山東省青島市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試試卷

山東省青島市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試試卷閱卷人一、單選題(共8題；共16分)得分(2分)設(shè)集合A={xeR\y=lg(x-1)},B={x\2x<8},則AClB=( )A.(1,3) B,(1,3] C.(-oo,3] D.[1,3]【答案】B【解析】【解答】由題意得，A={x|x—1>0}={x|x>1},B={x|x<3},則AnB=(1,3].故答案為：B.【分析】先求出集合A和B,再進(jìn)行交集運(yùn)算即可得答案.(2分)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,22),則P(X>0)=( )附：PQ—。WXW〃+b0.6827, -2a<X<n+2a)?0.9545,P(/z—3a<X</x+3a)，0.9973.A.0.84135 B.0.97725 C.0.99865 D.0.15865【答案】A【解析】【解答】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,22),所以P(0<X<4)?0.6827,P(X>4)?]一"827=0158651所以P(X>0)=P(0<X<4)+P(X>4)?0.84135,故答案為：A【分析】根據(jù)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,22),利用33原則求解出答案.(2分)在2h內(nèi)將某種藥物注射進(jìn)患者的血液中，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加;停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減.下面能反映血液中藥物含量Q隨時(shí)間t變化的圖象是a2 （ 1 —【答案】B【解析】【解答】解：在在2h內(nèi)，血液中的藥物含量呈線性增加，則第一段圖象為線段，且為增函數(shù)，排除A,D,停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減，排除C.能反映血液中藥物含量Q隨時(shí)間t變化的圖象是B.故答案為：B.【分析】根據(jù)在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減即可得出答案.（2分）函數(shù)y=3-與函數(shù)y=-3”的圖象（ ）A.關(guān)于x軸對稱 B.關(guān)于y軸對稱C.關(guān)于原點(diǎn)對稱 D.關(guān)于直線y=x對稱【答案】C【解析】【解答】解：在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y=3-x與函數(shù)y=—3%的圖象，如圖所示：由圖象知：函數(shù)y=3-x與函數(shù)y=一3工的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,故答案為：C【分析】由題意，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)圖象的對稱性，得出答案.TOC\o"1-5"\h\z(2分)已知a>0,a^l,logaj<1,4)"<1，J<1-則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )1A.(1,+oo) B.(0,1) C.(1,1) D.(0,1)【答案】D【解析】【解答】因?yàn)榫?lt;1，故品)<1,3，即a<1，故求解loga/<1有l(wèi)oga寺<loga。，即0<1 a-10 1qV可，又(@)<(@)，解得Q>。.故Q6(0,故答案為：D【分析】由題意，利用基函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.(2分)己知函數(shù)/(x)=F"+X)'X>0,曲線y=/(X)與直線y=寺一鼻In2有且僅有一個(gè)交(kx,x<0 zz點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為( )1A.5，4-oo) B.(―?+8) C.(19+8) D.