復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論和應(yīng)用研究-課件

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論與應(yīng)用研究

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論與應(yīng)用研究1提綱引論復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念規(guī)則圖和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)無(wú)標(biāo)度(Scale-free)網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的鄰域演化模型無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的抗毀性提綱引論21引論在現(xiàn)實(shí)世界中，網(wǎng)絡(luò)無(wú)處不在大腦，是由軸突相連結(jié)的神經(jīng)細(xì)胞網(wǎng)絡(luò)，而細(xì)胞本身，又是由生化反應(yīng)相連結(jié)的分子網(wǎng)絡(luò)。社會(huì)也是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，它由友情、家庭和職業(yè)關(guān)系彼此連結(jié)。在更大的尺度上，食物鏈和生態(tài)系統(tǒng)可以看作由物種所構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)。科技領(lǐng)域的網(wǎng)絡(luò)更是隨處可見(jiàn):因特網(wǎng)、電力網(wǎng)和運(yùn)輸系統(tǒng)都是實(shí)例。1引論在現(xiàn)實(shí)世界中，網(wǎng)絡(luò)無(wú)處不在3

因特網(wǎng)是一個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。（本圖繪制于2019年2月6日，描繪了從某一測(cè)試站點(diǎn)到其他約10萬(wàn)個(gè)站點(diǎn)的最短連結(jié)路徑。圖中以相同的顏色來(lái)表示相類似的站點(diǎn)。Nature2000）因特網(wǎng)是一個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。（本圖繪制于2019年2月6日，描41引論復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)具有如下5個(gè)特征：

網(wǎng)絡(luò)的大規(guī)模性和行為的統(tǒng)計(jì)性:網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)可以有成百上千萬(wàn),甚至更多,超大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)的行為具有統(tǒng)計(jì)特性。節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)行為的復(fù)雜性:各個(gè)節(jié)點(diǎn)本身可以是各非線性系統(tǒng)（可以有離散的和連續(xù)微分方程描述）,具有分岔和混沌等非線性動(dòng)力學(xué)行為。網(wǎng)絡(luò)連接的稀疏性:一個(gè)有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的具有全局耦合結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)的連接數(shù)目為Ｏ（N^2）,而實(shí)際大型網(wǎng)絡(luò)的連接數(shù)目通常為Ｏ(N)。連接結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性:網(wǎng)絡(luò)連接結(jié)構(gòu)既非完全規(guī)則也非完全隨機(jī),但卻具有其內(nèi)在的自組織規(guī)律。網(wǎng)絡(luò)的時(shí)空演化的復(fù)雜性:復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)具有空間和時(shí)間的演化復(fù)雜性,展示出豐富的復(fù)雜行為,特別是網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間的不同類型的同步化運(yùn)動(dòng)。1引論復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)具有如下5個(gè)特征：51引論

盡管網(wǎng)絡(luò)是如此重要和普遍，但科學(xué)家對(duì)它的結(jié)構(gòu)和屬性卻知之不多。在復(fù)雜的基因網(wǎng)絡(luò)中，故障節(jié)點(diǎn)是如何相互作用而引發(fā)癌癥的?在特定的社會(huì)和通信系統(tǒng)中，疾病和電腦病毒如何快速傳播而導(dǎo)致流行?某些網(wǎng)絡(luò)即便大部分節(jié)點(diǎn)失效，還能維持運(yùn)行，原因何在?1引論盡管網(wǎng)絡(luò)是如此重要和普遍，但科學(xué)家對(duì)它的結(jié)構(gòu)和屬62復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念節(jié)點(diǎn)通常用來(lái)表示系統(tǒng)中的部件；邊通常用來(lái)表示系統(tǒng)中部件之間的關(guān)系。網(wǎng)絡(luò)(圖)就是由節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系構(gòu)成的一張圖。2復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念7中國(guó)教科網(wǎng)中國(guó)教科網(wǎng)8中國(guó)教科網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中國(guó)教科網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)9網(wǎng)絡(luò)（圖）的基本概念關(guān)聯(lián)與鄰接度、平均度節(jié)點(diǎn)的度分布最短路徑與平均路徑長(zhǎng)度群系數(shù)網(wǎng)絡(luò)（圖）的基本概念關(guān)聯(lián)與鄰接10網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念aedcb網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念aedcb11網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念節(jié)點(diǎn)的度分布是指網(wǎng)絡(luò)（圖）中度為的節(jié)點(diǎn)的概率隨節(jié)點(diǎn)度的變化規(guī)律。網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念節(jié)點(diǎn)的度分布是指網(wǎng)絡(luò)（圖）中度為的節(jié)12網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念最短路徑就是從指定始點(diǎn)到指定終點(diǎn)的所有路徑中總權(quán)最小的一條路經(jīng)。平均路徑長(zhǎng)度是指所有點(diǎn)對(duì)之間的最短路徑的算術(shù)平均值。網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念最短路徑就是從指定始點(diǎn)到指定終點(diǎn)的所有路13網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念集群系數(shù)(Clusteringcoefficient)反映網(wǎng)絡(luò)的群集程度，定義為網(wǎng)絡(luò)的平均度與網(wǎng)絡(luò)規(guī)模之比。網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念集群系數(shù)(Clusteringcoef142277

