：橫截面上的應(yīng)力。平衡方程：得P是沿圓筒軸線作用于筒低的總壓力，其值為

s￠nn(a)(b)解因?yàn)閳A筒承受內(nèi)壓，故其橫截面和縱截面上的應(yīng)力都是拉應(yīng)力N是圓筒橫截面上的軸力，由于薄壁圓筒橫截面面積為，故軸力為而(a)、(b)式為(a)(b)將式（b）、(c)代入式（a），得(c)s￠nnN是圓筒橫截面上的軸力，由于薄壁圓筒橫截面面積為（2）求縱截面上的應(yīng)力取上半圓環(huán)為研究對(duì)象，其受力圖如圖c、d所示。由平衡方程得由此求得即薄壁圓筒受內(nèi)壓作用時(shí)，周向應(yīng)力為軸向應(yīng)力的兩倍。s￠￠s￠￠lmnnmp(c)

pyttDNNj(d)（2）求縱截面上的應(yīng)力s￠￠s￠￠lmnnmp(c)p10應(yīng)力集中

應(yīng)力集中——在構(gòu)件截面突然改變的局部區(qū)域內(nèi)，應(yīng)力急劇增加，而離開這個(gè)區(qū)域稍遠(yuǎn)處，應(yīng)力又趨于緩和。PPP(a)PPP(b)10應(yīng)力集中

應(yīng)力集中——在構(gòu)件截面突然改變的局部區(qū)域應(yīng)力集中系數(shù):——發(fā)生應(yīng)力集中的截面上的最大應(yīng)力——截面上的平均應(yīng)力AApp(a)p(b)Amaxsmaxs應(yīng)力集中系數(shù):——發(fā)生應(yīng)力集中的截面上的最大應(yīng)力—比較均質(zhì)的脆性材料灰口鑄鐵這類非均質(zhì)的脆性材料在靜載下，不同材料對(duì)應(yīng)力集中的敏感程度是不同的(d)SsSsAAp(c)SsSsAp比較均質(zhì)的脆性材料在靜載下，不同材料對(duì)應(yīng)力集中的敏感程度是11拉壓超靜定問題

一、超靜定的概念作用于研究對(duì)象上的未知力數(shù)多于靜力平衡方程的數(shù)目，就不能單憑靜力平衡方程求出未知力，這種問題稱為超靜定問題（或靜不定問題）。未知力多于靜力平衡方程的數(shù)目稱為超靜定次數(shù)。ABCDQQ1N2N3NB12311拉壓超靜定問題

一、超靜定的概念A(yù)BCDQQ1N2N3二、超靜定問題的解法

以圖為例，說明超靜定問題的解法。兩端固定的桿，在C、D兩截面有一對(duì)力P作用，桿橫截面積為A，彈性模量為E，現(xiàn)計(jì)算桿內(nèi)最大應(yīng)力。（1）平衡方程：

——A、B兩端的約束反力ARBRPPACBDlll(a)PP(b)(a)二、超靜定問題的解法

以圖為例，說明超靜定問題的解法。ARBACBDlllPPPPARBR(a)(b)兩端固定的桿，在C、D兩截面有一對(duì)力P作用，桿橫截面積為A，彈性模量為E，現(xiàn)計(jì)算桿內(nèi)最大應(yīng)力。（2）變形協(xié)調(diào)方程：（3）通過物理關(guān)系將變形用未知力表示(b)ACBDlllPPPPARBR(a)(b)兩端固定的桿，在CACBDlllPPPPARBR(a)(b)兩端固定的桿，在C、D兩截面有一對(duì)力P作用，桿橫截面積為A，彈性模量為E，現(xiàn)計(jì)算桿內(nèi)最大應(yīng)力。帶入(b)式得：(b)ACBDlllPPPPARBR(a)(b)兩端固定的桿，在CACBDlllPPPPARBR(a)(b)兩端固定的桿，在C、D兩截面有一對(duì)力P作用，桿橫截面積為A，彈性模量為E，現(xiàn)計(jì)算桿內(nèi)最大應(yīng)力。整理后得：(c)（c）式稱為補(bǔ)充方程(b)(a)聯(lián)立（a）、（c）求解得ACBDlllPPPPARBR(a)(b)兩端固定的桿，在CACBDlllPPPPARBR(a)(b)各段內(nèi)力：可見CD段內(nèi)力最大，故ACBDlllPPPPARBR(a)(b)各段內(nèi)力：求解超靜定問題的一般步驟歸納為：

