北京市十年高考數(shù)學(xué)真題(2013-2022)與優(yōu)質(zhì)模擬題(一二模等)精華匯編專題04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(含詳解)

大數(shù)據(jù)之十年高考真題(2013-2022)與優(yōu)質(zhì)模擬題(北京卷)專題04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用值"真題匯’電 1.【2021年北京14】己知函數(shù)f(x)=|lgx|一履一2，給出下列四個結(jié)論：①若k=0,則/x)有兩個零點；②"<Q,使得/'(x)有一個零點；③弘<0,使得/Xx)有三個零點；@3/c>0,使得f(x)有三個零點.以上正確結(jié)論得序號是..【2020年北京卷111函數(shù)=W+1nx的定義域是..【2019年北京理科13】設(shè)函數(shù)/(X)=炭+麴一、(a為常數(shù)).若/(x)為奇函數(shù)，則a=—；若/(x)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是—.{*3—3%,xva一.—2x,x>a①若a=0,則/(x)的最大值為；②若/(x)無最大值，則實數(shù)a的取值范圍是..【2022年北京卷20】已知函數(shù)=(1)求曲線y=f(x)在點(0)(0))處的切線方程；(2)設(shè)g(x)= 討論函數(shù)g(x)在［0,+8)上的單調(diào)性；(3)證明：對任意的s,t€(0,+8),有f(s+t)>f(s)+f(t)..【2021年北京19】已知函數(shù)/(*)=羔.(1)若a=0,求y=f(x)在處切線方程；(2)若函數(shù)在x=-1處取得極值，求f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值..【2020年北京卷19】已知函數(shù)/(x)=12—*2.(I)求曲線y=f(x)的斜率等于-2的切線方程；(II)設(shè)曲線y=〃x)在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為S(t),求S(t)的最小值..【2019年北京理科19】已知函數(shù)/(x)= -?+x.(I)求曲線y=f(x)的斜率為/的切線方程；(II)當xe［-2,4］時，求證：x-6Wf(x)(III)設(shè)F(x)=|/(x)-(x+a)|(aGR),記F(x)在區(qū)間［-2,4］上的最大值為M(a).當M(a)最小時，求a的值..【2018年北京理科18】設(shè)函數(shù)/(x)=［a^-(4a+l)x+4a+3］".(I)若曲線y=/(x)在點(1,/(D)處的切線與x軸平行，求a；(II)若f(x)在x=2處取得極小值，求a的取值范圍..【2017年北京理科19】已知函數(shù)/(x)=evco&x-x.(1)求曲線y=f(x)在點(0,/(0))處的切線方程；7T(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,亍上的最大值和最小值..【2016年北京理科18】設(shè)函數(shù)/(x)=xeax+bx,曲線y=f(x)在點(2,/(2))處的切線方程為、=(e-1)x+4,(I)求a,b的值；(II)求/(x)的單調(diào)區(qū)間.1+%.【2015年北京理科18】已知函數(shù)/(x)(I)求曲線y=/(x)在點(0,f(0))處的切線方程；(II)求證，當比(0,1)時，/(x)>2(x+y)；(III)設(shè)實數(shù)人使得f(x)>k(x++對xe(0,1)恒成立，求&的最大值..【2013年北京理科18】設(shè)/為曲線C：y=竽在點(1,0)處的切線.(I)求/的方程；(II)證明：除切點(1,0)之外，曲線C在直線/的下方.④模擬好題 L己知函數(shù)八>)=￡-此一匕keR⑴討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(l，e)內(nèi)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1記)內(nèi)無零點，求k的取值范圍..己知函數(shù)/(x)=「(I+minx),其中m>0,f'(x)為/(%)的導(dǎo)函數(shù).(1)當m=l,求f(x)在點(1J(D)處的切線方程；Q)設(shè)函數(shù)Mx)=華，且亙成立.e①求TH的取值范圍；②設(shè)函數(shù)f(%)的零點為出，/'(%)的極小值點為右,求證：通>%..設(shè)函數(shù)f(x)=[ax2—(4a+l)x+4a+3]ex.(1)若曲線y=f(x)在點處的切線與x軸平行，求a；(2)若/(x)在x=2處取得極大值，求a的取值范圍..已知函數(shù)/'(x)=xlnx+ax+2.(1)當a=0時，求/(x)的極值；(2)若對任意的xe[1建2],/(x)WO恒成立，求實數(shù)。的取值范圍..設(shè)函數(shù)f(x)=—x—1,a€R.(1)當a=1時，求/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；(2)當X6R時，f(x)20恒成立，求a的取值范圍；(3)求證：當XG(0,+8)時，>e2.ax.已知函數(shù)f(x)=笈.(1)當a=1時，求函數(shù)/(x)在(1,/(1))處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若對任意xe口,+8),都有/'(x)>已成立，求實數(shù)a的取值范圍..己知函數(shù)/(%)=(%2—ax)lnx+x(aER,a>0).(1)若1是函數(shù)/(x)的極值點，求a的值；(2)若0VQW1,試問/(幻是否存在零點.若存在，請求出該零點；若不存在，請說明理由.已知函數(shù)/(x)=alnx+：.(aeR)(1)若q=2,求曲線y=f(x)在點(1J(l))處的切線方程；(2)求/'(%)的極值和單調(diào)區(qū)間；(3)若f(x)在口七]上不是單調(diào)函數(shù)，且/lx)We在[L。上恒成立，求實數(shù)Q的取值范圍..已知函數(shù)/(%)=(1)若/(1)=%求Q的值；(2)當q>2時，①求證：f(x)有唯一的極值點與；②記/(幻的零點為是否存在a使得說明理由.,*0.已知函數(shù)f(x)=x+Y+alnx(a6R).(1)當a=1時，求曲線y=/(x)在點(1)(1))處的切線方程;(2)當x6J+8)時，曲線y=/(x)在x軸的上方，求實數(shù)a的取值范圍..已知函數(shù)/'(x)=Inx+*aer.(1)當a=。時，求曲線y=f(x)在點(1,/(1))處的切線方程；(2)若函數(shù)f(x)的最小值是2,求a的值；(3)設(shè)r為常數(shù)，求函數(shù)9(口=亭詈的單調(diào)區(qū)間..已知/'(無)=ksinx+2%.(1)當A=2時，判斷函數(shù)f(x)零點的個數(shù)；(2)求證：-sin%+2x>ln(x+l),xG(0三)..已知函數(shù)/(%)=Inx4-^a6R.(1)當Q=1時，求函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)g(x)=g匚，若g(x)在［l,e2］上存在極值，求a的取值范圍..已知函數(shù)/(%)=ex(x-a)2.(1)若/(%)在x=-1處的切線與x軸平行，求a的值；(2)f(X)有兩個極值點與產(chǎn)2,比較/(空)與弋3的大??；(3)若f(x)在上的最大值為4e，求a的值..已知函數(shù)f(x)=lny+%(1)當a=。時，求曲線y=/'(x)在點(一1,/(一1))處的切線方程；(2)當。=一；時，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間：(3)當x<0時，/(x)>:恒成立，求a的取值范圍..已知函數(shù)/'(x)=alnx—bx+b,g(x)=-——a(x>0).(1)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(l,c)處具有公共切線，求實數(shù)a,b的值；(2)若函數(shù)g(x)無零點，求實數(shù)a的取值范圍；(3)當a=b時，函數(shù)F(x)=/(x)+g(%)在x=1處取得極小值,求實數(shù)a的取值范圍..已知函數(shù)/(x)=等.(1)當a=1時，求/(X)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)當a21時，求證：/(x)<(a—l)x+1；(3)直接寫出。的一個取值范圍，使得/Na/+(a-i)x+i恒成立..已知f(%)=ksinx+2x.(1)當k=2時，判斷函數(shù)/(x)零點的個數(shù)；(2)求證：-sin%4-2x>ln(x+1)(%￡(°，")}(3)若/(%)>ln(x+1)在xe(0或恒成立,求k的最小值..設(shè)函數(shù)/(%)=x2+mln(x+l)(mGR).⑴若m=-1,①求曲線/(%)在點(OJ(O))處的切線方程；②當xw(l,+8)時，求證：/(%)<%3.(2)若函數(shù)/(%)在區(qū)間(0,1)上存在唯一零點，求實數(shù)m的取值范圍..已知函數(shù)/(%)=ex-ax-1.(1)求曲線y=f(x)在點(OJ(O))處的切線方程；(2)求函數(shù)/Q)的極值；(3)當OVaVe時，設(shè)函數(shù)g(%)=△△=4,xE(0,n),判斷g(x)的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論.大數(shù)據(jù)之十年高考真題(2013-2022)與優(yōu)質(zhì)模擬題(北京卷)專題04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用■真>題，匯,，電 1.【2021年北京14】已知函數(shù)f(x)=|lgx|-kx-2,給出下列四個結(jié)論：①若k=0,則/(x)有兩個零點；②M<0,使得/(H)有一個零點；③混<0,使得/Xx)有三個零點；@3fc>0,使得f(x)有三個零點.以上正確結(jié)論得序號是.【答案】①②④對于①，當k=0時，由/'(X)=|lgx|-2=0,可得*=擊或x=100,①正確；對于②，考查直線y=kx+2與曲線y=-lgx(0<x<1)相切于點P(t,-Igt),I +2=—Igt t=對函數(shù)y=—Igx求導(dǎo)得/=一焉，由題意可得｛K一 1，解得｛, ，xlnl° 代--標 k=--lge所以，存在k=一詈lge<0,使得/(x)只有一個零點，②正確；對于③，當直線y=kx+2過點(1,0)時，k+2=0.解得k=-2,所以，當一詈Ige<k<-2時，宜線y=kx+2與曲線y=-lgx(0<x<1)有兩個交點，若函數(shù)有三個零點，則直線y=kx+2與曲線y=-lgx(0<x<1)有兩個交點，100. . _9直線y=kr+2與曲線y=lgx(x>1)有,個交點，所以，｛e侯 ，此不等式無解，k+2>0因此，不存在k<0,使得函數(shù)/(乃有三個零點，③錯誤；對于④，考查宜線y=kx+2與曲線y=lgx(x>1)相切于點P(t/gt),1 kt+2=Igtt=lOOe對函數(shù)y=Igx求導(dǎo)得y'=焉，由題意可得｛k=_!_>解得｛卜=里，-dnio 100e