55553311網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念227755553311網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念15節(jié)點(diǎn)1到7之間的最短路13，平均路徑長(zhǎng)度5.47，平均度為3.4，集群系數(shù)為0.48。網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念節(jié)點(diǎn)1到7之間的最短路13，平均路徑長(zhǎng)度5.47，網(wǎng)絡(luò)(圖)163、規(guī)則圖和隨機(jī)圖規(guī)則圖的特征如果系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)及其與邊的關(guān)系是固定的，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有相同的度數(shù)，就可以用規(guī)則圖來(lái)表示這個(gè)系統(tǒng)。隨機(jī)圖的特征如果系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)及其與邊的關(guān)系不確定，就只能用隨機(jī)圖來(lái)表示這個(gè)系統(tǒng)。3、規(guī)則圖和隨機(jī)圖規(guī)則圖的特征17規(guī)則圖的特征平均度為3規(guī)則圖的特征平均度為318隨機(jī)圖的特征節(jié)點(diǎn)確定，但邊以概率任意連接。節(jié)點(diǎn)不確定，點(diǎn)邊關(guān)系也不確定。隨機(jī)圖的特征節(jié)點(diǎn)確定，但邊以概率任意連接。19隨機(jī)圖——節(jié)點(diǎn)19，邊43平均度為2.42，集群系數(shù)為0.13。隨機(jī)圖——節(jié)點(diǎn)19，邊43平均度為2.42，集群系數(shù)為0.120隨機(jī)圖——節(jié)點(diǎn)42，邊118平均度為5.62，集群系數(shù)為0.133。隨機(jī)圖——節(jié)點(diǎn)42，邊118平均度為5.62，集群系數(shù)為0.214.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的演化模型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是大量互聯(lián)的節(jié)點(diǎn)的集合，節(jié)點(diǎn)是信息的載體，比如互聯(lián)網(wǎng)，萬(wàn)維網(wǎng)，以及各種通信網(wǎng)、食物網(wǎng)、生物神經(jīng)網(wǎng)、電力網(wǎng)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)網(wǎng)、科學(xué)家合作網(wǎng)等。最近的研究文獻(xiàn)揭示了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的許多重要特性，其中最有影響的是小世界(small-world)特性和無(wú)標(biāo)度(scale-free)特性。4.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的演化模型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是大量互聯(lián)的節(jié)點(diǎn)的集合，節(jié)點(diǎn)22早期網(wǎng)絡(luò)模型-ER模型Erd?s和Rényi（ER）最早提出隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型并對(duì)模型進(jìn)行了深入研究，他們是用概率統(tǒng)計(jì)方法研究隨機(jī)圖統(tǒng)計(jì)特性的創(chuàng)始人。在模型開(kāi)始階段給定N個(gè)節(jié)點(diǎn)，沒(méi)有邊，以概率p用邊連接任意一對(duì)節(jié)點(diǎn)，用這樣的方法產(chǎn)生一隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)。早期網(wǎng)絡(luò)模型-ER模型Erd?s和Rényi（ER）最早提23復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論和應(yīng)用研究-課件24ER-模型Erd?s和Rényi（1959）首先研究了在隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中最大和最小度的分布，Bollobás(1981)隨后得到了所有度分布的形式，推導(dǎo)出度數(shù)為k的節(jié)點(diǎn)數(shù)遵從平均值為的泊松分布，即ER-模型Erd?s和Rényi（1959）首先研究了在隨機(jī)25Connectwithprobabilitypp=1/6N=10k~1.5PoissondistributionConnectwithprobabilitypp=1/26小世界模型為了描述從一個(gè)局部有序系統(tǒng)到一個(gè)隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)移過(guò)程，Watts和Strogatz（WS）提出了一個(gè)新模型，通常稱為小世界網(wǎng)絡(luò)模型。WS模型始于一具有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的一維網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)與其最近的鄰接點(diǎn)和次鄰接點(diǎn)相連接，然后每條邊以概率p重新連接。約束條件為節(jié)點(diǎn)間無(wú)重邊，無(wú)自環(huán)。小世界模型為了描述從一個(gè)局部有序系統(tǒng)到一個(gè)隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)移過(guò)程27C(p):clusteringcoeff.L(p):averagepathlength（Nature2019）P(k)=0.1p(k)=0.3C(p):clusteringcoeff.28小世界模型當(dāng)p等于0時(shí)，對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)規(guī)則圖。兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的平均距離<L>線性地隨N增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，集群系數(shù)大。當(dāng)p等于1時(shí)，系統(tǒng)變?yōu)殡S機(jī)圖。<L>對(duì)數(shù)地隨N增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，且集群系數(shù)隨N減少而減少。在p等于（0，1）區(qū)間任意值時(shí)，模型顯示出小世界特性，<L>約等于隨機(jī)圖的值，網(wǎng)絡(luò)具有高度集群性。小世界模型當(dāng)p等于0時(shí)，對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)規(guī)則圖。兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的平均距29小世界特性是指網(wǎng)絡(luò)具有如下式的拓?fù)涮攸c(diǎn)：小世界網(wǎng)絡(luò)具有與隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)大致相近的特征路徑長(zhǎng)度，但具有大得多的聚類系數(shù)。小世界電網(wǎng)所特有的較小特征路徑長(zhǎng)度和較高聚類系數(shù)等特性，對(duì)故障的傳播起推波助瀾的作用。小世界網(wǎng)絡(luò)模型小世界特性是指網(wǎng)絡(luò)具有如下式的拓?fù)涮攸c(diǎn)：小世界網(wǎng)絡(luò)模型30

根據(jù)表1中數(shù)據(jù)可以判定美國(guó)西部電網(wǎng)和中國(guó)北方電網(wǎng)均屬于小世界網(wǎng)絡(luò)，而中國(guó)川渝電網(wǎng)和中國(guó)廣東省電網(wǎng)不屬于小世界網(wǎng)絡(luò)。表1各電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)表電網(wǎng)名稱節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)邊條數(shù)平均度數(shù)CLCrandomLrandom中國(guó)北方電網(wǎng)809290182.230.001732.00.0002811.2中國(guó)東北電網(wǎng)114413092.290.0034214.00.0028.50中國(guó)華北電網(wǎng)370640452.180.0012320.70.000610.55中國(guó)華中電網(wǎng)237927562.320.004421.080.0019.238美國(guó)西部電網(wǎng)494165942.670.08018.70.000512.4中國(guó)川渝電網(wǎng)8538982.110.001719.630.00259.038中國(guó)廣東省電網(wǎng)187120002.140.0008415.10.00119.92根據(jù)表1中數(shù)據(jù)可以判定美國(guó)西部電網(wǎng)和中國(guó)北方電網(wǎng)均屬于31Scale-free網(wǎng)絡(luò)信息交換網(wǎng)（萬(wàn)維網(wǎng)、國(guó)際互聯(lián)網(wǎng)、電話網(wǎng)、電力網(wǎng)）社會(huì)網(wǎng)絡(luò)（電影演員合作網(wǎng)、科研合作圖、引文網(wǎng)、人類性接觸網(wǎng)、語(yǔ)言學(xué)網(wǎng)）生物網(wǎng)絡(luò)（細(xì)胞網(wǎng)絡(luò)、生態(tài)網(wǎng)絡(luò)、蛋白質(zhì)折疊）Scale-free網(wǎng)絡(luò)信息交換網(wǎng)（萬(wàn)維網(wǎng)、國(guó)際互聯(lián)網(wǎng)、電32復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論和應(yīng)用研究-課件33Scale-free網(wǎng)絡(luò)的特性度分布呈冪率分布中樞節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)穩(wěn)健性脆弱性Scale-free網(wǎng)絡(luò)的特性度分布呈冪率分布34無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)與隨機(jī)圖特性比較無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)與隨機(jī)圖特性比較35Barabási-Albert無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域的一個(gè)重大發(fā)現(xiàn)是很多大型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)出無(wú)標(biāo)度特性，這些網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)度數(shù)呈現(xiàn)冪分布規(guī)律，比如互聯(lián)網(wǎng)、萬(wàn)維網(wǎng)、新陳代謝網(wǎng)等。為了解釋這種冪分布規(guī)律，Barabási和Albert構(gòu)建了一種無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型，即BA模型。Barabási和Albert指出無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)自組織的兩個(gè)重要因素是增長(zhǎng)和擇優(yōu)連接，即不斷地有新的節(jié)點(diǎn)加入網(wǎng)絡(luò)中，新加入的節(jié)點(diǎn)優(yōu)先與網(wǎng)絡(luò)中已有節(jié)點(diǎn)中度數(shù)較大者連接（即所謂的“富者更富”現(xiàn)象）。Barabási-Albert無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域的36BA模型的生成(１）增長(zhǎng)：開(kāi)始于較少的節(jié)點(diǎn)數(shù)量（m0），在每個(gè)時(shí)間間隔增加一個(gè)具有m（≤m0）條邊的新節(jié)點(diǎn)，連接這個(gè)新節(jié)點(diǎn)到m個(gè)不同的已經(jīng)存在于系統(tǒng)中的節(jié)點(diǎn)上。擇優(yōu)連接：在選擇新節(jié)點(diǎn)的連接點(diǎn)時(shí)，假設(shè)新節(jié)點(diǎn)連接到節(jié)點(diǎn)的概率取決于節(jié)點(diǎn)的度數(shù)即：經(jīng)過(guò)t時(shí)間間隔后，該算法產(chǎn)生一個(gè)具有N=t+m0個(gè)節(jié)點(diǎn)，mt條邊的網(wǎng)絡(luò)，經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間間隔后，生成一個(gè)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)度數(shù)成冪律分布：