[1,4-co)【答案】A【解析】【解答】解：令g(x)=*—/+ln2—ln(x+1),xG(0,+oo),g'(x)=>擊,(0,+8),當(dāng)0<x<l時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)>0,所以函數(shù)g(x)在(0,1)上遞減，在(1,+8)上遞增，所以g(x)2g(l)=0,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，取等號，所以當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)g(x)=J-1+ln2-ln(x+1)只有一個(gè)零點(diǎn)，即當(dāng)x>0時(shí)，曲線y=/(x)與直線y= ln2有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以當(dāng)x<0時(shí)，曲線y=/(x)與直線y=J-1+ln2沒有交點(diǎn)，【分析】利用導(dǎo)數(shù)可得直線y=^-1+ln2為曲線y=f(x)在x=l處的切線，問題轉(zhuǎn)化為y=kx(xWO)與直線y=*—4+ln2無交點(diǎn)，由此可得實(shí)數(shù)k的取值范圍.(2分)已知(1+%)"+(1—2x)n=a。+ct\X+a2”2+…+即%”,且Qj=29,則九=( )A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【解答】因?yàn)?1+x)n4-(1—2x)n=劭+a^x+a2x2H \-anxn,令x=0,可得a。=2,令X=19可得 +和+…+ =2'+(-1)”,所以+@+…+ =2"+(—l)n—2=29,若71為奇數(shù)，則2"—1—2=29,解得九=5,符合；若n為偶數(shù)，則2n+1-2=29,無整數(shù)解，不符合，綜上，n=5.故答案為：B.【分析】令％=0,可得的=2,令x=1,可得%+。2+…+冊=2"+(―l)n—2=29,對n分奇偶討論求解出n的值.(2分)已知Q=ln*b=2 c=sin0.04- -1),貝Ua,b,c的大小關(guān)系是()A.c>b>a B.a>b>c C.b>a>c D.a>c>b【答案】C【解析】【解答】構(gòu)造函數(shù)/(x)=2lnx-2(x-1)=2(lnx-x+1),則q一b=f(屑)，I 1 ,. _, ,./(x)=2(亍—1)V0在(1,+8)上恒成u,則y=f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，故q-b=/(J1)</(I)=0,則b>a>0,J=1+x(x>0),貝U(1+x)-1=苧>學(xué)=0.04,由對于函數(shù)g(x)=sinx-x(0<x<5),g(%)=cosx—1<0,(0<x<分恒成立,所以，g(%)=sinx—x<g(0)=0BPsinx<》在(0,分上恒成立._ i i i i i所以，sin0.04—+5—1<sinx—?vl4-x—1=sinx—yVx<x—yy/x=Vx(Vx—?)<0(注：0.04<x<0.09,0.2<Vx<0,3<0.5)所以，b>a>c故答案為：C【分析】構(gòu)造函數(shù)得出a,b大小，又c<0即得出答案.閱卷人二、多選題(共4題；共8分)得分(2分)已知某足球運(yùn)動員每次定點(diǎn)射門的命中率為0.5,則下述正確的是( )A.若共進(jìn)行10次射門，則命中次數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于5B.若共進(jìn)行10次射門，則命中5次的概率最大C.若共進(jìn)行5次射門，則命中次數(shù)的方差等于1D.若共進(jìn)行5次射門，則至少有兩次命中的概率為g【答案】A,B【解析】【解答】設(shè)X=i表示運(yùn)動員命中次數(shù)為i次，由題意可知，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，若進(jìn)行10次射門,則X?B(10,0.5),P(X=j)=d0x0.x0.510-f=Ci0x0,510(i=0,1,-,10),若進(jìn)行5次射門，則X?B(5,0.5)，P(X=i)=C：x0.5?x0.55T=腐x0.55。=0,1,…，5):對于A,由二項(xiàng)分布期望公式得數(shù)學(xué)期望為0.5x10=5,A符合題意；由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)知C，(i=0,1,…，10)中瑤°最大，則命中5次的概率P(X=5)=Of。X0.51。最大，B符合題意；對于C,由二項(xiàng)分布方差公式知，命中次數(shù)的方差等于5x0.5x0.5=1.25,C不符合題意；對于D,至少命中兩次的概率P（X22）=1-P（X=0）-P（X=1）=1-C]x0.55-金X0.55=聶，D不符合題意.16故答案為：AB.【分析】由題意可知，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布的性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.10.（2分）非空集合W關(guān)于運(yùn)算O滿足：對于任意的a、bew,都有a（8）beW,則稱集合W關(guān)于運(yùn)算?