平衡方程；

幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程；物理方程——胡克定律；補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得；解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組。求解超靜定問題的一般步驟歸納為：

平衡方程；例2-3由三根桿組成的結(jié)構(gòu)，如下圖所示。若1、2桿的抗拉剛度同為，3桿的抗拉剛度為，在P力作用下，試求三桿的內(nèi)力。aaABCD123EP例2-3由三根桿組成的結(jié)構(gòu)，如下圖所示。若1、2桿的抗拉解：（1）靜力平衡關(guān)系設(shè)三桿軸力皆為拉力，有節(jié)點(diǎn)A的平衡條件

（2）變形幾何關(guān)系在中有以下變形諧調(diào)條件

aaABCD123E1AP3lDl1D(a)A2N1N3NP(b)（b）（a）解：（1）靜力平衡關(guān)系aaABCD123E1AP3lDaaABCD123E1AP3lDl1D(a)A2N1N3NP(b)（3）物理關(guān)系根據(jù)虎克定律代入（b）式得補(bǔ)充方程

（4）聯(lián)立求解式（a）、（c）得

（a）（c）（d）aaABCD123E1AP3lDl1D(a)A2N1N3NP例２.4支架中三根桿件的材料相同，橫截面面積分別為，試求各桿內(nèi)的應(yīng)力。P123A30°30(a)例２.4支架中三根桿件的材料相同，橫截面面積分別為N1N2N3PA解：（1）平衡條件設(shè)三桿皆為拉桿，由（b）圖可知，(b)（a）（b）N1N2N3PA解：(b)（a）（b）(c)（2）變形條件設(shè)是變形后A點(diǎn)的位置，由分別向1、2、3桿軸線做垂線，設(shè)，則有o123AA’aBh(c)（2）變形條件o123AA’aBh消去參數(shù)后有這就是變形協(xié)調(diào)條件，將物理關(guān)系代入后就得到補(bǔ)充方程。以下請(qǐng)同學(xué)們自行完成。消去參數(shù)后有裝配應(yīng)力例2-5吊橋吊索的一節(jié)有三根長(zhǎng)為l的鋼桿組成。若三桿的橫截面積相等，材料相同，中間鋼桿的加工誤差為，這里負(fù)號(hào)表示短于名義長(zhǎng)度。設(shè)，試求各桿的裝配應(yīng)力。l(a)裝配應(yīng)力l(a)解：吊索的一節(jié)簡(jiǎn)化成圖b所示的超靜定結(jié)構(gòu)。(1)平衡條件為(2)變形諧調(diào)條件為

（a）（b）D·1N1N2N1lD2lD(b)解：吊索的一節(jié)簡(jiǎn)化成圖b所示的超靜定結(jié)構(gòu)。（a）（b）D·1則有物理關(guān)系代入式（b）得補(bǔ)充方程，（c）聯(lián)立求解（a）、（c）得（a）（b）D·1N1N2N1lD2lD(b)則有物理關(guān)系（a）（b）D·1N1N2N1lD2lD(b)兩側(cè)桿和中間桿的裝配應(yīng)力分別是

D·1N1N2N1lD2lD(b)兩側(cè)桿和中間桿的裝配應(yīng)力分別是D·1N1N2N1lD2溫度應(yīng)力例2-6蒸汽鍋爐與原動(dòng)機(jī)見的管道連接的示意圖，通過高溫蒸汽后，管道溫度增加，設(shè)管道材料的線膨脹系數(shù)為，彈性模量為，試求溫度應(yīng)力。高壓蒸汽鍋爐原動(dòng)機(jī)ABl溫度應(yīng)力高壓蒸汽鍋爐原動(dòng)機(jī)ABl（1）平衡方程把管道兩端A、B簡(jiǎn)化為固定端，管道的計(jì)算簡(jiǎn)圖如b。

（2）變形諧調(diào)條件

（a）（b）解：BRABtlDAR(b)（a）（b）解：BRABtlDAR(b)（a）（b）（3）物理關(guān)系有虎克定律和熱膨脹定律：代入式（b）得補(bǔ)充方程由（a）、（c）解得