分布曲線的形狀不隨網(wǎng)絡(luò)大小的變化而變化。BA模型的生成(１）增長(zhǎng)：開(kāi)始于較少的節(jié)點(diǎn)數(shù)量（m0），在每37

38BA模型的生成(2)圖3BA模型的節(jié)點(diǎn)度分布，N=10000，m=m0=3，5，7BA模型的生成(2)圖3BA模型的節(jié)點(diǎn)度分布，N=100039

40網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)度數(shù)的分布對(duì)信息或傳染病在網(wǎng)絡(luò)中的傳播性能有很大的影響。對(duì)于無(wú)尺度網(wǎng)絡(luò)（scale-freenetwork，在分布概率與節(jié)點(diǎn)度數(shù)的雙對(duì)數(shù)曲線圖上表現(xiàn)為一條直線）來(lái)說(shuō)，它的節(jié)點(diǎn)度數(shù)變化范圍很大（因而被稱為異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)），當(dāng)傳染病在這樣的網(wǎng)絡(luò)傳播時(shí)，沒(méi)有感染率和傳播率的門限值，往往造成爆發(fā)式的流行；而對(duì)于節(jié)點(diǎn)度數(shù)變化范圍小的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)（節(jié)點(diǎn)度數(shù)通常服從指數(shù)分布——在累積分布概率與節(jié)點(diǎn)度數(shù)的半對(duì)數(shù)曲線圖上表現(xiàn)為一條直線）而言，情況卻相反。信息或傳染病在無(wú)尺度網(wǎng)絡(luò)中的傳播性能網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)度數(shù)的分布對(duì)信息或傳染病在網(wǎng)絡(luò)中的傳播性能有很大的415復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的鄰域演化模型鄰域現(xiàn)象例如：在科學(xué)家合作網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)一個(gè)學(xué)生開(kāi)始涉足某個(gè)領(lǐng)域的時(shí)候，他/她會(huì)首先與自己的導(dǎo)師合作，而不是與知名的但是素不相識(shí)的人合作。在這種情況下，與新加入的節(jié)點(diǎn)相連接的節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中呈均勻分布，這可以通過(guò)隨機(jī)連接來(lái)描述。逐漸地，這個(gè)學(xué)生可能會(huì)與其導(dǎo)師的合作者中比較知名的人合作，這種情況就呈現(xiàn)出一種“鄰域”的特點(diǎn)，這種現(xiàn)象可以稱為“與朋友的朋友交朋友”。

5復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的鄰域演化模型鄰域現(xiàn)象42

鄰域的定義（1）BA無(wú)標(biāo)度模型計(jì)算網(wǎng)絡(luò)中每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的連接概率，然而，實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)中存在著“鄰域”現(xiàn)象，即新加入網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)優(yōu)先與某個(gè)鄰域中的節(jié)點(diǎn)連接。基于這種鄰域現(xiàn)象，我們提出了鄰域演化網(wǎng)絡(luò)模型。在不含權(quán)網(wǎng)絡(luò)中，定義節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間的距離為，即連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑所經(jīng)過(guò)的邊數(shù)。定義≥1，當(dāng)節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)直接相連的時(shí)候，則：=1。節(jié)點(diǎn)i深度為p的“鄰域”用表示，定義為：

鄰域的定義（1）BA無(wú)標(biāo)度模型計(jì)算網(wǎng)絡(luò)中每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的連接概43鄰域的定義（2）圖4不含權(quán)網(wǎng)絡(luò)，其中，N1(1)={2，3},N2(1)={2，3，4，7}鄰域的定義（2）圖4不含權(quán)網(wǎng)絡(luò)，其中，N1(1)={244鄰域演化網(wǎng)絡(luò)模型的生成開(kāi)始于少量節(jié)點(diǎn)（m0）和少量的邊（e0）從網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選取一個(gè)節(jié)點(diǎn)i，確定它深度為p的鄰域。增加一個(gè)度數(shù)為m的節(jié)點(diǎn)，連接到節(jié)點(diǎn)i和中的m-1個(gè)節(jié)點(diǎn)。擇優(yōu)連接：在中選擇m-1個(gè)新節(jié)點(diǎn)時(shí)，連接到節(jié)點(diǎn)j的概率為

