2022年全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二預(yù)測(cè)試卷和答案解析

考生編號(hào)姓名2022年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（二）預(yù)測(cè)試卷卷（一）考生注意事項(xiàng).答題前，考生須在試題冊(cè)指定位置上填寫(xiě)考生姓名和考生編號(hào)；在答題卡指定位置上填寫(xiě)報(bào)考單位、考生姓名和考生編號(hào)，并涂寫(xiě)考生編號(hào)信息點(diǎn)。.選擇題的答案必須涂寫(xiě)在答題卡相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上，非選擇題的答案必須書(shū)寫(xiě)在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)，超出答案區(qū)域上寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙?jiān)囶}冊(cè)上答題無(wú)效。.填（書(shū)）寫(xiě)必須使用黑色字跡簽字筆或鋼筆，字跡工整，筆跡清楚；涂寫(xiě)部分必須使用2B鉛筆填涂。.考試結(jié)束，將答題卡和試題冊(cè)按規(guī)定交回。一、選擇題：1?10小題,每小題5分，共50分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1)把當(dāng)%—?0時(shí)的無(wú)窮小量a=ln(l+x2)~ln(1-x4),p=ftan疝，y=arctanx-x排列Jo起來(lái)，使排在后面的是前一個(gè)的高階無(wú)窮小,則正確的排列次序是(A)a,p,y.(B)yta,p. (C)a,y,0. (D)(2)設(shè)f?),g(%)二階可導(dǎo)，又/(0)=0,g(0)=0,/r(0)>0,g，(0)>0,令/(%)=〃a)g⑴市，則(A)X=0是函數(shù)尸(工)的極小值點(diǎn).(B)4=0是函數(shù)/(工)的極大值點(diǎn).(0,F(0))是曲線(xiàn)1=F(x)的拐點(diǎn)但x=0不是F(x)的極值點(diǎn).x=0不是函數(shù)尸(工)的極值點(diǎn)，(0,尸(0))也不是曲線(xiàn)y=F(x)的拐點(diǎn).(3)設(shè)/(工)在(-8,+8)內(nèi)二階可導(dǎo)且/"(z)>0,則Vx>0,%>0，h>0,有(A)/(-)工(…) ⑺>0安二42(B)g心々一收哈加).陽(yáng) h2(C)/⑴</(.f/(，+髭一小).(D)廣⑺收去二qa").(4)下列等式或不等式①/也>。， ②/(arctan—jdx=arctan:| =--9③設(shè)/(“)=[，sm刀，*"則//(")(k=0, ④/ ]：%他=0[0, %=0,t ??+%中正確的共有(A)1個(gè). (B)2個(gè). (C)3個(gè). (D)4個(gè).(5)下列函數(shù)中在區(qū)間［-2,3］上不存卷原函數(shù)的是(A)/(x)=rln(l+x2)-X4X1~彳，“0,x=0.(B)f(x)=max|X|,11.ln(1+4)-X2 ?Xx>0,(C)f(x)=?0,4=0,tanx-sinxx<0.3 ?X故學(xué)二預(yù)測(cè)試卷(6)(D)/(x)=其中g(shù)(x)=J(6)(D)/(x)=其中g(shù)(x)=J0了(/+1),

畀-1),%<1,1Wx.(A)衰嚼⑻.喝(C)-工￡= (。)x*=y*dxdy dyox-4-2q--1(9)設(shè)從=032,B=0?b11--2設(shè)/(x,y)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且/(工,y)(ydx+xdy)為某一函數(shù)u(x,y)的全微分，則下列等式成立的是■1 1 -2-(10)設(shè)4= 1 -2 1，則下列矩陣中與A合同但不相似的是--2 1 1-預(yù)測(cè)試卷卷(一)預(yù)測(cè)試卷卷(一)-1-21'-11r(A)-24-2. (B)13i-1-21--11i-30o-00r(C)000(D)000「00-3--100-