所以，當0</￡<所以，當0</￡<黑時，函數(shù)f(X)有三個零點,故答案為：①②④..【2020年北京卷11】函數(shù)/(均=吃+也工的定義域是【答案】(0,+8)【解析】由題意得｛x由題意得｛x>0x+1*0故答案為：(0,+8).【2019年北京理科13］設(shè)函數(shù)/(x)=F+a/x(a為常數(shù)).若f(x)為奇函數(shù)，則a=；若/(x)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是—.【答案】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=/+訛-若f(x)為奇函數(shù)，則/(-x)=-/(x),即e*+aF=- 變形可得a=-l,函數(shù)f(x)=ex+aex,導(dǎo)數(shù)/(x) -aex若f(x)是R上的增函數(shù)，則f(x)的導(dǎo)數(shù)/(x) 在R上恒成立，變形可得：。46%恒成立，分析可得aWO,即a的取值范圍為(-8,0］；故答案為：-1,(-8,0］..(2016年北京理科14］設(shè)函數(shù)/(x)=［二一3》，“*a\—2x,x>a①若a=0,則/(x)的最大值為.②若f(x)無最大值，則實數(shù)a的取值范圍是【答案】解：①若a=0,則/(x)=X3—3尤，x<0—2x,x>0(3工2—3,xV0-，當X<-1時，/(x)>0,此時函數(shù)為增函數(shù),-2,x>0當x>-1時，/(x)<0,此時函數(shù)為減函數(shù)，故當x=-1時，/(x)的最大值為2：?f(x)=產(chǎn)-3,『1-2,x>a令，(x)=0,則1=±1,{Q>—1-2a>a3-3a,-2a>2解得：aE(-°°,-1).故答案為：2?(-8,-1)5.12022年北京卷20】已知函數(shù)/(%)=e*ln(l+x).(1)求曲線y=/(%)在點(0,/(0))處的切線方程；(2)設(shè)g(x)=/(無)，討論函數(shù)g(x)在［0,+8)上的單調(diào)性；(3)證明：對任意的s/W(0,+8),有f(s+t)>f(s)+f(t).【答案】(l)y=x(2)g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增.(3)證明見解析【解析】⑴解:因為/(x)=e*ln(l+x)，所以f(0)=0，即切點坐標為(0,0),又/(乃=丁(皿1+乃+土),???切線斜率k=r(o)=i，切線方程為：y=x⑵解:因為g(x)=f'(x,)=e*Qn(l+x)+土),7 1所以g'(x)=；(皿1+x)+前一詢)，2 1令九(嗎=也(1+*)+百一五不，(1+x)2+(1+x)3一+1