為“回歸集下列集合w關(guān)于運(yùn)算G）為“回歸集''的是（ ）A.W為N,③為自然數(shù)的減法B.”為Q,G）為有理數(shù)的乘法C.”為R,③為實(shí)數(shù)的加法D.已知全集[/=凡集合A=Q,W為CrA,⑥為實(shí)數(shù)的乘法【答案】B,C【解析】【解答】對于A選項(xiàng)，若"=N,⑥為自然數(shù)的減法，則2（8）3=2-3=-lWN,A不滿足條件；對于B選項(xiàng)，若皿=（2,對任意的a、bEQ,則a（g）b=abeQ,B滿足條件；對于C選項(xiàng)，若卬=凡對任意的a、bER,則a（8）b=（a+b）eQ,C滿足條件；對于D選項(xiàng)，已知全集〃=/?,集合4=Q,W=CrA,取a=V^eCRA，b=5企€CrA，則a?b=ab=10^CrA,D不滿足條件.故答案為：BC.【分析】結(jié)合實(shí)數(shù)的運(yùn)算以及特殊值法逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.（2分）關(guān)于以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的幾何體，下述正確的是（ ）A.若幾何體為正四面體，則只有1個(gè)B.若幾何體為三棱柱，則共有12個(gè)C.若幾何體為四棱錐，則共有48個(gè)D.若幾何體為三棱錐，則共有58個(gè)【答案】B,C,D【解析】【解答】對于A,如圖四面體ACBiOi，&BDC1均為正四面體，所以A不符合題意;Di對于B,在正方體中，以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱柱有三棱柱48。BCD-C[D[,ABC-4181C、,ACD—A^CiD-^>ABA-y-DCD1,A】BB1一CC1，ABB1一DCCi，AB-^Ai-DC[D、?ADA^—BCB],A-iDD1—B^CCj,ADD1—BCC^?AA^Di-BQ,共12個(gè)，所以B符合題意；對于C,在正方體ABC。-Ai/GDi中，四點(diǎn)共面的情況有六個(gè)表面和六個(gè)對角面共12種情況，以每個(gè)面作為底面，其余的四個(gè)點(diǎn)中的任意一個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可構(gòu)成四棱錐，所以共有12x4=48個(gè)，所以C符合題意；對于D,在正方體中的8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有心=70種，其中四點(diǎn)共面的有六個(gè)表面和六個(gè)對角面共12種情況，所以共有70-12=58個(gè)三棱錐，所以D符合題意.故答案為：BCD【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)和棱柱、棱錐的定義，結(jié)合計(jì)數(shù)原理和組合數(shù)進(jìn)行分析計(jì)算，可得答案.(2分)已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，對于任意a,b€R都滿足/(ab)=a/(b)+bf(a),則下述正確的是( )A./(0)=0 B./(I)=1C./(x)是奇函數(shù) D.若/(2)=2,則/(一》=*【答案】A,C,D【解析】【解答】令a=b=0,則+ A符合題意；令a=b=l,則/(1)=1/(1)+1/(1)=2/(1),則f(l)=O,B不符合題意；令a=b=一1,5!1|/(1)= _/(-1)=-2/(-1),所以/(-1)=0,又令q=-1,b=x,貝！Jf(一無)=—/(%)+%/(—1)=-f(%)+0=―/(%),

所以f(x)是奇函數(shù)，C符合題意;令a=2,b=-1，貝IJ/■(-1)=/［2、(一》］=2/(—｝一//(2)=2/(一3-1=0,所以/(一》另，D符合題意；故答案為：ACD閱卷人得分【分析】對a,b取特殊值，代入已知表達(dá)式，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得答案.三、填空題(共4題；共5分)n613.(1分)二項(xiàng)式(/13.(1分)二項(xiàng)式(/【答案】240【解析】【解答】在二項(xiàng)式(x2.臺中，通項(xiàng)公式得Tr+1=C%i2-2r(_g=《(_2yxi2_3r,由12-3r=0,得r=4,.?.常數(shù)項(xiàng)為Ct24=240.故答案為：240.【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理，寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，即可求出特定項(xiàng)的系數(shù).(1分)(log23-log83)(log32+log92)=.