機(jī)械工程控制基礎(chǔ)(修訂本)-陳康寧-習(xí)題解答

?機(jī)械工程控制根底?〔修訂本〕．陳康寧〔主編〕．西安交通大學(xué)出版社，1997年11月第1版習(xí)題解答山東理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程系2021年緒論復(fù)習(xí)思考題控制論的中心思想是什么？解答：它抓住一切通訊和控制系統(tǒng)所共有的特點(diǎn)，站在一個(gè)更概括的理論高度揭示了它們的共同本質(zhì)，即通過信息的傳遞、加工處理和反響來(lái)進(jìn)行控制，這就是控制論的中心思想。機(jī)械工程控制論的研究對(duì)象及任務(wù)是什么?解答：機(jī)械工程控制論實(shí)質(zhì)上是研究機(jī)械工程中廣義系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題。具體地說，它研究的是機(jī)械工程技術(shù)中的廣義系統(tǒng)在一定的外界條件〔即輸入或鼓勵(lì)，包括外加控制與外加干擾〕作用下，從系統(tǒng)的一定的初始狀態(tài)出發(fā)，所經(jīng)歷的由其內(nèi)部的固有特性〔即由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)所決定的特性〕所決定的整個(gè)動(dòng)態(tài)歷程：研究這一系統(tǒng)及其輸入、輸出三者之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系。從系統(tǒng)、輸入、輸出三者之間的關(guān)系出發(fā)，根據(jù)條件與求解問題的不同，機(jī)械工程控制論的任務(wù)可以分為以下五方面〔1〕系統(tǒng)和輸入求系統(tǒng)的輸出〔響應(yīng)〕，并通過輸出來(lái)研究系統(tǒng)本身的有關(guān)問題，即系統(tǒng)分析問題；〔2〕己知系統(tǒng)和系統(tǒng)的理想輸出，設(shè)計(jì)輸入，使輸出盡可能符合給定的最正確要求，即最優(yōu)控制問題；〔3〕輸入和理想輸出，設(shè)計(jì)系統(tǒng)，使得輸出盡可能符合給定的最正確要求，即最優(yōu)設(shè)計(jì)問題；〔4〕系統(tǒng)的輸入和輸出，求系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，即建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，即系統(tǒng)辨識(shí)問題；〔5〕系統(tǒng)和輸出，識(shí)別輸入或輸入中的有關(guān)信息，此即濾波與預(yù)測(cè)問題。什么是信息及信息的傳遞？試舉例說明。解答：信息：一切能表達(dá)一定含義的信號(hào)、密碼、情報(bào)和消息。信息傳遞：是指信息在系統(tǒng)及過程中以某種關(guān)系動(dòng)態(tài)地傳遞，或稱轉(zhuǎn)換。如圖題1-1所示機(jī)床加工工藝系統(tǒng)，將工件尺寸作為信息，通過工藝過程的轉(zhuǎn)換，加工前后工件尺寸分布有所變化，這樣，研究機(jī)床加工精度問題，可通過運(yùn)用信息處理的理論和方法來(lái)進(jìn)行。圖圖題STYLEREF1\s11工藝過程中信息的傳遞工藝過程毛坯尺寸工件尺寸x0nn0y么是反響及反響控制？試舉例說明。解答：反響：所謂信息的反響，就是把一個(gè)系統(tǒng)的輸出信號(hào)不斷直接地或經(jīng)過中間變換后全部或局部地返回，再輸入到系統(tǒng)中去。如果反響回去的訊號(hào)〔或作用〕與原系統(tǒng)的輸入訊號(hào)〔或作用〕的方向相反，那么稱之為“負(fù)反響〞；反響回去的信號(hào)〔或作用〕與系統(tǒng)的輸入信號(hào)〔或作用〕的方向相同，那么稱之為“正反響〞。舉例1：圖題1-2是一個(gè)薄膜反響式徑向靜壓軸承。圖題1-2(a)是其結(jié)構(gòu)示意圖，圖題1-2(b)是其方框圖。當(dāng)主軸受到負(fù)荷W后，產(chǎn)生偏移e，因而使軸承下油腔壓力p2增加，軸承上油腔壓力p1減小，這樣，與之相通的薄膜反響機(jī)構(gòu)的下油腔壓力亦隨之增加，上油腔壓力那么減小，從而使薄膜向上產(chǎn)生凸起變形δ，因此薄膜下半部高壓油輸入軸承的通道擴(kuò)大，液阻下降，從而使軸承下部壓力上升。而基于與此相反的理由，軸承上半部壓力減小，于是軸承下半部油腔產(chǎn)生反作用力，與負(fù)荷相平衡，以減少偏移量e，甚至完全消除偏移量e，即到達(dá)“無(wú)窮大〞的支承剛度。圖題STYLEREF1\s1SEQ圖題\*ARABIC\s11靜壓軸承薄膜反響控制系統(tǒng)舉例2：以數(shù)控機(jī)床工作臺(tái)的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為例。開環(huán)控制：一種簡(jiǎn)單的控制方案是根據(jù)控制裝置發(fā)出的一定頻率和數(shù)量的指令脈沖驅(qū)動(dòng)步進(jìn)電機(jī)，以控制工作臺(tái)或刀架的移動(dòng)量，而對(duì)工作臺(tái)或刀架的實(shí)際移動(dòng)量不作檢測(cè)，其工作原理如圖1-5(a)所示。這種控制方式簡(jiǎn)單，但問題是從驅(qū)動(dòng)電路到工作臺(tái)這整個(gè)“傳遞鏈〞中的任一環(huán)的誤差均會(huì)影響工作臺(tái)的移動(dòng)精度或定位精度。閉環(huán)控制：為了提高控制精度，采用圖1-1(b)所示的反響控制，以檢測(cè)裝置隨時(shí)測(cè)定工作臺(tái)的實(shí)際位置(即其輸出信息)；然后反響送回輸入端，與控制指令比擬，再根據(jù)工作臺(tái)實(shí)際位置與目的位置之間的誤差，決定控制動(dòng)作，到達(dá)消除誤差的目的。圖題STYLEREF1\s1SEQ圖題\*ARABIC\s12兩種控制方式日常生活中有許多閉環(huán)和開環(huán)控制系統(tǒng)，試舉例說明。解答：普通電風(fēng)扇、普通洗衣機(jī)、全自動(dòng)洗衣機(jī)在順序控制模式下、電動(dòng)攪拌機(jī)等均屬開環(huán)控制。電冰箱、電飯鍋、空調(diào)等均屬閉環(huán)控制。拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法復(fù)習(xí)思考題拉氏變換的定義是什么？MACROBUTTONMTEditEquationSection2EquationChapter2Section1SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r2\h解：有時(shí)間函數(shù)f(t)，t≥0，那么f(t)的拉氏變換記作：L[f(t)]或F(s)，并定義為 s為復(fù)數(shù)，。稱f(t)為原函數(shù)，F(xiàn)(s)為象函數(shù)。