(1+x)30,???/i(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增,Ah(x)>h(0)=1>0，g'(x)>0在［0,+8)上恒成立,.??g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增.(3)解:原不等式等價于f(s+0-/(s)>/(O-/(0),令m(x)=f(x+t)—/(x),(x,t>0)?即證m(x)>m(0),Vm(x)=/(x+t)-/(x)=ex+tln(l+x+￡)—exln(l+x),mz(x)=X+tmz(x)=x+tln(l+x+t)+ -exln(l+x)-太=g(x+t)-g(x).由(2)知g(x)=f'(x)=e*(ln(l+x)+3")在［0,+8)上單調(diào)遞增,?'?g(x+t)>g(x),.*.mz(x)>0???m(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又因為居t>0,.\m(x)>m(0),所以命題得證..［2021年北京19］已知函數(shù)"X)=言.(1)若a=0,求y=/(x)在(l,f(l))處切線方程；(2)若函數(shù)f(x)在x=-1處取得極值，求/(x)的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值.【答案】(1)4x+y—5=0；(2)函數(shù)/"(X)的增區(qū)間為(一8,—1)、(4,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(一1,4),最大值為1，最小值為一:⑴當a=0時，f(x)=受,則/(乃=幺*，=尸(1)=一4,此時，曲線y=/(x)在點處的切線方程為y-l=-4(x-l),即4x+y-5=0：(2)因為/(x)=言，則/'(幻==度；黑蘆也=喘:泮由題意可得1)=骼*=0,解得a=4,(a十ij故的=言，廣(幻=黑黑J,列表如下：X(-8,-1)-1(-1，4)4(4,+8)/'⑶+0—0+f(x)增極大值減極小值增所以，函數(shù)/(x)的增區(qū)間為(一8,—1)、(4,4-00),單調(diào)遞減區(qū)間為(一1,4).當時，/(x)>0；當時，f(x)<0.所以，/(X)max=/(―1)=1，/OOmin=f(4)=—.【2020年北京卷19】已知函數(shù)/'(X)=12-/.(I)求曲線y=f(x)的斜率等于-2的切線方程；(II)設(shè)曲線y=f(x)在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為S(t),求S(t)的最小值.【答案】(1)2x+y-13=0,(II)32.【解析】(I)因為f(x)=12-所以r(x)=-2x,設(shè)切點為(*,12-&)，則一2而=一2,即而=1,所以切點為(1,11),由點斜式可得切線方程為：y-U=-2(x-l).BP2x+y-13=0.(11)顯然t工0,因為y=/(X)在點(t,12-產(chǎn))處的切線方程為:y-(i2-t2)=-2t(x-t).令x=0,得y=t2+i2,令y=0,得x=，廣,所以S(t)="(t2+12).鬻，不妨設(shè)t>0(t<。時，結(jié)果一樣)，則S⑴=1+2：：+】44=)3+24±+9，所以S'(t)=*3產(chǎn)+24—詈)=勺產(chǎn)_3(d-4)(d+i2)_3(t-2)(t+2)(d+i2)4t2 - 4t2 9由S'(t)>0,得t>2,由S'(t)<0,得0<t<2,所以S(t)在(0,2)上遞減，在(2,+8)上遞增，所以t=2時，S(t)取得極小值,也是最小值為S(2)=二竺=32..【2019年北京理科19】已知函數(shù)f(x)=p-?+x.(I)求曲線y=/(x)的斜率為/的切線方程:

(II)當x€［-2,4］時，求證：x-6^fCx)Wx；(III)設(shè)FU)=|/(x)-(x+a)|(〃￡R),記尸(x)在區(qū)間［-2,4］上的最大值為M(〃),當M(〃)最小時，求。的值.【答案】解：(I)/(X)=^x2-2x+l,fyfXj—Of%2=fyfXj—Of%2=W，8 8又/(O)=0,f(-)=27??—加 8 8??y—x和y-2y=x—可即v=x和y=x一易;(n)證明：欲證x-6W/(x)Wx,只需證-6<f(x)-x〈0,令g(x)=f(x)-x=^x3—x2?xE［-2f4］,則屋(x)=1x2-2x=1x(x-1),在［，4］在［，4］為正,可知g'(x)在［-2,0］為正，在(0,-)可知g'TOC\o"1-5"\h\z8 8：.g(x)在［-2,0］遞增，在［0,于遞減，在14］遞增,8 64 、又g(-2)=-6,g(0)=0,g(-)=一斤>一6,g(4)=0,3 乙/二-6Wg(x)W0,?\x-6W/(x)Wx；(III)由(H)可得,F(x)=\f(x)-(x+a)|=\f(x)-X-二|g(x)-a\??,在［-2,4］上，-6Wg(x)WO,令t—g令),h(r)=\t-a\,

則問題轉(zhuǎn)化為當正[-6,0]時，h(r)的最大值M(a)的問題了,①當aW-3時，M(a)=h(0)=|a|=-a,此時-a23,當a=-3時，M(a)取得最小值3；②當心-3時,M(a)=h(-6)=|-6-a|=|6+a|,,.?6+a23,：.M(a)=6+a,也是a=-3時，M(a)最小為3.綜上，當M(a)取最小值時a的值為-3.9.【2018年北京理科18】設(shè)函數(shù)f(x)=[a?-(4a+l)x+4a+3]ev.(I)若曲線y=/(x)在點(1,/(1))處的切線與x軸平行，求a；(H)若f(x)在x=2處取得極小值，求a的取值范圍.【答案】解：(【)函數(shù),f(x)=(0^-(4(2+1)x+4a+3]/的導(dǎo)數(shù)為f(x)=[/-(2a+l)x+2]ex.由題意可得曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為0,可得(a-2a-1+2)e=0,且/'(1)=3e#0,解得a=1；(11)/(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)=[ax2-(2a+1)x+2]e'=(x-2)(ax-1)若a=0則x<2時，f(x)>0,f(x)遞增；x>2,f(x)<0,f(x)遞減.x=2處/(x)取得極大值，不符題意；若4>0,(x)=2(x-2)2，20,f若4>0,,1-,1-1若〃>5，則一<2,f(x)在(一，2)