二、填空題：11?16小題,每小題5分，共30分.請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.(H)數(shù)列極限I=lim(arctan-- +n= n-*<?\ n4'lim(l+萼盧)， "0,(12)設(shè)/(*)=," 2n 則/(工)=lim[-^t+-~--r+-+—yl,x=0,I(n+1)(n+2) (n+n)J(13)微分方程(3y-2x)dy=ydx的通解是(14)設(shè)/(工)在［。，+8)上連續(xù)，在(0,+8)內(nèi)可導(dǎo)，當(dāng)te(0,+oo)時(shí)」(工)>0且單調(diào)上升,%=g(y)為y=/(x)的反函數(shù)，它們滿(mǎn)足「/(x)dx+r"g(y)dy=/(t云0),則八乃的表達(dá)J0 JAO)(14)式是 (15)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(叫y)在曲線(xiàn)9y=4/上運(yùn)動(dòng)，且坐標(biāo)軸的單位長(zhǎng)度是1cm.如果P點(diǎn)橫坐標(biāo)的速率是30。1?/5,則當(dāng)2點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4)時(shí)，從原點(diǎn)到P點(diǎn)的距離r的變化率是 .(16)已知A-2(16)已知A-210-01°°,A?為A的伴隨矩陣，則(《A，020 14001-三、解答題：17?22小題，共70分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在尊尊隼指定位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)演算步驟.(17)(本題滿(mǎn)分13分)(I)設(shè)/(%)在x=0的某鄰域內(nèi)有定義,且滿(mǎn)足limAGta-Jsin4工=0,求極限］加八彳)J,x-O X x-?OX(n)求二重積分J=jfydxdy,其中。由星形線(xiàn)1：c°B：(owtwTT)與*軸圍成.(18)(本題滿(mǎn)分10分)已知K(x)=xe"+e-2*,y；(x)=xe'+xe*2*,yj(x)=xe-*+ +xe-2*是某二階線(xiàn)性常系數(shù)微分方程y"+py'+qy=/(z)的三個(gè)特解.(I)求這個(gè)方程和它的通解；(II)設(shè),=/(%)是該方程滿(mǎn)足y(0)=0,/(0)=0的特解，求超.(19)(本即滿(mǎn)分10分)設(shè)。是曲線(xiàn)y=2工--與工軸圍成的平面圖形，直線(xiàn)y=b把。分成為。和口兩部分(如圖)，滿(mǎn)足R的面積&與％的面積&之比S|：S2=1：7.散學(xué)二 預(yù)測(cè)試卷卷(一) 3(I)求常數(shù)L的值及直線(xiàn)y=H與曲線(xiàn)y=2z-『的交點(diǎn). ］ y=t,(D)求平面圖形D,的周長(zhǎng)以及“繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積? ~、(20)(本題滿(mǎn)分11分)設(shè)z=z(x,y)是由9/-54。+90y2-6yz-z1+18=0確定的函數(shù)，(I)求2=z(x,y)一階偏導(dǎo)數(shù)與駐點(diǎn)；(U)求2=z(x,y)的極值點(diǎn)和極值.(21)(本題滿(mǎn)分14分)(I)設(shè)/G)=4r+3--6x,求/(工)在(-8,+8)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(U)設(shè)/(工)在［0,2］上連續(xù)，在(0,2)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且/(0)=/(2)=0,/(1)=2.求證:至少存在一點(diǎn)fe(0,2)使得/"(f)=-4.(22)(本題滿(mǎn)分15分)設(shè).=(1,3,5,-l)T,a2=(2,7,a,4)T,a,=(5,17,-1,7)1(I)若％,a2,a3線(xiàn)性相關(guān)，求a.(II)當(dāng)a=3時(shí)，求與a,,a2 都正交的非零向量at.(Hl)設(shè)a=3,a,是與5，4,4都正交的非零向量，證明a,,a2,a,,a4可表示任何一個(gè)4維向量.(IV)在。，盯，巧線(xiàn)性無(wú)關(guān)時(shí)，證矩陣C=(工,，町,與)記4階實(shí)矩陣4=工戶(hù)J+x/J+x產(chǎn)J,求二次型xtAx的秩.考生編號(hào)姓名2022年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（二）預(yù)測(cè)試卷卷（二）考生注意事項(xiàng).答題前，考生須在試題冊(cè)指定位置上填寫(xiě)考生姓名和考生編號(hào)；在答題卡指定位置上填寫(xiě)報(bào)考單位、考生姓名和考生編號(hào)，并涂寫(xiě)考生編號(hào)信息點(diǎn)。.選擇題的答案必須涂寫(xiě)在答題卡相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上，非選擇題的答案必須書(shū)寫(xiě)在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)，超出答案區(qū)域上寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙?jiān)囶}冊(cè)上答題無(wú)效。.填（書(shū)）寫(xiě)必須使用黑色字跡簽字筆或鋼筆，字跡工整，筆跡清楚;涂寫(xiě)部分必須使用2B鉛筆填涂。.考試結(jié)束，將答題卡和試題冊(cè)按規(guī)定交回。、選擇題：1~10小題,每小題5分，共50分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目求的.請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在寫(xiě)熟”指定位置上.設(shè)/(欠)=[e<(k,g(x)在％=0連續(xù)且滿(mǎn)足g(右)=1+2x+o(x)(x->0).又/(％)=/lg(x)],Jo則尸(0)=則尸(0)=(A)4e.4.2.2e.A1+7)A1+7)/t1+7)(A)0.(C)2.(D)設(shè)/(X)是以3為周期的可導(dǎo)的奇函數(shù)，且/'(2)=1,則數(shù)列極限/=limn—*4-ao(3)/+/*(3)/+/*+3>'+5y=0.(C)/+y"-3>'+5y=0./-y"+3y'+5y=0.(D)< -3八5y=0.以%=e-cos2x,y2=eXin2T與%=e1為線(xiàn)性無(wú)關(guān)特解的三階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程是(B)y(x)以x=%為極小值點(diǎn).(D)(%,y(%))是曲線(xiàn)y=/(x)的拐點(diǎn).(B)y(x)以x=%為極小值點(diǎn).(D)(%,y(%))是曲線(xiàn)y=/(x)的拐點(diǎn).(5)已知累次積分/=/(X,y)dy.act?6/(rcos。，rsing)rdr,其中a>0為常數(shù)，則/可寫(xiě)成o(A)/>/(B)f(x,y)dx.(C)■/tu-i1,_rf(x,y)dy.-va?-?(D)(回/(x,y)ck.-y?r-)設(shè)函數(shù)/(%，￥)在(飛,兀)某鄰域有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且尸(%,打)二/1(/,九)二。，/：(出,>。)>O,r?(xo,yo)<0.由方程/(%>)=0在％的某鄰域確定的隱函數(shù)y=y(%),它有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且y(%)=九，則(A)y(x)以4=%為極大值點(diǎn).(C)y(x)在無(wú)二/不取極值.(6)(7)則/U)=(A)Ze".(B)(6)(7)則/U)=(A)Ze".(B)<0,=0,(D)Ie"'.設(shè)函數(shù)/(工)在[0,+8)內(nèi)可導(dǎo)，且/(I)=2.若/(X)的反函數(shù)g(x)滿(mǎn)足-g[/( +1)]/(Inx+1)=Inx+1x則f(*)在(-8,8)(A)處處連續(xù). (B)只有一個(gè)間斷點(diǎn)且是第一類(lèi)間斷點(diǎn).(C)只有一個(gè)間斷點(diǎn)且是第二類(lèi)間斷點(diǎn). (D)有兩個(gè)間斷點(diǎn).(8)已知方程組產(chǎn)]+%2+x3=0,工[+2x2+ax3=0，和%]+2x2+x3=a-1有公共解，則X1+4x2+a2x3=0(A)aKl和2 (B)a=1 (C)a=l或2 (D)a=212aI](9)設(shè)A=。21,要使得A正定,。應(yīng)該滿(mǎn)足的條件是111」(A)a>2. (B)a/2. (C)0<a<2. (D)a<0.(10)幾維向量組(I)：%,%,…，區(qū)和(D)：⑶,魚(yú)，…￡等價(jià)的充分必要條件是r(I)=r(II)，并且s=￡.r(I)=r(II)=n.r(I)=r(H),并且(I)可以用(口)線(xiàn)性表示.(I)和(口)都線(xiàn)性無(wú)關(guān)，并且s=L二、填空題：11-16小題,每小題5分，共50分.請(qǐng)將答案寫(xiě)在管理綱指定位置上.(11)設(shè)/(%)=/ :、2+Q(Q為常數(shù))，/(%)在定義域上僅有兩個(gè)零點(diǎn)則常數(shù)Q的取值范圍是(x+3)(12)設(shè)f'(4)=arctan(1-4),且/(0)=/(x)dx=.(13)設(shè)/(%)=(1 則/"(0)=.(14)設(shè)z=|[J/(u,r)(k]du,其中/*(〃,『)是連續(xù)函數(shù)，則dz=(15)設(shè)。是以點(diǎn)4(1,1)潭(-1,1),C(-1,-1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，則/= +2x2+3y2sin(%y)+4]dxdy=.DTOC\o"1-5"\h\zf0 1 o,5ri 0 olfi 0 0*(16)已知A: 1 0 0 0 5 00 1 1，則.I 0 1」I。0 3“0 0 I1三、解答題：17~22小題，共70分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明總演算步驟.(17)(本題滿(mǎn)分14分)(I)設(shè)人工)是(-8,+8)上的連續(xù)奇函數(shù),且滿(mǎn)足|/(工)IwM,其中常數(shù)M>0,求證:函數(shù)F(x)=J\e-y(t)dz是(-8,+8)上的有界奇函數(shù).(D)從拋物線(xiàn)y=x2-1上的任意一點(diǎn)-1)引拋物線(xiàn)〉=x2的兩條切線(xiàn)，求這兩條切線(xiàn)的切線(xiàn)方程;并證明該兩條切線(xiàn)與拋物線(xiàn)y=xJ所圍面積為常數(shù).(18)(本題滿(mǎn)分11分)計(jì)算二重積分/=J?sin(x-y)Idxdy,其中D：0這xW2Tr,xWyW2Tr.(19)(本題滿(mǎn)分11分)求/(x,y,z)=x+y-z2+5在區(qū)域[i-.x+y?+z?W2上的最大值與最小值.(20)(本題滿(mǎn)分12分)設(shè)有一容器由平面z=0,z=1及介于它們之間的曲面S所圍成.過(guò)z軸上V點(diǎn)(0,0,z)(0WzW1)作垂直于z軸的平面與該立體相截得水平截面。(z),它是半徑r(z)=/(I-z)?+/的圓面.若以每秒%體積單位的均勻速度往該容器注水，并假設(shè)開(kāi)始時(shí)容器是空的.(I)寫(xiě)出注水過(guò)程中，時(shí)刻水面高度2=z(1)與相應(yīng)的水體積丫=V。)之間的關(guān)系式，并證明水面高度z與時(shí)間，的函數(shù)關(guān)系：y[iJ+(a-1)5+1]=?;(n)求水表面上升速度最大時(shí)的水面高度；(山)求灌滿(mǎn)容器所需時(shí)間.(21)(本題滿(mǎn)分10分)設(shè)/(工)在(-8,+8)一階可導(dǎo),求證：(I)若/(工)在(-8,+8)是凹函數(shù)，則)./(彳)=+8或』？/(工)=+00.(D)若/(工)在(-8,+8)二階可導(dǎo)，又懿晟限limf(x)=5：imf(x)=8,則存在feX—?+0D x—?-00(-?,+8),使得廣(竹=0.(22)(本題滿(mǎn)分15分)已知A是3階矩陣,四,g.a,是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的3維列向量組，滿(mǎn)足Aat=-a,-3a2-3a,,Aa2=4al+4a,+ ,Aa,=-2al+3a,.(I)求A的特征值.(n)求4的特征向量.(山)求4,-6E的秩.考生編號(hào)姓名2022年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（二）預(yù)測(cè)試卷卷（三）考生注意事項(xiàng).答題前，考生須在試題冊(cè)指定位置上填寫(xiě)考生姓名和考生編號(hào)；在答題卡指定位置上填寫(xiě)報(bào)考單位、考生姓名和考生編號(hào)，并涂寫(xiě)考生編號(hào)信息點(diǎn)。.選擇題的答案必須涂寫(xiě)在答題卡相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上，非選擇題的答案必須書(shū)寫(xiě)在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)，超出答案區(qū)域上寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙?jiān)囶}冊(cè)上答題無(wú)效。.填（書(shū)）寫(xiě)必須使用黑色字跡簽字筆或鋼筆，字跡工整，筆跡清楚;涂寫(xiě)部分必須使用2B鉛筆填涂。.考試結(jié)束，將答題卡和試題冊(cè)按規(guī)定交回。一、選擇題：1?10小題,每小題5分，共50分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在尊孥季指定位置上.下列命題若f(x)在x=/存在左、右導(dǎo)數(shù)且/'.(線(xiàn))*/'.(%),則/(工)在彳=出處連續(xù)若函數(shù)極限lim/(x)=4,則數(shù)列極限lim/(n)=4③若數(shù)列極限lim/(2n-1)=lim/(2n)=4,則函數(shù)極限lim/?)=4④若lim/(欠)n—*+8 “T+8 X-?+?=4,limg(i)不存在，則lim/(x)g(x)不存在Xf0*-**0 ?-^0中正確的個(gè)數(shù)是(A)1個(gè).(B)2個(gè). (C)3個(gè). (D)4個(gè).(2) 定積分/arctan/盧-七的值等于(A)1T.(B)會(huì) (C)f. (D)7x2cos ,X>0,(3)設(shè)函數(shù)/(X)=.X 則下列結(jié)論正確的是x. %W0,(A)/(工)有間斷點(diǎn).(B)/(工)在(-8,+8)上連續(xù)，但在(-8,+8)內(nèi)有不可導(dǎo)的點(diǎn).(C)/(")在(-8,+8)內(nèi)處處可導(dǎo)，但/，(彳)在(-8,+8)上不連續(xù).(D)/'(X)在(-8,+8)上連續(xù).設(shè)/=/刈，k/=f——dx,則Jox Josinx(C>1>/2>/,. (D)1>/,>/2.(B)(C>1>/2>/,. (D)1>/,>/2.(B)A+B^cosAx+fi2sin4x.(D)fi,co?4%+fi2sin4x.微分方程>”-4/:2cos"”的特解可設(shè)為(A)Ax+cos4x+B2sin4x.(C)Bxcos22x+B2&\n22x.設(shè)/(幻，或外均有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且滿(mǎn)足/(0)>0,/r(0)=0,g(0)=0,則函數(shù)〃(*y)=/(x)Jg(t)dr在點(diǎn)(0,0)處取極小值的一個(gè)充分條件是TOC\o"1-5"\h\z/"(0) >0,g'(x) <0(0 Wx W I)./"(0) <0,g'(x) >0(0 Wx W 1).y(0) >O,g'(x) >0(0 Wx W I)./"(O) <O,g'(x) <0(0 WxW 1).(7)已知曲線(xiàn)y=y(x)在直角坐標(biāo)系中由參數(shù)方程給出：x=t+e\y=2l(，云0),則y=y(x)在［1,+8)的升降性與凹凸性是：(A) 單調(diào)上升且是凹的. (B)單調(diào)上升且是凸的.(C)單調(diào)下降且是凹的. (D)單調(diào)下降且是凸的.2 預(yù)測(cè)試卷卷(三) 藪學(xué)二(8)已知4和8都是n階矩陣，使得E+48可逆則( )成立.(A)(E+AB)A(E+AB)'1=A (B)(E+AB)'B(E+AB)=B(C)(E+AB)''A(E+BA)=A (D)(E+AB)''A(E+BA)=B(9)設(shè)為3個(gè)n維向量，4X=0是n元齊次方程組。則( )正確?(A)如果精,%,%都是4X=0的解，并且線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則力，外,7為AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.(B)如果用，肌山都是AX=0的解，并且r(A)=n-3,則7,小加為AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.(C)如果％,方e、等價(jià)于AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.則它也是AX=0的基礎(chǔ)解系.(D)如果r(A)="-3,并且AX=0每個(gè)解都可以用力，外，7線(xiàn)性表示，則%，2,小為AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.(10)下列矩陣中不相似于對(duì)角矩陣的是100-11r■111■■1 -12~(A)025.(B)222.(C)2 2 2.(D)-1 0 3-003--333-■-3—3-3--2 3 3-二、填空題：11~16小題,每小題5分，共30分.請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.(11)設(shè)y=/(工)二階可導(dǎo)J'(x)#0,它的反函數(shù)是*=/(>),又/(0)=1,/'(0)=A，r(0)=設(shè)”為正整數(shù)，則，x|sinnx|dx=.lim4n -dx= .“TOOJn/%+COSX設(shè)/(%>)為連續(xù)函數(shù)，且/(x,y)=e1'+jpr//*(u,r)dudi\其中D：u2+JWa2(a>0)，則f(x9y)=.