（c）BRABtlDAR（a）（b）（3）物理關(guān)系（c）BRABtlDAR于是溫度應(yīng)力為設(shè)管子是剛制的，取溫度變化，由（d）得溫度應(yīng)力為（d）ARBRBRABtlDAR于是溫度應(yīng)力為（d）ARBRBRABtlDAR第7章軸向拉伸和壓縮7.1拉伸和壓縮7.2拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力7.3軸力圖7.4軸向拉伸與壓縮時(shí)的應(yīng)力7.5拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力7.6軸向拉伸（壓縮）時(shí)的彈性變形、變形能7.7材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能7.8材料壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)7.9拉伸（壓縮）桿件的強(qiáng)度計(jì)算

7.10應(yīng)力集中7.11拉壓超靜定問題第7章軸向拉伸和壓縮7.1拉伸和壓縮7.1拉伸和壓縮軸向拉伸，對(duì)應(yīng)的外力稱為拉力。軸向壓縮，對(duì)應(yīng)的外力稱為壓力。1拉伸和壓縮軸向拉伸，對(duì)應(yīng)的外力稱為拉力。軸向壓縮，對(duì)應(yīng)2拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力以圖示為例，用截面法確定桿件橫截面mm上的內(nèi)力。用假想平面將桿件沿橫截面mm截開根據(jù)平衡，如圖

mmN{mmN}PP桿件左右兩段在橫截面mm上相互作用的內(nèi)力，是一個(gè)分布力系。2拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力以圖示為例，用截面法確

N}mmPmmP{N設(shè)其合力為有平衡條件，可得

(2-1)N與軸線重合，稱為軸力。 一般規(guī)定：拉伸時(shí)的軸力為正，壓縮時(shí)的軸力為負(fù)。N}mmPmmP{N設(shè)其合力為 一般規(guī)定：拉3軸力圖X坐標(biāo)——表示桿件橫截面的位置，平行于桿軸。N坐標(biāo)——表示軸力的大小，垂直于桿軸。NPx按選定的比例繪出表示軸力與截面位置關(guān)系的圖線——稱為軸力圖3軸力圖X坐標(biāo)——表示桿件橫截面的位置，平行于桿軸。軸力圖的意義：①反映出軸力與截面位置的變化關(guān)系，較直觀；②反映出最大軸力的數(shù)值及其所在面的位置，即危險(xiǎn)截面位置，為強(qiáng)度計(jì)算提供依據(jù)。軸力圖的意義：①反映出軸力與截面位置的變化關(guān)系，較直觀；軸力的正號(hào)使微元區(qū)段有伸長(zhǎng)趨勢(shì)的軸力正。軸力的負(fù)號(hào)軸力的正號(hào)使微元區(qū)段有伸長(zhǎng)趨勢(shì)的軸力正。軸力的負(fù)號(hào)例：桿件受力如圖（a）所示，試?yán)L制軸力圖。(b)解：（1）計(jì)算各段桿的軸力AB段：軸力假設(shè)為拉力，用表示

得

(負(fù)號(hào)說明為壓力)(a)P2PBCDABNPA例：桿件受力如圖（a）所示，試?yán)L制軸力圖。(b)解：（1）計(jì)同理：求得BC、CD、段的軸力分別為：PP2PABCDPPABPP2PABC(a)(d)(c)BCNCDN同理：求得BC、CD、段的軸力分別為：PP2PABCDPPA

（2）軸力圖如圖（e）所示。NxP(e)2P在軸力圖中，突變值=集中載荷PP2PABCD（2）軸力圖如圖（e）所示。NxP(e)2P在軸力圖中

例2-1等截面直桿受力如圖a所示，P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，試?yán)L制該桿的軸力圖。3P1P2PABCD(a)1m2m1.5m3PR1P2PABCDIIIIIIIIIIII(b)解

（1）求支座反力設(shè)支反力為R如b圖根據(jù)整個(gè)桿的平衡條件求得例2-1等截面直桿受力如圖a所示，3P1P2PAB

例2-1等截面直桿受力如圖a所示，P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，試?yán)L制該桿的軸力圖。AIIR1N(c)（2）計(jì)算各段桿的軸力AB段：用假想平面在AB段內(nèi)將桿截開，取左段為研究對(duì)象（圖c），截面上的軸力假設(shè)為拉力，用N1表示。由平衡條件IIIIIIIIII3P1P2P例2-1等截面直桿受力如圖a所示，AIIR1N(c