/a a遞減；在(2,+8),-OO,-)遞增,

a可得fix)在x=2處取得極小值;11-az(x在M:612KJZ1-Q2,z(x住KHZX

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1-a

12*可得/⑺在x=2處取得極大值,不符題意；若〃<。，則⑺在(72)遞增；在⑵+8),1,一)遞減,a可得f(x)在大=2處取得極大值，不符題意.1綜上可得，4的范圍是(5，+8).10.【2017年北京理科19】已知函數(shù)f(x)="cosx-x.(1)求曲線y=f(x)在點(0,/(0))處的切線方程；71(2)求函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,y］上的最大值和最小值.【答案】解：(1)函數(shù)f(x)="coju:-x的導(dǎo)數(shù)為/(x)="(cosx-sinx)-1,可得曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線斜率為女=e°(cosO-sinO)-1=0,切點為(0,e°cosO-0),即為(0,1),曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=l：(2)函數(shù)/(x)=e'cosx-x的導(dǎo)數(shù)為/(x)=e'(cosx-sinx)-1,令g(x)=e，(cos.r-sinx)-1,則g(x)的導(dǎo)數(shù)為g'(x)—er(cosx-sinx-sirtr-cosx)=-2/?sinx,71 .當x€［0,—J,可得g'(x)=-2"?sinx<0,Tl即有g(shù)(x)在［0,—］遞減，可得g(x)Wg(0)=0,7T則/(x)在［0,耳］遞減，即有函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,一］上的最大值為/(0)=e°cos0-0=l：ititnnn取小值為f(-)=e2cos511.【2016年北京理科18】設(shè)函數(shù)f(x)=xeax+bx,曲線y=/(x)在點(2,f(2))處的切線方程為丫=(e-1)x+4,(I)求a,b的值；(H)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.【答案】解：(I)'：y=f(x)在點(2,/(2))處的切線方程為尸(e-1)x+4,二當x=2時，y=2(e-1)+4=2e+2,即f(2)=2e+2,同時/(2)=e-1,*.*/(x)=xef,x+bx,\f(x\f(x)=^'x-x^'x+b,則f(2)=2ea-2+2b=2e+2/'(2)=ea-2-2ea-2+b=e-l即〃=2,b=e；(II) 6/=2?b=e；??f(x)=xe2A+ex?：.f(x)=e2x-xe2x+e=(1-x)e2x+e=(1-x+^1)e2x,??,/AO,與，(x)同號，令g(x)=1-x+e^1,則g'(x)=-1+ex1.由g'(x)<0,得xVl,此時g(x)為減函數(shù)，由g'(x)>0,得x>l,此時g(x)為增函數(shù),則當x=l時，g(x)取得極小值也是最小值g(1)=1.則g(x)Ng⑴=1>0,故/(X)>0,即/(X)的單調(diào)區(qū)間是(-8,+OO),無遞減區(qū)間.14-X12.【2015年北京理科18]已知函數(shù)f(x)=ln ,1-x(I)求曲線y=f(x)在點(0,/(0))處的切線方程：(II)求證，當(0,1)時，f(x)>2(x+^-)；(III)設(shè)實數(shù)A使得/(x)>k(x+號)對(0,1)恒成立，求z的最大值.【答案】解答：(1)因為f(x)=ln(1+x)-In(1-x)所以/'。)=e+白，/(0)=2又因為/(0)=0,所以曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程為y=2%.(2)證明：令g(x)=/(x)-2(x+y),貝I]g'(x)=f(x)-2(l+x2)=-^7，6j 1-x2因為g'(x)>0(0<x<l),所以g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增.所以g(x)>g(0)=0,xE(0,1),y3即當xW(0,1)時，f(x)>2(x4--g-).⑶由(2)知，當A<2時,f(x)>k(x+』-)對x6(0,1)恒成立.當3>2時,令力(x)=f(x)-k(x+乎)，h'(x)=f(jc)-k(1+x2)=卜'^”，所以當04V羋7時，h'(x)<0,因此〃(x)在區(qū)間(0,1畢)上單調(diào)遞減.當OVxV^^時，h(x)<h(0)=0,即/(x)</c(x+y).所以當上>2時，f(x)>k(x+1)并非對xW(0,1)恒成立.綜上所知，女的最大值為2.13.【2013年北京理科18】設(shè)/為曲線C：y=竽在點(1,0)處的切線.(I)求/的方程；(II)證明：除切點(1,0)之外，曲線C在直線/的下方.【答案】解：(【)’?，=竽. , 1-/nx??y=-^-.?./的斜率k=i=i."的方程為y=x-i證明：(II)令/(x)=x(x-1)-/nx,(x>0)曲線。在直線/的下方，即/*(x)=x(x-1)-lnx>0,則/(x)=2x-1-i=(2x+?(xT)：.f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，又/XI)=0IYIX(0?1)時，f(x)>0,<x-1InxxE(1?+°°)時，/(x)>0?即 <x-1x即除切點(1,0)之外，曲線。在直線/的下方?模擬好題 已知函數(shù)人公二:一瓜刀一匕卜6區(qū)(1)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(l，e)內(nèi)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間(1七)內(nèi)無零點，求k的取值范圍.【答案】⑴見解析⑵—盤"T+8)【解析】(l)v/(x)=^—jnx-k,kER,x6(l,e)f'(x)=一±一L=一空(I)當-k<1,即k>一1時，x+k>x-l>0， X2X X1f'(x)co,，,f(x)在(l，e)單調(diào)遞減(11)當一k2e，即kW~e時，x+k<x-e<0???f'(x)>0, /(x)在(1詞)單調(diào)遞增(Hl)當1<—k<e，即—e<k<l時，當1<工<—k時，/(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；當一k<x<e時，f'(x)<0,/'(x)單調(diào)遞減綜上所述，(I)當kN-1時，/(x)在(1迫)單調(diào)遞減<II)當k4—e時，〃琦在(1七)單調(diào)遞增(III)當-e<k<—l時，f(x)在。,一外單調(diào)遞增，在(一卜紀)單調(diào)遞減(2)由⑴知:當kN-1時，/(x)</(I)=0即/'(x)<0, /(#)在(1史)無零點當k?-e時，/(x)>f(D=O即/'(x)>0,二f(x)在(l，e)無零點當一0<女<一1時，/(%)在(1,一幻單調(diào)遞增，在(一人史)單調(diào)遞減f(x)>/(1)=O,xe(l,i),/(x)>f(e)=--l-k,xe(-k,e)e二只需/(g)="-1—kNO即可eB|J(1-i)k<-1,擊=之e e- e-e<k<亡綜上所述，kE(-8,亡]U[—1,4-oo)2.已知函數(shù)/(x)=e*(l+mlnx)，其中m>0,f'(x)為f(幻的導(dǎo)函數(shù).(1)當m=l,求/(外在點(1J(D)處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)九(外=華，且無(%)>J恒成立.①求m的取值范圍；②設(shè)函數(shù)/(%)的零點為%0，/'(%)的極小值點為%1，求證：x0>xi-【答案】(l)y=2qx—e⑵①原+81②詳見解析【解析】(l)m=1時，/(x)=ex(l+lnx),/z(x)=ex(l+Inx+⑴=2/⑴=e，所以函數(shù)在x=1處的切線方程y-e=2e(x—1),即y=2ex—e.