假設(shè)式(2-1)的積分收斂于一確定的函數(shù)值，那么f(t)的拉氏變換F(S)存在，這時(shí)f(t)必須滿足：①在任一有限區(qū)間上，f(t)分段連續(xù)，只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，如圖2-f1的ab區(qū)間。②當(dāng)t→∞時(shí)，f(t)的增長(zhǎng)速度不超過某一指數(shù)函數(shù)，即滿足[f(t)]≤Meat式中M、a均為實(shí)常數(shù)。這一條件是使拉氏變換的被積函數(shù)f(t)e＿st絕對(duì)收斂，由下式看出因?yàn)? 所以 只要是在復(fù)平面上對(duì)于Re(s)＞a的所有復(fù)數(shù)s，都能使式(2-1)的積分絕對(duì)收斂，那么Re(s)＞a為拉氏變換的定義域，a稱作收斂坐標(biāo)，見圖2-f2。 圖STYLEREF1\s2圖STYLEREF1\s2f1在[a，b]上分段連續(xù)0f(t)tba圖STYLEREF1\s2f2拉氏變換定義域a0Im(s)Re(s)定義域δ(t)，1(t)，t，sinωt，cosωt，eat，tn的拉氏變換是什么？解：拉氏變換的線性性質(zhì)、微分定理、積分定理、時(shí)域的位移定理、復(fù)域位移定理、初值定理、終值定理、卷積定理是什么？如何應(yīng)用？解答：〔1〕線性性質(zhì)：假設(shè)有常數(shù)K1，K2，函數(shù)f1(t)，f2(t)，且L[f1(t)]=F1(s)，L[f2(t)]=F2(s)，那么 〔2〕微分定理：假設(shè)f(t)的拉氏變換為F(s)，那么 f(0)為t=0時(shí)的f(t)值。此定理需考慮在t＝0處是否有斷點(diǎn)。如果在t＝0處有斷點(diǎn)，f(0－)≠f(0＋)，那么該定理需修改成f(0＋)為由正向使t→0時(shí)的f(t)值；f(0—)為由負(fù)向使t→0時(shí)的f(t)值；進(jìn)而可推出f(t)的各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換： 式中f(i)(0)〔0＜i＜n〕表示f(t)的i階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的取值。如果在t＝0處有斷點(diǎn)，f(0－)≠f(0＋)，那么該定理需修改成式中f(i)(0＋)〔0＜i＜n〕表示f(t)的i階導(dǎo)數(shù)在t從正向趨近于零時(shí)的取值。f(i)(0—)〔0＜i＜n〕表示f(t)的i階導(dǎo)數(shù)在t從負(fù)向趨近于零時(shí)的取值當(dāng)初始條件均為零時(shí)，即那么有〔3〕積分定理假設(shè)f(t)的拉氏變換為F(s)，那么 是對(duì)不定積分的拉普拉斯變換。式中，是在t=0時(shí)的值。如果f(t)在t＝0處包含一個(gè)脈沖函數(shù)，那么，此時(shí)，必須將上述定理修正如下：式中，是在t=0＋時(shí)的值；，是在t=0—時(shí)的值。對(duì)于定積分的拉普拉斯變換，如果f(t)是指數(shù)級(jí)的，那么上述定理修改如下：如果f(t)在t＝0處包含一個(gè)脈沖函數(shù)，那么，此時(shí)依此類推如果，該定理也要修正成〔4〕時(shí)域位移定理假設(shè)f(t)的拉氏變換為F(s)，對(duì)任一正實(shí)數(shù)a，有 f(t－a)為延遲時(shí)間a的函數(shù)f(t)，當(dāng)t＜a時(shí)，f(t)＝0。〔5〕復(fù)域位移定理f(t)的拉氏變換為F(s)。對(duì)任一常數(shù)a〔實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)〕，有 〔6〕初值定理假設(shè)函數(shù)f(t)及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，那么函數(shù)f(t)的初值為 即原函數(shù)f(t)在自變量t趨于零〔從正向趨于零〕時(shí)的極限值，取決于其象函數(shù)F(s)的自變量s趨于無(wú)窮大時(shí)sF(s)的極限值?！?〕終值定理假設(shè)函數(shù)f(t)及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，并且除在原點(diǎn)處唯一的極點(diǎn)外，sF(s)在包含jω軸的右半s平面內(nèi)是解析的〔這意味著當(dāng)t→∞時(shí)f(t)趨于一個(gè)確定的值〕，那么函數(shù)f(t)的的終值為 〔8〕卷積定理假設(shè)，那么有 式中，積分，稱作f(t)和g(t)的卷積。用局部分式法求拉氏反變換的方法。解答：〔1〕F(s)無(wú)重極點(diǎn)的情況F(s)總是能展開為下面簡(jiǎn)單的局部分式之和： 式中K1、K2、…、Kn為待定系數(shù)〔系數(shù)Ki為常數(shù)，稱作極點(diǎn)s＝pi上的留數(shù)〕。 式中pi為A(s)＝0的根，。求得各系數(shù)后，那么F(s)可用局部分式表示 因從而可求得F(s)的原函數(shù)為 當(dāng)F(s)的某極點(diǎn)等于零，或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)時(shí)，同樣可用上述方法。注意，由于f(t)是個(gè)實(shí)函數(shù)。假設(shè)p1和p2是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，那么相應(yīng)的系數(shù)K1和K2也是共軛復(fù)數(shù)，只要求出K1或K2中的一個(gè)值，另一值即可得?！?〕F(s)有重極點(diǎn)的情況假設(shè)F(s)有r個(gè)重極點(diǎn)p1，其余極點(diǎn)均不相同，那么式中K11、K12、…、K1r的求法如下： 其余系數(shù)Kr＋1、Kr＋2、…、Kn的求法與第一種情況所述的方法相同，即求得所有的待定系數(shù)后，F(xiàn)(s)的反變換為用拉氏變換求解微分方程的步驟。解答：用拉氏變換解線性常微分方程，首先通過拉氏變換將常微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程，進(jìn)而解出象函數(shù)，最后由拉氏反變換求得常微分方程的解。習(xí)題√試求以下函數(shù)的拉氏變換，假設(shè)當(dāng)t＜0時(shí)f(t)＝0?！灿煤徒枪秸归_〕〔1〕解：利用拉氏變化的線性疊加特性〔2〕解法1：因?yàn)?，利用?fù)數(shù)域位移定理得解法2：直接按定義并與cosωt的拉氏變換進(jìn)行比擬解法3：直接按定義求解解法4：直接套用教材表2-1中第14項(xiàng)結(jié)果〔3〕〔用和角公式展開〕解法1：利用和角公式展開，然后利用拉氏變換的線性疊加性所以解法2：直接利用定義求解，令，那么有 〔1〕而 〔2〕〔3〕將〔3〕式和〔2〕式代入〔1〕得【注】此題不可直接利用延時(shí)定理，因?yàn)楹瘮?shù)不是延時(shí)函數(shù)，如果使用了延時(shí)定理，那么將改變定義域?！?