(用數(shù)字作答)【答案】1【解析】(log23-log83)(log32+log92)=0°g23-^|j1)(log321 I 2 3=(log23-31og23)(log32+21og32)=3)og23x^\og32=1.故答案為：1【分析】利用對數(shù)換底公式、運(yùn)算法則直接求解出答案.(1分)設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,滿足/(x+1)=2/。)，且當(dāng)xe(0,1］時(shí)，/(x)=x(l-x).若對任意xC(―8,m］,都有/(x)W率則m的取值范圍是.【答案】(—co,【解析】【解答】因/(x+l)=2/(x),則/(x)=2f(x-l),又當(dāng)xe(0,1］時(shí)，/(x)=-(x-1)2+11|e[0,如TOC\o"1-5"\h\zO 1 1當(dāng)為W(l,2]時(shí)，x-1e(0,1],/(x)=2/(x-1)=2(x-1)(2-x)=-2(x-^)2+6[0,夕,當(dāng)4W(1,2]時(shí)，由/(%)=得，解得％=，或%=：,1 1 ill 1當(dāng)xe(—1,0]時(shí)，x+1G(0,1],/(x)=4f(x+1)=~^x(x4-1)=-4(x+1)2+ge[0,卻,乙 乙 乙 乙 O 。顯然，當(dāng)xS0時(shí)，/(x)<J<|?如圖，0 r對任意x6(—8,m]^都有f(x)4g，必有mW4，所以m的取值范圍是(-8,|].故答案為：(—8,【分析】作出函數(shù)在(0,2]上的圖象，求出函數(shù)在(1,2]上的解析式，令此時(shí)的/(%)=率求出兩根，結(jié)合圖象即可求出m的取值范圍.(2分)某同學(xué)在參加某游戲活動中遇到一道單選題目完全不會做，他隨機(jī)蒙了A,B,C,D選項(xiàng)中的A選項(xiàng)，主持人告訴他B和C選項(xiàng)不對，此時(shí)，若他仍堅(jiān)持選A,則其選對的概率為;若他改選D選項(xiàng)，則其選對的概率為.【答案4；I【解析】【解答】由題意得：選A符合題意的概率P(A)=/,B和C選項(xiàng)不對，則選A、D符合題意的概率為1,1所以在B和C選項(xiàng)不對，即選A、D符合題意的概率為1的前提下，選A符合題意的概率。一三=1一若他改選D選項(xiàng)，則其選對的概率為1故答案為：!，J4- 4-【分析】先求得選A正確的概率，再求得B和C選項(xiàng)不對，即選A、D正確的概率為1,根據(jù)條件概率的求法，可得他仍堅(jiān)持選A,則其選對的概率，進(jìn)而可得改選D,求出選對的概率.閱卷人四、解答題(共6題；共75分)得分(15分)某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.842分，其中r(單位：cm)是瓶子的半徑.已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制作商能制作的瓶子的最大半徑為6cm.(5分)瓶子的半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤最大？(5分)瓶子的半徑多大時(shí)，每瓶飲料的利潤最?。?5分)假設(shè)每瓶飲料的利潤不為負(fù)值，求瓶子的半徑的取值范圍.【答案】(1)解：由題知：每瓶飲料的利潤為：4仃 丁3y=/(r)=0.2x—= 0.8nr2=0.871(-5■—r2)?0<r<6,所以/(r)=0.8zr(r2—2r)=0.8nr(r-2)>令/?'8)=(),解得r=2,當(dāng)re(0,2)時(shí)，/(r)>0-f(r)在(0，2)上單調(diào)遞減，當(dāng)re(2,6］時(shí)，/(r)<0)/(r)在(2,6］上單調(diào)遞增，又/'(6)=28.8兀,/(2)=一||兀,所以，當(dāng)r=6cm時(shí)，每瓶飲料的利潤最大；(2)解：由(1)知：當(dāng)r=2cm時(shí)，每瓶飲料的利潤最?。虎墙猓河蒮(r)=0.8兀弓一N)20(0<rW6)，解得3<r<6,故所求瓶子的半徑取值范圍是3cm<r<6cm.【解析】【分析】(1)由題意可得每瓶飲料的利潤是y=/(r)=0.87r(y-r2).利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得函數(shù)f(r)的單調(diào)性，進(jìn)而求出f(r)最大時(shí)r的值；(2)由(1)中函數(shù)f(r)的單調(diào)性可求出f(r)最小時(shí)r的值；⑶令f(r)>0求出r的取值范圍即可得瓶子的半徑的取值范圍.(15分)某市某次數(shù)學(xué)文化測試(滿分為100分)，現(xiàn)隨機(jī)抽取1000名學(xué)生的成績進(jìn)行分析，其頻率分布直方圖如圖所示.