例2-1等截面直桿受力如圖a所示，P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，試?yán)L制該桿的軸力圖。AII(c)IIIIIIIIII3P1P2P同理求得:BC段（圖d）、CD段（圖e）的軸力：1PABIIIIR2NN3P3IIIIII(e)(d)例2-1等截面直桿受力如圖a所示，AII(c)II（3）繪制軸力圖軸力圖如圖f所示。從軸力圖可見，AB段內(nèi)的軸力值最大，Nmax=N1=120kN。軸力是內(nèi)力，它與外力有關(guān)，但又不同于外力。3P1P2PABCD(a)N/kNx(f)6090（3）繪制軸力圖軸力是內(nèi)力，它與外力有關(guān)，但又不同于外力。34軸向拉伸與壓縮時(shí)的應(yīng)力一.正應(yīng)力公式：

僅由上述靜力關(guān)系式還不能確定σ和N之間的具體關(guān)系。4軸向拉伸與壓縮時(shí)的應(yīng)力僅由上述靜力關(guān)系式還不能確定下面從研究桿件的變形入手來尋求σ的變化規(guī)律。如左圖：變形后可觀察到如下現(xiàn)象：變形前變形后（1）桿件被拉長(zhǎng)。但各橫向線仍保持為直線，任意兩相鄰橫向線相對(duì)地沿軸線平行移動(dòng)了一段距離；（2）變形后，橫線仍垂直于軸線。變形前變形后（1）桿件被拉長(zhǎng)。但各橫向線仍保持為直線，任意兩扭轉(zhuǎn)彎曲由以上的觀察可得，桿件變形的平截面假設(shè)拉壓

桿件的橫截面在拉壓、扭轉(zhuǎn)或彎曲變形過程中始終保持是平面，并始終保持與軸線垂直。扭轉(zhuǎn)彎曲由以上的觀察可得，桿件變形的平截面假設(shè)拉壓桿根據(jù)平面假設(shè)和材料均勻、連續(xù)的性質(zhì)，可知：橫截面各點(diǎn)處的分布內(nèi)力集度（即正應(yīng)力σ）均相等，于是有因此拉（壓）桿橫截面上的正應(yīng)力為σ的符號(hào)規(guī)定與N相同，拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。根據(jù)平面假設(shè)和材料均勻、連續(xù)的性質(zhì)，可知：σ的符號(hào)上述正應(yīng)力公式的推導(dǎo)過程用到了變形幾何，物理和靜力平衡三方面的規(guī)律。材料力學(xué)的分析方法力學(xué)分析力學(xué)分析物理分析力學(xué)分析物理分析幾何分析三類分析的綜合力學(xué)分析物理分析幾何分析力學(xué)分析物理分析幾何分析力學(xué)分析物理分析幾何分析物理分析幾何分析力學(xué)分析幾何分析力學(xué)分析物理分析上述正應(yīng)力公式的推導(dǎo)過程用到了變形幾何，物理和靜力平衡三方面1.

力學(xué)分析研究構(gòu)件中的各個(gè)力學(xué)要素（包括外力和內(nèi)力；包括力和力偶矩）之間的關(guān)系。2.物理分析研究材料的力學(xué)性能，研究構(gòu)件的力學(xué)要素（有時(shí)還包括熱學(xué)要素）與幾何要素之間的關(guān)系。荷載與變形量之間的關(guān)系溫度變化與應(yīng)力、變形量之間的關(guān)系構(gòu)件內(nèi)部應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系1.力學(xué)分析研究構(gòu)件中的各個(gè)力學(xué)要素（包括外力和3.幾何分析研究構(gòu)件和結(jié)構(gòu)中各幾何要素之間的關(guān)系。構(gòu)件中應(yīng)變和變形量之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)中各構(gòu)件變形量之間的關(guān)系3.幾何分析研究構(gòu)件和結(jié)構(gòu)中各幾何要素之間的關(guān)系。構(gòu)件中應(yīng)變二.正應(yīng)力公式的使用條件1.外力合力作用線必須與桿軸線重合。2.桿件必須是等直桿。若橫截面尺寸沿軸線變化，對(duì)于變化緩慢的桿：（2-4）3.公式只在距外力作用點(diǎn)一定距離外才是正確的。二.正應(yīng)力公式的使用條件（2-4）3.公式只在距外力作PP/2P/2P/AP圣維南原理——雖然力作用于桿端的方式不同，只要它們是靜力等效的，則桿件中應(yīng)力分布僅在作用點(diǎn)附近不大的范圍內(nèi)(不大于桿的橫向尺寸)有明顯影響。

