7-6第五節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用

設(shè)空間曲線的方程(1)式中的三個函數(shù)均可導(dǎo).第五節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用一、空間曲線的切線及法平面

1空間曲線由參數(shù)方程給出時

考察割線趨近于極限位置——切線的過程上式分母同除以割線的方程為曲線在M處的切線方程說明：上式中的分母不能全為零。如其中某一個分母為零，那么相應(yīng)的分子也為零。切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量.法平面：過M點且與切線垂直的平面.1.空間曲線方程為法平面方程為特殊地：解切線方程法平面方程上式兩端對x求導(dǎo)數(shù)，得

點M0(x0，y0，z0)是上一點，又設(shè)F，G對各變量有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且由本章第四節(jié)所講隱函數(shù)存在定理3知，在M0的某鄰域確定了一組連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)2.當(dāng)曲線由一般式方程給出時代入(1)式得恒等式點處的一個切向量為故可取切線方程為法平面方程為(ii)我們推出〔2〕式是在〔2〕式中的第一個分母不為零的條件下將y、z視作的x函數(shù)而推出的，如〔2〕式中的第一個分母為零，而第二或第三個分母不為零，這時可視y或z為自變量，同樣可推出公式〔2〕。說明：(i)如〔2〕式中有的分母為零，那么相應(yīng)分子為零。所求切線方程為法平面方程為所求切線方程為法平面方程為1設(shè)曲面方程為曲線在M處的切向量在曲面上任取一條通過點M的曲線二、曲面的切平面及法線首先我們證明：曲面∑上過點M0且具有切線的任何曲線，它們在點M0處的切線都位于同一平面上。

事實上，由于位于∑上，所以有恒等式

即有

亦即上方程兩端對t求導(dǎo)，有因此，曲面∑上過點M0且具有切線的任何曲線，它們在點M0處的切線都位于同一平面上，此平面稱為曲面在

M0處的切平面。令可以證明切平面方程為過M0而垂直于切平面的直線稱為曲面∑在點M0處的法線。法線方程為

稱為曲面∑在點M0處的一個法向量2空間曲面方程形為曲面在M處的切平面方程為曲面在M處的法線方程為令法向量切平面上點的豎坐標(biāo)的增量因為曲面在M處的切平面方程為假定取法向量的方向是向上的，那么問：如果取n向下時，方向余弦應(yīng)如何求？如方程為F(x，y，z)=0時，如何求方向余弦？如方程為x=g(y，z)時，或y=h(z，x)時如何求方向余弦？4曲面法向量的方向角、方向余弦

式中fx=fx(x0，y0)，

=fy(x0，y0)。

問：1、如果取n向下時，方向余弦應(yīng)如何求？3、如方程為F(x，y，z)=0時，如何求方向余弦？2、如方程為x=g(y，z)時，或y=h(x，z)時如何求取法向量的方向是向前或向后取法向量的方向是向右或向左方向余弦？解切平面方程為法線方程為解令切平面方程法線方程解設(shè)(x0,y0

z0)為曲面上的切點,切平面方程為依題意，切平面方程平行于平面，得因為(x0,y0

z0)是曲面上的切點，所求切點為切平面方程(1)切平面方程(2)方向?qū)?shù)的提出實例：一場長方形金屬板，四個頂點的坐標(biāo)為在坐標(biāo)原點處有一個火焰，使金屬板受熱，假定溫度函數(shù)在處有一螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行，才能最快到達較涼快的地點？應(yīng)沿由熱變冷變化最快的方向，關(guān)于溫度函數(shù)在點的方向?qū)?shù)取得最小值的方向，也即梯度方向的反方向。沿連結(jié)的方向爬行第六節(jié)方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)

函數(shù)的增量f(x+⊿x，y+⊿y)－f(x，y)與P、P′兩點間的距離即

1方向?qū)?shù)的定義

設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點P(x，y)的某一鄰域U(P)內(nèi)有定義，自點P引射線l。設(shè)x軸正向到射線l的轉(zhuǎn)角為,并設(shè)P′(x+⊿x，y+⊿y)為l上的另一點〔如圖〕且P′∈U(P)。我們考慮xOy⊿y⊿xPP′ρl當(dāng)P′沿著l趨于P時，如果這個比的極限存在，那么稱這極限為函數(shù)f(x，y)在點p沿方向l的方向?qū)?shù)２方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系

〔1〕從定義可知，當(dāng)函數(shù)f(x，y)在點P(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)fx、fy存在時，函數(shù)f(x，y)在點p沿著x軸正向e1={１，０},y軸正向e2=｛０，１｝的方向?qū)?shù)存在,且其值依次為fx

，fy.函數(shù)f(x，y)在點P沿x軸負向e1′={－１，０),y軸負向e2′=｛０，－１｝的方向?qū)?shù)也存在,且其值依次為－fx

，－fy

?！?〕即使沿任何方向的方向?qū)?shù)都存在，也不能保證fx、fy存在例如但fx(０，０)

、fy(０，０)不存在。在點(０，０)處３方向?qū)?shù)的計算方法

證明由于函數(shù)可微，那么增量可表示為兩邊同除以得到故有方向?qū)?shù)解推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義解令故方向余弦為故二、梯度

1梯度的定義

定義設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么對每點P(x，y)∈D，都可定出一個向量這個向量稱為函數(shù)z=f(x，y)在點P(x，y)的梯度，記作:說明：

(ii)對于三元函數(shù)可類似地定義:(i)梯度是一向量。2梯度的性質(zhì)〔與方向?qū)?shù)的關(guān)系〕且最大值為梯度的模結(jié)論在幾何上表示一個曲面曲面被平面所截得所得曲線在xoy面上投影曲線如圖等高線〔或等值線〕梯度為等高線上的法向量經(jīng)過與二元函數(shù)的情形完全類似的討論可知，三元函數(shù)的梯度也是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值。

結(jié)論：函數(shù)z=f(x，y)在某點P(x，y)處沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大〔函數(shù)增長最快〕，而它的最大值為梯度的模。例3求函數(shù)f(x，y，z)=x2+y2+z2在點M0(1，－1，2)處方向?qū)?shù)的最大值，及M0在取得方向?qū)?shù)最大值的方向與坐標(biāo)軸夾角的余弦。

解：gradf={2x，2y，2z}，gradf(1，－1，2)={2，－2，4}例4設(shè)x軸正向到方向l的轉(zhuǎn)角為，求函數(shù)在點〔1，1〕沿方向的方向?qū)?shù)，并分別確定轉(zhuǎn)角，使這導(dǎo)數(shù)有〔1〕最大值；〔2〕最小值；〔3〕等于0。解：gradf〔1，1〕={1，1}，當(dāng)時，方向?qū)?shù)可取得最小值；當(dāng)