(2)①由題設(shè)知，f'(x)=/(1+:+minx)(x>0),h(x)= =1+?+minx,h<x)=":尹(x>0),由"(x)>0,得x>l,所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(L+8)上是增函數(shù)；由/?(x)>0,得0<xVl,所以函數(shù)九(%)在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù).故九(%)在x=1處取得最小值，且九(1)=1+m.由于九(無)恒成立，所以1+m2去得m2|,所以m的取值范圍為[|,+8)；②設(shè)g(x)=f'(x)=/(1+:+minx),則g'(x)=e'(1+早一簽+m'nx)-設(shè)〃(x)=1+?-￡+mlnx(x>0),則H，(x)=一駕+粵+巴=的±產(chǎn)>0,XLXiX 43故函數(shù)H(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，由(1)知，m對，所以H(l)=m+1>0,HG)=1—mln2<1-ln2&<0,故存在力GQ.l).使得H(xz)=0,所以，當OVxVx2時，H(x)V0,g'M<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減：當%>T2時，W(x)>0,gfM>0,函數(shù)g(幻單調(diào)遞增.所以應(yīng)是函數(shù)。(幻的極小值點?因此小=/，即/e(pi).由①可知，當7n=：時，/i(x)>即i+J_+bnT23整理得Inx+L'l,2 2 X2 -2 x所以minx+^>m.因此g(x)>gCq)=/(1+：+mlnxj>eX1(l+m)>0,即尸(x)>0.所以函數(shù)人幻在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增.由于“(%1)=0,即1+等-g+m'nxi=°,即1+mlnX]=————,xtxi所以/(的)=eX1(l+mg)=mex?<0=/(x0).又函數(shù)“X)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，所以X。>..3,設(shè)函數(shù)/(x)=[ax2-(4a+l)x+4q+3]ex.

(1)若曲線y=f(x)在點處的切線與x軸平行，求a；(2)若f(x)在x=2處取得極大值，求a的取值范圍.【答案】(1)1⑵(-*)【解析】(l)/(x)=[ax2—(4a+l)x+4q+3]〃定義域為R,r(x)=[ax2—(2a+l)x+2]ex.由題設(shè)知1(1)=[q-(2a+1)+2履=0,即(1-。把=0,解得：a=\此時川尸3%0.所以a的值為1(2)由(1)得f'(x)=[ax2-(2a+l)x+2]ex=(ax-l)(x-2)ex.若a>泄，則當xG&2)時，(x)<0;當xe(2,+oo)0>t,f'M>0,所以f(x)在&2)上單減，在(2,+8)上單增，所以/(x)在42處取得極小值，不合題意，舍去；若a=：時，則f'G)20恒成立，所以/(幻在R上單增，所以f(x)在戶2處不能取得極值，不合題意，舍去;若0<a<：時，則當x€Q?時，/⑺<0;當xG(一8,2)時，((幻>0,所以/"(%)在(-8,2)上單增，在白,；)上單減，所以/(幻在戶2處取得極大值，符合題意；若Q=0時,則當％E(2,+8)時/(無)<0;當無e(一8,2)時，r(x)>0,所以/(%)在(一8,2)上單增，在(2,+8)上單減，所以/(幻在戶2處取得極大值，符合題意；若a<0時，則當xG(2,+8)時,尸(幻<0;當x6(%2)時，f'(x)>0,所以f(x)在&2)上單減，在(2,+8)上單增，所以;"(X)在x=2處取得極大值，符合題意.綜上所述：a<押實數(shù)a的范圍為(-8,5.4.已知函數(shù)/'(x)=xlnx+ax+2.(1)當Q=0時，求f(幻的極值；(2)若對任意的XW /G)wo恒成立，求實數(shù)〃的取值范圍.【答案】(1)極小值是/6)=一三+2,無極大值.(2)[-4-2,+8)【解析】(1)當a=0時，/(x)=xlnx4-2,/(%)的定義域為(0,十8),/'(X)=Inx+1=0,則無=

令r(x)>0,則》6(工,+8),令/(x)<0,則x6(0,‘，所以f(x)在(0,3)上單調(diào)遞減，在G，+8)上單調(diào)遞增.當工=工時，/(x)取得極小值且為/(二)=二山二+2=-2+2,無極大值.(2)/(x)=xlnx+qx+2W0對任意的％6［LjJ恒成立，則一a>2+；n"=|+Inx對任意的xG［1,e?］恒成立，令g(x)=：+lnx,g<x)=-爰+：=三券=0,所以x=2,則gQ)在口,2)上單調(diào)遞減，在(2,e?］上單調(diào)遞增，所以g(l)=2,5(e2)=4+2,所以g(%)max=5(e2)=4+e e2,則一aAg+2,則a4-W-2.e e實數(shù)〃的取值范圍為：［一彳―2,+8).5.設(shè)函數(shù)f(x)=Qj-%—1，aeR.(1)當q=1時，求/(%)在點(0/(0))處的切線方程；(2)當％ER時，/(%)>0恒成立，求a的取值范圍；(3)求證：當x€(0,+8)時,、二>2.X°【答案】(l)y=0(2)a>1(3)證明見解析【解析】(D/(x)=ex-x-l,/(0)=e°-0-1=0,即切線(0,0)./(無)=/-1,fc=f(0)=e°-l=0,則切線方程為：y=0.(2)xeR,qJ-x-1>0恒成立等價于％GR,a>容恒成立.e設(shè)g(x)=竽,。'(幻=千，e ex6(-oo,0),g'(x)>0,g(x)為增函數(shù),X6(0,4-00),g\x)<0,g(%)為減函數(shù)，所以g(X)max=g(0)=1，KPa>1.(3)xe(0,4-00),口>1等價于%€(0,+8),”一xj一1>o.Xc cc