〕解法1：，利用復(fù)域平移特性得解法2：利用復(fù)域微分特性得解法3：直接按定義并與tn的拉氏變換進(jìn)行比擬解法4：直接按定義求解得到遞推關(guān)系如下：所以解法5：直接套用教材表2-1中第9項(xiàng)結(jié)果√求以下函數(shù)的拉氏變換。〔1〕解：設(shè)t＜0時(shí)，f(t)＝0利用拉氏變換的線性特性得〔2〕解：利用拉氏變換的線性性質(zhì)和復(fù)域平移特性得〔3〕解：設(shè)t＜0時(shí)，f(t)＝0。利用拉氏變換線性特性、延時(shí)特性和復(fù)域平移特性得【注】此題不可對(duì)第二項(xiàng)(t?1)2e2t采用如下方法：因?yàn)椋脮r(shí)域位移定理得，再利用復(fù)域平移定理得。這樣計(jì)算的結(jié)果是錯(cuò)誤的，原因在于：在利用時(shí)域位移定理時(shí)，將(t?1)2的定義域變成了，而原題中(t?1)2的定義域?yàn)椤Q句話說，這里(t?1)2并不是t2的延時(shí)函數(shù)?！?〕解法1：，如圖2-2所示。所以 ππ2π3π4π5π6π-101tf(t)圖題2-2sin(t)sin(t－π)?1(t－π)解法2：直接按定義求解。所以或√利用終值定理，t→∞時(shí)的f(t)值。通過取F(s)的拉氏反變換，求t→∞時(shí)的f(t)值。解：〔1〕〔2〕根據(jù)局部分式法得所以 所以 所以 ，與〔1〕中計(jì)算結(jié)果相同?！咀ⅰ看祟}求拉氏反變換時(shí)，可以利用教材表2-1中的第10項(xiàng)?！汤贸踔刀ɡ?，求f(0＋)和f'(0＋)的值。通過取F(s)的拉氏反變換，求f(t)，再求f'(t)，然后求f(0＋)和f'(0＋)。解：〔1〕根據(jù)拉氏變換的微分特性得知f'(t)的拉氏變換為那么再次利用初值定理得〔2〕 那么 結(jié)果與〔1〕中計(jì)算的一致。求圖題2－5所示的各種波形所表示的函數(shù)的拉氏變換。圖題2－5解：〔a〕解法1：設(shè)，那么〔見圖2-5-1(a)〕由此得解法2：令 根據(jù)拉氏變換的積分特性得解法3：直接利用拉氏變換定義那么〔b〕解法1：設(shè)，那么由圖2-5-1(b)可知所以 解法2：令 根據(jù)拉氏變換的積分特性得解法3：直接利用拉氏變換定義那么〔c〕解法1：利用拉氏變換的積分特性。由圖可見根據(jù)拉氏變換的積分特性得圖題5-2圖題5-2-1f1(t)f1(t－2)10?1(t－2)f1(t)f1(t－1)2?1(t－3)f1(t－3)1(t－1)√試求以下象函數(shù)的拉氏反變換解法1：利用局部分式法。先將F(s)展開成局部分式因?yàn)閮蓚€(gè)極點(diǎn)共軛，所以K2與K1共軛，即即 所以 解法2：查表法利用拉氏變換對(duì)照表查得解法1：利用局部分式法。先將F(s)展開成局部分式令 即 所以根據(jù)拉氏變換線性特性得解法2：利用拉氏變換復(fù)域平移定理及線性性質(zhì)得解法1：利用局部分式法。先將F(s)展開成局部分式即 所以 解法2：直接查表2-1第10項(xiàng)得解法1：利用局部分式法。先將F(s)展開成局部分式即 解法2：查表法由表2-1第10、11項(xiàng)查得解法1：利用局部分式法。先將F(s)展開成局部分式即 那么解法2：查表2-1得解：利用拉氏變換的實(shí)數(shù)域位移定理〔延時(shí)定理〕得解：將F(s)展開成局部分式即 所以√求以下卷積1*1解：因?yàn)?，利用拉氏變換的卷積定理得對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯逆變換得t*t解：因?yàn)?，利用拉氏變換的卷積定理得對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯逆變換得t*et解：因?yàn)?，，利用拉氏變換的卷積定理得對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯逆變換〔可查表2-1第15項(xiàng)〕得t*sint解：因?yàn)?，，利用拉氏變換的卷積定理得對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯逆變換得√用拉氏變換的方法解以下微分方程解：對(duì)微分方程等號(hào)兩邊同時(shí)求拉氏變換得將初始條件代入上式并整理得解得利用拉氏變換的復(fù)域位移定理對(duì)X(s)求拉普拉斯逆變換得到解：對(duì)微分方程等號(hào)兩邊同時(shí)求拉氏變換得將初始條件代入上式并整理得解得對(duì)X(s)求拉普拉斯逆變換〔查表2-1第10、11項(xiàng)〕得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型復(fù)習(xí)思考題什么是數(shù)學(xué)模型？解答：數(shù)學(xué)模型是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式。數(shù)學(xué)模型有多種形式，如微分方程、傳遞函數(shù)、單位脈沖響應(yīng)函數(shù)、頻率響應(yīng)函數(shù)及狀態(tài)空間表達(dá)式等等。線性系統(tǒng)的特點(diǎn)是什么？解答：但凡能用線性微分方程描述的系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)有很多特點(diǎn)，其中最重要的特點(diǎn)就是它滿足疊加原理。所謂疊加原理是，系統(tǒng)在幾個(gè)外加作用下所產(chǎn)生的響應(yīng)，等于各個(gè)外加作用單獨(dú)作用的響應(yīng)之和。傳遞函數(shù)的定義和特點(diǎn)是什么？解答：定義：在零初始條件下，系統(tǒng)輸出的Laplace變換與引起該輸出的輸入量的Laplace變換之比。傳遞函數(shù)具有以下特點(diǎn)〔1〕傳遞函數(shù)的分母反映了由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)所決定的系統(tǒng)的固有特性，而其分子那么反映了系統(tǒng)與外界之間的聯(lián)系。〔2〕當(dāng)系統(tǒng)在初始狀態(tài)為零時(shí)，對(duì)于給定的輸入，系統(tǒng)輸出的Laplace變換完全取決于其傳遞函數(shù)。但是，一旦系統(tǒng)的初始狀態(tài)不為零，那么傳遞函數(shù)不能完全反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)歷程?！?〕傳遞函數(shù)分子中s的階次不會(huì)大于分母中s的階次?！?〕傳遞函數(shù)有無(wú)量綱和取何種量綱，取決于系統(tǒng)輸出的量綱與輸入的量綱?！?〕不同用途、不同物理元件組成的不同類型系統(tǒng)、環(huán)節(jié)或元件，可以具有相同形式的傳遞函數(shù)?！?〕傳遞函數(shù)非常適用于對(duì)單輸入、單輸出線性定常系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行描述。但對(duì)于多輸入、多輸出系統(tǒng)，需要對(duì)不同的輸入量和輸出量分別求傳遞函數(shù)。