(15)設(shè)/(x,y)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，必=y，W=x+y,則/(*y)= .dxdxdy(16)已知4是3階矩陣,4的特征值為1,-2,3.則(AD，的特征值為.三、解答題：17?22小題，共70分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在.罩羋指定位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程司演算步驟.(17)(本題滿(mǎn)分10分)一質(zhì)量為M、長(zhǎng)為I的均勻桿AB吸引著一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)C,此質(zhì)點(diǎn)C位于桿48的中垂線(xiàn)上且與48的距離為a.試求：數(shù)學(xué)二 預(yù)測(cè)試卷 卷(三) 3(1)桿48與質(zhì)點(diǎn)C的相互吸引力.(口)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)C在桿48的中垂線(xiàn)上從點(diǎn)C沿y軸移向無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí),克服引力所做的功.(18)(本題滿(mǎn)分10分)設(shè)a=/(2x+3y,z)，其中/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而z=z(x,y)是由方程z+Inz-/e'tk=1確定并滿(mǎn)足z(0,0)=1的函數(shù)，求魯 .結(jié)果用，(0/)表示(Q=1,2).oxdy(0.0)(19)(本題滿(mǎn)分15分)(I)設(shè)有x=Je'dz(ye(-8,+8))，它的反函數(shù)是>=y(x),求y=y(x)的定義域及拐點(diǎn).(II)計(jì)算二重積分『co-siny。+sin(x+y)]dtr,其中。={(x,y)|Wa'常數(shù)a>0|.(20)(本題滿(mǎn)分12分)一子彈穿透某鐵板，已知人射子彈的速度為“，穿出鐵板時(shí)的速度為叫，以子彈入射鐵板時(shí)為起始時(shí)間，又知穿透鐵板的時(shí)間為小子彈在鐵板內(nèi)的阻力與速度平方成正比，比例系數(shù)人>0.(I)求子彈在鐵板內(nèi)的運(yùn)動(dòng)速度"與時(shí)間?的函數(shù)關(guān)系v=v(t)；(U)求鐵板的厚度.(21)(本題滿(mǎn)分11分)設(shè)/(X)在[a,6】上有二階導(dǎo)數(shù)，且7?'(工)>0.(I)證明至少存在一點(diǎn)fe(a,6),使J/(x)dx=f(b)(f-a)+/(a)(6-f);(U)對(duì)(I)中的fe(a,6),求litnb—a(22)(本題滿(mǎn)分15分)設(shè)1 …,a,都是實(shí)的n維列向量，規(guī)定n階矩陣A=ata]+a2a]+…+a,a'.(I)證明4是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣；(n)證明a是負(fù)慣性指數(shù)為o；(皿)設(shè)r(.,%,=從求二次型XlX的規(guī)范形.考生編號(hào)姓名2022年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（二）預(yù)測(cè)試卷卷（四）考生注意事項(xiàng).答題前，考生須在試題冊(cè)指定位置上填寫(xiě)考生姓名和考生編號(hào)；在答題卡指定位置上填寫(xiě)報(bào)考單位、考生姓名和考生編號(hào)，并涂寫(xiě)考生編號(hào)信息點(diǎn)。.選擇題的答案必須涂寫(xiě)在答題卡相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上，非選擇題的答案必須書(shū)寫(xiě)在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)，超出答案區(qū)域上寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙?jiān)囶}冊(cè)上答題無(wú)效。.填（書(shū)）寫(xiě)必須使用黑色字跡簽字筆或鋼筆，字跡工整，筆跡清楚；涂寫(xiě)部分必須使用2B鉛筆填涂。.考試結(jié)束，將答題卡和試題冊(cè)按規(guī)定交回。sin預(yù)測(cè)試卷卷(四)數(shù)學(xué)二設(shè)/'(%)=O,r(xo)<0,則必定存在一個(gè)正數(shù)sin預(yù)測(cè)試卷卷(四)數(shù)學(xué)二設(shè)/'(%)=O,r(xo)<0,則必定存在一個(gè)正數(shù)6,使得(A)曲線(xiàn)y=/(工)在(g-6,%+6)上是凹的.(B)曲線(xiàn)y=/(x)在(%-6,%+6)上是凸的.(C)曲線(xiàn)y=/(x)在(質(zhì)-S,x0］上單調(diào)減少，而在［%,3+6)上單調(diào)增加.(D)曲線(xiàn)y=/(x)在(%上單調(diào)增加，而在［出,%+6)上單調(diào)減少.設(shè)函數(shù)/(*)連續(xù),除個(gè)別點(diǎn)外二階可導(dǎo)，其號(hào)申蒙)=f'(x)的圖像如右圖(1),令函數(shù)1=/(x)的駐點(diǎn)箭不敢為p,極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為g,曲線(xiàn)y=/(x)拐點(diǎn)的個(gè)數(shù)為r,則(A)p=g=r=3?(B)p=3,q=r=2.(C)p=3,g=2,r=3.(D)p=3,7=2,r=1.設(shè)g(x) x近，'/(x)12+x,x>0,(A)可去間斷點(diǎn).(C)連續(xù)點(diǎn).'則點(diǎn)工=0是g(/G))的*云0,(B)跳躍間斷點(diǎn).(D)第二類(lèi)間斷點(diǎn).在反常積分(B)①，③中收斂的是(A)①，②.arctanx. 2—axxdx(C)②，④. (D)③，④.y=f'g下列二元函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處可微的是②j (xe'+sinx)dx一、選擇題：l~10小題,每小題5分，共50分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在寫(xiě)孥”指定位置上.(6)設(shè)。是由直線(xiàn)工=0,y=O,x+y=1在第一象限所圍成的平面區(qū)域，則J=Je<f>'db=D(A)e+1. (B)e-1. (C)妥. (D)寧.(7)已知由參數(shù)方程「""eta" 確定了可導(dǎo)函數(shù)y=/(工)，則ly=ln(1-￡)-sinyx=0是函數(shù)/(*)的極大值點(diǎn).x=0是函數(shù)/(工)的極小值點(diǎn).(C)n=0不是/(z)的極值點(diǎn)且在工=0鄰域單調(diào)上升.x=0不是/(工)的極值點(diǎn)且在x=0鄰域單調(diào)下降.(8)二次型《+3%+24+2k匕可用可逆線(xiàn)性變量替換化為2y：-34+53,則(A)a2>6 (B)a<6 (C)a26 (D)1W6(9),33(9),333階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A相似于矩陣02L。o件是(A)A>0. (B)A>-4,A是實(shí)數(shù).則A2+A+AE是正定矩陣的充分必要條-r. (C)A>-12. (D)A1.(10)已知向量組—%和優(yōu),fit,fl3,pt都是4維實(shí)向量，其中r(a,,%,%)=2,r(j8,>1，并且每個(gè)區(qū)與?,,% 都正交.則r(⑶島,flt)=(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.二、填空題：11~16小題,每小題5分，共30分.請(qǐng)將答案寫(xiě)在笞穹”指定位置上.(II)設(shè)函數(shù)人工)在工=1處二階可導(dǎo)，又1加妲變=-1,則廣(1)= /B(l)=x—*0 X(12)已知函數(shù)y(x)可微(T>0)且滿(mǎn)足方程/(?)-1=+明市(x>0),典ly(力)=?(13)設(shè)尸(X)=[(J：皿]則>"(x)=.(14)已知當(dāng)工>0與y>0時(shí)/(1皿,?)=上噌皆瀘”■，則函數(shù)孫y)在點(diǎn)(與，)=(1，1)處的全微分寸I(1,o=.設(shè)y=sin"則產(chǎn))=.已知q=(1,2,-l)T,a2=(1,-3,2)T,.=(4,11,-6)E矩陣4滿(mǎn)足A.=(0,2)、A.=(5,2)T,Aa3=(-3,7)\則A=.技學(xué)二 預(yù)測(cè)其卷卷(四) 3三、解答題：17?22小題，共70分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程演算步驟.(17)(18)(本題滿(mǎn)分10分)(17)(18)設(shè)有拋物線(xiàn)G:/=叩和圓C2；x2+y1=2y.(I)確定a的取值范圍，使得G，C?交于三點(diǎn)O,M,P(如圖)；(II)求拋物線(xiàn)G與弦MP所圍平面圖形面積S(a)的最大值；(UI)求上述具有最大面積的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積匕(本題滿(mǎn)分13分)與丁+bx+10fe~'dt(I)已知極限/=lim 2 =%求常數(shù)b,c.(II)求累次積分/=dy^e^dx+e+dx.(19)(本題滿(mǎn)分10分)設(shè)a=u(x,y)在全平面有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，(I)作極坐標(biāo)變換x=rcos0,y=rsin。,求普與普，普的關(guān)系式；drdxdy(11)若#建+,普=0(V(*y)),求證;=u(0,0)為常數(shù).(20)(本題滿(mǎn)分11分)(20)設(shè)xOy平面第一象限中有曲線(xiàn)r：y=y(工)，過(guò)點(diǎn)4(0,立-1)，'(乃＞0.又m(工,y)為「上任意一點(diǎn)，滿(mǎn)足:弧段翕的長(zhǎng)度與點(diǎn)M處「的切線(xiàn)在x軸上的截距之差為在-1.(I)導(dǎo)出y=y(工)滿(mǎn)足的積分、微分方程.(U)導(dǎo)出y(x)滿(mǎn)足的微分方程和初始條件.(DI)求曲線(xiàn)「的表達(dá)式.(21)(本題滿(mǎn)分14分)(I)設(shè)/㈠)在(a,+8)可導(dǎo)且lim廣(工)=4,求證：HT+8若A>0,則lim/(x)=+8；*T+8若4<0,則lim/(x)二一8.*—?+06(U)設(shè)"為非負(fù)整數(shù)，求定積分(=f'xln?xdz.J0(ID)設(shè)g(%)在［a,+8)連續(xù)，且(g(x)dx收斂，又limg(%)=/,求證Ja +aoI=0.(22)(本題滿(mǎn)分12分)設(shè)% 都是矩陣4的特征向量，特征值兩兩不同，記y=?|+%+。一(1)證明線(xiàn)性無(wú)關(guān),線(xiàn)性相關(guān).(D)設(shè)的特征值依次為1,T,2,記矩陣夕=(Y，A7lA27),fl= 求解線(xiàn)性方程組SX二尸.考生編號(hào)姓名2022年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（二）預(yù)測(cè)試卷卷（五）考生注意事項(xiàng).答題前，考生須在試題冊(cè)指定位置上填寫(xiě)考生姓名和考生編號(hào)；在答題卡指定位置上填寫(xiě)報(bào)考單位、考生姓名和考生編號(hào)，并涂寫(xiě)考生編號(hào)信息點(diǎn)。.選擇題的答案必須涂寫(xiě)在答題卡相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上，非選擇題的答案必須書(shū)寫(xiě)在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)，超出答案區(qū)域上寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙?jiān)囶}冊(cè)上答題無(wú)效。.填（書(shū)）寫(xiě)必須使用黑色字跡簽字筆或鋼筆，字跡工整，筆跡清楚;涂寫(xiě)部分必須使用2B鉛筆填涂。.考試結(jié)束，將答題卡和試題冊(cè)按規(guī)定交回。一、選擇題：1?10小題,每小題5分，共50分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1)設(shè)/(%)-f(, )也，g(%)-ftarn市,則當(dāng)欠f0時(shí)/(%)是g(%)的Jo 4 Jo(A)高階無(wú)窮小. (B)低階無(wú)窮小.(C)同階而非等價(jià)無(wú)窮小. (D)等價(jià)無(wú)窮小.(2)、幾、 f1TCOS1TX, °W"W1, 」mi|r，/、ci.設(shè)/(%)={ 尸(％)=/(f)市，則F(x)在[0,2]上1x-1, 1<xC2, J°(A)有界，不可積. (B)可積，有間斷點(diǎn).(C)連續(xù),有不可導(dǎo)點(diǎn). (D)可導(dǎo).(3)設(shè)函數(shù)/(工)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)二次可導(dǎo)，已知/(0)=0,/'(0)=1,且/"(z)<0當(dāng)xe(-1,1)時(shí)成立，則當(dāng)工e(-1,0)時(shí)/(G>工,而當(dāng)xe(0,1)時(shí)/(x)<%.(B)當(dāng)工w(-1,0)時(shí)/(X)<工,而當(dāng)工w(0,1)時(shí)/(外>當(dāng)xe(-1,0)與xe(0,1)時(shí)都有f(x)>了.當(dāng)xw(-1,0)與工e(0,1)時(shí)都有f(x)<以(4)設(shè)/(幻=['+”+：'"這°'在工=0處二階導(dǎo)數(shù)存在,則常數(shù)a,6分別是IeM+bsinx2,x>0,(A)a=1,6=1. (B)a=1,6=y.(C)a=1,6=2. (D)a=2,6=1.(5)數(shù)列極限/=lim[—arctan .n—?ooL nJ(D)(A)1. (B)e. (C)e+.(D)(6)設(shè)u(*y)在取極小值，并且眄察，的*■均存在，則oxdy(A)泣*0鵬/0.(B)空dx>o，S>。dy1dxay(C)a2 sdxd2u(M0)20,—W0.ay(D)"dx2wo,*moay(7)函數(shù)F(h)=「 # ^工e(-8,+8))的值域區(qū)間是)。(1+5?)/I+?(A)[0,+oo) (B)[0,~arctan2)(C)[0,-^-arctan4) (D)[0,—arctan2)(8)設(shè)4是n階可逆矩陣，B是把4的第2列的3倍加到第4列上得到的矩陣，則(A)把4一,第2行的3倍加到第4行上得到夕1(B)把A"第4行的3倍加到第2行上得到8".把A“第2行的-3倍加到第4行上得到8'.把第4行的-3倍加到第2行上得到8L(9)設(shè)4階矩陣A=(叫,%,.?4),已知齊次方程組AX=0的通解為c(l,-2,1,O)T,c任意.則下列選項(xiàng)中不對(duì)的是(A).，色,見(jiàn)線(xiàn)性相關(guān). (B)4，％線(xiàn)性無(wú)關(guān).(C). ,a1線(xiàn)性無(wú)關(guān). (D).線(xiàn)性相關(guān).(10)已知3元二次型/艙的平方項(xiàng)系數(shù)都為0,又它的矩陣4滿(mǎn)足幾=2孫其中工=(1,2,-l)r,則一月工的規(guī)范形為(A)y/+y22+y}2. (B)y,2+y/-y,2. (C)y,2-y2--y,2. (D)^2+y22.二、填空題：U~16小題,每小題5分，共30分.請(qǐng)將答案寫(xiě)在箏醪攀指定位置上.r+0At(11)設(shè)尸(%)=I 則尸(")的定義域是 *J2“l(fā)n￡)(12)設(shè)曲線(xiàn)廠(chǎng)的極坐標(biāo)方程為「二e",則「在點(diǎn)(e)處的法線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程是.(13)設(shè)〃=〃(“)滿(mǎn)足羋+2xu(xty)=%,則u(x,y)= .dx(14)曲線(xiàn)y=/(e*-1)的全部漸近線(xiàn)方程是.(15) 設(shè)有擺線(xiàn)x=<p(t)=t-sinz,y=i^(t)=I-cosx(0W，W2tt)的第一拱L.貝l"繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)面的面積S=.?5a)'(16)設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A=a52要使得A的正，負(fù)慣性指數(shù)分別為2,1,則a滿(mǎn)足的條件是-121-三、解答題：17~22小題，共70分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.(17)(本題滿(mǎn)分11分)設(shè)函數(shù)/⑴在(0,+8)內(nèi)可導(dǎo)，/⑷>°，4歲=%，且=ex,xe(0,+ao).(I)求/(x)；(II)定義數(shù)列A=I 證明數(shù)列l(wèi)x」收斂.J0(18)(本題滿(mǎn)分11分)設(shè)1Wa<6,函數(shù)/(X)=xln、,求證/?)滿(mǎn)足不等式(1)0<r(x)<2(z>1).(fl)/(a)+/(6)-2/(^)<^-(6-a)1.(19)(本題滿(mǎn)分11分)(I)設(shè)2=z(x,y),y>0有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)且滿(mǎn)足d2z-z_1dzdx2'dy22dy'作變換U=X-l/y,v=x+2/y,(D)求方程?的解.(20)(本題滿(mǎn)分14分)(I)設(shè)/(z)=//|“市.求函數(shù)/(X)的單調(diào)性區(qū)間與正、負(fù)值區(qū)間.(U)設(shè)/(，)連續(xù)，區(qū)域o=l(x,y)Ilx|W1,|y|W11,求證：/x-y)ckdy=j/(<)(2-|4|)d?.(21)(本題滿(mǎn)分11分)若函數(shù)/(工)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)J(0)=/(1)=0,/"(x)<0,且f(z)在［0,1］上的最大值為M.求證：(I)/(?)>0(xe(0,1))；(H)V自然數(shù)n,存在唯一的x.e(0,1),使得/'(X.)=(22)(本題滿(mǎn)分12分)設(shè)4是”階矩陣,n維列向量。和0分別是4和川的特征向量,特征值分別為1和2.(I)證明?7=0；(n)求矩陣乃的特征值；(m)判斷魚(yú)/是否相似于對(duì)角矩陣(要說(shuō)明理由).