設(shè)/i(x)=e*-xj-1，xe(O,+8),九<4)=/(/一1-1)，設(shè)4(幻=/—gx—1，xG(0,+oo),內(nèi)(幻=：(「—1)>。，所以k(幻在(0,+8)為增函數(shù)，即k(x)>k(0)=0.所以/1，(幻=笈位一)一1)>0，即九(*)在(0,+8)為增函數(shù),即機x)>ft(0)=0,即證：'匚>Xtax.已知函數(shù)/'(x)=笈.(1)當a=1時，求函數(shù)/(x)在處的切線方程；(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若對任意x6[1,+8),都有f(x)>今成立，求實數(shù)a的取值范圍.Ve【答案】(1)e%—2y+e=0；(2)答案見解析；(3)a>-7ze【解析】(1)由題設(shè)，/(%)=,且工>0,則/(x)=e*?(安)，所以f(l)=e，f'(l)=：，故/(X)在(1J(1))處的切線方程為屋一2y+e=0.(2)由/'(》)=6眨?(?)且乂>0,當aWO時/(幻<0,即f(x)在定義域上遞減；當a>0時，在(0,—上((x)<0,f(x)遞減，在邑,+8)上f'(x)>0,f(x)遞增，綜上，aWO時f(x)遞減；。>0時人外在(0,勺上遞減，(+,+8)上遞增.1(3)由(2),a<0時/(x)遞減且xG[1,+8)值域為(0魂(1),顯然存在f(x)<可a>0時，f(x)的極小值為/㈢=>[2^,當(>1,即0<a<(時，/(x)在[1,/)上遞減，(點,+8)上遞增，只需，2cie>關(guān),可得/<a<；；當塌41,即a*時，/(x)在口,+8)上遞增，則〃1)=e">仁恒成立，滿足題設(shè)：綜上，a的取值范圍為a>人.2e.已知函數(shù)/(x)=(x2—ax)lnx+x(aGR,a>0).(1)若1是函數(shù)/(%)的極值點，求Q的值；(2)若0<a41,試問/(x)是否存在零點.若存在，請求出該零點；若不存在，請說明理由【答案】(l)a=2(2)不存在，理由見解析【解析】(l)/(x)=(x2—ax)lnx+x,定義域是(0,4-oo),/'(x)=x—a+1+(2x—a)lnx?,?T是函數(shù)f(x)的極值點，.../(l)=2-a=0,解得a=2,經(jīng)檢驗a=2符合題意；(2)證明：令/(x)=0,BP(x-a)]nx+1=0,令/i(x)=(x—a)lnx+l(x>0),則九口)=丘+1-？=任尸，令m(%)=x\nx4-x-a>則=Inx+2,令nf(%)=0,解得x=e-2,而m(e-2)=—e~2—a<0,當0Vx< 時，m\x)<0,單調(diào)遞減，當無>?-2時，(幻>0,m(x)單調(diào)遞增，當x趨向于0時，m(%)趨向于-a,即m(x)V0,m(e-2)=一°-2-a<o,m(l)=1—a>0,故存在工oW(e-2,1)使得m(x)=Xoln%o+Xo—a=O即九'(%)=0,故當OvxVx。時，/i;(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，當時,hz(x)>0,九(￡)單調(diào)遞增,故九(x)min=h(%o)=(%o—a)lnx0+1=1—x0(lnx0)2>O(xoG(e~2f1))>故九(x)>0,九(x)即/(x)無零點；1.已知函數(shù)/'(x)=alnx+?(a6R)(1)若a=2,求曲線y=f(x)在點(1/(1))處的切線方程；(2)求"X)的極值和單調(diào)區(qū)間；(3)若f(x)在口.]上不是單調(diào)函數(shù)，且f(x)4e在Ue】上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(l)y=x(2)答案見解析⑶(21)e【解析】(1)當a=2時，函數(shù)f(x)=21nx+；,/'(x)=：一點.所以"1)=1，r(i)=1.所以曲線y=/'(x)在點(1J(l))處的切線方程y=x.(2)函數(shù)/(x)定義域xG(0,+8).求導(dǎo)得尸(乃=；9=衰.①當aWO時，因為x6(0,+8),所以尸(幻<0.故/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+8),此時/(x)無極值.②當a>0時，x變化時，f'(x),f(x)變化如下表：X1(0,一)a1a1(一，+8)af'M—0+fix)極小值7所以/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,()，單調(diào)遞增區(qū)間是(；,+8).此時函數(shù)f(x)的極小值是“4ua-alna,無極大值.(3)因為f(x)在口,J不是單調(diào)函數(shù)，由第(2)可知此CL D時a>0,且?€[1，總，X11(1,-)a1a1(￡,e)ef'M—0+/(x)/⑴極小值7/(e)又因為f(x)<e在[1,/上恒成立，只需(l<;<e (a+K，/⑴=e即可，所以111，("e)4e g<"l解得a的取值范圍是9,1)e.已知函數(shù)/。)=鬻.(1)若/(1)=(,求a的值；(2)當a>2時，①求證：/(%)有唯一的極值點X1；②記f(x)的零點為右，是否存在a使得孑12?說明理由.1*0【答案】(l)a=1.(2)①證明見解析，②不存在，詳細見解析.【解析】⑴因為f(x)=W，x>°，所以/，(乃=與黑，因為/'(1)=4=：，所以a=l.4 4(2)①/(%)的定義域是(0,+8),ff(x)=1+1：；一°,令/'(")=0,,則1+-Inx-a=0.設(shè)g(x)=1+：-In%-a,因為y= =-Inx在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.因為g(eF)=l+e°>°，g(l)=2-aV0，所以g(x)在(0,+8)上有唯一的零點，|所以/''(%)=0有(0,+8)有唯一解，不妨設(shè)為修,％1G(e-a,1).f'(x)與/(外的情況如下，X(0,Xi)尤1(x1(+oo)/'(X)+0-f(x)增極大值減所以f(x)有唯一的極值點-ae②由題意，lnx0=一。，則%o=若存在。，使器We?，則勺與2-0<1，所以-ae因為g(x)在(0,+8)單調(diào)遞減，g(e-a)=l+e。>0,則需9(/-。)=e°T-14°，即aM2,與已知矛盾.所以，不存在a>2,使得孑4XO.已知函數(shù)f(x)=x+彳-+alnx(aeR).(1)當a=1時，求曲線y=f(x)在點(1,/(1))處的切線方程；(2)當x6+8)時，曲線y=f(x)在x軸的上方，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(l)y=3；⑵(一3,+8).【解析】(1)當q=1時，/(%)=x+-4-Inx,x>0,? 1(X)=1一哀+7???/(1)=3/(1)=0，???曲線y=f(%)在點(1J(1))處的切線方程為y=3；(2)*.,函數(shù)/(》)=x+—+alnx(a6/?)?當qNO時，由xWL+8)有/(X)>0,故曲線y=/(%)在x軸的上方，當QV0時，/(%)=1-篝+￡=(x-a)(x+2a)由/'(x)=0可得x=-2a或x=a(舍去)，...當x€(0,—2a)時，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，當x€(-2a,+8)時，〃(x)>O,f(x)單調(diào)遞增，當一2a<e即一；4a<。時，所以/'(x)在+8)上單調(diào)遞增，則/(x)>/()=+—+a=-(a+￡)2+->0.即曲線y=/(x)在x軸的上方，e e、 4， 8當一2a>e即Q〈一：時，/(%)在%，一2。)上單調(diào)遞減，在(一2q,+8)上單調(diào)遞增，則/(無)>/(-2a)=-3a+aln(-2a),由xeL+8)時，曲線y=/(x)在無軸的上方，3A-3a+aln(-2a)>0,解得q>一,，所以一?<"_：；綜上，實數(shù)a的取值范圍為(一3,+8)..已知函數(shù)f(x)=Inx+?,a6r.(1)當a=0時，求曲線y=f(x)在點處的切線方程;(2)若函數(shù)/(x)的最小值是2,求a的值；(3)設(shè)r為常數(shù)，求函數(shù)。(幻=亭件的單調(diào)區(qū)間.【答案】(l)y=x-l(2)a=e(3)減區(qū)間為(0,t),(t,+8),無增區(qū)間【解析】(1)當a=0時，/(x)=Inx,/(I)=Ini=0.f'M=i,f'(l)=l,即切線斜率k=l.所以切線方程為y=x-l.(2)函數(shù)/(x)=Inx+￡的定義域為(0,+8),/'a)=?_￡=詈令/'(幻=0?得％=當qW0時，/z(x)>0.所以f(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，無最小值.當q>0時，令『(%)V0,得OVxVa；令/'(x)>0,得x>a.所以/(x)在(0,a)單調(diào)遞減，在(a,+8)單調(diào)遞增,所以/(%)最小值為f(Q)=1+Ina.所以1+Ina=2,即q=e.(3)函數(shù)g(x)的定義域為(0,t)U(t,+oo),—(lnx-Int) 1+lnt—(lnx+~)(x-t)2(x-t)(x-t)2由⑵知，當t>0時，若X手a,Mlnx+->l+lnt.r-r：iu?，、 1 lnx+lnt所以g(x)=x)z<o>-I)所以g(x)=9處的減區(qū)間為(0,t),(t,+oo),無增區(qū)間.x-t.已知/(%)=ksinx+2x,(1)當k=2時，判斷函數(shù)/(x)零點的個數(shù);(2)求證：-sin%4-2x>ln(x+l),xG(0^).【答案】(1)1;(2)證明見解析.【解析】(1)當k=2時，f(x)=2sinx+2x,//(x)=2cosx+2>0?當且僅當x=(2k—1)1rkWz時取”=；所以/(%)在R上單調(diào)遞增，而f(0)=0,即0是f(x)的唯一零點，所以函數(shù)/(%)零點的個數(shù)是1.(2)x6(0^),令g(x)=2x—sinx-ln(x+1),則g'(x)=2—cosx——,因cosx<1,—<1,則g'(x)>0?，2 X+1 Jf+1因此,函數(shù)g(x)在(05)上單調(diào)遞增，Vxe(0j),g(x)>g(0)=0,所以當*6(0,g)時，—sinx+2x>ln(x+1)成立..已知函數(shù)/(x)=lnx+，a6R.⑴當a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間：(2)設(shè)函數(shù)g(x)=號匚，若g(x)在“透2］上存在極值，求a的取值范圍.【答案】(1)減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(1,+8).(2)(0,；)【解析】(1)解：當a=l時，函數(shù)/(x)=lnx+(其定義域為(0,+8),可得/'(x)=：-妥=妥，當xw(0,1)時,f'M<0.f(x)單調(diào)遞減;當x6(1,+8)時，f'{x}>o,/(x)單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8).(2)解：由g(x)=^^=處+彳一=丫€XXX￡XLJ—T4B，/、1-lnx,12a2x-xlnx-2a可得g(x)=M+巨一或=—哀一，設(shè)九(幻=2%—xlnx—2q,則〃(x)=2-(1+Inx)=1-Inx,令/f(x)=0,即l—lnx=0,解得x=e.