另外，系統(tǒng)傳遞函數(shù)只表示系統(tǒng)輸入量和輸出量的數(shù)學(xué)關(guān)系〔描述系統(tǒng)的外部特性〕，而未表示系統(tǒng)中間變量之間的關(guān)系〔描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性〕。傳遞函數(shù)的典型環(huán)節(jié)有哪些？它們的表達(dá)式是什么？如何計(jì)算串聯(lián)、并聯(lián)及反響聯(lián)結(jié)所構(gòu)成系統(tǒng)的傳遞函數(shù)？方塊圖的簡(jiǎn)化法那么主要有哪些？如何應(yīng)用這些法那么進(jìn)行簡(jiǎn)化并計(jì)算系統(tǒng)的傳遞函數(shù)？如何推導(dǎo)一些簡(jiǎn)單機(jī)電系統(tǒng)的傳遞函數(shù)？信號(hào)流圖的概念及梅遜公式的應(yīng)用。狀態(tài)空間根本概念。如何從高階微分方程推出狀態(tài)方程？如何由傳遞函數(shù)推出狀態(tài)方程？習(xí)題列出圖題3-1所示各種機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式(圖中未注明x(t)均為輸入位移，y(t)為輸出位移)。 圖題3-1解：〔a〕對(duì)y(t)點(diǎn)利用牛頓第二定律得即 〔b〕對(duì)m利用牛頓第二定律得整理得〔c〕對(duì)y(t)點(diǎn)利用牛頓第二定律得整理得〔d〕對(duì)圖(d)所示系統(tǒng)，由牛頓定律有其中 ∴ 〔e〕對(duì)m利用牛頓第二定律得整理得列出圖題3－2所示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式，并求輸入軸上的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J和等效阻尼系數(shù)B。圖中T1、θ1為輸入轉(zhuǎn)矩及轉(zhuǎn)角，TL為輸出轉(zhuǎn)矩。圖題3－2解：對(duì)J1列寫平衡方程得 〔1〕 〔2〕 〔3〕 〔4〕式中T2為J1的輸出轉(zhuǎn)矩，T3為J2的輸入轉(zhuǎn)矩，θ2為J2的轉(zhuǎn)角。將〔3〕、〔4〕式代入〔2〕式，求得T2，再將求得的T2代入〔1〕式得輸入軸上的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J為輸入軸上的等效阻尼系數(shù)B為求圖題3－3所示各電氣網(wǎng)絡(luò)輸入和輸出量間關(guān)系的微分方程式，圖中ui為輸入電壓，uo為輸出電壓。MACROBUTTONMTEditEquationSection2EquationSection(Next)SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\h圖題3－3解：〔a〕方法1：設(shè)流過LC回路的電流為i，利用基爾霍夫電壓定律得 〔1〕 〔2〕對(duì)〔2〕式求導(dǎo)得 〔3〕〔3〕式代入〔1〕得方法2：設(shè)流過LC回路的電流為iL，利用基爾霍夫電流定律得iL=iC即 對(duì)上式求導(dǎo)，并整理得〔b〕方法1：設(shè)流過L的電流為i，利用基爾霍夫電壓定律得消除中間變量i〔過程同(a)〕得方法2：設(shè)流過L的電流為i，流過C1、C2的電流分別為i1和i2，利用基爾霍夫電流定律得i=i1+i2即 對(duì)上式求導(dǎo)，并整理得〔c〕方法1：設(shè)流過R1的電流為i1，流過C1的電流為i2，利用基爾霍夫電壓定律得 〔1〕 〔2〕 〔3〕由〔1〕得 〔4〕〔4〕代入〔2〕后并求導(dǎo)得 〔5〕〔5〕、〔4〕代入〔3〕后，求導(dǎo)，再整理得方法2：設(shè)流過R1的電流為i1，流過C1的電流為i2，流過R2、C2的電流為i，電阻C2上的電壓為uC2，利用基爾霍夫電流定律得i=i1+i2即 〔1〕 〔2〕由式〔2〕得 〔3〕將式〔3〕及其一階導(dǎo)數(shù)代入〔2〕，并整理得〔d〕解法1：設(shè)流過回路的電流為i，利用基爾霍夫電壓定律得 〔1〕 〔2〕〔1〕×C1?〔2〕×C2得 〔3〕對(duì)〔2〕求導(dǎo)得 〔4〕〔3〕及其一階導(dǎo)數(shù)代入〔4〕并整理得或 解法2：利用基爾霍夫電流定律，過程略。列出圖題3－4所示機(jī)械系統(tǒng)的作用力f(t)與位移x(t)之間關(guān)系的微分方程。abxabx(t)f(t)圖題3－4kBm 圖題3－5解：設(shè)杠桿轉(zhuǎn)角為θ，對(duì)m使用牛頓第二定律得整理得如圖題3－5所示的系統(tǒng)，當(dāng)外力f(t)作用于系統(tǒng)時(shí)，m1和m2有不同的位移輸出x1(t)和x2(t)，試求f(t)與x2(t)的關(guān)系，列出微分方程式。解：對(duì)m1使用牛頓第二定律得 〔1〕對(duì)m2使用牛頓第二定律得 〔2〕由公式〔2〕得 〔3〕對(duì)〔1〕式等號(hào)兩邊同時(shí)求一次導(dǎo)數(shù)得 〔4〕將〔3〕式表示的及其二、三階導(dǎo)數(shù)代入〔4〕并整理得到求圖題3－6所示的各機(jī)械系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 x3(x3(t)圖題3－6(a)、(b)中：f(t)——輸入，x(t)——輸出(c)、(d)中：x1(t)——輸入，x2(t)——輸出解：〔a〕對(duì)m利用牛頓第二定律得即 令X(s)=L[x(t)]，F(xiàn)(s)=L[f(t)]，在初始條件為0的情況下，對(duì)上式等號(hào)兩邊同時(shí)做拉普拉斯變換得 由此得該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為〔b〕對(duì)m利用牛頓第二定律得即 令X(s)=L[x(t)]，F(xiàn)(s)=L[f(t)]，在初始條件為0的情況下，對(duì)上式等號(hào)兩邊同時(shí)做拉普拉斯變換得 x3x3(t)式中：，rad·s-1，〔c〕引入中間變量x3(t)，分別對(duì)x3(t)點(diǎn)和x2(t)點(diǎn)利用牛頓第二定律得以下可以采用兩種處理方法：【方法一】令X1(s)=L[x1(t)]，X2(s)=L[x2(t)]，X3(s)=L[x3(t)]，在初始條件為0的情況下，對(duì)上兩式等號(hào)兩邊同時(shí)做拉普拉斯變換得 〔3〕 〔4〕由〔3〕式得代入〔4〕式并整理得此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為式中：，【方法二】〔1〕與〔2〕式相加得代入〔1〕式并整理得令X1(s)=L[x1(t)]，X2(s)=L[x2(t)]，在初始條件為0時(shí)，對(duì)上兩式等號(hào)兩邊同時(shí)做拉普拉斯變換式中：，〔d〕對(duì)x2(t)點(diǎn)利用牛頓第二定律得即 令X1(s)=L[x1(t)]，X2(s)=L[x2(t)]，在初始條件為0的情況下，對(duì)上式等號(hào)兩邊同時(shí)做拉普拉斯變換得由此得該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為式中：，圖題3－7所示f(t)為輸入力，系統(tǒng)的彈簧剛度為k，軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，阻尼系數(shù)為B，系統(tǒng)的輸出為軸的轉(zhuǎn)角θ(t)，軸的半徑為r。