其中這樣，經(jīng)過(guò)每一個(gè)時(shí)間間隔，一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)就連接到網(wǎng)絡(luò)中的m個(gè)節(jié)點(diǎn)上。這m個(gè)節(jié)點(diǎn)包括一個(gè)隨機(jī)選擇的節(jié)點(diǎn)及其深度為p的鄰域中的m-1個(gè)節(jié)點(diǎn)，而不像BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型那樣從所有已存在的節(jié)點(diǎn)中選擇m個(gè)節(jié)點(diǎn)。鄰域演化網(wǎng)絡(luò)模型的生成開(kāi)始于少量節(jié)點(diǎn)（m0）和少量的邊（e045鄰域演化網(wǎng)絡(luò)模型的數(shù)值仿真（1）通過(guò)理論分析，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)鄰域深度較小時(shí)，比如p=1，2，鄰域演化網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)度數(shù)分布為指數(shù)規(guī)律，隨著的增大，逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)榕cBA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)一致。這表明這種新的演化模型具有豐富的動(dòng)態(tài)特性，并且獲得了冪規(guī)律和指數(shù)規(guī)律之間的過(guò)渡。為了證實(shí)新網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特性和動(dòng)態(tài)特性，進(jìn)行了數(shù)值仿真。在仿真中，使用了度分布、聚類系數(shù)和平均路徑長(zhǎng)度三個(gè)指標(biāo)，這三個(gè)指標(biāo)在目前復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究領(lǐng)域中是至關(guān)重要的。鄰域演化網(wǎng)絡(luò)模型的數(shù)值仿真（1）通過(guò)理論分析，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)鄰域46鄰域演化網(wǎng)絡(luò)模型的數(shù)值仿真（2）圖5鄰域演化模型的節(jié)點(diǎn)度分布，p=1，2，3圖6鄰域演化模型(p=5，6) 及BA模型的節(jié)點(diǎn)度分布鄰域演化網(wǎng)絡(luò)模型的數(shù)值仿真（2）圖5鄰域演化模型的節(jié)點(diǎn)度分47鄰域演化網(wǎng)絡(luò)模型的數(shù)值仿真（3）圖7鄰域演化模型(p=1,2,6)及BA模型的聚類系數(shù)圖8鄰域演化模型(p=1,2,6)及BA模型的平均路徑長(zhǎng)度鄰域演化網(wǎng)絡(luò)模型的數(shù)值仿真（3）圖7鄰域演化模型(p=1,48小結(jié)提出基于鄰域結(jié)構(gòu)連結(jié)的新的統(tǒng)一復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)演化模型，理論分析和數(shù)值仿真表明這種網(wǎng)絡(luò)具有豐富的動(dòng)態(tài)特性。當(dāng)鄰域較小時(shí),生成的網(wǎng)絡(luò)具有小世界特性。當(dāng)鄰域較大時(shí),生成的網(wǎng)絡(luò)具有無(wú)標(biāo)度特性,BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)只是其一種極限形式。統(tǒng)一的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)演化模型將為研究連鎖故障的傳播提供方便。

496無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的抗毀性無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的雙重性生機(jī)勃勃：無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在隨機(jī)打擊下，生機(jī)勃勃，抗毀能力很強(qiáng)脆弱：在智能打擊下，無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)顯得異常脆弱6無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的抗毀性無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的雙重性50無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的雙重性巴拉巴斯等人把無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)置于兩種類型的打擊之下（隨機(jī)打擊、智能打擊）。在前一種打擊中，他們隨機(jī)地攻擊了個(gè)別的節(jié)點(diǎn)，在后一種中，則僅僅拿掉了這些活動(dòng)中心──網(wǎng)絡(luò)中四通八達(dá)的節(jié)點(diǎn)。在隨機(jī)打擊下，隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)很容易遭受傷害。由于越來(lái)越多的節(jié)點(diǎn)被摧毀，所以從一個(gè)節(jié)點(diǎn)到達(dá)另外一個(gè)所需的步驟數(shù)量穩(wěn)步增加。無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在這種打擊面前則生機(jī)勃勃,抗毀能力很強(qiáng)。在智能打擊下，隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的衰敗方式與在隨機(jī)打擊下相同。但無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)一旦5％的活動(dòng)中心被去除，穿越網(wǎng)絡(luò)所需的步驟數(shù)量就增加一倍。無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的雙重性51復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)抗毀性舉例美加電網(wǎng)的大崩潰事故已經(jīng)過(guò)去一年了，或許瞬間的黑暗并沒(méi)有使遠(yuǎn)在亞洲的我們感受到紐約人的驚栗，但是網(wǎng)絡(luò)中無(wú)意或有意生成的安全隱患卻令人無(wú)法逃避。面對(duì)與生活日漸親密的網(wǎng)絡(luò)，我們不禁要問(wèn)：

“網(wǎng)絡(luò)到底有多可靠？”

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)抗毀性舉例美加電網(wǎng)的大崩潰事故已經(jīng)過(guò)去一年了，或許瞬52復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)抗毀性舉例之一北美電力網(wǎng)是一個(gè)由大型發(fā)電廠為集散節(jié)點(diǎn)，以主干電力網(wǎng)相互連接起來(lái)的類似無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的高度集群電網(wǎng)。由于它們使用的是同步交流電網(wǎng)，只要一家電廠出事，頻率異動(dòng)就會(huì)瞬間波及全網(wǎng)。美加電網(wǎng)的崩潰清楚地解釋了“集群現(xiàn)象”，并且極其吻合無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)理論對(duì)集散節(jié)點(diǎn)的定義和因此而形成的對(duì)于網(wǎng)絡(luò)安全特性的估計(jì)。雖然所有對(duì)電力網(wǎng)絡(luò)的研究工作還不能確定美加電網(wǎng)就是一種“無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)”，但有一點(diǎn)已經(jīng)明確，那就是電力網(wǎng)是一個(gè)復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，對(duì)網(wǎng)絡(luò)中一定數(shù)量集散節(jié)點(diǎn)的蓄意攻擊，就能破壞整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的正常運(yùn)行，而且如果這些集散節(jié)點(diǎn)之間的松散聯(lián)系一旦相互影響、交叉感染，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的安全性就將大大降低。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)抗毀性舉例之一53復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)抗毀性舉例之二反映在互聯(lián)網(wǎng)中，我們幾乎都使用著微軟的Windows開(kāi)放式操作平臺(tái)，針對(duì)單一安全漏洞的病毒就足以感染大部分網(wǎng)絡(luò)連接,幾位美國(guó)網(wǎng)絡(luò)安全專家在最近的一份聯(lián)合報(bào)告中極力呼吁，過(guò)分依賴微軟軟件可能導(dǎo)致“大規(guī)模、雪崩式故障”。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)抗毀性舉例之二反映在互聯(lián)網(wǎng)中，我們幾乎都使用著微軟的54復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)抗毀性舉例之三網(wǎng)絡(luò)抗毀性分析的一個(gè)重要實(shí)例是食物鏈網(wǎng)絡(luò)。對(duì)于食物鏈網(wǎng)絡(luò)，由于規(guī)模限制，食物鏈網(wǎng)絡(luò)的度分布沒(méi)有得到最終研究結(jié)果，度分布存在冪律分布、均勻分布、以及指數(shù)分布等多種形式。在這樣的網(wǎng)絡(luò)上，如果發(fā)生個(gè)別物種的衰落或死亡會(huì)對(duì)整體生態(tài)系統(tǒng)產(chǎn)生什么影響呢？復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)抗毀性舉例之三網(wǎng)絡(luò)抗毀性分析的一個(gè)重要實(shí)例是食物鏈網(wǎng)55隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)與無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的抗毀性左圖顯示了兩種網(wǎng)絡(luò)在不同打擊下，d隨f變化圖。兩種網(wǎng)絡(luò)都包含10000個(gè)節(jié)點(diǎn)和20000個(gè)連接。隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)與無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的抗毀性左圖顯示了兩種網(wǎng)絡(luò)在不同打擊下，56隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)與無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的抗毀性圖b.在因特網(wǎng)上隨機(jī)損毀(方塊)或者受到攻擊(圓)d的變化，樣本來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用研究國(guó)家實(shí)驗(yàn)室收集的包含6209個(gè)節(jié)點(diǎn)和12200個(gè)連接的拓?fù)鋱D形。隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)與無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的抗毀性圖b.在因特網(wǎng)上隨機(jī)損毀(方塊)57隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)與無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的抗毀性在上隨機(jī)打擊(方塊)或者受到智能攻擊(六邊形)后d的變化圖。隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)與無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的抗毀性在上隨機(jī)打擊(方塊)58

59隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)與無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的抗毀性結(jié)論：生機(jī)勃勃：無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在隨機(jī)打擊下，生機(jī)勃勃，抗御能力很強(qiáng)。脆弱：在智能性的打擊下，無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)顯得異常脆弱。隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)與無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的抗毀性結(jié)論：60參考文獻(xiàn)Albert,R.,H.Jeong,andA.-L.Barabási,DiameteroftheWorld-Wide-Web,2019,Nature(London)401,130.Barabási,A.-L.,andR.Albert,Emergenceofscalinginrandomnetworks,2019,Science286,509.YJCao,GZWangetal,Evolvingneighborhoodnetworkmodel,2019,PhysicsLettersA(toappear).Albert,R.,andA.-L.Barabási,statisticalMechanicsofcomplexnetwork,2019,Rev.Mod.Phys.Vol.74,No.1,47-97.譚躍進(jìn),復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可靠性研究,2019張寧,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的無(wú)標(biāo)度特性,2019參考文獻(xiàn)Albert,R.,H.Jeong,and61謝謝大家！謝謝大家！62復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論與應(yīng)用研究

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論與應(yīng)用研究63提綱引論復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念規(guī)則圖和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)無(wú)標(biāo)度(Scale-free)網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的鄰域演化模型無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的抗毀性提綱引論641引論在現(xiàn)實(shí)世界中，網(wǎng)絡(luò)無(wú)處不在大腦，是由軸突相連結(jié)的神經(jīng)細(xì)胞網(wǎng)絡(luò)，而細(xì)胞本身，又是由生化反應(yīng)相連結(jié)的分子網(wǎng)絡(luò)。社會(huì)也是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，它由友情、家庭和職業(yè)關(guān)系彼此連結(jié)。在更大的尺度上，食物鏈和生態(tài)系統(tǒng)可以看作由物種所構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)。科技領(lǐng)域的網(wǎng)絡(luò)更是隨處可見(jiàn):因特網(wǎng)、電力網(wǎng)和運(yùn)輸系統(tǒng)都是實(shí)例。1引論在現(xiàn)實(shí)世界中，網(wǎng)絡(luò)無(wú)處不在65

因特網(wǎng)是一個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。（本圖繪制于2019年2月6日，描繪了從某一測(cè)試站點(diǎn)到其他約10萬(wàn)個(gè)站點(diǎn)的最短連結(jié)路徑。圖中以相同的顏色來(lái)表示相類似的站點(diǎn)。Nature2000）因特網(wǎng)是一個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。（本圖繪制于2019年2月6日，描661引論復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)具有如下5個(gè)特征：

網(wǎng)絡(luò)的大規(guī)模性和行為的統(tǒng)計(jì)性:網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)可以有成百上千萬(wàn),甚至更多,超大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)的行為具有統(tǒng)計(jì)特性。節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)行為的復(fù)雜性:各個(gè)節(jié)點(diǎn)本身可以是各非線性系統(tǒng)（可以有離散的和連續(xù)微分方程描述）,具有分岔和混沌等非線性動(dòng)力學(xué)行為。網(wǎng)絡(luò)連接的稀疏性:一個(gè)有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的具有全局耦合結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)的連接數(shù)目為Ｏ（N^2）,而實(shí)際大型網(wǎng)絡(luò)的連接數(shù)目通常為Ｏ(N)。連接結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性:網(wǎng)絡(luò)連接結(jié)構(gòu)既非完全規(guī)則也非完全隨機(jī),但卻具有其內(nèi)在的自組織規(guī)律。網(wǎng)絡(luò)的時(shí)空演化的復(fù)雜性:復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)具有空間和時(shí)間的演化復(fù)雜性,展示出豐富的復(fù)雜行為,特別是網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間的不同類型的同步化運(yùn)動(dòng)。1引論復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)具有如下5個(gè)特征：671引論

盡管網(wǎng)絡(luò)是如此重要和普遍，但科學(xué)家對(duì)它的結(jié)構(gòu)和屬性卻知之不多。在復(fù)雜的基因網(wǎng)絡(luò)中，故障節(jié)點(diǎn)是如何相互作用而引發(fā)癌癥的?在特定的社會(huì)和通信系統(tǒng)中，疾病和電腦病毒如何快速傳播而導(dǎo)致流行?某些網(wǎng)絡(luò)即便大部分節(jié)點(diǎn)失效，還能維持運(yùn)行，原因何在?1引論盡管網(wǎng)絡(luò)是如此重要和普遍，但科學(xué)家對(duì)它的結(jié)構(gòu)和屬682復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念節(jié)點(diǎn)通常用來(lái)表示系統(tǒng)中的部件；邊通常用來(lái)表示系統(tǒng)中部件之間的關(guān)系。網(wǎng)絡(luò)(圖)就是由節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系構(gòu)成的一張圖。2復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念69中國(guó)教科網(wǎng)中國(guó)教科網(wǎng)70中國(guó)教科網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中國(guó)教科網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)71網(wǎng)絡(luò)（圖）的基本概念關(guān)聯(lián)與鄰接度、平均度節(jié)點(diǎn)的度分布最短路徑與平均路徑長(zhǎng)度群系數(shù)網(wǎng)絡(luò)（圖）的基本概念關(guān)聯(lián)與鄰接72網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念aedcb網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念aedcb73網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念節(jié)點(diǎn)的度分布是指網(wǎng)絡(luò)（圖）中度為的節(jié)點(diǎn)的概率隨節(jié)點(diǎn)度的變化規(guī)律。網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念節(jié)點(diǎn)的度分布是指網(wǎng)絡(luò)（圖）中度為的節(jié)74網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念最短路徑就是從指定始點(diǎn)到指定終點(diǎn)的所有路徑中總權(quán)最小的一條路經(jīng)。平均路徑長(zhǎng)度是指所有點(diǎn)對(duì)之間的最短路徑的算術(shù)平均值。網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念最短路徑就是從指定始點(diǎn)到指定終點(diǎn)的所有路75網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念集群系數(shù)(Clusteringcoefficient)反映網(wǎng)絡(luò)的群集程度，定義為網(wǎng)絡(luò)的平均度與網(wǎng)絡(luò)規(guī)模之比。網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念集群系數(shù)(Clusteringcoef762277