當xE［l,e)時，>0；當x€(e,e2］時，”(x)V0,所以九(外在區(qū)間［l,e)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(e,e2］匕單調(diào)遞減，且八(1)=2—2a,h(e)=e—2a,h(e2)=-2a,顯然九(1)>h(e2),若g(x)在［Id］上存在極值，貝I滿足器；晨：或解得0<”；，綜上可得，當0<a<］時，g(x)在［l,e2］上存在極值，所以實數(shù)a的取值范圍為(0()..已知函數(shù)/(x)=ex(x-a)2.⑴若f(%)在％=-1處的切線與X軸平行，求Q的值；(2)/(幻有兩個極值點%,不，比較f(笠)與仇);/(%)的大小;⑶若/(x)在[-1,1]上的最大值為4e，求a的值.【答案】⑴a=1；(3)3或一1【解析】(l)/z(x)=ex(x-a)2+ex-2(x-a)=ex[x2+(2-2a)x+a2-2a],由尸(T)=e-111-(2-2a)+a2-2a]=0,解得q=±1,當q=1時，/(x)=/(x-/,((T)=4^,符合題意；當Q=-l時，/(x)=ex(x+1)2,/(-I)=0,此時切線與X軸重合，不符合題意；所以Q=1;(2)由(1)知:/'(%)=ex[x2+(2—2a)x+a2—2a]=ex(x—a)[x—(a—2)],令/'(x)=0可得％=a或a—2,則/(%)在(一8,口一2),(兄+8)單增，在(a-2,a)上單減，則a-2,q是f(x)的兩個極值點，不妨設(shè)占=。一2則/(則/(空)=/(寧)=/(a-1)=e-i/。1)+/(如)_/(a-2)+/(a)_4ea-2+o_2ea-22 - 2一2 -又e。一1=e?ea-2>2ea-2,即/仔詈)>￡2空3；(3)由(2)知：/(x)在(-8,q-2),(a,+8)單增，在(q—2,。)上單減.當QN3時，a-2>l,則/(x)在[-1,1]上單增，則/(x)max=/(l)=e(l-Q)2=4e，解得q=3或一1,故

a=3；當1VQV3時，-l<a-2<l,則/'(x)在［-1,q-2)上單增，在(a-2,1］上單減，則f(x)max=/(a-2)=4ea-2=4e，解得q=3,不滿足1VqV3，不合題意；當Q=1時，Q-2=-1,則/(%)在上單減，則f(x)max=/(一D=小(一1一j二％,不合題意；當一lvavl時，a-2<-l,則/(x)在［-1,a)上單減，在(a,1］上單增，M/(x)max={/(-I)J(l)}max?若f(—1)N/(1)?RO/(x)max=/(—l)—e-1(—1—cl)2—4e>解得q=2e—1或—2e—1,不滿足-1<a<1>不合題意，若-1)，則f(x)max=f(l)=e(l-Q)2=4已，解得Q=3或一1,不滿足-1VQV1,不合題意；當QW-1時，則/(X)在［-1,1］上單增，則/(x)max=f(l)=e(l-Q)2=4e，解得q=3或-1,故Q=-l；綜上：a=3或一1..已知函數(shù)/(尤)=ln當(1)當a=0時，求曲線y=/(幻在點(一1,/(一1))處的切線方程；(2)當。=一：時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)當x<0時,/(x)>?亙成立，求a的取值范圍.【答案】(l)y=—(x—/(2)外外的單增區(qū)間為(一1,0),(0，)，單減區(qū)間為(3)a?-：【解析】⑴廣(外=三.(—；)—￡=￡-*當a=0時,m=^I,r(-l)=-i,/(x)=In^i,/(-l)=0,1 1 1故曲線y=/(x)在點(—1,/(—1))處的切線方程為y=~~(x+1)>即y=--x-(2)易得定義域為(-8,0)u(0,l),當a=_；時，/(X)=六十點=-(：：；*：),令尸(x)=0,x=［或一1,當為<-1或g<x<1時，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；當—1<x<0或0<x<g時，f'(x)>OJ(x)單調(diào)遞增；故/(x)的單增區(qū)間為(-1,0),(0,以，單減區(qū)間為(一8,-1),&1)；(3)*/(-1)=-a>\,即a< 是“當x<0時，/(%)>:恒成立”的必要條件.當aW-/x<0時,/(x)=也子+^之In辭一三，令。(乃二也早一/,由(2)知，以外在(一8,-1)單調(diào)遞減，在(-L0)單調(diào)遞增，故g(x)2g(-1)=3，