應(yīng)力等效PP/2P/2P/APPP/2P/2P/AP圣維南原理——雖然力作用例2-2圖所示鉸接支架，AB為圓截面桿，直徑為d=16mm，BC為正方形截面桿，邊長(zhǎng)為a=14mm。若載荷P=15kN，試計(jì)算各桿橫截面上的應(yīng)力。ACBP解（1）計(jì)算各桿軸力用截面法，截取結(jié)點(diǎn)B為研究對(duì)象，各桿軸力假定為拉力。由平衡方程得BPABNBCN例2-2圖所示鉸接支架，AB為圓截面桿，直徑為d=16m例2-2圖所示鉸接支架，AB為圓截面桿，直徑為d=16mm，BC為正方形截面桿，邊長(zhǎng)為a=14mm。若載荷P=15kN，試計(jì)算各桿橫截面上的應(yīng)力。ACBP（2）計(jì)算各桿應(yīng)力，得BPABNBCN例2-2圖所示鉸接支架，AB為圓截面桿，直徑為d=16m5拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力沿斜截面kk（如圖），將桿截分為二。研究左段桿的平衡，得到斜截面kk上內(nèi)力

pp(a)(b)kkppkk（a）5拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力pp(a)(b)kkppkk（a斜截面kk的面積為，橫截面積為A，于是有

pp(a)(b)kkppkk式中為橫截面（）上的正應(yīng)力。（b）A斜截面kk的面積為，橫截面積為A，pp斜截面全應(yīng)力的分解：垂直于斜截面的正應(yīng)力：（2-5）相切于斜截面的剪應(yīng)力：

可見，斜截面上不僅存在正應(yīng)力，而且還存在剪應(yīng)力，其大小隨截面的方位而變化。Patasaa（2-6）斜截面全應(yīng)力的分解：可見，斜截面上不x、、的符號(hào)規(guī)定如下xx、、的符號(hào)規(guī)定如下x1.當(dāng)時(shí)（橫截面）

即橫截面上的正應(yīng)力是所有各截面上正應(yīng)力的最大值。（2-5）（2-6）即橫截面上的正應(yīng)力是所有各截面上正應(yīng)力的最大值。（2-5）（

3.當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)即在斜截面上，剪應(yīng)力有最大、最小值，且其數(shù)值為最大正應(yīng)力的一半。（2-5）（2-6）（2-5）（2-6）一、縱向變形虎克定律一等直桿如圖所示，設(shè)桿的原長(zhǎng)為，橫截面面積為A。在軸向拉力P作用下，桿的長(zhǎng)度由變?yōu)椤?軸向拉伸（壓縮）時(shí)的彈性變形、變形能pp軸線方向總伸長(zhǎng)為(a)一、縱向變形虎克定律6軸向拉伸（壓縮）時(shí)的彈性變形、變形能ppp試驗(yàn)表明：引入比例系數(shù)E，則有（b）對(duì)于僅在兩端受軸向外力作用的等直桿，由于N=P，故式（b）可改寫為桿件拉伸時(shí)，為正；桿件壓縮時(shí)，為負(fù)。（2-7）pp試驗(yàn)表明：桿件拉伸時(shí)，為正；桿件壓縮時(shí)，為負(fù)。式（2-7）就是軸向拉伸與壓縮時(shí)等直桿軸向變形的計(jì)算公式，通常稱為虎克定律。E——與材料的性質(zhì)有關(guān)，稱為材料的拉壓彈性模量，其值可由實(shí)驗(yàn)確定。EA——反映了桿件抵抗拉伸（壓縮）變形的能力，稱為桿件的抗拉（壓）剛度。（2-7）pp式（2-7）就是軸向拉伸與壓縮時(shí)等直桿軸向變形的計(jì)算公式，通若將和代入公式（2-7）可得或（2-8）這是虎克定律的另一種表示形式?；⒖硕捎挚杀硎鰹椋寒?dāng)應(yīng)力不超過某一極限值時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。因?yàn)閼?yīng)變?chǔ)艣]有量綱，彈性模量E有與應(yīng)力相同的量綱。最后指出，公式（2-7）只有當(dāng)軸力N、橫截面面積A、材料的彈性模量E在桿長(zhǎng)l內(nèi)為常量時(shí)才能應(yīng)用。（2-7）若將和代入公式（2-7）（2-7）對(duì)于階梯桿或軸力分段變化的桿件：

當(dāng)軸力和橫截面積沿桿軸線x方向連續(xù)變化時(shí)，有 二、橫向變形泊松比

設(shè)桿件變形前的橫向尺寸為b，變形后為b1，則桿的橫向線應(yīng)變?yōu)?/p>

（2-9）（2-10）對(duì)于階梯桿或軸力分段變化的桿件：（2-9）（2-10）

試驗(yàn)表明：橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變?chǔ)胖g滿足如下關(guān)系