55553311網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念227755553311網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念77節(jié)點(diǎn)1到7之間的最短路13，平均路徑長(zhǎng)度5.47，平均度為3.4，集群系數(shù)為0.48。網(wǎng)絡(luò)(圖)的基本概念節(jié)點(diǎn)1到7之間的最短路13，平均路徑長(zhǎng)度5.47，網(wǎng)絡(luò)(圖)783、規(guī)則圖和隨機(jī)圖規(guī)則圖的特征如果系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)及其與邊的關(guān)系是固定的，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有相同的度數(shù)，就可以用規(guī)則圖來(lái)表示這個(gè)系統(tǒng)。隨機(jī)圖的特征如果系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)及其與邊的關(guān)系不確定，就只能用隨機(jī)圖來(lái)表示這個(gè)系統(tǒng)。3、規(guī)則圖和隨機(jī)圖規(guī)則圖的特征79規(guī)則圖的特征平均度為3規(guī)則圖的特征平均度為380隨機(jī)圖的特征節(jié)點(diǎn)確定，但邊以概率任意連接。節(jié)點(diǎn)不確定，點(diǎn)邊關(guān)系也不確定。隨機(jī)圖的特征節(jié)點(diǎn)確定，但邊以概率任意連接。81隨機(jī)圖——節(jié)點(diǎn)19，邊43平均度為2.42，集群系數(shù)為0.13。隨機(jī)圖——節(jié)點(diǎn)19，邊43平均度為2.42，集群系數(shù)為0.182隨機(jī)圖——節(jié)點(diǎn)42，邊118平均度為5.62，集群系數(shù)為0.133。隨機(jī)圖——節(jié)點(diǎn)42，邊118平均度為5.62，集群系數(shù)為0.834.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的演化模型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是大量互聯(lián)的節(jié)點(diǎn)的集合，節(jié)點(diǎn)是信息的載體，比如互聯(lián)網(wǎng)，萬(wàn)維網(wǎng)，以及各種通信網(wǎng)、食物網(wǎng)、生物神經(jīng)網(wǎng)、電力網(wǎng)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)網(wǎng)、科學(xué)家合作網(wǎng)等。最近的研究文獻(xiàn)揭示了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的許多重要特性，其中最有影響的是小世界(small-world)特性和無(wú)標(biāo)度(scale-free)特性。4.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的演化模型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是大量互聯(lián)的節(jié)點(diǎn)的集合，節(jié)點(diǎn)84早期網(wǎng)絡(luò)模型-ER模型Erd?s和Rényi（ER）最早提出隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型并對(duì)模型進(jìn)行了深入研究，他們是用概率統(tǒng)計(jì)方法研究隨機(jī)圖統(tǒng)計(jì)特性的創(chuàng)始人。在模型開(kāi)始階段給定N個(gè)節(jié)點(diǎn)，沒(méi)有邊，以概率p用邊連接任意一對(duì)節(jié)點(diǎn)，用這樣的方法產(chǎn)生一隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)。早期網(wǎng)絡(luò)模型-ER模型Erd?s和Rényi（ER）最早提85復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論和應(yīng)用研究-課件86ER-模型Erd?s和Rényi（1959）首先研究了在隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中最大和最小度的分布，Bollobás(1981)隨后得到了所有度分布的形式，推導(dǎo)出度數(shù)為k的節(jié)點(diǎn)數(shù)遵從平均值為的泊松分布，即ER-模型Erd?s和Rényi（1959）首先研究了在隨機(jī)87Connectwithprobabilitypp=1/6N=10k~1.5PoissondistributionConnectwithprobabilitypp=1/88小世界模型為了描述從一個(gè)局部有序系統(tǒng)到一個(gè)隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)移過(guò)程，Watts和Strogatz（WS）提出了一個(gè)新模型，通常稱為小世界網(wǎng)絡(luò)模型。WS模型始于一具有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的一維網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)與其最近的鄰接點(diǎn)和次鄰接點(diǎn)相連接，然后每條邊以概率p重新連接。約束條件為節(jié)點(diǎn)間無(wú)重邊，無(wú)自環(huán)。小世界模型為了描述從一個(gè)局部有序系統(tǒng)到一個(gè)隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)移過(guò)程89C(p):clusteringcoeff.L(p):averagepathlength（Nature2019）P(k)=0.1p(k)=0.3C(p):clusteringcoeff.90小世界模型當(dāng)p等于0時(shí)，對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)規(guī)則圖。兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的平均距離<L>線性地隨N增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，集群系數(shù)大。當(dāng)p等于1時(shí)，系統(tǒng)變?yōu)殡S機(jī)圖。<L>對(duì)數(shù)地隨N增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，且集群系數(shù)隨N減少而減少。在p等于（0，1）區(qū)間任意值時(shí)，模型顯示出小世界特性，<L>約等于隨機(jī)圖的值，網(wǎng)絡(luò)具有高度集群性。小世界模型當(dāng)p等于0時(shí)，對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)規(guī)則圖。兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的平均距91小世界特性是指網(wǎng)絡(luò)具有如下式的拓?fù)涮攸c(diǎn)：小世界網(wǎng)絡(luò)具有與隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)大致相近的特征路徑長(zhǎng)度，但具有大得多的聚類系數(shù)。小世界電網(wǎng)所特有的較小特征路徑長(zhǎng)度和較高聚類系數(shù)等特性，對(duì)故障的傳播起推波助瀾的作用。小世界網(wǎng)絡(luò)模型小世界特性是指網(wǎng)絡(luò)具有如下式的拓?fù)涮攸c(diǎn)：小世界網(wǎng)絡(luò)模型92

