中考數(shù)學重難點題型專題訓練之2020中考真題重組專題10弧長和扇形面積【含答案】

專題10：弧長和扇形面積一2021年中考數(shù)學重難點題型專題訓練之2020中考真題試卷重組一、單選題（2020?山東日照市?中考真題試卷）如圖，力8是。。的直徑，CO為。。的弦，于點E,若A.6?！? B.12兀09&C.37r□4 D.9GAJ_【分析】根據(jù)垂徑定理得出CE=DE=2CD=3』，再利用勾股定理求得半徑，根據(jù)銳角三角函數(shù)關系得出/EOD=60。，進而結合扇形面積求出答案.解：：,月8是。。的直徑，S為＜30的弦，/8_LCD于點E,：.CE=DE=2CD=36設。O的半徑為廠，在直角△。四中，ODanOF+DE1,即尸=（9-廠）-+（36）2,解得，〃=6,：.OE=3,OE3T：.cosZBOD=OD629/.NEOD=60。,S扇形"D=%x36=6乃SRTOED=^-x3x3a/3=^V3o . 2 2 .根據(jù)圓的對稱性可得:故選：A.【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理以及銳角三角函數(shù)和扇形面積求法等知識，正確得出NEOD=60。是解題關鍵.（2020?江蘇南通市?中考真題試卷）如圖是一個幾體何的三視圖（圖中尺寸單位：cw）,則這個幾何體的側面積為（ ）A.4Sncm2 B.24ncm2 C.I2ncm2 D.9ncm2B【分析】先判斷這個幾何體為圓錐，同時得到圓錐的母線長為8,底面圓的直徑為6,然后利用扇形的面積公式計算這個圓錐的側面積.解：由三視圖得這個幾何體為圓錐，圓錐的母線長為8,底面圓的直徑為6,所以這個幾何體的側面積=2*￡*6*8=24兀（cm2）.故選：B.【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.也考查了三視圖.（2020?江蘇泰州市?中考真題試卷）如圖，半徑為1°的扇形中，N4O8=90°,C為凝上一點,CD10AtCELOB,垂足分別為0、E.若/CDE為36。,則圖中陰影部分的面積為（）ABABA.1°萬 B,9n c.8乃 D.6萬A【分析】本題可通過做輔助線，利用矩形性質對角線相等且平分以及等面積性，利用扇形ABC面積減去扇形AOC面積求解本題.連接OC交DE為F點，如下圖所示：由已知得：四邊形DCEO為矩形.,/ZCDE=36°,且FD=FO,二ZFOD=ZFDO=54°,ADCE面積等于△DCO面積.cYc _90?乃MO?54?乃MO??陰影一?扇形騏龍一》AOC 煮j 瓶6 _1P兀故選：A.【點評】本題考查幾何面積求法，在扇形或圓形題目中，需要構造輔助線利用割補法，即大圖形面積減去小圖形面積求解題目，扇形面積公式為常用工具.（2020?四川達州市?中考真題試卷）如圖，在半徑為5的。。中，將劣弧"8沿弦N8翻折，使折疊后5一冗D.6【分析】如圖畫出折疊后所在的。o',連O'B,O'A,根據(jù)題意可得O'BJ_OB、O'A±OA,且OB=OA=O'B=O'A,得到四邊形O'BOA是正方形，即NO=90。，最后根據(jù)弧長公式計算即可.解：如圖：畫出折疊后48所在的。o',連o'b,O'A???48恰好與OA、相切：.O'B±OB>O'A±OAVOB=OA=O,B=O'A,二四邊形O'BOA是正方形:.ZO=90°90°x2x5;r_51二劣弧48的長為360° 2.故答案為B.【點評】本題考查了折疊的性質、正方形的判定與性質、弧長公式等知識點，其中掌握弧長公式和折疊的性質是解答本題的關鍵.（2020?江蘇蘇州市?中考真題試卷）如圖，在扇形0/8中，已知/NOB：%。，OA=41,過功的中點C作CE1OB,垂足分別為O、E,則圖中陰影部分的面積為（）CO7 1 1 n1 1 兀 A.%T B.2 C.2 D.22B【分析】連接OC,易證CEO,進一步可得出四邊形CDOE為正方形，再根據(jù)正方形的性質求出邊長即可求得正方形的面積，根據(jù)扇形面積公式得出扇形AOB的面積，最后根據(jù)陰影部分的面積等于扇形AOB的面積剪去正方形CDOE的面積就可得出答案.連接0C:點C為48的中點：.^AOC=^BOC在aCDO和aCEO中NAOC=4BOCZCDO=ZCEO=90°

CO=CO三CEO(AAS)：.od=oe,cd=ce又ZCDO=4CE0=NDOE=90°???四邊形CDOE為正方形,/OC=OA=V2OD=OE=\S正方形C0OE=1X1=1S _90?！褂缮刃蚊娣e公式得""""" 360 2JI**,S陰影=S扇形/oh-S正方形=萬一1故選B.【點評】本題考查了扇形面積的計算、正方形的判定及性質，熟練掌握扇形面積公式是解題的關鍵.6.（6.（2020?內蒙古中考真題試卷）如圖,Z6是0°的直徑，8是弦,點在直徑的兩側.若N4OC:N4OC:NAOD:NDOB=2:7:118=4,則C。的長為（2乃4萬D.2乃4萬D.Hi兀［分析】根據(jù)乙：4OD［分析】根據(jù)乙：4OD：/DOB=2：7：11求出NCOD的度數(shù),根據(jù)CO=4得到半徑，運用弧長公式計算即可.??￡AOD:ADOB=7:11ZAOD+ZDOB=180°?，，ZAZ?=180°x—=70°18又?：NAOC"AOD=2:7,?ZCOZ)=90°又；CD—4,CD￡=2CD￡=2亞77X7FXCD90X萬X2\/2：CD：CD=180180故答案選D.【點評】本題主要考查了弧長的計算，通過已知條件計算出圓心角和半徑是解題的關鍵.