（5分）以樣本估計(jì)總體，估計(jì)本次測試平均分（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；（5分）本次考試分?jǐn)?shù)的前20%為優(yōu)秀等級，請估計(jì)優(yōu)秀等級的最低分?jǐn)?shù)（精確到0.1）；（5分）若用比例分配的分層抽樣方法在分?jǐn)?shù)段為［60,80）的學(xué)生中抽取5人，再從這5人中任取2人，求這2人中至多有1人在分?jǐn)?shù)段［60,70）內(nèi)的概率.【答案】（1）解：由題意，平均分為：x=45x0.1+55x0.15+65x0.20+75x0.3+85x0.20495x0.05=70；（2）解：優(yōu)秀等級最低分約為樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)，80分以下的學(xué)生所占的比例為10%+15%+20%+30%=75%,90分以下的學(xué)生所占的比例為100%-5%=95%,所以，80%分位數(shù)一定位于［80,90）內(nèi)，由80+10x曝一噪=82.5可以估計(jì)優(yōu)秀等級最低分約為82.5；（3）解：用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為［60,80）的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則分?jǐn)?shù)段［60,70）中抽取的學(xué)生數(shù)為：（枳學(xué)nanxS=2人，分?jǐn)?shù)段［70,80）中抽取的學(xué)生數(shù)為：不?需黑詢x5=3人，則從5人中任意抽取2人的樣本空間的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為或=10.記事件”這2人中至多有1人在分?jǐn)?shù)段［60,70）內(nèi)''為C,記事件”這2人中有1人在分?jǐn)?shù)段［60,70）內(nèi)”為Ci，記事件”這2人中沒有人在分?jǐn)?shù)段［60,70）內(nèi)''為C2,則C=C1+C2,且％與C2互斥,rLrL q所以P（C）=P（Q+C2）=P（Ci）+P（C2）= 4?—=jq.ci《10【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出平均數(shù)；（2）由題意可得優(yōu)秀等級最低分約為樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)，從而確定80%分位數(shù)一定位于［80,90）內(nèi)，求解即可得優(yōu)秀等級的最低分?jǐn)?shù)；（3）分求出分?jǐn)?shù)段在［60,70）,［70,80）中抽取的學(xué)生數(shù)，再求2人中至多有1人在分?jǐn)?shù)段［60,70）內(nèi)的概率.（15分）某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)在這兩條流水線上各抽取100件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量（單位：毫克），質(zhì)量值落在（175,225］的產(chǎn)品為合格品，否則為不合格品.統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下面2x2列聯(lián)表:甲流水線乙流水線總計(jì)合格品9296188不合格品8412總計(jì)100100200（5分）依據(jù)a=0.15的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為產(chǎn)品的包裝合格與流水線的選擇有關(guān)聯(lián)？2其中n=a+b+c+d.附：［，2=n(ad-bc).其中n=a+b+c+d.臨界值表:P(722%)0.150.100.050.0250.0100.0050.001Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（2）（5分）從抽取的200件產(chǎn)品中隨機(jī)任取兩件，記“這兩件產(chǎn)品中至少一件為合格品”為事件B,記“這兩件產(chǎn)品均來自甲流水線”為事件A,求P（4|8）；（3）（5分）公司工程師抽取幾組一小時(shí)生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)據(jù)進(jìn)行不合格品情況檢查分析，在x（單位：百件）件產(chǎn)品中，得到不合格品數(shù)量y（單位：件）的情況匯總?cè)缦卤硭荆篨（百件）147810y（件）214243540求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程9=Bx+@,并預(yù)測一小時(shí)生產(chǎn)2000件時(shí)的合格品數(shù)（精確到1）.