預(yù)測(cè)試卷 卷(一)答案及詳解一、選擇題：1?10小題,每小題5分，共50分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1)【答案】C.［分析］我們分別確定當(dāng)*-0時(shí),a#、y分別是x的幾階無(wú)窮小.當(dāng)*-0時(shí),a=ln(1+x2)-ln(1-x4)-x2,因?yàn)閘n(1+x2)~x2,ln(I—x4)——x*=o(x2).)3=Jtantdt=-In|cost||=-Incosx2又由又由這表明當(dāng)XTO時(shí),a是關(guān)于X的2階無(wú)窮小量,/3是關(guān)于*的4階無(wú)窮小量,而y是關(guān)于x的3階無(wú)窮小盤(pán).按題目的要求,它們應(yīng)排成a,r6的次序.故應(yīng)選(C).評(píng)注~~①當(dāng)然，我們也可把無(wú)窮小兩兩進(jìn)行比較，看誰(shuí)的階高.如TOC\o"1-5"\h\zc ftantdi c2i.p>. Jo [.zxtanx八lim匚=lim- r- t-=lim =0x-oax-oln(1+x)-ln(1-x) x-4)2xn8是a的高階無(wú)窮小.c tan/dz _ 2 _ 2p..Jo i.2xtanx..2%lanx八lim匚=lim =lim—； =hm 5—=0.t0yxtOarctanx-xd1 . 4—o-xft7-1=6是y的高階無(wú)窮小.還需比較y與a.lim工=0=y是比a高階的無(wú)窮小.x-4)a因此正確的排列次序是a,y,0.故應(yīng)選(C).②確定無(wú)窮小的階的方法之一是利用無(wú)窮小階的運(yùn)算性質(zhì)：1°若當(dāng)%一。時(shí)/(x),g(%)分別是％-a的幾階與m階無(wú)窮小，則/(%)?g(x)是4-a的n+m階無(wú)窮?。划?dāng)">m時(shí)J(x)±g(x)是4-。的m階無(wú)窮小J(x)/g(x)是兀-a的n-m階無(wú)窮小.當(dāng)〃二m時(shí)，只能肯定/(4)土g(%)是4-a的幾階或高于幾階的無(wú)窮小.如題中的a=ln(l+x2)-ln(1-x4)是4的2階與4階無(wú)窮小之差，所以a是欠的2階無(wú)窮小.而y=arctaiu:-4,arctanx與4均是x的一階無(wú)窮小，所以還需進(jìn)一步用待定階數(shù)法