求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：利用力學(xué)定律得即 令F(s)=L[f(t)]，Θ(s)=L[θ(t)]，在初始條件為0的情況下，對(duì)上式等號(hào)兩邊同時(shí)做拉普拉斯變換得所以傳遞函數(shù)為證明圖題3－8(a)和(b)所示的系統(tǒng)是相似系統(tǒng)。圖題3－7 圖題3－8圖題3－7圖題3－8x證明：〔a〕在3-3題中已經(jīng)得到圖題3-8〔a〕所示電路的微分方程為令Ui(s)=L[ui(t)]，Uo(s)=L[uo(t)]，在初始條件為0的情況下，等號(hào)兩邊同時(shí)做拉普拉斯變換得由此得其傳遞函數(shù)為〔b〕引入中間變量x，分別對(duì)x點(diǎn)和x2點(diǎn)利用牛頓第二定律得令X1(s)=L[x1(t)]，X2(s)=L[x2(t)]，X(s)=L[x(t)]，在初始條件為0的情況下，等號(hào)兩邊同時(shí)做拉普拉斯變換得消去X(s)得〔a〕和〔b〕具有相似的傳遞函數(shù)，故這兩個(gè)系統(tǒng)為相似系統(tǒng)。比擬兩式可知，兩者參數(shù)相似關(guān)系為或【注】假設(shè)兩個(gè)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型〔如微分方程、傳遞函數(shù)等〕具有相同的形式，那么稱為相似系統(tǒng)。在相似系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型中占據(jù)相同位置的物理量，稱為相似量?！碳僭O(shè)某系統(tǒng)在階躍輸入x(t)＝1(t)作用時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)。解：(1)求傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是在初始條件為零的情況下，系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換與輸入的拉普拉斯變換之比。因?yàn)閥(0)=1-1+1≠0，所以，題中所給的單位階躍響應(yīng)為非0初始條件下的響應(yīng)，因此，不能直接利用y(t)的拉氏變換求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。方法1：由響應(yīng)可知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為1，所以系統(tǒng)的靜態(tài)增益為1；系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)有2項(xiàng)指數(shù)衰減項(xiàng)，所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)，分別為?2和?1，即系統(tǒng)為二階系統(tǒng)，而且因?yàn)榉€(wěn)態(tài)響應(yīng)為1，故可知系統(tǒng)微分方程的特解為1，由此可知，系統(tǒng)微分方程中不存在輸入的微分項(xiàng)，所以，系統(tǒng)的微分方程形式為在考慮初始條件的情況下，對(duì)上式做拉氏變換得即亦即 〔1〕〔1〕式中第一項(xiàng)即為系統(tǒng)0初始條件下的響應(yīng)的拉氏變換。由單位階躍響應(yīng)得將上述結(jié)果及X(s)=1/s代入(1)式得單位階躍響應(yīng)的拉氏變換 〔2〕對(duì)題中給定的單位階躍響應(yīng)求拉氏變換得 〔3〕因?yàn)椤?〕和〔3〕式相等，所以〔3〕式分母與〔2〕式公分母比擬得代入〔2〕式得 〔4〕因?yàn)椤?〕式中第一項(xiàng)即為系統(tǒng)0初始條件下的響應(yīng)的拉氏變換，所以〔4〕式中的第一項(xiàng)即為系統(tǒng)0初始條件下的響應(yīng)的拉氏變換，即：所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為方法2：由題中單位階躍響應(yīng)可知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為1，所以系統(tǒng)的靜態(tài)增益為1；系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)有2項(xiàng)，所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)，分別為?2和?1，故系統(tǒng)在0初始條件下的單位階躍響應(yīng)〔對(duì)線性因果系統(tǒng)就是零狀態(tài)響應(yīng)〕應(yīng)該具有如下形式：因?yàn)槌跏紬l件為0，所以有聯(lián)立上兩式解得A=1，B=?2所以，系統(tǒng)在0初始條件下的單位階躍響應(yīng)為其拉氏變換為輸入信號(hào)為單位階躍信號(hào)，其拉氏變換為所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為〔2〕求單位脈沖響應(yīng)由傳遞函數(shù)的定義可知而 所以 所以這樣求得響應(yīng)為零初始條件下的響應(yīng)〔零狀態(tài)響應(yīng)〕。運(yùn)用方塊圖簡(jiǎn)化法那么，求圖題3－10各系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。＋＋－＋－＋－R(s)C(s)(a)＋＋＋＋R(s)C(s)－－－＋(b)圖題3－10解：〔a〕簡(jiǎn)化過程如圖題解3-10〔a〕所示，傳遞函數(shù)為〔b〕簡(jiǎn)化過程如圖題解3-10〔b〕所示，傳遞函數(shù)為〔a〕圖題解3-10〔a〕圖題3-10〔a〕的簡(jiǎn)化過程圖題解3-10〔a〕圖題3-10〔a〕的簡(jiǎn)化過程＋－＋－＋－＋－＋－＋－R(s)C(s)R(s)C(s)R(s)C(s)＋－＋－＋－R(s)C(s)＋－R(s)C(s)相加點(diǎn)前移分支點(diǎn)后移消去兩個(gè)反響回路消去反響回路