根據(jù)表1中數(shù)據(jù)可以判定美國(guó)西部電網(wǎng)和中國(guó)北方電網(wǎng)均屬于小世界網(wǎng)絡(luò)，而中國(guó)川渝電網(wǎng)和中國(guó)廣東省電網(wǎng)不屬于小世界網(wǎng)絡(luò)。表1各電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)表電網(wǎng)名稱節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)邊條數(shù)平均度數(shù)CLCrandomLrandom中國(guó)北方電網(wǎng)809290182.230.001732.00.0002811.2中國(guó)東北電網(wǎng)114413092.290.0034214.00.0028.50中國(guó)華北電網(wǎng)370640452.180.0012320.70.000610.55中國(guó)華中電網(wǎng)237927562.320.004421.080.0019.238美國(guó)西部電網(wǎng)494165942.670.08018.70.000512.4中國(guó)川渝電網(wǎng)8538982.110.001719.630.00259.038中國(guó)廣東省電網(wǎng)187120002.140.0008415.10.00119.92根據(jù)表1中數(shù)據(jù)可以判定美國(guó)西部電網(wǎng)和中國(guó)北方電網(wǎng)均屬于93Scale-free網(wǎng)絡(luò)信息交換網(wǎng)（萬(wàn)維網(wǎng)、國(guó)際互聯(lián)網(wǎng)、電話網(wǎng)、電力網(wǎng)）社會(huì)網(wǎng)絡(luò)（電影演員合作網(wǎng)、科研合作圖、引文網(wǎng)、人類性接觸網(wǎng)、語(yǔ)言學(xué)網(wǎng)）生物網(wǎng)絡(luò)（細(xì)胞網(wǎng)絡(luò)、生態(tài)網(wǎng)絡(luò)、蛋白質(zhì)折疊）Scale-free網(wǎng)絡(luò)信息交換網(wǎng)（萬(wàn)維網(wǎng)、國(guó)際互聯(lián)網(wǎng)、電94復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論和應(yīng)用研究-課件95Scale-free網(wǎng)絡(luò)的特性度分布呈冪率分布中樞節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)穩(wěn)健性脆弱性Scale-free網(wǎng)絡(luò)的特性度分布呈冪率分布96無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)與隨機(jī)圖特性比較無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)與隨機(jī)圖特性比較97Barabási-Albert無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域的一個(gè)重大發(fā)現(xiàn)是很多大型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)出無(wú)標(biāo)度特性，這些網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)度數(shù)呈現(xiàn)冪分布規(guī)律，比如互聯(lián)網(wǎng)、萬(wàn)維網(wǎng)、新陳代謝網(wǎng)等。為了解釋這種冪分布規(guī)律，Barabási和Albert構(gòu)建了一種無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型，即BA模型。Barabási和Albert指出無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)自組織的兩個(gè)重要因素是增長(zhǎng)和擇優(yōu)連接，即不斷地有新的節(jié)點(diǎn)加入網(wǎng)絡(luò)中，新加入的節(jié)點(diǎn)優(yōu)先與網(wǎng)絡(luò)中已有節(jié)點(diǎn)中度數(shù)較大者連接（即所謂的“富者更富”現(xiàn)象）。Barabási-Albert無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域的98BA模型的生成(１）增長(zhǎng)：開(kāi)始于較少的節(jié)點(diǎn)數(shù)量（m0），在每個(gè)時(shí)間間隔增加一個(gè)具有m（≤m0）條邊的新節(jié)點(diǎn)，連接這個(gè)新節(jié)點(diǎn)到m個(gè)不同的已經(jīng)存在于系統(tǒng)中的節(jié)點(diǎn)上。擇優(yōu)連接：在選擇新節(jié)點(diǎn)的連接點(diǎn)時(shí)，假設(shè)新節(jié)點(diǎn)連接到節(jié)點(diǎn)的概率取決于節(jié)點(diǎn)的度數(shù)即：經(jīng)過(guò)t時(shí)間間隔后，該算法產(chǎn)生一個(gè)具有N=t+m0個(gè)節(jié)點(diǎn)，mt條邊的網(wǎng)絡(luò)，經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間間隔后，生成一個(gè)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)度數(shù)成冪律分布：

分布曲線的形狀不隨網(wǎng)絡(luò)大小的變化而變化。BA模型的生成(１）增長(zhǎng)：開(kāi)始于較少的節(jié)點(diǎn)數(shù)量（m0），在每99

100BA模型的生成(2)圖3BA模型的節(jié)點(diǎn)度分布，N=10000，m=m0=3，5，7BA模型的生成(2)圖3BA模型的節(jié)點(diǎn)度分布，N=1000101

102網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)度數(shù)的分布對(duì)信息或傳染病在網(wǎng)絡(luò)中的傳播性能有很大的影響。對(duì)于無(wú)尺度網(wǎng)絡(luò)（scale-freenetwork，在分布概率與節(jié)點(diǎn)度數(shù)的雙對(duì)數(shù)曲線圖上表現(xiàn)為一條直線）來(lái)說(shuō)，它的節(jié)點(diǎn)度數(shù)變化范圍很大（因而被稱為異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)），當(dāng)傳染病在這樣的網(wǎng)絡(luò)傳播時(shí)，沒(méi)有感染率和傳播率的門限值，往往造成爆發(fā)式的流行；而對(duì)于節(jié)點(diǎn)度數(shù)變化范圍小的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)（節(jié)點(diǎn)度數(shù)通常服從指數(shù)分布——在累積分布概率與節(jié)點(diǎn)度數(shù)的半對(duì)數(shù)曲線圖上表現(xiàn)為一條直線）而言，情況卻相反。信息或傳染病在無(wú)尺度網(wǎng)絡(luò)中的傳播性能網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)度數(shù)的分布對(duì)信息或傳染病在網(wǎng)絡(luò)中的傳播性能有很大的1035復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的鄰域演化模型鄰域現(xiàn)象例如：在科學(xué)家合作網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)一個(gè)學(xué)生開(kāi)始涉足某個(gè)領(lǐng)域的時(shí)候，他/她會(huì)首先與自己的導(dǎo)師合作，而不是與知名的但是素不相識(shí)的人合作。在這種情況下，與新加入的節(jié)點(diǎn)相連接的節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中呈均勻分布，這可以通過(guò)隨機(jī)連接來(lái)描述。逐漸地，這個(gè)學(xué)生可能會(huì)與其導(dǎo)師的合作者中比較知名的人合作，這種情況就呈現(xiàn)出一種“鄰域”的特點(diǎn)，這種現(xiàn)象可以稱為“與朋友的朋友交朋友”。