確定y是4的幾階無(wú)窮小(即確定常數(shù)幾(〃>0)使lim存在而不為零).X-HIx2°設(shè)/(%)在。點(diǎn)鄰域連續(xù)，當(dāng)“一。時(shí)J(%)是4的,階無(wú)窮小，則「/(。山是*?%-°的幾+1階無(wú)窮小；設(shè)/(%)在％=a處"階可導(dǎo)，當(dāng)％―a時(shí)/(4)是x-a的〃(>1)階無(wú)窮小，則/'(%)是X-a的4-1階無(wú)窮小.30設(shè)當(dāng)％—a時(shí)夕(欠)#0,夕(方)是4-。的"階無(wú)窮小，口一0時(shí)J(u)是w的血階無(wú)窮小，則4―a時(shí)/(夕(4))是欠-a的幾m階無(wú)窮小.(|而產(chǎn)畢=網(wǎng)管平(嚴(yán)罰

\x-*a(X-a)x-*aL夕(X)\(X-a)/」=lim9?lim] #0,3)u—4)U x—hiI(X-G)J )例如，tanx是工的l階無(wú)窮小=jtan/dz是u的1+1=2階無(wú)窮小，?=/是x的2階無(wú)窮小=>6=Jtanldt是x的2x2=4階無(wú)窮小.(2)【答案】C.【分析】先求導(dǎo)數(shù)尸'(x)=/(x)g(x)=9(0)=0.再求二階導(dǎo)數(shù)尸"(x)=/'(x)g(x)+/(x)g'(x)=F"(0)=0.于是還要考察尸(x)在x=0處的三階導(dǎo)數(shù)：F"(x)=/"(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+/(x)g"(x)= /乂。)="'(0)g'(0)KO.因此(0,尸(0))是曲線(xiàn)>=F(x)的拐點(diǎn)且x=0不是尸(x)的極值點(diǎn).故應(yīng)選(C).評(píng)注①本題用到拐點(diǎn)的充分判別法.如下是更一般的結(jié)論：設(shè)函數(shù)/(工)在點(diǎn)x=%處存在n階導(dǎo)數(shù)，且n云3,若/(%)=/"(與)=…=/",,(*0)=oj“(%)#0,則：1°當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，/(工)在點(diǎn)x=x0處不取得極值，但點(diǎn)(%,/(%))必定為曲線(xiàn)y=/(*)的拐點(diǎn).2。當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，/(工)在點(diǎn)x=0處取得極值，且有①當(dāng)/">(苑)<。時(shí)，/(了)在點(diǎn)*=*o處取得極大值；②當(dāng)/<"'(%)>0時(shí)，/4)在點(diǎn)x=出處取得極小值.證明由/(工)在工=%處的”階泰勒公式得早包+o(l)](x-?x0)4-^-(*-x0)*+o((x-x0)早包+o(l)](x-?x0)o(l)即xz0時(shí)為無(wú)窮小量.于是>0,當(dāng)I工-與I<6時(shí)[1+。(1)]>o(l)即x當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)r>0(/(,1(x0)>0時(shí)). . 、f(x)-/(x0)! 』 (0<Ix-x0I<5)l<0(/⑸(0)<0時(shí))因此n為偶函數(shù)時(shí)/(工)在n=飛取極值，當(dāng)/<“(3)<0時(shí)取極大值，當(dāng)/">(%)>0時(shí)取極小值. 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f(%)-/(x0)在％=x0兩側(cè)變號(hào)，因而/(欠)在x=x0處不取極值.現(xiàn)考察(%，/(%))是否是y=/(x)的拐點(diǎn)，/”(%)桂x=。的n-2階泰勒公式/"(%)=C(-_2+“(4_&)"々)=I；；/--3嚴(yán)[I+0⑴]("一%)同理可知，當(dāng)n為偶時(shí)(幾-2也是偶數(shù))/"(%)在父=x°兩側(cè)不變號(hào)，故(％,/(3))不是y=/(x)的拐點(diǎn).當(dāng)幾為奇數(shù)時(shí)("-2也是奇數(shù))，/"(%)在欠=/兩側(cè)變號(hào)，因此(&,/(&))是y=/(%)的拐點(diǎn).②本題的一個(gè)變式是:設(shè)/U),g(“)在#:0處可導(dǎo)J(o)=g(0)=0/(0)>0,g'(0)>0,令尸(欠)=/(x)g(?),M(A)x=0不是尸(欠)的駐點(diǎn).(B)x=0是F(“)的駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn).(C)x=0是F(x)的駐點(diǎn)且是極小值點(diǎn).(D)x=0是尸(%)的駐點(diǎn)且是極大值點(diǎn).分析戶(hù)'(％)L.o=/'(0)g(0)+/(0)g'(0)=0,因此％=0是F(x)的駐點(diǎn).進(jìn)一步考察欠=0是否尸(動(dòng)的極值點(diǎn).按條件不能求尸”(0).要按定義來(lái)判斷.1?/(%)-/(0)I-/(x)n/(0)=lim-t2—2~>0,ix 7 %g*(0)=limg(*)-g(°)= >0,?t0 X ，tOJC由極限的局部保號(hào)性質(zhì)nms>0,當(dāng)k(-5,5)X0時(shí)Ail>o,3>oX X=>X€(-5,0)時(shí)/(%)<o,g(x)<O,Z€(O,S)時(shí)/(%)>o,g(x)>0=>%€(-6,5)BtF(x)-F(0)=/(%)g(x)>0.=4=0是尸(%)的極小值點(diǎn),選(C)③可特殊選取/(%)=X,g(x)=%則/(%),g(4)滿(mǎn)足變式中所有條件.顯然％=0是F⑺=/(x)g(x)=/的駐點(diǎn)且是極小值點(diǎn)，對(duì)此/(%),g(“)，選項(xiàng)(A)(B)(D)均不對(duì)，(C)成立.因此選(C)④若我們加強(qiáng)條件J?),g(x)在x=0二階可導(dǎo)，則F((x)|,.o=[r(x)g(x)+2f'(x)g'(X')+/(x)g'r(x)]|,.o=2r-(0)g'(0)>=工=0是尸(x)=/(x)g(x)的極小值點(diǎn).選(D)(3)【答案】B.【分析】這是比較三個(gè)數(shù)/(工)-/(x-4) . /(x+%)_/(*)h,，/(*)， 『的大小問(wèn)題.已知/"(x)>0=/'(x)單調(diào)上升,于是設(shè)法轉(zhuǎn)化為比較導(dǎo)數(shù)值.這是可以辦到的,只要對(duì)上述兩個(gè)改變量之比用拉格朗日中值定理：f(x)-/(x-A() L一 % -f(f)，其中力一4<^<X；f(x+h2)-/(%) ...、廿4 . 7 =/(q),其中x<7］<X+h2.h2由/'■)在(-8,+8)單調(diào)上升=/?)<ff(X)</(加?因此選(B).評(píng)注~按題設(shè)曲線(xiàn)y=/(4)是凹的.如圖所示: ~曲線(xiàn)的弦通的斜率是“土)一個(gè)廠(chǎng)兒),弦正的斜率是 /義±‘" ,4點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率是/'(工)，由凹函數(shù)的性質(zhì) j一的幾何意義看到麗的斜率<4點(diǎn)切線(xiàn)的斜率<以~的斜率，即(B)成立.選(B).(4)【答案】B.【分析】要逐一分析.對(duì)于①:由,2wsinr.,2wsinr. ax=0xJoxJ0TT+l可知①正確.對(duì)于②:因?yàn)閍rctan+在點(diǎn)x=0處無(wú)定義，不能在［-1,1］上用牛頓-萊布尼茲公式，因此J(arctanJ(arctan一)也=(arctan-jdx+J(arctan—1I0- 1I' r 7T /arctan— +arctan- =---—［一xI,| %Io. I 2 \TTTTTT對(duì)于③:易知lin/(”)=lim/sin工~=。=/(0).故/(%)在［-1,1］上連續(xù)，且是奇函數(shù)=x-4 *-4)xJ/(x)dx=0.故③正確.對(duì)于④:這里g(工)=言］在(-8,+8)連續(xù)，雖是奇函數(shù)，但Jg(X)G發(fā)散，因?yàn)椋?.X=-yln(1+%2)I=+8.Jo1+X / I0故④不正確.綜上分析，應(yīng)選(B).4 預(yù)測(cè)試卷卷(一)答案及詳解評(píng)注①若J'7(x)dx收斂，則.8 0, /(%)在(-8,+8)為奇函數(shù)，If(x)dx=(fJr 21/(x)dx,/(x)在(-8,+8)為偶函數(shù).J0對(duì)聯(lián)積分有類(lèi)似結(jié)論.②設(shè)/(X)在［a,6］連續(xù)J(x)NO(壬0),則//(x)dx>0.用此結(jié)論判斷取正值還是負(fù)值常用的方法是：考察/(x)在［a,6］是否變號(hào)，若不變號(hào)則易得結(jié)論.若/(*)在(a,6)變號(hào)一次，如ce(a,6):/(*)20,*0(xe(a,c))；/(?)W0,*0(xe(c,6))則 |f(x)dx=|/(x)ck+|f(x)dx往往對(duì)其中某一積分通過(guò)變量替換轉(zhuǎn)化為比較兩個(gè)相同區(qū)間上的積分值的大小，最后歸結(jié)為確定被積函數(shù)取正值還是負(fù)值.如結(jié)論①就是這樣.(5)【答案】C.【分析一】我們知道連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)，若這四個(gè)函數(shù)中有三個(gè)是連續(xù)的，則其余的一個(gè)就被選中.(A)存在原函數(shù).顯然,x#0時(shí)/(*)連續(xù),又因?yàn)閘im/(x)=1而皿［二.x-hO x-4) XqLum皿丈」，一*()?I=-=/(0)=/(X)在點(diǎn)工=0處連續(xù).因此/(工)在［-2,3］上連續(xù)=/(x)在［-2,3］上3原函數(shù).(B)存在原函數(shù).因?yàn)閄,X>1,