〔b〕圖題解3-10〔b〕圖題3-10〔b〕的簡(jiǎn)化過程圖題解3-10〔b〕圖題3-10〔b〕的簡(jiǎn)化過程分支點(diǎn)前移消去反響回路和并聯(lián)回路消去反響回路消去反響回路＋R(s)C(s)－－＋R(s)C(s)－R(s)C(s)G1＋＋＋R(s)C(s)G2G3G4G5H1H2－－－＋G1＋＋＋R(s)C(s)G2G3G4G5H1G3H2－－－＋圖題3－11畫出圖題3－11所示系統(tǒng)的方塊圖，并寫出其傳遞函數(shù)。圖題3－11解：分別對(duì)質(zhì)量m和x1(t)點(diǎn)利用牛頓第二定律得整理得在初始條件為0的情況下，對(duì)上兩式等號(hào)兩邊同時(shí)做拉普拉斯變換得上兩式的方塊圖分別如圖題解3-11〔a〕、〔b〕所示。圖題解3-11圖題解3-11〔a〕〔b〕X(s)X1(s)F(s)k2F(s)X1(s)X(s)＋＋〔c〕X(s)＋＋k2〔d〕X(s)F(s)將方塊圖〔a〕、〔b〕合并得系統(tǒng)的方塊圖，如圖解3-11〔c〕所示，化簡(jiǎn)得方塊圖〔d〕。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為圖題3－12x圖題3－12x1(t)k1Bm2m1k2x(t)f(t)[說明]此題也可以先求出兩個(gè)串聯(lián)彈簧的等效剛度，然后用一個(gè)方程即可求出傳遞函數(shù)。畫出圖題3－12所示系統(tǒng)的方塊圖，該系統(tǒng)在開始時(shí)處于靜止?fàn)顟B(tài)，系統(tǒng)的輸入為外力f(t)，輸出為位移x(t)，并寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：設(shè)m1的位移為x1(t)，如圖題3-12所示。分別對(duì)質(zhì)量m1和m2利用牛頓第二定律得整理得在初始條件為0的情況下，對(duì)上兩式等號(hào)兩邊同時(shí)做拉普拉斯變換得即上兩式的方塊圖分別如圖題解3-12〔a〕、〔b〕所示。圖題解3-12圖題解3-12〔a〕〔b〕F(s)X1(s)X(s)X(s)X1(s)〔c〕F(s)X(s)＋＋＋＋將方塊圖〔a〕、〔b〕合并得系統(tǒng)的方塊圖，如圖解3-12〔c〕所示，化簡(jiǎn)一次得方塊圖〔d〕。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為求圖題3－13所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 圖題3－13解：利用梅遜公式〔ａ〕前向通路只有一條，該前向通路的傳遞函數(shù)為有兩條回路，回路傳遞函數(shù)分別為因?yàn)樗袃蓚€(gè)回路具有一條公共支路，所以沒有不接觸回路，因此特征式Δ為因?yàn)閮蓚€(gè)回路都與唯一的前向通路相接觸，故從Δ中去掉兩個(gè)回路的傳遞函數(shù)即可得到前向通路的特征式的余因子Δ1Δ1=1將上述結(jié)果代入梅遜公式得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為〔b〕前向通路有兩條，這兩條前向通路的傳遞函數(shù)分別為有兩條回路，回路傳遞函數(shù)分別為因?yàn)樗袃蓚€(gè)回路具有一條公共支路，所以沒有不接觸回路，因此特征式Δ為因?yàn)閮蓚€(gè)回路都與兩個(gè)前向通路相接觸，故從Δ中去掉兩個(gè)回路的傳遞函數(shù)即可得到兩個(gè)前向通路的特征式的余因子Δ1=1Δ2=1將上述結(jié)果代入梅遜公式得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為圖題3－14所示為發(fā)動(dòng)機(jī)速度控制系統(tǒng)的方塊圖。發(fā)動(dòng)機(jī)速度由轉(zhuǎn)速測(cè)量裝置進(jìn)行測(cè)量。試畫出該系統(tǒng)的信號(hào)流圖。圖題3－14圖題3－14參考速度轉(zhuǎn)速測(cè)量裝置液壓伺服機(jī)構(gòu)負(fù)載干擾發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)際速度解：其信號(hào)流圖如圖題解3-14所示。圖題圖題解3-1411－1C(s)R(s)N(s)1√對(duì)傳遞函數(shù)試推導(dǎo)對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程表達(dá)式。解法1：〔套公式—笨方法〕。與教材式〔3-121〕比擬得到代入教材式〔3-130〕得狀態(tài)空間表達(dá)式為式中，u為輸入變量。解法2：〔參考現(xiàn)代控制工程—ModernControlEngineering．［美］KatsuhikoOgata—緒方勝?gòu)┲R伯英，于海勛等譯．北京：電子工業(yè)出版社，2000年5月第3版〕令 式中，β0，β1由下式確定代入上式得而所以狀態(tài)空間表達(dá)式為【注】結(jié)果與解法1不同，這是因?yàn)闋顟B(tài)空間表達(dá)式不是唯一的〔取決于所選取的狀態(tài)變量，可能有無(wú)窮多個(gè)〕。 解法3：利用拉氏反變換即令那么對(duì)上面三式做拉氏反變換得所以狀態(tài)方程為輸出方程為圖題3－16所示系統(tǒng)，以圖中所標(biāo)記的x1、x2、x3為狀態(tài)變量，推導(dǎo)其狀態(tài)空間表達(dá)式。u、y分別為輸入、輸出，α1、α2、α3是標(biāo)量。圖題3－16解：由圖可知所以系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為√設(shè)系統(tǒng)的微分方程為試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。解：這是一個(gè)三階系統(tǒng)，輸入變量為u，輸出變量為y。選取3個(gè)狀態(tài)變量x1，x2，x3，它們分別為代入原微分方程中得故系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為〔合稱狀態(tài)空間表達(dá)式〕輸出方程為√給定系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試寫出它的狀態(tài)空間表達(dá)式。解：〔套公式〕。與教材式〔3-121〕比擬得到代入教材式〔3-130〕得狀態(tài)空間表達(dá)式為式中，u為輸入變量。系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)與誤差分析復(fù)習(xí)思考題時(shí)間響應(yīng)由哪兩局部組成，它們的含義是什么？解答：時(shí)間響應(yīng)是指系統(tǒng)的響應(yīng)〔輸出〕在時(shí)域上的表現(xiàn)形式，或系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程在一定初始條件下的時(shí)域解?；蛘哒f系統(tǒng)在輸入信號(hào)鼓勵(lì)下，其輸出量隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系。按分類的原那么不同，時(shí)間響應(yīng)有不同的分類方法。按響應(yīng)的來(lái)源分：零狀態(tài)響應(yīng)，即初始狀態(tài)為零時(shí)，由系統(tǒng)的輸入引起的響應(yīng)；零輸入響應(yīng)，即系統(tǒng)的輸入為零時(shí)，由初始狀態(tài)引起的響應(yīng)。按響應(yīng)的性質(zhì)分為強(qiáng)迫響應(yīng)項(xiàng)和自由響應(yīng)項(xiàng)。