5復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的鄰域演化模型鄰域現(xiàn)象104

鄰域的定義（1）BA無(wú)標(biāo)度模型計(jì)算網(wǎng)絡(luò)中每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的連接概率，然而，實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)中存在著“鄰域”現(xiàn)象，即新加入網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)優(yōu)先與某個(gè)鄰域中的節(jié)點(diǎn)連接?；谶@種鄰域現(xiàn)象，我們提出了鄰域演化網(wǎng)絡(luò)模型。在不含權(quán)網(wǎng)絡(luò)中，定義節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間的距離為，即連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑所經(jīng)過(guò)的邊數(shù)。定義≥1，當(dāng)節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)直接相連的時(shí)候，則：=1。節(jié)點(diǎn)i深度為p的“鄰域”用表示，定義為：

鄰域的定義（1）BA無(wú)標(biāo)度模型計(jì)算網(wǎng)絡(luò)中每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的連接概105鄰域的定義（2）圖4不含權(quán)網(wǎng)絡(luò)，其中，N1(1)={2，3},N2(1)={2，3，4，7}鄰域的定義（2）圖4不含權(quán)網(wǎng)絡(luò)，其中，N1(1)={2106鄰域演化網(wǎng)絡(luò)模型的生成開(kāi)始于少量節(jié)點(diǎn)（m0）和少量的邊（e0）從網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選取一個(gè)節(jié)點(diǎn)i，確定它深度為p的鄰域。增加一個(gè)度數(shù)為m的節(jié)點(diǎn)，連接到節(jié)點(diǎn)i和中的m-1個(gè)節(jié)點(diǎn)。擇優(yōu)連接：在中選擇m-1個(gè)新節(jié)點(diǎn)時(shí)，連接到節(jié)點(diǎn)j的概率為

其中這樣，經(jīng)過(guò)每一個(gè)時(shí)間間隔，一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)就連接到網(wǎng)絡(luò)中的m個(gè)節(jié)點(diǎn)上。這m個(gè)節(jié)點(diǎn)包括一個(gè)隨機(jī)選擇的節(jié)點(diǎn)及其深度為p的鄰域中的m-1個(gè)節(jié)點(diǎn)，而不像BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型那樣從所有已存在的節(jié)點(diǎn)中選擇m個(gè)節(jié)點(diǎn)。鄰域演化網(wǎng)絡(luò)模型的生成開(kāi)始于少量節(jié)點(diǎn)（m0）和少量的邊（e0107鄰域演化網(wǎng)絡(luò)模型的數(shù)值仿真（1）通過(guò)理論分析，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)鄰域深度較小時(shí)，比如p=1，2，鄰域演化網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)度數(shù)分布為指數(shù)規(guī)律，隨著的增大，逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)榕cBA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)一致。這表明這種新的演化模型具有豐富的動(dòng)態(tài)特性，并且獲得了冪規(guī)律和指數(shù)規(guī)律之間的過(guò)渡。為了證實(shí)新網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特性和動(dòng)態(tài)特性，進(jìn)行了數(shù)值仿真。在仿真中，使用了度分布、聚類系數(shù)和平均路徑長(zhǎng)度三個(gè)指標(biāo)，這三個(gè)指標(biāo)在目前復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究領(lǐng)域中是至關(guān)重要的。鄰域演化網(wǎng)絡(luò)模型的數(shù)值仿真（1）通過(guò)理論分析，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)鄰域108鄰域演化網(wǎng)絡(luò)模型的數(shù)值仿真（2）圖5鄰域演化模型的節(jié)點(diǎn)度分布，p=1，2，3圖6鄰域演化模型(p=5，6) 及BA模型的節(jié)點(diǎn)度分布鄰域演化網(wǎng)絡(luò)模型的數(shù)值仿真（2）圖5鄰域演化模型的節(jié)點(diǎn)度分109鄰域演化網(wǎng)絡(luò)模型的數(shù)值仿真（3）圖7鄰域演化模型(p=1,2,6)及BA模型的聚類系數(shù)圖8鄰域演化模型(p=1,2,6)及BA模型的平均路徑長(zhǎng)度鄰域演化網(wǎng)絡(luò)模型的數(shù)值仿真（3）圖7鄰域演化模型(p=1,110小結(jié)提出基于鄰域結(jié)構(gòu)連結(jié)的新的統(tǒng)一復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)演化模型，理論分析和數(shù)值仿真表明這種網(wǎng)絡(luò)具有豐富的動(dòng)態(tài)特性。當(dāng)鄰域較小時(shí),生成的網(wǎng)絡(luò)具有小世界特性。當(dāng)鄰域較大時(shí),生成的網(wǎng)絡(luò)具有無(wú)標(biāo)度特性,BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)只是其一種極限形式。統(tǒng)一的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)演化模型將為研究連鎖故障的傳播提供方便。

1116無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的抗毀性無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的雙重性生機(jī)勃勃：無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在隨機(jī)打擊下，生機(jī)勃勃，抗毀能力很強(qiáng)脆弱：在智能打擊下，無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)顯得異常脆弱6無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的抗毀性無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的雙重性112無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的雙重性巴拉巴斯等人把無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)置于兩種類型的打擊之下（隨機(jī)打擊、智能打擊）。在前一種打擊中，他們隨機(jī)地攻擊了個(gè)別的節(jié)點(diǎn)，在后一種中，則僅僅拿掉了這些活動(dòng)中心──網(wǎng)絡(luò)中四通八達(dá)的節(jié)點(diǎn)。在隨機(jī)打擊下，隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)很容易遭受傷害。由于越來(lái)越多的節(jié)點(diǎn)被摧毀，所以從一個(gè)節(jié)點(diǎn)到達(dá)另外一個(gè)所需的步驟數(shù)量穩(wěn)步增加。無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在這種打擊面前則生機(jī)勃勃,抗毀能力很強(qiáng)。在智能打擊下，隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的衰敗方式與在隨機(jī)打擊下相同。但無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)一旦5％的活動(dòng)中心被去除，穿越網(wǎng)絡(luò)所需的步驟數(shù)量就增加一倍。無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的雙重性113復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)抗毀性舉例美加電網(wǎng)的大崩潰事故已經(jīng)過(guò)去一年了，或許瞬間的黑暗并沒(méi)有使遠(yuǎn)在亞洲的我們感受到紐約人的驚栗，但是網(wǎng)絡(luò)中無(wú)意或有意生成的安全隱患卻令人無(wú)法逃避。面對(duì)與生活日漸親密的網(wǎng)絡(luò)，我們不禁要問(wèn)：

“網(wǎng)絡(luò)到底有多可靠？”

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)抗毀性舉例美加電網(wǎng)的大崩潰事故已經(jīng)過(guò)去一年了，或許瞬114復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)抗毀性舉例之一北美電力網(wǎng)是一個(gè)由大型發(fā)電