f(x)=max||xI,1I=.1,IWI,

l-4,x<-1

在［-2,3］上連續(xù)=/(工)在［-2,3］上三原函數(shù).

(D)存在原函數(shù).因?yàn)?g(x)在［-2,3］上有界，除x=1外連續(xù)=>g(x)在［-2,3］上可

積n「g(，)也在［-2,3］上連續(xù)=/(x)=「g(，)山在［-2,3］上三原函數(shù).Jo J0綜上分析，應(yīng)選(C).【分析二】直接證明(C)中給出的/(X)在［-2,3］上不存在原函數(shù).顯然，當(dāng)xK0時(shí)，/(x)連續(xù)；當(dāng)x=0時(shí)，由于預(yù)測(cè)試卷卷(二)答案及詳解 5

..“、 ..ln(1+x)-x1TOC\o"1-5"\h\zlimf(x)=lim— 1 =-vx-M)+ x-4)*x 1.. 〃、 ..tanx-sinx..tanx(1-cosx)1limf(x)=lim j =lim j c,x-4)- Jr-O-X x-4)-X,X 2可知無(wú)=0是/(")的第一類(lèi)間斷點(diǎn)=〃％)在［-2,3］上不3原函數(shù).因此，應(yīng)選(C).評(píng)注①/(X)在［明以上連續(xù)，則/(工)在［a,6］上一定3原函數(shù).若/(工)在［a,6］有不連續(xù)點(diǎn)七/(x)在［a,6］上不3原函數(shù).但是，若c6(a,6),/(x)在［a,6］除x=c外連續(xù)，x=c是/(*)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)，則/(%)在［a,6］上不3原函數(shù).②若ce(a,6),x=<：是/(工)的無(wú)窮型間斷點(diǎn)，則/(x)在［a,b］也不存在原函數(shù)，若ce(a,/>),x=c是f(x)的非無(wú)窮型第二類(lèi)間斷點(diǎn)，/?)在［a,6］是否存在原函數(shù)，要具體問(wèn)題具體分析.2x41n-——pnc-?― JrW0例人工)=，xX'產(chǎn)，*=0是/(工)的第二類(lèi)非無(wú)窮型間斷點(diǎn)，10 ,x=0J/(x)dx=Jsin—dx2-Jcos-dx-Jx2cos——yjik-Jcos-Jx2cos——yjik-Jcos—dx該f(工)的一個(gè)原函數(shù)是尸(x)尸(x),X#0,x=0③【分析一】中指出(A),(B),(D)中的/(彳)存在原函數(shù)，下面我們分別求出/(x)的原函數(shù).關(guān)于(A).先求出了(“)的一個(gè)原函數(shù)尸o(x)&(工)=IM(1+：)-*Jx=-yjln(l+x2)dp--Jp-ck1ln(l+x2) 1f12x,r1,“丁.當(dāng)1+于/丁？77fh-J1k1?WM快出)…=2_.-~ln(1+/)_2rclanx(-0)3 x 3Fo(O)=limF0(x)=5"lim-~一1+%)=0o 3x-o x因此/(%)的原函數(shù)F(x)因此/(%)的原函數(shù)F(x)=F0(x)+C,C為V常數(shù)(x#0)(%=0)關(guān)于(B).用拼接法求出分段函數(shù)/(x)的原函數(shù)，］/(x)的原函數(shù)，］_2,4N1|z1w1「+g,4W-1fi)1..1=q=1—2~L...=(-如2 ，xN11'*"T'141這1.-#-1，xC-1F(x)=F0(x)+c,c為V常數(shù).關(guān)于(D).先求出分段函數(shù)g(x)的變限積分/g(t)市.4<1時(shí)，(6)【答案】B.【分析】 由已知dt/=/(x,y)ydx+/(x,y)xdy= =/(”，>)九 年二/(%，￥)%=> 己u=y笠+/(x,y), -U=*亞+f(x,y).dxdy)打八dydxdx八，〃由于它們均連續(xù)=d2u d2u Hndfd￡dxdydydx dydx故應(yīng)選(B).評(píng)注①設(shè)在某區(qū)域。存在u(%y),使得du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy((x.y)eD),I其中P,。在“有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則由>P(”)，Aq(f),同樣可得墨=* ((x9y)€D).②本題的一個(gè)變式是：設(shè)y>0,/(x,y)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且f(x9y)ydx+4c08ydy為某函數(shù)u(4,y)的全微分,則/(%4)= .分析du = /(x,y)ydx+xcosydydu n、du= —=f(x,y)y9—=xcosyd2u 〃 、.dfd2u= 麗=/(%y)+y”病=gsy因?yàn)樗鼈冞B續(xù)，必有=^4^，即y?+/(%，y)=cosydxdydydxdy—(y/(x?r))=cosy積分得y/(%,y)=siny+c(x)c(x)是任意的連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)，因此/(z.y)=；虱功.1WxW21WxW2,-/2x-xWyWx(7)【答案】B.【分析】。是圓周/ =2x((x-l)2+>2=1)的外部與梯形{(x,y)|1WxW2,0WyWx］的公共部分，如圖所示.方法1°在xOy直角坐標(biāo)系中選擇先y后工的積分順序，。表示為31__15_495""J=20*方法2°用極坐標(biāo)變換”=rcos^,y=rsin。,圓周的極坐標(biāo)方程r=2cos0tx=2的極坐標(biāo)方程是‘=白，〉"的極坐標(biāo)方程是。旺.于是。的極坐標(biāo)表示是：。矣。這字,23wrw總產(chǎn)_49=20'選（B）.(8)【答案】D.｛分析】設(shè)?I2?lPA=a2l % ,求出等式兩側(cè)\a3l 032%3/比較對(duì)應(yīng)元素，得結(jié)論.(9)【答案】C.條件說(shuō)明"是(A-E)X=0和BX=0的公共非零解，也就是它們的聯(lián)立方程組的非零解.于是秩心?3,-3-2a'ri-1on-1-ion0 2 20 1 10 1 1r4-E]b1 00 1a0 0a-1=—>1B」1-1001+600 0 -1-60a10a-100 0 1-a匕b1」Lo6+21」Lo0 -1-6」預(yù)測(cè)試卷卷(-) 答案及詳解9