7.（2020?四川樂山市?中考真題試卷）在根8c中，已知N/8C=90°,Z5JC=30°,BC=1,如圖所示，將A/16C繞點A按逆時針方向旋轉90°后得到A48'C'.則圖中陰影部分面積為（ ）九 ）一百 萬一J5 也A.4 B.2 C.4 D.2B【分析】先求出AC、AB,在根據(jù)$陰影=S扇形般一邑叱-S0.求解即可.解：在RtZ\ABC中，?.?N8ZC=30°,，AC=2BC=2,.AB=\IaC2-BC2=>5??，?.?"BC繞點a按逆時針方向旋轉90°后得到MBC,,.AB=AB'=C,BC=BC=l,NCAC'=90"ZCAB,=60°s=S_5_s -90外2215 90外⑹J—G.Q陰影一q扇形sue，°ab'cJdab'360-2V 360 - 2B故選：B【點評】本題考查了不規(guī)則圖形面積的求法，熟記扇形面積公式，根據(jù)S陰影=SS陰影=S扇形成彩，一^ABC--S求解是解題關鍵.（2020?內蒙古赤峰市?中考真題試卷）某幾何體的三視圖及相關數(shù)據(jù)（單位:cm）如圖所示，則該幾何體的TOC\o"1-5"\h\z側面積是（ ）651 2 cm .A.2 b.60/rc"/c.65ic加2 d.130^cah2C【分析】首先根據(jù)三視圖判斷出該幾何體為圓錐，圓錐的高為12cm,底部圓的半徑為5cm,可用勾股定理求出圓錐母線的長度，且圓錐側面積的計算公式為S圓錐側=小&",其中R為圓錐底部圓的半徑，/為母線的長度，將其值代入公式，即可求出答案.解：由三視圖可判斷出該幾何體為圓錐，圓錐的高為12cm,底部圓的半徑為5cm,.?.圓錐母線長為：又網錐將R=5cm,仁脂也代入，.S圓錐僧=小心/=65乃（cm?）?? 9故選：C.【點評】本題考察了用三視圖判斷幾何體形狀、勾股定理、圓錐側面積計算，解題的關鍵在于通過題目中已給出的三視圖判斷出幾何體的形狀.（2020?貴州黔東南苗族侗族自治州?中考真題試卷）如圖，正方形48。的邊長為2,O為對角線的交點，點、E、尸分別為BC、40的中點.以C為圓心，2為半徑作圓弧BD,再分別以E、尸為圓心，1為半徑作圓弧BO、OD,則圖中陰影部分的面積為（ ）

A.7tul B.幾口2 C.?？? D.4口加B【分析】根據(jù)題意和圖形，可知陰影部分的面積是以2為半徑的四分之一個圓（扇形）的面積減去以1為半徑的半圓（扇形）的面積再減去2個以邊長為1的正方形的面積減去以1半徑的四分之一個圓（扇形）的面積，本題得以解決.?Tix722?Tix722 2(1X14.Kxi2)=兀2,陰影部分的面積是:故選：B.【點評】本題主要考查運用正方形的性質，圓的面積公式（或扇形的面積公式），正方形的面積公式計算不規(guī)則幾何圖形的面積，解題的關鍵是理解題意，觀察圖形，合理分割，轉化為規(guī)則圖形的面積和差進行計算.TOC\o"1-5"\h\z（2020?西藏中考真題試卷）如圖，AB為半圓O的直徑，C為半圓上的一點，OD_LAC,垂足為D,延長OD與半圓O交于點E.若AB=8,ZCAB=30°,則圖中陰影部分的面積為（ ）AOB—tv—\/3 —7T—25/3 -—>/3 —7t—2\/3A?3 B.3 C.3 D.3D1 6【分析】根據(jù)垂徑定理得到“后=底，AD=CD,解直角三角形得到OD=2oa=2,AD=2OA=26根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結論.解：VOD1AC,AZADO=90°,AE=CEfAD=CD,VZCAB=30°,OA=4,1 8：.OD=2OA=2,AD=2OA=2

-xZ\/3 —/r.,.圖中陰影部分的面積=S扇形aoe二S/\ado=360 2 x2=3 ，故選：D.【點評】本題考查了垂徑定理，解直角三角形，求不規(guī)則圖形的面積，得出_1_也OD=2oa=2,AD=2。八=2途是解題關鍵.（2020?貴州畢節(jié)市?中考真題試卷）已知點C、D是以AB為直徑的半圓的三等分點，弧CD的長為1—7t3,則圖中陰影部分的面積為（1—7t3,則圖中陰影部分的面積為（)連接C。、0°和CO,如下圖所示, 71H D.12 41