對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，其時(shí)間響應(yīng)又可分為瞬態(tài)響應(yīng)項(xiàng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)項(xiàng)。脈沖響應(yīng)函數(shù)的定義及如何利用脈沖響應(yīng)函數(shù)來(lái)求系統(tǒng)對(duì)任意時(shí)間函數(shù)輸入時(shí)的輸出時(shí)間響應(yīng)？解答：當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)受到一個(gè)單位脈沖鼓勵(lì)(輸入)時(shí)，它所產(chǎn)生的反響或響應(yīng)(輸出〕定義為脈沖響應(yīng)函數(shù)。系統(tǒng)對(duì)任意時(shí)間函數(shù)輸入時(shí)的輸出時(shí)間響應(yīng)：式中g(shù)(t)為脈沖響應(yīng)函數(shù)。21210g(t)t圖4-1fs一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線TT＝1T＝5解答：一階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)：一階系統(tǒng)對(duì)脈沖函數(shù)的響應(yīng)。曲線形狀如圖4-1fs所示。一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)：一階系統(tǒng)對(duì)階躍函數(shù)的響應(yīng)。曲線形狀如圖4-2fs所示。圖STYLEREF1\s42fs一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如何描述二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)及其時(shí)域性能指標(biāo)。試分析二階系統(tǒng)ωn和ζ對(duì)系統(tǒng)性能的影響。試分析二階系統(tǒng)特征根的位置及階躍響應(yīng)曲線之間的關(guān)系。誤差和穩(wěn)態(tài)誤差的定義以及與系統(tǒng)哪些因素有關(guān)。如何計(jì)算干擾作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。習(xí)題√設(shè)單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求這個(gè)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解法1：設(shè)系統(tǒng)輸入的拉氏變換為R(s)，輸出的拉氏變換為C(s)，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為〔假定為負(fù)反響〕所以系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為利用局部分式法計(jì)算得到，，所以 對(duì)上式做拉普拉氏反變換得到單位階躍響應(yīng)為解法2：利用教材上的結(jié)論設(shè)系統(tǒng)輸入的拉氏變換為R(s)，輸出的拉氏變換為C(s)，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為〔假定為負(fù)反響〕上式等號(hào)兩邊比擬得，解得：rad·s-1〔負(fù)根舍掉〕，這是一個(gè)過阻尼二階震蕩系統(tǒng)，有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)：，，所以，該單位階躍響應(yīng)為式中：，，代入上式得階躍響應(yīng)為√設(shè)單位反響控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)的上升時(shí)間、峰值時(shí)間、最大超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間。解法1：直接套用教材上的結(jié)論。設(shè)系統(tǒng)輸入的拉氏變換為R(s)，輸出的拉氏變換為C(s)，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為〔假定為負(fù)反響〕等號(hào)兩邊比擬得ωn=1rad·s-1〔負(fù)根舍掉〕，ζ=0.5。這是一個(gè)欠阻尼二階震蕩系統(tǒng)，所以上升時(shí)間：峰值時(shí)間：最大超調(diào)量：調(diào)整時(shí)間〔用近似公式〕：調(diào)整時(shí)間的較準(zhǔn)確值〔用Matlab按準(zhǔn)確的理論響應(yīng)曲線測(cè)量的結(jié)果〕：解法2：直接按指標(biāo)定義求解。設(shè)系統(tǒng)輸入的拉氏變換為R(s)，輸出的拉氏變換為C(s)，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為〔假定為負(fù)反響〕等號(hào)兩邊比擬得ωn=1rad·s-1〔負(fù)根舍掉〕，ζ=0.5。這是一個(gè)欠阻尼二階系統(tǒng)，其單位階躍響應(yīng)為然后按著指標(biāo)的定義求解〔參見教材中的求解過程〕。√設(shè)有一閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為為了使系統(tǒng)對(duì)階躍輸入的響應(yīng)，有約5%的超調(diào)量和2s的調(diào)整時(shí)間，試求ζ和ωn的值應(yīng)等于多大。解：設(shè)允許的誤差范圍為δ%，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，那么根據(jù)題意得到 (1) (2)由〔1〕式解得〔舍掉負(fù)根–0.6901〕將δ%=5%和ζ≈0.6901代入〔2〕式解得ωn≈2.4048rad·s-1〔Matlab仿真結(jié)果ωn≈2.195rad·s-1〕將δ%=2%和ζ≈0.6901代入〔2〕式解得ωn≈3.0686rad·s-1〔Matlab仿真結(jié)果ωn≈2.998rad·s-1〕如果按〔2〕式的近似式計(jì)算ωn，那么結(jié)果如下：當(dāng)δ%=5%時(shí)，ωn≈2.1705rad·s-1當(dāng)δ%=2%時(shí)，ωn≈2.8344rad·s-1如果按〔2〕式的近似式〔當(dāng)δ%=5%時(shí)〕和〔當(dāng)δ%=2%時(shí)〕計(jì)算ωn，那么結(jié)果如下：當(dāng)δ%=5%時(shí)，ωn≈2.1736rad·s-1當(dāng)δ%=2%時(shí)，ωn≈rad·s-1√圖題4－4所示系統(tǒng)，當(dāng)輸入r(t)＝10t和r(t)＝4＋6t＋3t2時(shí)，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。