《高等數(shù)學2》綜合練習題,附答案

《高等數(shù)學2》綜合練習題一．填空題1．若2．若，則。，則。3．函數(shù)4．函數(shù)的定義域為。的定義域為。5．函數(shù)6．函數(shù)的定義域為。由方程，則。7．若8．設，則。，其中可微，則。9．若，則。10．曲面11．球面12．曲面在點處的切平面方程為。處的切平面方程為。處的切平面方程為。在點在點13．交換二次積分次序后,14．已知_____________________。，則。15．將化為極坐標下累次積分形式，則它為。16．設為拋物線17．設為圓周18．若為圓周在的弧段，則。的正向，則。，則。19．設在點處的泰勒級數(shù)為必定。，則。20.若數(shù)項級數(shù)條件收斂，則21．設為一正項級數(shù)的通項，則。22．冪級數(shù)的收斂區(qū)間為。23．冪級數(shù)的收斂區(qū)間為。24．冪級數(shù)的收斂區(qū)間為。25．若，（為常數(shù)）則。26．微分方程27．微分方程的階數(shù)是。的通解為。28．微分方程29．微分方程30．微分方程二．單項選擇題的通解為。的通解為。的通解為。1．，則。A.B.C.D.2．若，則。A.B.C.D.3．函數(shù)的定義域為。A.B.C.D.4．函數(shù)的定義域為。A.B.C.D.5．如果，且，則。A.B.C.D.不能確定6．設A.，則它在點，當，時，全微分。B.C.D.7．已知，則。A.B.C.D.8．已知函數(shù)，則，分別為。A.B.C.D.9．設，則。A.B.C.D.19．設具有二階連續(xù)偏導數(shù)，而，則。A.B.C.D.11．設在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，且為它的駐為極大點，令值。，，，則當時，A.C.B.D.12．變換積分次序后，二次積分。A.B.C.D.13．設是由，和所圍成，且，則。A.B.C.D.14．設是由，，，所確定，且，則。A.B.C.D.15．若：，則。A.B.C.D.16．設為圓周，則曲線積分。A.B.C.D.17．若級數(shù)收斂，且，則下列命題正確的是。A.B.存在C.可能不存在D.為單調(diào)數(shù)列18．級數(shù)，當時收斂。A.B.C.D.19．設常數(shù)A.條件收斂，則。B.絕對收斂C.發(fā)散D.收斂性與有關20．下列級數(shù)中，發(fā)散的是。A.B.C.D.21．設正項級數(shù)收斂，則級數(shù)一定收斂。A.B.C.D.22．級數(shù)是。A.絕對收斂B.發(fā)散C.收斂性與有關D.條件收斂23．冪級數(shù)的收斂區(qū)間為。A.B.C.D.24．微分方程的通解應含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)為。A.B.C.D.25．下列方程中，通解為（為常數(shù)）的方程為。A.B.C.D.26．在下列微分方程中，其通解為的是。A.B.C.D.27.微分方程的特解。A.B.C.D.28．若連續(xù)函數(shù)滿足關系式：，則。A.B.C.D.三．求解下列各題1．設2．設，求，求，。，，，。3．設，求，，。4．設5．設，求，，。是由方程所確定，求。6．設7．設8．設是由方程所確定，求。，其中，求和。，求證：。9．設，而，證明：。10．求函數(shù)11．求函數(shù)的極值。的極值。12．求函數(shù)的極值。四．求解下列各類積分1．2．。，其中是由，，及及所圍成的平面區(qū)域。3．4．5．，其中是由直線，其中，所圍成的平面區(qū)域。。，其中為及。6．7．，其中為及所圍成的區(qū)域。，其中為及所圍成的四面體。8．。9．，其中為拋物線，其中為橢圓介于點與點之間的一段弧。10．11．在第一象限的一段弧。，其中為拋物線從點到點，再沿直線由點到點。12．，其中為圓周的正向。13．，其中為三頂點和三角形的正向。14．15．16．，其中為和所圍成立體的表面。，其中為平面在第一卦限中的部分。所截部分曲面的下側。，其中為被17．18．，其中為在第一卦限中部分的上側。，其中為球面的外側。五，求解下列各題1-判定下列級數(shù)的斂散性：（1）（2）（3）2．判定下列級數(shù)的斂散性。若收斂，是條件收斂，還是絕對收斂？（1）（2）（3）3．