初中數(shù)學(xué)北師大九年級(jí)下冊(cè)第三章圓-《圓》回顧與思考PPT

一、相交弦定理1、認(rèn)識(shí)定理如圖，在中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P求證：提示：連AC、BD，證?ACP~?DBP相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩線段的乘積相等你能證明嗎?定理的應(yīng)用1、試一試：如圖，在中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P若：P是CD的中點(diǎn)，PB=2，PA=4你能求出PC之長(zhǎng)嗎？若PC：PD=4：3呢？2、老題新解如圖，AB是圓O的弦，C是弧AB的中點(diǎn)，OC交AB于D，若AB=8，CD=2，求圓O的半徑解：延長(zhǎng)CO交圓于E，由垂徑定理知D為AB的中點(diǎn)，故AD=BD=4由相交弦定理得：所以DE=8，故半徑為5E例1.如圖1，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，AB=4，弦BE經(jīng)過(guò)AD的中點(diǎn)M，連結(jié)AE，求BE和AE的長(zhǎng).

∴ME=∴BE=

又

∵

∴AE=

解：連結(jié)BD，∵四邊形ABCD是正方形，

又∵點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，∴AM=2

∴BM=

，∵BM

ME=AM

MD，

可用勾股定理求出BM,用相交弦定理求EM例2、（2020.金牛一診)如圖，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圓，連結(jié)OA、OB、OC，延長(zhǎng)BO與AC交于點(diǎn)D，與⊙O交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)G，使得∠BGF＝∠GBC，連接FG.

（1）求證：FG是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為4

①且OD=3，求AD的長(zhǎng)度；

②當(dāng)△OCD是直角三角形時(shí),

求△ABC的面積.分析（1）證切線，只需證即但BF是直徑故不難證明解：（1）連接AF∵BF為⊙O的直徑，∴∠BAF=90°，∠FAG=90°，∴∠BGF+∠AFG=90°∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB∵∠ACB=∠AFB，∠BGF=∠ABC∴∠BGF=∠AFB∴∠AFB+∠AFG=90°，即∠OFG=90°又∵OF為半徑∴FG是⊙O的切線.（2）①要求AD之長(zhǎng)，只需求出AD與CD的比值連CF，你能判斷CF與AO的位置關(guān)系嗎？平行那么，此時(shí)AD：CD=？OD：DF解：（2）①連結(jié)AO并延長(zhǎng)交BC于M，連結(jié)CF，而BF是直徑，故M（2）若⊙O的半徑為4

①且OD=3，求AD的長(zhǎng)度；

（2）②∵△ODC為直角三角形,∠DCO不可能等于90°.∴i）當(dāng)∠ODC=90°時(shí)，由垂徑定理知AB=BC，故三角形ABC為等邊三角形而AO=4，故AB=

（2）若⊙O的半徑為4

②當(dāng)△OCD是直角三角形時(shí),求△ABC的面積.ii）當(dāng)∠COD=90°時(shí)，（如圖）

∵OB=OC=4,∴△OBC是等腰直角三角形延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)M則由前面可知:AM⊥BC,二、切割線定理1、認(rèn)識(shí)定理如圖，PA是的切線，切點(diǎn)為A，PC交圓O于B、C，求證：分析你能證明嗎?你能用語(yǔ)言敘述這個(gè)結(jié)論嗎?從圓外一點(diǎn)向圓引切線和割線，切線長(zhǎng)的平方等于這點(diǎn)到割線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)的距離之積二、切割線定理2、練一練（1）如圖，PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，PC交圓O于B、C，PA=4，BC=6，則PB=

（2）如圖，AB是圓O的直徑，D是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)D作圓的切線DC，C為切點(diǎn)，若DC=4，DA=2，則AB=

；AC=

。提示：設(shè)PB=x,由切割線定理可解2由切割線定理求出DB，進(jìn)而求出AB，提問：?ABC是什么三角形？已知AB要求AC有哪些方法？你能找出AC與BC的比嗎？請(qǐng)你解答出來(lái)6點(diǎn)評(píng)：在有切線和割線的圖形中，除了要記住切割線定理本身，還應(yīng)記住這對(duì)相似三角形，特別是3、典型例題例3、如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E,P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CA平分∠PCD，PA=

,tan∠PCA=(1)求證：PC是⊙O的切線。(2)求⊙O的半徑之長(zhǎng)。(3)若F是BD弧的中點(diǎn)，BF的延長(zhǎng)線交CD于G，求DG的長(zhǎng)。分析（1）證切線應(yīng)“連半徑證垂直”即要證你能證明了嗎？請(qǐng)寫出證明過(guò)程。(2)求⊙O的半徑之長(zhǎng)怎么用？連BC，轉(zhuǎn)為進(jìn)而得到哪兩邊之比？AC：BC=1：2AC：BC還可以等于哪兩邊之比？PA：PC已知PA，能求出PC嗎？能求出AB了嗎？請(qǐng)你寫出解答過(guò)程解：連BC，由PA是切線知：由切割線定理得：故半徑為5(3)若F是BD弧的中點(diǎn)，BF的延長(zhǎng)線交CD于G，求DG的長(zhǎng)。分析：由F是弧BD的中點(diǎn)，可想到什么？它們所對(duì)的圓周角相等連結(jié)AF、BD，則：再想想：相等于是你又能得到哪兩個(gè)角相等？那么DG與誰(shuí)相等？DB由對(duì)稱性DB又與誰(shuí)相等？BC你會(huì)做了嗎？寫出過(guò)程答案：變式；（2020.武候一診）如圖，圓O是?ABC的外接圓，AB是圖O的直徑，在?ABC外作∠CAD=∠CAB，過(guò)C作AD的垂線，垂足為D，交AB的延長(zhǎng)于P。（1）求證：PC是圓O的切線求半徑（用含m的代數(shù)式表示）（3）在（2）的條件下，作弦CF平分∠ACB，交AB于E，連結(jié)BF且求線段PE的長(zhǎng)分析：證切線“連半徑證垂直”（1）求證：PC是圓O的切線AD與PD什么關(guān)系？垂直要OC與PD垂直只需什么？OC與AD平行你能證明嗎？試一試解：（1）連OC于是，PC是圓O的切線求半徑（用含m的代數(shù)式表示）分析：由你能得到哪兩邊之比？BC：AC=1：2圖中有哪兩個(gè)含AD、BC的相似三角形？想一想：CD：AD=？CD：AD=BC：AC=1：2由相似你能得出哪些比例？若設(shè)CD=x，你能表示AC嗎？能列出方程？你能求出AC、與BC嗎？AB呢？請(qǐng)你寫出完整的解答過(guò)程答案：（3）在（2）的條件下，作弦CF平分∠ACB，交AB于E，連結(jié)BF，且求線段PE的長(zhǎng)分析：由CF是角平分線，你想到什么？F是弧AB的中點(diǎn)如果連結(jié)AF，?ABF是什么特殊的三角形？由你能求出AB嗎？由上題，你能求出PB：PC