因ε’與ε的符號(hào)相反，故有μ——稱為泊松比或橫向變形系數(shù)，是一個(gè)無量綱的量，其值隨材料的不同而不同。E、μ都是材料本身所固有的彈性常數(shù)，是反映材料彈性變形能力的參數(shù)。（2-11）（2-12）

例1階梯鋼桿如圖所示。已知AC段的截面面積為A1=500mm2，CD段的截面面積為A2=200mm2，鋼桿的彈性模量E=200GPa。試求：（1）各段桿橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力；（2）桿的總伸長(zhǎng)。BACD1P=30KN2P=10KN100100100例1階梯鋼桿如圖所示。已知AC段的截面面積為A1=502P1P1122R解（1）內(nèi)力計(jì)算2P1P1N2P2N用截面法沿11、22面截開，計(jì)算軸力,得：2P1P1122R解（1）內(nèi)力計(jì)算2P1P1N2P2N繪出軸力圖。20+10_xN(KN)BACD繪出軸力圖。20+10_xN(KN)BACD（2）應(yīng)力計(jì)算（3）桿的總伸長(zhǎng)計(jì)算結(jié)果為負(fù)，說明整個(gè)桿是縮短的。（2）應(yīng)力計(jì)算例2尺寸為=的鋼板如圖所示，其材料的彈性模量E=200GPa，泊松比。求鋼板在兩端受到合力為140kN的均布載荷作用時(shí)厚度的變化。2501050140KN{140KN}例2尺寸為=的鋼板如圖所示，其材料的彈性模量E=200G2501050140KN{140KN}解在兩端的均布載荷作用下，鋼板發(fā)生軸向拉伸變形。其橫截面上正應(yīng)力可按公式（2-1）計(jì)算，即（a）由虎克定律（b）

2501050140KN{140KN}解在兩端的均布載荷2501050140KN{140KN}橫向線應(yīng)變?yōu)橛谑牵╟）2501050140KN{140KN}橫向線應(yīng)變?yōu)?501050140KN{140KN}將式（b）代入式（c），并考慮式（a），得

即鋼板的厚度減小了0.0035mm。2501050140KN{140KN}將式（b）代入式（c）三、軸向拉壓時(shí)的變形能

在外力作用下，彈性體因變形而儲(chǔ)存的能量，成為變形能或應(yīng)變能。彈性體變形儲(chǔ)存能量外力做功外力減小變形減小釋放能量三、軸向拉壓時(shí)的變形能

在外力作用下，彈性體因變形而儲(chǔ)存的能如圖，受軸向拉伸的直桿，下端受從零開始逐漸增加的拉力作用，直至最終數(shù)值P。作用點(diǎn)的位移也逐漸增大至,在應(yīng)力小于比例極限的范圍內(nèi)，拉力P與成正比。pp(a)(b)如圖，受軸向拉伸的直桿，下端受從零開始逐漸增加的拉力作用，直

顯然dW等于圖中畫陰影線部分的微分面積。W等于圖中三角形的面積:若不計(jì)任何能量損耗，根據(jù)功能原理，彈性體內(nèi)儲(chǔ)存的變形能U應(yīng)等于拉力P所做的功W。即

考慮軸力，并引出虎克定律，得

（2-13）（2-14）若不計(jì)任何能量損耗，根據(jù)功能變形能的單位為焦（J）引入單位體積內(nèi)的變形能的概念，我們稱為變形比能（簡(jiǎn)稱比能），記作u。

由虎克定律，上式又可寫成

比能的單位是（2-15）（2-16）變形能的單位為焦（J）（2-15）（2-16）7材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能

材料的力學(xué)性能——材料在受力變形過程中所表現(xiàn)出來的變形、破壞等方面的特性。1.實(shí)驗(yàn)條件：材料在室溫下，以緩慢平穩(wěn)加載方式進(jìn)行的拉伸試驗(yàn)和壓縮試驗(yàn)2.實(shí)驗(yàn)對(duì)象：圓截面的拉伸標(biāo)準(zhǔn)試件如圖所示：ppl7材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能

材料的力學(xué)性能——材料在受力lpp——標(biāo)矩。——圓試件的直徑在國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)中標(biāo)矩，與直徑d有兩種比例：即和lpp——標(biāo)矩。一、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)