-71,???C，D是以48為直徑的半圓上的三等分點，弧CO的長為3TOC\o"1-5"\h\zr 1=7vr=3x—n=n9^COD=60°,圓的半周長 3r=1,???4CD的面積等于△OCQ的面積,_60kxI2_ti?**S陰影=0扇形ocd 360 6?故選A.（2020?云南中考真題試卷）如圖，正方形的邊長為4,以點A為圓心，為半徑畫圓弧得到扇形QZE（陰影部分，點E在對角線力。上）.若扇形NE正好是一個圓錐的側面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是（ ）e1A.& B,1 C.2 D.2D【分析】根據(jù)題意，扇形/OE中弧OE的長即為圓錐底面圓的周長，即通過計算弧DE的長，再結合圓的周長公式進行計算即可得解.?.?正方形/8CO的邊長為4:.AD=AE=4AC是正方形ABCD的對角線二NEAD=45°, 45°xix4= =兀?de180°.?.圓錐底面周長為。=2萬-="，解得 2該圓錐的底面圓的半徑是萬，故選：D.【點評】本題主要考查了扇形的弧長公式，圓的周長公式，正方形的性質以及圓錐的相關知識點，熟練掌握弧長公式及圓的周長公式是解決本題的關鍵.（2020?廣西中考真題試卷）如圖，已知前的半徑為5,所對的弦長為8,點尸是藍的中點，將48繞點4逆時針旋轉90。后得到45',則在該旋轉過程中，點尸的運動路徑長是（

C.C.2也n D.27tB【分析】根據(jù)已知前的半徑為5,所對的弦AB長為8,點P是前的中點，利用垂徑定理可得AC=4,PO±AB,再根據(jù)勾股定理可得AP的長，利用弧長公式即可求出點P的運動路徑長.如圖，設48的圓心為o,連接0P交AB于C,連接0A,AP,AB，,AP，,00?.?圓0半徑為5,所對的弦AB長為8,點P是的中點,根據(jù)垂徑定理，得工AC=2AB=4,P01AB,c「一UC— ——3,.'.PC=OPDOC=5Q3=2,；.AP="C、PC2=2下,?.?將AB繞點A逆時針旋轉90。后得到AB',???NPAP'=/BAB'=90。，907rx2V5，Lpp，=180=石兀.則在該旋轉過程中，點P則在該旋轉過程中，點P的運動路徑長是故選：B.71.【點評】本題主要考查垂徑定理，扇形的弧長計算，熟練掌握垂徑定理的應用是解題的關鍵.（2020?寧夏中考真題試卷）如圖，等腰直角三角形/8C中，NC=90°,"C=以點c為圓心畫弧與斜邊48相切于點q,交力C于點￡,交BC于點、f,則圖中陰影部分的面積是（ ）【分析】連接CD,并求出CD的值，再分別計算出扇形ECF的面積和等腰三角形ACB的面積，用三角形的面積減去扇形的面積即可得到陰影部分的面積.連接CD,如圖，：AB是圓C的切線，/.CD±AB,VAABC是等腰直角三角形，J_.\CD=2AB,?：NC=90o,AC=e,ac=bc??.AB=2,/.CD=1,

S陰影=Sq8c-S扇形ECF=；X&X&-2襄1_=1_?故選：A.【點評】本題考查扇形面積的計算、等腰三角形的性質，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.15.（2020?山東濟寧市?中考真題試卷）已知某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的側面積等于（）B.ISncm2左視圖俯視圖B.ISncm2左視圖俯視圖C.247tcm2D.307tcm2由三視圖可知這個幾何體是圓錐，高是4cm,底面半徑是3cm,所以母線長是+3?=5（cm）,.?.側面積=7P<3x5=15兀(cm2),故選B.（2020?山東東營市?中考真題試卷）用一個半徑為4面積為3乃的扇形鐵皮，制作一個無底的圓錐（不計損耗），則圓錐的底面半徑為（）A.兀 B.2乃 C.2 D.1D【分析】根據(jù)圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形面積公式得到5?2兀丁3=3兀，然后解方程即可.解:根據(jù)題意得2?2?！?=3兀，解得r=l.故選：D.【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇

形的半徑等于圓錐的母線長.（2020?四川遂寧市?中考真題試卷）如圖，在RtZ\/8C中，ZC=90°,AC=BC,點。在48上，經過點4的。。與8c相切于點。，交48于點E,若CD=J5,則圖中陰影部分面積為（ ）B【分析】連接O。，OHLAC于H,如圖，根據(jù)切線的性質得到8L8C,則四邊形ODC/7為矩形，所以OH=CD=^,則。/=應0/7=2,接著計算出N8OD=45。，BD=OD=2,然后利用扇形的面積公式,利用圖中陰影部分面積=5/\080；S扇形進行計算.解：連接OD,過。作CW_L4c于〃，如圖，ZC=90°,AC=BC,；?NB=NC4B=45°,??（DO與8C相切于點0,：.ODLBC,??四邊形ODC”為矩形，：.OH=CD=^,在RtZ\O/H中，NO4H=45。,：.04=丘OH=2,在RtZ\O8O中，VZ5=45°,：.ZBOD=45°,BD=OD=2,.l圖中陰影部分面枳=Sa08萬S扇形doe45x;rx2=0.5x=0.5x2x2180=2027t.故選:B.BB【點評】本題考查了切線的性質：圓的切線垂宜于經過切點的半徑.若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑,構造定理圖，得出垂直關系.也考查了扇形面積的計算.（2020?山東聊城市?中考真題試卷）如圖，力8是。。的直徑，弦CD14B,垂足為點連接",DB.如果。CRB,OC=2y[3t那么圖中陰影部分的面積是（）.24BC.24BC.3兀D.4乃【分析】根據(jù)Z8是0°的直徑，弦由垂徑定理得= ,再根據(jù)證得NMC0=NCDB,即可證明△OA/C三BMD,即可得出'陰影=S礴形磔,.解：是。。的直徑，弦CD14B,ZOMC=90°CM=DM9 ?Z.MOC+NMCO=90°;OC//DBNMCO=NCDB?;NCDB=、4BOC又 2NMOC+-Z.MOC=90°2NMOC=60°在ZkOMC和aBMD中,Z.OCM=4BDM<CM=DMNOMC=Z.BMD.-.△m/CsBMD,??S/XOMC=SBMD60xtx圈=?S'skosc= 正° =2zr故選：B【點評】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，平行線的性質，全等三角形的判定，扇形的面積，等積變換,解此題的關鍵是證出&*c=S3皿，從而將陰影部分的面積轉化為扇形OBC的面積，題目比較典型，難度適中.二、填空題（2020?浙江嘉興市?中考真題試卷）如圖，在半徑為血的圓形紙片中，剪一個圓心角為90。的最大扇形（陰影部分），則這個扇形的面積為5若將此扇形圍成一個無底的圓錐（不計接頭），則圓錐底面半徑為.JK2【分析】由勾股定理求扇形的半徑，再根據(jù)扇形面積公式求值；根據(jù)扇形的弧長等于底面周長求得底面半徑即可.解：連接8C,由N24C=90。得BC為。。的直徑，；.8C=2加,在RtZ\Z8C中，由勾股定理可得：AB=AC=2,904x4扇形w=360=7t；90^x2...扇形的弧長為：180=兀，設底面半徑為廠，則2“=n,2解得：r=2,【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.（2020?內蒙古鄂爾多斯市?中考真題試卷）如圖，AB是。。的直徑，弦CD_LAB,垂足為E,ZBCD=30°,CD=28，則陰影部分面積S陰影=【分析】連接OC.證明OC〃BD,推出$陰=$扇形obd即可解決問題?解：連接OC.BVAB±CD,:.BC=BD,CE=DE=6,.".ZCOD=ZBOD,ZBOD=2ZBCD=60°,AZCOB=60°,VOC=OB=OD,.,.△OBC,AOBD都是等邊三角形，??OC=BC=BD=OD,??四邊形OCBD是菱形，AOC//BD,?S△bdc=Sabod?S陰=5扇形obd，EDVOD=sin60°=2,60?一?2227.，.5陰=360 =3,2冗故3.【點評】本題考查扇形的面積，菱形的判定和性質，平行線的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，屬于中考常考題型.（2020?甘肅蘭州市?中考真題試卷）如圖，AABC的外接圓O的半徑為3,ZC=55°,則劣弧AB的長是.

一n6〃nr【分析】由圓周角定理可得NAOB=110。，再根據(jù)弧長公式18°求解.解：VZC=55°,.,.ZAOB=2ZC=110°,-11O-71-311AB= =—n180 611一n故6〃兀r【點評】本題考查了圓的弧長問題，掌握圓周角定理和弧長公式前是解題的關鍵.（2020?重慶中考真題試卷）如圖，在邊長為2的正方形488中，對角線/C的中點為O,分別以點A,C為圓心，以/O的長為半徑畫弧，分別與正方形的邊相交.則圖中的陰影部分的面積為.（結果保留））4一萬Q=V-?V【分析】根據(jù)圖形可得皿影 ABCD 扇形，由正方形的性質可求得扇形的半徑，利用扇形面積公式求出扇形的面積，即可求出陰影部分面積.由圖可知,S陰影=Sabcd_2s扇形Sabcd=2x2=49?..四邊形ABCD是正方形，邊長為2,二AC=2>[2,1,點0是AC的中點，.?.OA=0,90。萬（揚2萬?扇形一~360°—,?，Q-V_?V=4-萬?Q陰影3扇形f〃??，故4一乃.【點評】本題考查了求陰影部分面積，扇形面積公式，正方形的性質，解題的關鍵是觀察圖形得出q一q -79n陰影一0ABCD/u扇形.（2020?重慶中考真題試卷）如圖，在菱形48CQ中，對角線4C,BD交于點O,ZABC=l20°fAB=2百，以點。為圓心，08長為半徑畫弧，分別與菱形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為 .（結果保留兀）3百-萬.【分析】如圖，設。。與菱形的邊48、40分別交于點E、F,連接OE、OF,由菱形的性質可證得△是等邊三角形，進而可證得△8EO,ZkOF。都是等邊三角形，由等邊三角形的性質可求得^EOF—60°,然后根據(jù)陰影部分的面積=2/（S448Z）SadfoS^beoS扇形oef）代入數(shù)據(jù)計算即可.解：如圖，設。。與菱形的邊ZB、ZO分別交于點E、F,連接OE、OF,.四邊形是菱形，ZJfiC=120°,：.ACLBD,BO=DO,OA=OC,AB^AD,N￡MB=60。,AABD是等邊三角形，：.AB=BD=2^,ZABD=ZADB=60°,:.BO=DO=7,???以點。為圓心，。8長為半徑畫弧，:.BO=OE=OD=OF,:?XBEO,△OF。是等邊三角形，:?NDOF=NBOE=60。,：.NEO/=60。，???陰影部分的面積=2x（S〉abdSrdfoS^beoS扇形。所）=3摳-冗.故3G一4.【點評】本題考查了菱形的性質、等邊三角形的判定和性質以及扇形面積的計算等知識，正確添加輔助線、明確求解的方法、熟練掌握菱形的性質以及等邊三角形的判定和性質是解題的關鍵.（2020?四川自貢市?中考真題試卷）如圖，在矩形“88中，E是上的一點，連接OE,將440E進行翻折，恰好使點4落在8C的中點尸處，在。尸上取一點0,以點。為圓心，°尸的長為半徑作半圓與C。相切于點G；若工。=4,則圖中陰影部分的面積為.BCBC2G【分析】OGDO連接OG,證明△DOGs^DFC,得出口。DF,設OG=OF=r,進而求出圓的半徑，再證明△OFQ為等邊三角形，則可由扇形的面積公式和三角形的面積公式求出答案.解：連接OG,過O點作OHLBC于H點，設圓O與BC交于Q點，如下圖所示:B卜.甘Q-C設圓的半徑為r,：CD是圓的切線，AOGICD,/.△DOG^ADFC,OGDOFCDF,由翻折前后對應的線段相等可得DF=DA=4,是BC的中點，；.CF=BF=2,代入數(shù)據(jù):r4—r??,4r=~：.3,QOD=DF-OF=-TOC\o"1-5"\h\z：. 3,./八“OG1