附:a=y-bx.6二2二產(chǎn)少「欣少二「幻Gi一刃ynx?-nx2yn(x附:a=y-bx.Z_4i=i【答案】(【答案】(1)解：根據(jù)2x2列聯(lián)表可得r2=7 2n(ad-bc)_200x(92x4-96x8)(Q+b)(Q+c)(b+d)(c+d)=100x100x188x121.418<2.072依據(jù)a=0.15的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不能認(rèn)為產(chǎn)品的包裝合格與裝流水線的選擇有關(guān)聯(lián)_ 2 2(2)解：解：由題知：P(A|g)=烏黑=黑瞑孕=聶P⑻ q2 ci233l200(3)解：由已知可得：je=1+4+7+8+10=6> 24-14+24+35+40=23>5 J 5工xiyi=1x2+4x14+7x24+8x35+10x40=906.\5x?=l2+42+72+82+102=230，乙i=i'Z一一￡Li=ixiyi~5x'y906-5x6x23216 …)所以=V52.2=230—5x62=前二432,) xf-5x乙i=]a=y-bx=23-4.32x6=-2.92所以y=bx+a=4.32x-2.92,當(dāng)x=20(百件)時(shí)，夕=4.32x20—2.92=83.48~83件所以估計(jì)一小時(shí)生產(chǎn)2000件時(shí)的不合格品數(shù)約為83件【解析】【分析】(1)由列聯(lián)表計(jì)算出卡方，即可判斷出不能認(rèn)為產(chǎn)品的包裝合格與裝流水線的選擇有關(guān)聯(lián)；(2)利用條件概率及古典概型的概率公式計(jì)算可得P(A|B)的值：(3)由所給數(shù)據(jù)求出ay,eL項(xiàng)%,Si=i蛭，即可求出;，:，從而得到回歸直線方程，再令x=20,即可預(yù)測一小時(shí)生產(chǎn)2000件時(shí)的合格品數(shù).(10分)已知函數(shù)/(x)=靖—ax.(5分)討論/■(>)的單調(diào)區(qū)間；(5分)若/(x)>1,求a.【答案】(1)解：因?yàn)?'(x)=e*-a，若aW0，則/'(x)N0，f(x)在(―8,+8)上單調(diào)遞增若q>0,令/(x)=0，解得％=Ina.當(dāng)工€(―8,Ina)時(shí)，/(X)<0?/(%)在(―8,Ina)上單調(diào)遞減，當(dāng)xE(Ina,+8)時(shí)，/(x)>0，f(x)在(Ina,+8)上單調(diào)遞增.(2)解：若qWO,則/(%)在(-8,+8)上單調(diào)遞增，且/(0)=1,所以，當(dāng)％V0時(shí)，/(x)<1,不合題意.1若a>0,結(jié)合(1)可知/(%)N/(Ina)=q-alna,所以Q-alnaNl,即l-lna-±NO,令g(a)=1-Inaa>0,則。'⑷=-：+a當(dāng)a6(0,1)時(shí)，g'(a)>0,g(a)在(0,1)上單調(diào)遞增，當(dāng)ae(1,+8)時(shí)，g'(a)<0,g(a)在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以g(a)Wg(l)=0.綜上：a=1.【解析】【分析】(1)由題意可得/(%)=e*-a，據(jù)此分類討論蛉0和a>0兩種情況即可確定/(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)由(1)知，若aWO,不合題意；若a>0,求導(dǎo)，可得g(a)的單調(diào)性，求出a=l,從而確定實(shí)數(shù)a的值.(10分)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第。代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代…，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的，且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P(X=i)=m(i=0,1,2,3)(p(.*0)(5分)已知p(j=0.35,Pi=0.3,p2=0.25,p3=0.1,求E(X)；(5分)設(shè)p(O<p<1)表示該生物臨近滅絕的概率，當(dāng)E(X)>1時(shí)，證明：p是關(guān)于x的方程Po+P1X+P2%Z+P3%3=X的最小正實(shí)根.【答案】(1)解：由題知：F(X)=0xp0+1xP1+2xp2+3xp3=1.1,(2)解：因?yàn)閜=Po+P1P+p2P2+p3P3所以，P是方程P()+P產(chǎn)+P2*2+P3*3=%的正實(shí)根令/(x)=Po+PiX+p2x2+p3x3—x(x>0).