低碳鋼是指含碳量在0.25%以下的各種碳素鋼。用它來闡明塑性材料的一些特性。下圖是低碳鋼拉伸時(shí)繪制的曲線，這個(gè)曲線也稱為拉伸圖。efgpl0abcdh一、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)

低碳鋼是指含碳量在0.25%以下1.在低碳鋼的整個(gè)拉伸試驗(yàn)過程中，其曲線可以分為如下四個(gè)階段：

hgbd0aec一、彈性階段二、屈服階段三、強(qiáng)化階段四、局部變形階段f1.在低碳鋼的整個(gè)拉伸試驗(yàn)過程中，其曲線可以分為如下四個(gè)2.延伸率和截面收縮率延伸率是衡量材料塑性的主要指標(biāo)。（1）延伸率：（2-17）（2）截面收縮率

A1

——試件斷裂后斷口處最小橫截面面積，A0——試件原來的橫截面面積截面收縮率ψ也是衡量材料塑性的指標(biāo)。（2-18）2.延伸率和截面收縮率延伸率是衡量材料塑性的主要指標(biāo)。（1）3.卸載定律和冷作硬化

（1）卸載定律

超過彈性范圍后的任一點(diǎn)d所對(duì)應(yīng)的總應(yīng)變包含彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變兩部分。hgef0abcd3.卸載定律和冷作硬化

（1）卸載定律超過彈性范

（2）冷作硬化

efhg0abcd在常溫下，把材料拉到塑性變形，然后卸載，當(dāng)再次加載時(shí)，比例極限提高而塑性降低（2）冷作硬化efhg0abcd在常溫下，把材料拉工程上某些塑性材料沒有明顯的屈服階段，通常規(guī)定塑性應(yīng)變時(shí)的應(yīng)力為名義屈服極限，用表示。se0.2%二、其他塑性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能工程上某些塑性材料沒有明顯的屈服階段，通常規(guī)定塑性應(yīng)變灰口鑄鐵是典型的脆性材料斷裂時(shí)的應(yīng)力就是強(qiáng)度極限它是唯一的強(qiáng)度指標(biāo)。有時(shí)選一條割線來確定E值，并認(rèn)為材料服從虎克定律。三、鑄鐵拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)12510075502500.150.300.452(MN/m)s(%)e灰口鑄鐵是典型的脆性材料三、鑄鐵拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)1251008材料壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)

（一）塑性材料黃色線—低碳鋼壓縮時(shí)的曲線綠色線—低碳鋼拉伸時(shí)的曲線Pesss8材料壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)

（一）塑性材料Pesss（二）脆性材料如圖：鑄鐵壓縮時(shí)的曲線。實(shí)驗(yàn)表明：曲線沒有“屈服點(diǎn)”，試件在較小變形下突然破壞，破壞面與軸線大致成45度的傾角。pp600500(%)e2MN/m

s1100200300400423506pp600500(%)e2MN/ms11002003004（三）幾種常用材料的主要力學(xué)性能

比例極限彈性極限屈服極限（）強(qiáng)度極限彈性模量E延伸率截面收縮率衡量材料力學(xué)性能的主要指標(biāo)有：（三）幾種常用材料的主要力學(xué)性能

衡量材料力學(xué)性能的主要指標(biāo)——材料允許承受的最大應(yīng)力?！茐膽?yīng)力材料破壞時(shí)的應(yīng)力值， 或稱極限應(yīng)力n——為大于1的數(shù)，稱為安全系數(shù)。(2-19)塑性材料脆性材料9拉伸（壓縮）桿件的強(qiáng)度計(jì)算一、許用應(yīng)力與安全系數(shù)n——為大于1的數(shù)，稱為安全系數(shù)。(2-19)塑性材料脆二、強(qiáng)度條件