sinZ.ODG= =—? OD2.,.ZODG=30°,AZDFC=60°,

且OF=OQ,...△OFQ是等邊三角形,，NDOQ=180°-60°=120°,同理AOCQ也為等邊三角形,，OH=2 3,且S扇形ogq=S扇形oqf?S陰影=（S矩形OGCH-S扇形g-S\OQH）+（S扇形AO0尸一SkOQF）42G3Z142石、2G=—X——?-X—X）=3 3 223 3 92百故答案為.丁【點評】本題考查了扇形面積的計算，切線的性質，翻折變換，熟練掌握基本圖形的性質是解題的關鍵.（2020?湖南邵陽市?中考真題試卷）如圖①是山東艦航徽的構圖，采用航母45度破浪而出的角度，展現(xiàn)山東艦作為中國首艘國產艦母橫空出世的氣勢，將艦徽中第一條波浪抽象成幾何圖形，則是一條長為1°萬的弧，若該弧所在的扇形是高為12的圓錐側面展開圖（如圖②），則該圓錐的母線長為圖①圖②圖①圖②13.【分析】由扇形弧長求出底面半徑，由勾股定理即可求出母線AB的長.解：?.?圓錐底面周長=側面展開后扇形的弧長=1°〃在RtAAOB中，AB='JAO2+BO2=V122+52=13,所以，該圓錐的母線長4B為13.故13.【點評】本題考查圓錐弧長公式的應用，解題的關鍵是牢記有關的公式.（2020?河南中考真題試卷）如圖，在扇形中，=60。,0°平分交弧8c于點。.點E為半徑°B上一動點若05=2,則陰影部分周長的最小值為.2向三.3【分析】如圖，先作扇形關于對稱的扇形。48,連接力。交于E,再分別求解的長即可得到答案.解：：°陰影=CE+DE+CD,???,陰影最短，則CE+DE最短，如圖，作扇形關于08對稱的扇形O4B,連接月。交于￡,則CE=NE,.tCE+DE=AE+DE=AD,此時E點滿足CE+DK最短，ZCOB=ZAOB=60°,OD平分CB,NDOB=30°,ZDOA=90°,OB=OA=OD=2,AD=>j22+22=2>/2,30乃x2_7C而8的長為：180-3「 25/2+—.???c陰影最短為32挺+工.故3【點評】本題考查的是利用軸對稱求最短周長，同時考查了圓的基本性質，扇形弧長的計算，勾股定理的應用，掌握以上知識是解題的關鍵.（2020?山東濰坊市?中考真題試卷）如圖，四邊形ZBCZ）是正方形，曲線O44GA4…是由一段段90度的弧組成的.其中：的圓心為點A,半徑為“。；"4的圓心為點B,半徑為84；4G的圓心為點C,半徑為C4：GR的圓心為點d,半徑為"G；…,一、，一、—一、。4,44，4。|,。|°”3的圓心依次按點人，8,（：,D循環(huán).若正方形Z8CO的邊長為1,則——、A2O2OB2O2O的長是.Bi40397r【分析】曲線04q…是由一段段90度的弧組成的，半徑每次比前一段弧半徑+i,到