則/'(x)=Pi+2P2%+3p3x2-1令g(x)=Pi+2P2%+3p3%2-1，所以當(dāng)xC［0,1］時(shí)，g\x)=2p2+6p3x>0所以/(X)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增又因?yàn)?(O)=p1-l<o,/(I)=Pl+2P2+3p3-1=E(X)-1當(dāng)E(X)>1時(shí)，/(l)=E(X)-1>0所以存在ae(0,1).使得/'(a)=0當(dāng)x€(0,a)時(shí)，f(x)<0?所以/(%)在(0,a)上單調(diào)遞減；當(dāng)xe(a,1)時(shí)，/(x)>0-所以/(x)在(a,1)上單調(diào)遞增；又因?yàn)?(0)=Po>0,/(a)</(I)=p0+Pi+p2+P3-1=0所以/(x)在xe(0,a)上存在唯一零點(diǎn)刀=p,綜上，所以p是方程p()+pxx+p2x2+p3x3=x的最小正實(shí)根【解析】【分析】(1)由題意利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可得E(X)；(2)由題意構(gòu)造函數(shù)/(x)=Po+Pl*+P2%2+「3/-X(X>0),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可證得P是方程Po+P1%+P2%2+「3爐=X的最小正實(shí)根.(10分)已知函數(shù)/(X)=苧一小(5分)求/(X)的單調(diào)區(qū)間；(5分)若a>0,當(dāng)e］時(shí)，函數(shù)F(x)=|xlnx-ax?|有極小值，求a的取值范圍.【答案】(1)解：由題知：/'(%)=上學(xué)，X乙令/'(%)=0，解得x=e,當(dāng)OVxVe時(shí)，/(%)>0;當(dāng)％>e時(shí)，/(%)<0,所以/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e］，單調(diào)遞減區(qū)間為［e,+8)(2)解：F(x)=|xlnx—ax2\=x2|/(x)|由(1)知：f。)在［1,e］上單調(diào)遞增,所以—a=/(I)</(%)</(e)="-a(i)當(dāng)工—q=0,即0=工時(shí)，一14/(%)40,e ee2 t o所以F(x)=卷一xlnx，則F(%)=仔一Inx-1令G(x)=F，(x),所以g'(%)=：_J,令g'(x)>0,得X>*令g'(x)<0,得所以F&)在區(qū)間口，月單調(diào)遞減，在區(qū)間應(yīng)，e］單調(diào)遞增；又因?yàn)榘?)="1<0,f'(e)=O，所以F'(x)WO;所以F(x)在［1,e］上單調(diào)遞減，F(xiàn)(x)無極值(ii)當(dāng)工-a<0,即a>工時(shí),/(x)<0,e e所以F(%)=ax2-xlnx,則F(%)=2ax-Inx-1，令G(x)=F〈x),所以G'(x)=2a-5因?yàn)閤e［l,e］，所以［6弓，1］①當(dāng)2aNl,即a同時(shí)，則G‘(x)N0，所以F’(x)在區(qū)間［1,e］單調(diào)遞增，所以F’(x)29'(1)=2a-120所以F(x)在［1,e］上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)無極值②當(dāng):<a< 艮吟<2a<1時(shí)，令G'(x)=0，得x=*，所以當(dāng)xe［l,右時(shí)，G(x)<0?F&)在區(qū)間［1,務(wù)單調(diào)遞減；當(dāng)xe［去,e］時(shí),G(x)>0?5(工)在區(qū)間［去，e］單調(diào)遞增;又因?yàn)镕'(l)=2a-1<0，F(xiàn)(e)=2ae-2>0，所以存在x()e(l,e)使得F'(出)=0所以F(x)在［1,與］上單調(diào)遞減，在［3,可上單調(diào)遞增所以F(x)在［1,e］上有極小值(iii)當(dāng)0<a<；時(shí)，因?yàn)?(%)在［1,e］上單調(diào)遞增，且/(I)=一a<0,/(e)=；-a>0,所以存在&€(1，e)使得f(&)=0,所以當(dāng)xe［l,沏)時(shí)，/(%)<0；當(dāng)xe［xo,e］時(shí)，/(x)>0,fax2-xlnx,1<x<x0所以函數(shù)F(%)= 9 °,Ixlnx—ax2,x0<x<e所以F&)=|2ax-1,IS"?(in