對(duì)等截面桿

式（2-20a，b）即是軸向拉（壓）桿件的強(qiáng)度條件。產(chǎn)生最大工作應(yīng)力的截面稱為危險(xiǎn)截面。(2-20a)（2-20b）(2-20a)（2-20b）利用強(qiáng)度條件，可以解決工程中下列三個(gè)方面的強(qiáng)度計(jì)算問題：1.強(qiáng)度校核2.設(shè)計(jì)截面由上式算出需要的橫截面面積，然后確定截面尺寸。3.確定許用載荷利用強(qiáng)度條件，可以解決工程中下列三個(gè)方面的強(qiáng)度計(jì)算問題：3.例２－８簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)受力如圖，q是均布在水平長(zhǎng)度上的載荷集度，設(shè)AC為剛性桿，BD桿為圓截面，，。計(jì)算BD桿的直徑以及C點(diǎn)的鉛垂位移。q=17.3kN/m1m1m1mABDC30P=20kN例２－８簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)受力如圖，q是均布在水平長(zhǎng)度上的載荷集度，解（１）設(shè)BD桿的拉力為N，由平衡條件得再由強(qiáng)度條件得q=17.3kN/m1m1m1mABDC30可取d=26mm解（１）設(shè)BD桿的拉力為N，由平衡條件得q=17.(2)計(jì)算C點(diǎn)的鉛垂位移。剛性桿AC轉(zhuǎn)到新位置AC1，D點(diǎn)移到D1。在小變形時(shí)，用作垂線代替作弧，可知CC３就是C的鉛垂位移，可得BD桿的伸長(zhǎng)再由幾何關(guān)系A(chǔ)BDCD2D1C1C2C330(2)計(jì)算C點(diǎn)的鉛垂位移。ABDCD2D1C1C2C330于是討論：對(duì)于本題，如規(guī)定C點(diǎn)的鉛垂位移不超過，即要求整個(gè)結(jié)構(gòu)具有一定的剛度。這時(shí)，可先算出C點(diǎn)的鉛垂位移，再和容許位移進(jìn)行比較，如能滿足，剛度是足夠的，我們稱此條件為剛度條件。對(duì)于某些結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)，如桁架，汽閥機(jī)械等要考慮剛度條件，即要求某些點(diǎn)的位移不能過大。對(duì)于大多數(shù)承受拉壓的工程構(gòu)件，往往只要求強(qiáng)度足夠，而不用討論它的剛度于是例3等圓截面直桿受力如圖所示，材料為鑄鐵，其拉伸許用應(yīng)力，壓縮許用應(yīng)力，彈性模量。求：（1）畫出軸力圖；（2）設(shè)計(jì)橫截面直徑；（3）計(jì)算桿的總伸長(zhǎng)。2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII例3等圓截面直桿受力如圖所示，材料為鑄鐵，其拉伸許用應(yīng)力解（1）畫軸力圖。由截面法求得N1=20kN、N2=0、N3=-30kN,由此可畫出軸力圖如圖所示。20KNN(b)2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII30KN解（1）畫軸力圖。20KNN(b)2m2m2m20KN20（2）設(shè)計(jì)橫截面直徑。I、III兩段中的截面都是危險(xiǎn)截面。按拉伸強(qiáng)度設(shè)計(jì)2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII（2）設(shè)計(jì)橫截面直徑。2m2m2m20KN20KN30KN32m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII按壓縮強(qiáng)度設(shè)計(jì)故該桿直徑應(yīng)取20.6。結(jié)果表明，盡管該桿的軸向拉力比軸向壓力小，但是桿件的橫截面尺寸還是由拉力決定，這是因?yàn)殍T鐵的抗拉能力比抗壓能力低。2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIII2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII（3）計(jì)算桿的總伸長(zhǎng)。根據(jù)公式（2-6），該桿的總伸長(zhǎng)為“-”表示桿件實(shí)際上是縮短了。2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIII例4鉚釘連接結(jié)構(gòu)如圖a所示，已知主板受到的軸向拉力P=110kN，其材料許用應(yīng)力，板寬b=80mm，板厚t=12mm。若各鉚釘?shù)牟牧虾椭睆骄嗤?，且鉚釘孔直徑d=16mm。試校核板的強(qiáng)度。PP(a)dP(b)P例4鉚釘連接結(jié)構(gòu)如圖a所示，已知主板受到的軸向拉力P=11解（1）分析內(nèi)力，做出上主板的軸力圖。（2）確定危險(xiǎn)截面。得出2-3段和1-2段都是危險(xiǎn)截面。1-2段2-3段因?yàn)榘宓母鞫味紳M足強(qiáng)度要求，故此主板安全。2345P321(c)45123PSx(d)1解（1）分析內(nèi)力，做出上主板的軸力圖。2-3段234例5薄壁圓筒容器承受內(nèi)壓p作用，如圖a所示。若已知圓筒直徑為D，壁厚為t，試求其橫截面上的應(yīng)力及縱截面上的應(yīng)力。mnABCDs￠s￠s￠￠s￠￠mnl(a)s￠nn(b)s￠￠s￠￠lmnnmp(c)