磯=叫=4(-1)+2,再計算弧長解：由圖可知，曲線。4瓦044…是由一段段90度的弧組成的，半徑每次比前一段弧半徑+i,AD=/4=1BA]=BB[=2也t=9=4(〃-1)+1BAn=8紇=4(〃-1)+2，，故^2020^2020的半徑為B&)20=8/20=4(2°20-1)+2=8078,90「R ——X80784=4039萬"2020I2020的弧長=180 .故40391._n/rr【點評】此題主要考查了弧長的計算，弧長的計算公式： 180,找到每段弧的半徑變化規(guī)律是解題關鍵.(2020?遼寧朝陽市?中考真題試卷)如圖，點48,。是°°上的點，連接"8,"C,8C,且NNC8=15°,過點0作OO//48交0°于點0,連接力28°,已知0°半徑為2,則圖中陰影面積為.兀T【分析】由圓周角定理可得/力。8的度數(shù)，由可得5%即=528。，進而可得S陰影=S扇形和8,然后根據(jù)扇形面積公式計算即可.解：...48=15。,408=30。，■ODHAB*，??SzbdtSaabo,307rx2?_7T'S陰影=S扇形408=36°3e7T故3.【點評】本題考查了圓周角定理、扇形面積公式和同底等高的三角形的面積相等等知識，屬于?？碱}型，熟練掌握上述基本知識是解題的關鍵.（2020?吉林長春市?中考真題試卷）如圖，在△力8c中，ZJ5C=90°,AB=BC=2,以點C為圓心，線段C4的長為半徑作交C6的延長線于點￡）,則陰影部分的面積為（結果保留兀）.【分析】利用勾股定理求出ZC,證明NC=45°,根據(jù)“二S闞腕”-SacB計算即可.解：?.F8=C8=2,/.ABC-90°,AC=\lAB2+BC2=V22+22=2x/2,NC=NBAC=45°,45?萬.（2? ]Spi=Sjs形exo-S4“cb= —x2x2=^--2故答案為萬一2.【點評】本題考查扇形的面積，等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.（2020?山東青島市?中考真題試卷）如圖，在aNBC中，。為8C邊上的一點，以。為圓心的半圓分別與48,ZC相切于點M,N.已知N84C=120。，AB+AC=\6tMN的長為乃，則圖中陰影部分的面積為.24-3百一3%【分析】連接OM、ON、OA,易證得NMON=60。，即Sit；i^znt'+SncF=ZMOE+ZNOF=120°,「 3',再由弧長公式求得半徑OM,然后證得Rt4AMO^RtAANO,即NAOM=30。，進而解得AM,則可得S四邊形“mon,代入相關數(shù)值即可解得陰影面積.如圖，連接OM、ON、OA,設半圓分別交BC于點E,F,則OM_LAB,ON±AC,,ZAMO=ZANO=90°,VZBAC=120°,，ZMON=60°,,:mn的長為乃，60萬 =n180.?.OM=3,「在RtAAMO和RtAANO中，OM=ONOA=OA/.RtAAMO絲RtAANO(HL),AZAOM=ZAON=2ZMON=30°,TOC\o"1-5"\h\zAM=OM-tan300= 3 ,S四邊形=2sA4Mo=2x =3>/32 ,ZMON=60°,.*.ZMOE+ZNOF=120°,S扇形ame+SNOF 兀?號=3兀二 3 3二圖中陰影面積為S"O8+S“oc-S四邊形彳做小一(S扇形晶嬤+sNOF)；x3.(/6+NC)—30一3萬=24-3百-31，故24-30-3死.【點評】本題考查了切線的性質定理、弧長公式、HL定理、銳角的三角函數(shù)定義、扇形面積的計算等知識，解答的關鍵是熟練掌握基本圖形的性質，會根據(jù)圖形和公式進行推理、計算.31.（2020?湖北鄂州市?中考真題試卷）如圖，半徑為2cm的0°與邊長為2cm的正方形N8CD的邊相切于e,點F為正方形的中心，直線°E過產點.當正方形Z8CO沿直線以每秒1或11+6G【分析】將正方形向左平移，使得正方形與圓的重疊部分為弓形，根據(jù)題目數(shù)據(jù)求得此時弓形面積符合題意，由此得到OF的長度，然后結合運動速度求解即可，特別要注意的是正方形沿直線運動，所以需要分類討論.解：①當正方形運動到如圖1位置，連接OA,OB,AB交OF于點E此時正方形與圓的重疊部分的面積為S扇形oab-SZ\oab由題意可知：0A=0B=AB=2,OF1AB.?.△OAB為等邊三角形.".ZAOB=60°,OE1AB—OA=1r-在RtZ\AOE中，NAOE=30°,.,.AE=2 ,0E=^3=竺兀r6=2兀-6「?S扇形oab-Sz\oab 360 2 3.,.of=G+i.?.點F向左運動3-（G+l）=2-、萬個單位2-0_]所以此時運動時間為2-G秒圖1圖1②同理，當正方形運動到如圖2位置，連接OC,OD,CD交OF于點EB4D圖2B4D圖2此時正方形與圓的重疊部分的面積為S扇形OCD-SZkocD由題意可知：0C=0D=CD=2,OF±CD...△OCD為等邊三角形.\ZCOD=60o,OE±CDTOC\o"1-5"\h\z—OC=1 r-在Rt^COE中，ZCOE=30°,/.CE=2 ,OE=^3=—71—--I-V3=-n-G??S扇形ocd?SZ\qcd 360 2 3.?.of=6+i...點F向左運動3+(G+l)=4+G個單位士電=11+6行所以此時運動時間為2-J3 秒11+6同 ■|兀-百(cm?)綜上，當運動時間為1或U+6V3秒時，。。與正方形重疊部分的面積為3故1或11+66.【點評】本題考查正方形的性質，扇形面積的計算及等邊三角形的判定和性質，題目難度不大，注意分情況討論是本題的解題關鍵.32.（2020?山東荷澤市?中考真題試卷）如圖，在菱形0Z8C中，是對角線，OA=OB=2,與邊相切于點O,則圖中陰影部分的面積為.2月-乃【分析】連接OD,先求出等邊三角形OAB的面積，再求出扇形的面積，即可求出陰影部分的面積.解：如圖，連接OD,在菱形O48C中，AB=OA—OB=2?，??△AOB是等邊三角形，:.ZAOB=ZA=60°,?OD=2xsin60°=百，Smob=qx2xVJ=G60°x^x(>/3)2_7t???扇形的面積為： 360° 2,2x(V3--)=2V3-^???陰影部分的面積為： 2故26-1.【點評】本題考查了求不規(guī)則圖形的面積，扇形的面積，等邊三角形的判定和性質，解直角三角形，解題的關鍵是正確求出等邊三角形的面積和扇形的面積.（2020?湖北黃岡市?中考真題試卷）如圖所示，將一個半徑Qt=10cm,圓心角NZO8=90。的扇形紙板放置在水平面的一條射線上.在沒有滑動的情況下，將扇形沿射線°”翻滾至再次回到OM上時，則半徑OA的中點尸運動的路線長為cm.AAB O BM無解中考錯題無解（2020?廣西中考真題試卷）如圖，在邊長為2G的菱形Z8CO中，NC=60°,點尺尸分別是"8,上的動點，且4E=DF,DE與bf交于點P.當點E從點A運動到點、B時,則點P的運動路徑長為.4-713【分析】根據(jù)題意證得,推出/BPE=60°,ZBPD=120°,得到C、B、P、D四點共圓,知點P的運動路徑長為8。的長，利用弧長公式即可求解.連接BD,?菱形48C。中，ZC=60°,/.ZC=ZA=60°,AB=BC=CD=AD,???△ABD和4CBD都為等邊三角形，???BD=AD,ZBDF=ZDAE=60°,:DF=AE,.??^BFD^DEA,，NDBF=NADE,丁ZBPE=ZBDP+ZDBF=NBDP+NADE=NBDF=60°,/?ZBPD=180°-ZBPE=120°,VZC=60°,AZC+ZBPD=180°,...C、B,P,D四點共圓，即。。是aCSO的外接圓，/.當點E從點A運動到點8時，則點尸的運動路徑長為BD的長,.,.ZBOD=2ZBCD=120°,作OG_LBD于G,[1根據(jù)垂徑定理得：BG=GD=2bd=6,ZBOG=2ZBOD=60°,sin/BOG?08=2?? fn7rR2x1200?萬4 - =——7t從而P點的路徑長為180° 180° 3【點評】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，圓內接四邊形的性質，弧長公式等知識，解題的關鍵是學會準確尋找點的運動軌跡.（2020?湖北中考真題試卷）如圖，圓心角為90°的扇形4c8內，以8C為直徑作半圓，連接N8.若陰影部分的面積為（％一1）,則4c=12【分析】本題可利用扇形面積公式以及三角形面積公式，用大扇形面積減去空白部分面積求得陰影部分面積，繼而根據(jù)已知列方程求解.將原圖區(qū)域劃分為四部分，陰影部分分別為S|,S2；兩塊空白分別為S3,S4,連接DC,如下圖所示：由已知得：三角形ABC為等腰直角三角形，S1+S2F-I,VBC為直徑，/.ZCDB=90°,即CDJ_AB,故CD=DB=DA,；.D點、為BC中點，由對稱性可知C。與弦CD圍成的面積與S3相等.設AC=BC=x,則S場xb-S3-=S|+S,_90?7T?X_90?7T?X2_7VX1其中5扇女8 360 =~—5,-(--—5,)=^-1故：4 3 4 3求解得：王=2，々=-2（舍去）故答案：2.【點評】本題考查幾何圖形面積的求法，常用割補法配合扇形面積公式以及三角形面積公式求解.（2020?黑龍江大慶市?中考真題試卷）如圖，等邊"BC中，AB=3,點。，點E分別是邊80,a上的動點，且BD=CE,連接NO、BE交于點F,當點。從點8運動到點C時，則點尸的運動路徑的長度為.2岳3【分析】如圖，作過A、B、F作。O,仍為點F的軌跡，然后計算出，循的長度即可.解：如圖：作過A、B、F作。O,過O作OG_LAB:等邊MBC??AB=BC,ZABC=ZC=60°.?BD=CE.,.△BCE^AABC/.ZBAD=ZCBE:ZABC=ZABE+ZEBC=60°/.ZABE+ZBAD=60°.\ZAFB=120°ZAFB是弦AB同側的圓周角.,.ZAOB=120°VOG±AB,OA=OB_L 1 2???ZBOG=ZAOG=2ZAOB=60°,BG=2AB=2，ZOBG=30°設OB=x,則OG=2x用rr... 12； \2J,解得x=，3或x=?3（舍）120%2岳_26U二施的長度為 3600 3.2岳故3.【點評】本題考查了等邊三角形的性質、含30度直角三角形的性質、勾股定理以及圓周角定理，根據(jù)題意確定點F的軌跡是解答本題的關鍵.三、解答題（2020?遼寧阜新市?中考真題試卷）如圖，在平面直角坐標系中，頂點的坐標分別為“（44）,8（1,1）C（4,l），?