求出a=1,6=-1.（10）【答案】D.【分析】首先可排除（A）,因?yàn)閞（A）=2,而（A）矩陣的秩為1,所以它與A不合同.兩個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣合同的充分必要條件是它們的特征值的正負(fù)性一樣（即正，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)相等）.而相似的充分必要條件是它們的特征值相同.因此應(yīng)該從計(jì)算特征值下我求出|入E-A|=A（A+3）（4-3）,4的特征值為0,-3,3.顯然（C）中矩陣的特征值也是0,-3,3,因此它和A相似，可排除.剩下（B）（D）兩個(gè)矩陣中，只要看一個(gè).（D）中矩陣的特征值容易求出，為0,-1,1,因此它和4合同而不相似.（也可計(jì)算出（B）中矩陣的特征值為0,1,4,因此它和4不合同.）|評(píng)注做好本題的關(guān)犍是熟悉兩個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣合同和相似的判別方法. |二、填空題：11~16小題,每小題5分，共30分.請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.（11）【答案】y【分析】這【分析】這是求0?8型數(shù)列的極限，先轉(zhuǎn)化為爭(zhēng)型極限:I,1arctanl1+— \■~~r..arctan(1+Z)-arctanl=lim 1-4) t導(dǎo)數(shù)定義z、/=(arctanx)（求數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限）【分析二】【分析三】arctan(1+t)——=lim-i-4) t先用微分中值定理洛必達(dá)法則Ml+（1+t）12=_L-2limarctan1+—j-arctanl十幾—y/n2n1n 」lim(arctan(1+x))—y/n2n1n 」=lim -2?lim—?/n2n—??1+(1+1) n—??Il其中o<E<L,因此nTOC\o"1-5"\h\zI=-~~■-ni?]=;.

1+(1+0)2 2re-\x#0,(12)【答案】/(x)=il亍….【分析】當(dāng)xKO時(shí)，由lim次衿/=0知lim(l+1共)"是“1"”型未定式，故

H-?*Z/l n-**\ 271 /-limnln(| ' -lim(.?￡)-g… =e?- =e =e；當(dāng)X=0時(shí)，應(yīng)用定積分定義求極限,有fe*X#0,于是/(X)=,1,-2,工=0?評(píng)注~本題的一個(gè)變式:題設(shè)不變，則x=0是/(工)的(A)連續(xù)點(diǎn). (B)可去間斷點(diǎn).(C)跳躍間斷點(diǎn).(D)無(wú)窮間斷點(diǎn).分析由題中求得/(*),易知li%/(x)=1#/(0).故選(B). (13)【答案】“J->，=c,其中C是任意常數(shù).【分析】題設(shè)的方程是齊次微分方程= 或半=3-2三,令y=%〃或％=yu,可ck3工_2打 7\ x )把方程化為關(guān)于4，〃或y,u的可分離變址的方程求解.方程乂可改寫(xiě)成"+左=3的形式，這是ayy以x為未知函數(shù),以y為自變量的一階線(xiàn)性微分方程.方法1°令k=y”,代入方程后整理化簡(jiǎn)并積分可得+----=0,In|y3(u-1)|=Cryu-1去對(duì)數(shù)即得通解y(u-1)=C=/(%-￥)=C,其中。是任意常數(shù).方法2。題設(shè)方程可改寫(xiě)成半+在=3,利用一階線(xiàn)性微分方程通解公式得通解dy>x=e1”(C+/3J‘,dy)=-y(C+y3),

即x/-『=C,其中C是任意常數(shù).評(píng)注①我們也可不必記住一階線(xiàn)性微分方程通解公式，只需掌握求解一階線(xiàn)性微分方程通解的方法:將方程半+在=3ayy兩邊同來(lái)〃(y)=J'"=y?得y-(xy2)=3)2dy積分得xy2=y'+Cr因此通解為x=y+—.y②將原方程移項(xiàng)得2xdy+yAx-3yAy=0,兩端同乘y即得d(xy?-y5)=0,從而得-/=C是通解.③本題用變換y=tu時(shí)計(jì)算較繁頊.(14)【答案】/(z)=z2(x^0).【分析一】由定積分的幾何意義知:/7(x)Hx=由曲線(xiàn)＞=/(工)聲、＞軸及直線(xiàn)x=/＞0所闈成的曲邊梯形的面積,g(y)dy=由曲線(xiàn)工=g(y),>軸(yM/(0))及直線(xiàn)〉=/(t)AO)所圍成的曲邊三角形的面積.X=g(y)與y=/(x)互為反函數(shù)，代表同一條曲線(xiàn)，它們面積之和是長(zhǎng)方形面積(邊長(zhǎng)分別為，與/(，))，見(jiàn)右圖.于是因此即ff(x}Ax+fg(y)dy=于是因此即J0 J/IO)IJU)=/,/(￡)=NO),f(x)=/(%N0).【分析二】先化簡(jiǎn)題設(shè)方程的左端式子，有r/(? 變量替換/g(y)dy=fg[/(x)]d<(x)Jno) y=f(.x)Jo=fxdf(x)=xf(x)I-ff(x)dx,

J0 IoJO于是ff(x)dx+fg(y)dy=tf(t).Jo J/<o)即 (I)= =『(，MO).因此/(x)=x2(x^0).【分析三】將題設(shè)方程兩邊求導(dǎo)得[1/(x)<k+jg(y)dy]=(/)',即 /⑴+g[/(t)]/()=3/，/(<)+，/'(，)=3/，亦即「/(，)]'=3/(原方程中令，=0,等式自然成立，不必另加條件)將上式積分得lf(t)=/+C,即/(，)=/+/?因/(，)在［0,+8)上連續(xù)，故必有C=0.

因此/（X）=?（x2；0）.（15）【答案】82（cm/s）.【分析】這是相關(guān)變化率的問(wèn)題.x,y以及原點(diǎn)到P點(diǎn)的距離，=笈17都是時(shí)間，的函數(shù),(3.4)已知9y=4x29x=3,y=4,學(xué)=30,求半□/ at(3.4)方法1在等式91=4/和r=、//+，兩邊對(duì)I求導(dǎo)，得9立9立-8了曲如 !—曲一衣彳7Axdy\用工=3,y=4,半=30代人以上兩式，即可解出atdrdldrdl=82(cm/s).(3.4)方法2將y=代入x+y2=x2+兩邊對(duì)，求導(dǎo)得2星￥…兩邊對(duì)，求導(dǎo)得2星￥…4~9;3\dxx)d/,用4=3,>=4,r=/32+42=5號(hào)=30代人得華| =82(cm/s).甲00 ---1300--2-600-=—200=-21-200—-240000[201-001/2000-10-00【0J」-0001-000-2-數(shù)學(xué)二預(yù)測(cè)試卷卷（一）答案及詳解13(17)limg(%)+lim； lisin4x—4tanx4cos4%-方法三由sinZ=由tanx=x+、證明過(guò)程或用泰勒公式.I-4■/+o（「），得O. 4 434tanx=4x+-x+【分析與求解】（I）令g（“）=Z（￡）l^-sin4x我們先導(dǎo)出空心與g(x)的關(guān)系.由g(無(wú))_(/(x)-4)tanx+4tanx-sin4x-了(4%)現(xiàn)可用洛必達(dá)法則得sin4x=4x—t~(4x)記「/(z)-4①，②式相減得/=limsin4K/=limsin4K-4tanx-；(4x)3lim」一x-?0(11)。關(guān)于(11)。關(guān)于)軸對(duì)稱(chēng)(cos'(F-/)=-cos\,sin，(TT-t)=sin\(0W￡W”))，被積函數(shù)關(guān)于4為偶函數(shù)，J=2jydxdy