即所以Q的取值范圍是QW.已知函數(shù)f(x)=alnx—bx+b,g(x)=a(x>0).(1)若曲線y=/(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(l,c)處具有公共切線，求實數(shù)Q,b的值；(2)若函數(shù)g(x)無零點，求實數(shù)Q的取值范圍；(3)當q=b時，函數(shù)尸(%)=f(x)+g(x)在x=1處取得極小值，求實數(shù)Q的取值范圍.【答案】(1)Q=e，b=e(2)(—8,e)(3)(一8,e]【解析】(1)因為函數(shù)f(x)=alnx—bx+b,g(x)=5—a(x>0)?所以尸(X)=￡-b,g，(x)=-2.因為曲線y=f(x)與曲線y=g(%)在它們的交點(l,c)處具有公共切線，所以r(l)=g<l)J(l)=g(l).則q—b=0專一q=0,解得q=e,b=e.(2)由題意，g(x)=/一q=叱％設(shè)九(無)=ex—ax(x>0),hz(x)=ex—a.①當qWO時，hz(x)>0?h(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且h(x)>h(0)=1,所以g(%)>0,所以g(x)在(0,+8)上無零點.②當q>。時，令h'(x)=ex—a=0,得x=Ina.當0vqMl,即InaWO時，h'(x)>0,h(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且h(x)>h(0)=1,所以>。，所以g(%)在(0,+8)上無零點?當a>1,時，Ina>0,h(x),“(%)符號變化如下，X(OJna)Ina(Ina,+oo)h'(x)—0+h(x)X極小值/所以h(%)min=九。na)=a(l—Ina).當1-Eq>0,即l<a〈e時，九(x)>0,所以g(x)>0,所以g(x)在(0,+8)上無零點.當1-Ina<0,即q>e時，由九(0)=1>0,h(Ina)<0,所以h(x)至少存在一個零點x()G(O,lna],所以g(x)至少存在?個零點.綜上，若g(%)無零點，實數(shù)a的取值范圍為(-8,e).(3)當q=b時，F(xiàn)(x)=/(x)+g(x)=a^nx—Q%+=,定義域為(0,+oo).則F，(x)=--a+ =(xT)『-ax).vzX X2 X2由(2)可知，當a<1時，h(x)=ex-ax>1,當1<aWe時，Mx)min=a(l-Ina)>0,所以當a<e時，h(x)=ex-ax>0在(0,+8)上恒成立.此時，當0cx<1時，F(xiàn)'(x)<0,F(x)單調(diào)遞減；當x>l時，F(xiàn)'(x)>0,F(x)單調(diào)遞增.所以F(x)在x=1處取得極小值.當a>e時,Ina>1,當1<x<Ina時，x—1>0.h(x)<h(l)=e—a<0,所以"'(x)<0,F(x)單調(diào)遞減.此時x=l不是極小值點.即a>e時，不合題意.綜上，滿足條件的a的取值范圍為(-8,&..已知函數(shù)/1(x)=零±(1)當a=1時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)當a21時，求證：/(x)<(a-l)x+1；(3)直接寫出a的一個取值范圍，使得f(X)>ax2+(a-l)x+1恒成立.【答案】(1)/(外的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+8),在x=0處取得極大值，且極大值為1;(2)證明見解析；(3)答案不唯一，見解析.【解析】⑴當a=l時，f(x)=矍，則/(萬)=節(jié)手中，

令/(為)=0,即x=0,所以當xv0時，ffM>0?/(幻單調(diào)遞增；當x>0時，ffM<0?f(x)單調(diào)遞減;因此“X)在x=0處取得極大值，八0)=等=1,所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+8),在x=0處取得極大值，且極大值為1：(2)要證/(x)<(a—l)x+1,印證9：。—(a—l)x—1<0.因此設(shè)g(x)=誓_(a-l)x-1,則“(x)=三二-(a-1)=f：乎吐,令m(x)=a—ax—1—(a—l)ex,則=-a—(a—l)ex,因為aNl,所以nf(%)=-q-(q-l)e，W0,因此m(x)單調(diào)遞減，且m(0)=a-1一(a-l)e0=0,所以xW(-8,0)時，m(x)>0；當xW(0,+8)時，m(x)<0；即刀6(—8,0)時，g'(x)>0；當xE(0,+oo)時，g，(x)V0；所以g(x)在％W(-8,0)上單調(diào)遞增，在xw(0,+8)上單調(diào)遞減，所以g(x)在x=0處取得極大值也是最大值，且g(0)=喜—1=0,故，9—(a—l)x—1<0.(3)要證f(%)>ax2+(a-l)x+l,即證號之”2+5一。萬+匕也即是ax+12a/e*+(a-l)xeAex+exf即證ax(xe*4-ex-1)<xex—e*+1,令G(x)=xex—ex+1?則G，(x)=xexf當%>0時，G?)>0,即G(x)單調(diào)遞增：當k<0時，G\x)<0,即G(x)單調(diào)遞減;所以G(x)min=G(0)=0,故xe"-ex4-1>0,令H(x)=x(xex+e*—1)=x2ex+xex—x,則“'(x)=(x2+3x+l)ex—1令M(%)=(x2+3x+l)ex—1,則"(%)=(x2+5%+4)ex>Mf(x)=0,則必=-4,x2=-1所以XV-4和無>一1時，Mf(x)>0,則MQ)單調(diào)遞增，一4<X〈一1時，Mf(x)<0,則M(x)單調(diào)遞減,且M(-4)=5e-4-l<0,M(-l)=-e-1-l<0,M(0)=e0-1=0,因此xv0時，M(x)VO,即=(/+3x+l)e*-1v0,所以”(幻單調(diào)遞減，%>0時，M(x)>0,即H'(x)=(/+3x+l)e#—1>0,所以，(x)單調(diào)遞增，所以H(x)min=W(0)=0,即+ex-1)>0因此當aW0時，f(%)2ax2+(a-l)x+1恒成立..已知/(%)=ksinx+2x.(1)當k=2時，判斷函數(shù)/'(x)零點的個數(shù)；

(2)求證：-sinx+2x>ln(x+1)(%E(3)若f(x)>ln(x+1)在%€(04)恒成立，求k的最小值.【答案】(1)一個零點(2)證明見解析(3)-1【解析】⑴當k=2時，f'(x)=2cosx+2N0,/(x)=2sinx+2%在R上單調(diào)遞增，/(0)=0,/(%)只有一個零點工=0：1⑵設(shè)g(x)=2%一sinx-ln(x+1),當％W(04)時，gr(x)=2-cosx-->0,所