（1）畫出與△Z3C關于y軸對稱的△44G；（2）將aNBC繞點°】順時針旋轉90。得到△應當G，工”2弧是點/所經過的路徑，則旋轉中心。的坐標為.（3）求圖中陰影部分的面積（結果保留萬）.5-11（1）見解析；（2）（2，°）；（3） 2【分析】（1）根據(jù)網格結構找出點C關于y軸的對稱點A1、Bi、G的位置，然后順次連接即可;(2)(3)利用網格特點和性質的性質，作AA?和CC2的垂直平分線，它們的交點即為°|點；(2)(3)（1）如圖所示，△AiBiG即為所求.結合圖形的特征，利用勾股定理求出旋轉半徑，利用扇形面積和三角形面積求出陰（1）如圖所示，△AiBiG即為所求.(3)如圖：設旋轉半徑為〃則-=22+4,=20,,陰影部分的圖形面積為:【點晴】本題考查了利用軸對稱變換作圖，利用旋轉變換作圖，以及陰影部分面積的計算.熟練掌握網格結構、勾股定理、圖形變換的性質及圖形面積公式是解題的關鍵.(2020?湖北荊州市?中考真題試卷)如圖，將繞點b順時針旋轉60度得到△O6K,點c的對應點E恰好落在AB的延長線上，連接AD.(1)求證：BC!/AD.(2)若AB=4,BC=1,求A,C兩點旋轉所經過的路徑長之和.5—7T(1)見解析；(2)3【分析】(1)先利用旋轉的性質證明4ABD為等邊三角形，則可證/。/8=60'，即，CBE=NDAB,再根據(jù)平行線的判定證明即可.(2)利用弧長公式分別計算路徑，相加即可求解.(1)證明：由旋轉性質得：MBC三ADBE/ABD=NCBE=60AB=BD,:.MBD是等邊三角形所以NO/8=604CBE=2DAB,：,BCHAD.(2)依題意得：AB=BD=4,BC=BE=1,60zrx460乃x15 + ——71所以A,C兩點經過的路徑長之和為180 180 3.【點評】本題考查了旋轉的性質、等邊三角形的判定與性質、平行線的判定、弧長公式等知識，熟練掌握這些知識點之間的聯(lián)系及弧長公式是解答的關鍵.(2020?遼寧本溪市?中考真題試卷)如圖，在平行四邊形ZBCO中，4C是對角線，NC48=90°,以點A為圓心，以28的長為半徑作?！?，交BC邊于點、E,交4c于點F,連接。E.(1)求證：OE與。4相切；(2)若NZ8C=6O。，4B=4,求陰影部分的面積.4百-也(1)見解析；(2) 3【分析】(1)證明：連接AE,根據(jù)平行四邊形的性質得到AD=BC,AD/7BC,求得NDAE=NAEB,根據(jù)全等三角形的性質得到NDEA=/CAB,得至ljDEJ_AE,于是得到結論；(2)根據(jù)已知條件得到4ABE是等邊三角形，求得AE=BE,NEAB=60。，得至l」NCAE=NACB,得到CE=BE,根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結論.(1)證明：連接ZE四邊形ABCD是平行四邊形AD=BCAD//BC? ，?.ZDAE=ZAEB.?AE=ABZAEB=/ABC?:.ZDAE=ZABC:.\AED^\BAC:.4DEA=ZCABNC43=90°NQ￡4=90°DE1AE?.?NE是的半徑DE與04相切⑵解：?.?45C=60°,AB=AE是等邊三角形:.AE=BE,^EAB=60°?；/C4B=90°NCAE=90°-4EAB=90°-60°=30°NACB=90°-ZB=90°-60°=30°：.NCAE=ZACBAE=CE:.CE=BE—^AABE~TSSBCTOC\o"1-5"\h\z：. 2?.?在RtZUBC中，ZCAB=90°,NABC=60°,AB=4；.AC=AB?tanNABC=4xtan60°=4GSMBC--AB-AC=—x4x4V3=8石/. 2 2SMCE=gSMBC=W又86=4百：. 2 2VACAE=30°,AE=4_3QttxAE2_30^,x424萬扇形"即—一360— 360"TS陰影=Smce-S扇形，ef=4Ji一~—【點評】本題考查了切線的判定和性質，平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，扇形的面積的計算，熟練掌握切線的判定定理是解題的關鍵.40.(2020?江蘇淮安市?中考真題試卷)如圖，/8是圓。的弦，C是圓。外一點，℃工。4,CO交48于點尸，交圓。于點0,且CP=CB.(1)判斷直線8C與圓°的位置關系，并說明理由;(2)若N/=30°,°P=1,求圖中陰影部分的面積.61