小

其中"=。nno|,見(jiàn)右圖.X=cos)對(duì)[e[。號(hào)]單調(diào)，存在反函數(shù)I=?)=L的右半部分可表為y=y(x)=sinl(x)(xe[0,1])于是J=2j(Lr|ydy=現(xiàn)作變量替換k=coJt,€[o,y]<=>xe[1,0]),則y(x)=sin1/,dx=3cos2f(-sin/)sin、sin、,3cos)(—sin，)山=3|sin7￡(1-sin2i)d￡=3J=3J(sin7/-sin9/)d/=3(；二;」；8?6?4?2)9?7?5?3/=3-=3-n6'4'2,9?7?5■316105(18)l分析與求解】(1)由線(xiàn)性方程解的疊加原理=%(工)=y；(*)-y；(x)=屋”，y2(x)=y,(x)-yj(?)=?e-2*均是相應(yīng)的齊次方程的解，它們是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的.于是該齊次方程的特征根是重根A=-2,相應(yīng)的特征方程為(A+2)2=0,即 A2+4A+4=0.原方程為y"+4/+4y=/(x). ①由于y*(工)=秒-，是它的特解,求導(dǎo)得廣⑴=e-(l-x),y"'(x)=e~'(x—2).代人方程①得e~'(x-2)+4e'"(1-x)+4xe''=/(x)=> /(x)=(x+2)e-n原方程為y"+4y'+4y=(x+2)e,其通解為y=Ge』+C1Xeu+.，其中G，&為V常數(shù).(U)VC1，G，方程的V解y(z)均有l(wèi)imy(x)=0,limyr(x)=0.#T+8 X—?+0C不必由初值來(lái)定g,a,直接將方程兩邊積分得jy*(x)dx+4jyr(x)dx+4jy(x)dx-j(x+2)e*dx= y*(x)| +4y(力)|+4Jy(x)dx=J(x+2)屋也=Jy(x)dx=(x+2)e'Mdx=-y(x+2)de-"=d(x+2)erJ：-2-4eIo評(píng)注①求解d(n)時(shí)若先求特解，即由初始條件定通解中的常數(shù)C1與g：由y(O)=G=0，/(O)=Ged(l-2z)L0+e-(l-x)L。=C2+1=0,nC2=-1.因此，滿(mǎn)足初始條件的特解是y(x)=-xe-21+xe'a于是Jy(x)dx=J(-xe-23+xe'*)dxD%”中)=(R-*)1：'=I②題(i)的一個(gè)變式是：設(shè),=xe'+eu+ze-"是二階線(xiàn)性常系數(shù)微分方程y"+py'+qy=(ax+6)e”的解，則該微分方程是 分析由方程的特點(diǎn)及二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu),y，=xe7是該方程的一個(gè)特解,%=e-2*,^= 是該方程相應(yīng)齊次方程的二個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，于是特征方程是(A+2尸=0,即A2+4A+4=0又原方程的特征方程是42+pA+g=0故得P=4,g=4.再將y，=它-代入原方程左端得(y')"+4(y?)'+4y，=e*(x-2)+4e*(l-x)+4xe-, =(x+2)尸=(ax+6)e-*16 預(yù)測(cè)試卷卷(一)答案及詳解 茨學(xué)二

因此該微分方程為y"+4y*+4y=(x+2)e'\注上述計(jì)算比較簡(jiǎn)便.如果不會(huì)用二階線(xiàn)性常微分方程解的性質(zhì)，就要將解y=xe**+e*2*+xe21代入方程，通過(guò)比較系數(shù)求得結(jié)論，計(jì)算繁瑣.y"+py'+qy=[e'*(x-2)+4e-"+4(x-De-2*]+p[e**(l-x)-Ze2*+(1-2x)e-2*]+q[xe'"+e*2"+xe-2,]=e'>[x-2+p(1-x)+qx}+e_2*[-p+?]+xe'2,[4-2p+q]=(ax+6)e"*由此得「P+g=°a=g-P+ll4-2p+g=0b=p-2=p=g=4,a=1,6=2因此該微分方程為y"+4yr+4y=(x+2)e"\③設(shè)p(x),g(x),/(x)是連續(xù)函數(shù)，同樣若已知二階線(xiàn)性非齊次微分方程/+P(x)y(+?(x)y=/(x)的三個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解％(x)(i=1,2,3),則可求得它的通解y=G(%-%)+C2(y}-y2)+y}其中G，C?為V常數(shù).④設(shè)p(x),/(x)是連續(xù)函數(shù)，同樣若已知一階線(xiàn)性非齊次微分方程/+p(*)r=/(*)的二個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解％(x)(i=1,2),則可求得它的通解y=C(y2-%)+%,C為V常數(shù)并由[■+「(*)%=/(，)ly；+p(x)yi=/(x)得 p(x)=-(y?"y,)，%-%代入上式可求得/(動(dòng).(19)【分析與求解】(1)由方程組,可解得直線(xiàn)y=A*

ly=2x-x,與曲線(xiàn)y=2x-x2有兩個(gè)交點(diǎn)(0,0)和(2- k(2-幻)，其中0<k<2.于是Si=| (2x-x2-kx)dx=—(2-A)3.Jo 6又Sj+S2=f(2%-x2)<k=Jo 3由題設(shè)5,：S2=1：7,知=4-(2-k)LJ|+*1,oo于是A=1,相應(yīng)的交點(diǎn)是(1,1).(n)注意這時(shí)，的邊界由y=*上0WxW1的線(xiàn)段與曲線(xiàn)y=2x-/上0WxW1的弧構(gòu)成，從而D,的周長(zhǎng)P="+//1+yridx=挺+//1+4(1-x)2dx令,=2(-&+=&+---[ty/|+t2+ln(t+Jl+J)]|?=&+ +-—In(2+6)”于是，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積評(píng)注曲線(xiàn)y=2x-xJ(0C1)即y=1-(x-l)"0WxWl)也可表示為x=1-/F=7(0WyWI),故體積V也可用如下公式計(jì)算：V=itJ[y2-(1--y)2]dy.(20)【分析與求解】(I)利用一階全微分形式不變性，將方程求全微分即得18xdx-54(ydx+xdy)+180ydy-6zdy-6ydj-2zdz=0,即 (18x-54y)dx+(180y-54x-6z)dy-(6y+2z)dz=0.從而 蟲(chóng)—18x_54y_9x-27ydz_180y-54x-6z_90y-27*-3zTOC\o"1-5"\h\zdx6y+2z3y+z'dy6y+2z 3,+z為求隱函數(shù)z=z(x,y)的駐點(diǎn)，應(yīng)解方程組,9x2-54xy+90y2-6yz-z+18=0, ①.9x-27y=0, ②90y-27x-3z=0. ③②可化簡(jiǎn)為x=3y,由③可得z=30y-9x=3y,代人①可解得兩個(gè)駐點(diǎn)x=3,y=l,z=3與x=-3,y=-1,z=-3.(n)z=z(x,y)的極值點(diǎn)必是它的駐點(diǎn).為判定z=z(x,y)在兩個(gè)駐點(diǎn)處是否取得極值，還需求z=z(x,y)在這兩點(diǎn)的二階偏導(dǎo)數(shù).注意，在駐點(diǎn)尸=(3,1,3),Q=(-3,-1,-3)處假=>()由(3y+z) =9x-27y=>在駐點(diǎn)尸《處(3y+z)―f=9,(3y+z)—=-27dx dxdy再由(3y+z)導(dǎo)=90y-27x-3z=在駐點(diǎn)P,Q處砂(3>+z)嗎=90.于是可得出在P點(diǎn)處3y+z=6,砂4=§1=y,8=獸|=-y,。=空|=15,

dxIp2 dxdyIp2 dy\p因4C-力嶗在=菅>0,且4=/>0,故在點(diǎn)(3,1)處z=z(x,y)取得極小值z(mì)(3,l)在Q點(diǎn)處3y+z=-6.=-v-8=0|=葺，C= |=-15,dxq2 dxdyI0 2 dyIp因4C-8?=學(xué)岑=5>0,且4=-/<0,故在點(diǎn)(-3,-1)處2=z(z,y)取得極大值z(mì)(-3,-1)=-3.評(píng)注本題也可通過(guò)解出z=-3y+3/2+(x-3y)2+2y2與z=-3y-3/2+(u-3y尸+2尸求斛.(21)【分析與證明】(I)先求/'(x)=12/+6x-6=6(2x-l)(x+1).>0,x<-1,=0,%=T,<0 —1<x<——f'(x)=6(2x-l)(z+1). ’ 2’由此求得/(x)的單調(diào)性區(qū)間：f(*)在(-8,-1]/*，在[-I,1]、，在[},+8)/再看極值點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào)：/(-I)>0,喝)<0；最后看邊界處的極限值的符號(hào)：limf(x)=limx1[4+-—與]=±oox-±?LXXJ由于/(-8)與/(-l