求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)：（1）（2）（3）4．將下列函數(shù)在給定點展開為泰勒級數(shù)：（1）在處；（2）在處；（3）5．將在處；（4）在處。展開為傅里葉級數(shù)。6．將7．將展開為傅里葉級數(shù)。分別展開為正弦級數(shù)和余弦級數(shù)。六．求解下列各微分方程1．求下列各微分方程的通解：（1）（3）；（2）（4）；；。2．求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解：（1）（2），，；，，；（3），，。習題答案及解答一．填空題1．5．9．2．3．4．且6．7．8．10．11．14．12．13．15．16．17．18．19．20．發(fā)散21．22．27．23．24．為常數(shù)）28．25．26．二階（其中29．30．（其中為常數(shù)）二．單項選擇題1.D2.A3.A4.D5.C6.D7.D8.A9.D.10.C11.C12.D13.A14.D15.C16.C17.B18.B19.B20.B21.A22.D23.B24.C25.C26.C27.D28.B三．求解下列各題1．解：。。2．解：。。。。3．解：。。。4．解：；。；同理可得：；。5．解：對等式兩邊取自然對數(shù)得，兩邊微分，。6．解：方法一令，，，，而，。。方法二等式兩邊直接微分：。7．解：，，。8．證明：，同理可得：。所以。9．證明：，，所以左邊===右邊。10．解：解方程，得駐點且，，，，為極大值。11．解聯(lián)立方程組，得駐點。，，。，，。在和處，，和非極值點。在在處，且為極小值。處，且，為極大值。12．解：解聯(lián)立方程組，得駐點。，，。，，。在處，非極值。在處，且，為極小值。四．求解下列各類積分1．解：。2．解：原式。3．解：原式。4．解：原式。5．解：采用柱面坐標，令，，則，，，。原式=。6．解：采用柱面坐標，令，，則，，，。所以原式=。7．解：原式=。8．解：采用柱面坐標，令，，則，，，，所以原式。9．解：取為參變量，，，，所以?；蛉閰⒆兞?，，，，所以。10．解：橢圓在第一象限部分：，，，所以。11．解：，其中為拋物線段，為直線段。在上，，。，12．解：，，所以由格林公式得：。13．解：，，，，。而所以由格林公式得：。14．解：，其中為錐面部分，為平面部分。，在上，；在上，。。。15．解：為，在上，，。16．解：。17．解：，由于對稱性可得：，原式18．解：。，，，由奧高公式可得：。（注：采用球面坐標計算該三重積分）五．求解下列各題1．（1）解：，而級數(shù)收斂比較審斂法知：級數(shù)收斂。（2）解：，由比值審斂法知：級數(shù)收斂。（3）解：，而級數(shù)發(fā)散，由比較審斂法知：級數(shù)發(fā)散。2．（1）解：，而級數(shù)收斂（，由比較審斂法知：級數(shù)絕對收斂。，而（2）解：發(fā)散（調(diào)和級數(shù)），原級數(shù)非絕對收斂。又，（單調(diào)減少）且，即。所以此為萊布尼茨型級數(shù)，其收斂。即級數(shù)條件收斂。（3）解：，即為級數(shù)，故可知：當時，級數(shù)收斂，因此級數(shù)發(fā)散，由于級數(shù)絕對收斂；當時，級數(shù)時，為交錯級數(shù)，當，，由萊布尼茨定理可知級數(shù)收斂，故其條件收斂。綜上所述可知：當時，級數(shù)絕對收斂；當時，級數(shù)3．（1）解：。（2）解：設，求導二次得：，，。（3）解：，，，。4．（1）解：，而，；。所以，。（2）解：，而，；，所以，。（3）解：，，所以，。（4），而，所以，。4．解；，，。，。所以，。6．解：，，因為為偶函數(shù)，所以，。所以，。7．解：（1）展開為余弦級數(shù)，則，。；，。所以，。（2）展開為正弦級數(shù)，則，。，。所以，。六．求解下列各微分方程1．（1）解：，分離變量得：，兩邊積分后得：，其中為任意常數(shù)。（2）解：此為一階線性微分方程，，，，其中為任意常數(shù)。（3）令，，代入原方程得：，分離變量后得：，整理得：，兩邊積分后得：，即，即，兩邊積分后得：，其中，為任意常數(shù)。（4）解：其齊次方程的特征方程為：，特征根為：，。所以它的通解為：；因為不是特征根，故設；。代入方程，比較方程兩邊得故，。；所以原方程的通解為，其中，為任意常數(shù)。2．（1）解：其齊次方程的特征方程為