7T(1)直線BC與圓O相切，理由見解析；(2)2 4【分析】(1)連接OB,由等腰三角形的性質分別證出NA=NOBA,ZCPB=ZCBP,再利用直角三角形性質和對頂角可證得/OBC=90。，即OBLBC,可判斷直線BC與圓O相切；(2)易證得4CPD為等邊三角形，則有NOCB=60o,/BOC=30。,用含30。角的直角三角形求得OA、BC的長，然后用公式求得△OBC的面積和扇形OBD的面積，相加即可解得陰影面積.(1)直線BC與圓O相切，理由為：連接OB,VOA=OB,/.ZA=ZOBA,VCP=CB,.\ZCPB=ZCBP,又NAPONCPB.\ZCBP=ZAP0,VOA±OC,???NA+NAPO=90°,，ZOBA+ZCBP=90°BPZOBC=90°,.*.OB±BC,???直線BC與圓O相切；VOAXOC,ZA=30°,OP=10Tm??.OA=tan30 ,ZAPO=600即ZCPB=60°,VCP=CB,AAPCB為等邊三角形，???ZPCB=60°,'/ZOBC=90°,.".ZBOD=30°,.,.BC=OBtan30°=l,CB【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質、直角三角形的性質、切線的判定定理、等邊三角形的判定與性質、扇形的面積等知識，解答的關鍵是認真審題，結合圖形，找到各知識點之間的聯(lián)系，進而推理、探究、發(fā)現(xiàn)和計算.41.（2020?山東濰坊市?中考真題試卷）如圖，為0°的直徑，射線工。交于點F,點C為劣弧8尸的中點，過點C作CE,/O,垂足為E,連接(1)求證：CE是0°的切線；⑵若N8ZC=30°,"=4,求陰影部分的面積.2—71(1)證明見解析；(2)3.【分析】(1)連接BF,證明BF//CE,連接0C,證明OC_LCE即可得到結論:(2)連接OF,求出扇形FOC的面積即可得到陰影部分的面積.(1)連接8F,是。。的直徑，ZAFB=90°,即CE1ADBF/ICE連接℃，?.?點C為劣弧8尸的中點,OC1BF9??BF//CE?，OC1CE???OC是。。的半徑,，CE是。。的切線；(2)連接°廠?/OA=OCNB4c=3?！?，，/.NBOC=60°?.?點C為劣弧8E的中點，：.FC=BC9：2FOC=NBOC=60°■：AB=4t；.FO=OC=OB=260.^x222 =-7T:.S扇形foc=360 3，2—n即陰影部分的面積為：3.【點評】本題主要考查了切線的判定以及扇形面積的求法，熟練掌握切線的判定定理以及扇形面積的求法是解答此題的關鍵.42.(2020?湖北隨州市?中考真題試卷)勾股定理是人類最偉大的十個科學發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理.在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”(如圖1)后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今.(1)①請敘述勾股定理：②勾股定理的證明，人們已經找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理；(以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件)(2)①如圖4、5、6,以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方