圖題4－4解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為圖題4－4開環(huán)增益K=10/4=2.5。復(fù)域系統(tǒng)誤差為〔1〕解法1：利用教材的結(jié)論。這是一個(gè)1型系統(tǒng)，所以其單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為當(dāng)r(t)＝10t時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為解法2：按定義推導(dǎo)。當(dāng)r(t)＝10t時(shí)，R(s)＝10/s2，代入上述誤差的拉氏變換式得到利用拉普拉斯變換的終值定理得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為〔2〕解法1：利用教材的結(jié)論。這是一個(gè)1型系統(tǒng)，其靜態(tài)位置、速度和加速度誤差系數(shù)分別為Kp=∞，Kv=K=2.5，Ka=0根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理可知，系統(tǒng)對(duì)r(t)＝4＋6t＋3t2響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為解法2：按定義推導(dǎo)。當(dāng)r(t)＝4＋6t＋3t2時(shí)，，代入上述誤差的拉氏變換式得到利用拉普拉斯變換的終值定理得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為設(shè)題4－4中的前向傳遞函數(shù)變?yōu)檩斎敕謩e為r(t)＝10t，r(t)＝4＋6t＋3t2和r(t)＝4＋6t＋3t2t3時(shí)，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其開環(huán)增益為K=10/1=10。復(fù)域系統(tǒng)誤差為〔1〕解法1：利用教材的結(jié)論。這是一個(gè)1型系統(tǒng)，開環(huán)增益K=10，所以其單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為當(dāng)r(t)＝10t時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為解法2：按定義推導(dǎo)。當(dāng)r(t)＝10t時(shí)，R(s)＝10/s2，代入上述誤差公式得到利用拉普拉斯變換的終值定理得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為〔2〕當(dāng)r(t)＝4＋6t＋3t2時(shí)利用上述方法可分別求得系統(tǒng)對(duì)單位階躍信號(hào)1(t)、單位斜坡信號(hào)〔t〕和加速度信號(hào)〔t2〕的穩(wěn)態(tài)誤差為根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加特性可得系統(tǒng)對(duì)r(t)＝4＋6t＋3t2響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為〔3〕當(dāng)r(t)＝4＋6t＋3t2t3時(shí)系統(tǒng)對(duì)信號(hào)t3的穩(wěn)態(tài)誤差為根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加特性可得系統(tǒng)對(duì)r(t)＝4＋6t＋3t2t3響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為±j0.7974〕，所以上述計(jì)算結(jié)果毫無(wú)意義。假設(shè)將系統(tǒng)改成，那么系統(tǒng)穩(wěn)定?！虉D題4－6為由穿孔紙帶輸入的數(shù)控機(jī)床的位置控制系統(tǒng)方塊圖，試求圖題4－6〔1〕系統(tǒng)的無(wú)阻尼自然頻率ωn和阻尼比ζ?！?〕單位階躍輸入下的超調(diào)量Mp和上升時(shí)間tr?！?〕單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差?！?〕單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差。解：〔1〕系統(tǒng)的前向傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為由閉環(huán)傳遞函數(shù)可知，這是一個(gè)二階震蕩系統(tǒng)，等號(hào)兩邊比擬得〔2〕最大超調(diào)量：上升時(shí)間：〔3〕解法1：當(dāng)r(t)＝1(t)時(shí)，R(s)＝1/s，復(fù)域系統(tǒng)誤差為利用拉普拉斯變換的終值定理得系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入信號(hào)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為解法2：利用教材上的結(jié)論求解。這是個(gè)1型系統(tǒng)，靜態(tài)位置誤差系數(shù)所以1型系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入信號(hào)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為〔4〕解法1：當(dāng)r(t)＝t時(shí)，R(s)＝1/s2，復(fù)域的系統(tǒng)誤差為利用拉普拉斯變換的終值定理得系統(tǒng)對(duì)單位斜坡輸入信號(hào)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為解法2：利用教材上的結(jié)論求解。這是個(gè)1型系統(tǒng)，靜態(tài)速度誤差系數(shù)所以1型系統(tǒng)對(duì)單位斜坡輸入信號(hào)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為√求圖題4－7所示帶有速度控制的控制系統(tǒng)的無(wú)阻尼自然頻率ωn，阻尼比ζ及最大超調(diào)量Mp〔取K＝1500，τd＝0.01(s)〕。圖題4－7解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為等號(hào)兩邊比擬得rad·s-1當(dāng)輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)，R(s)=1/s，所以利用局部分式法計(jì)算得到K3=1對(duì)C(s)進(jìn)行拉氏逆變換得到系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為將K1、K2、K3代入上式中，并整理得令解得第一個(gè)峰值時(shí)間為將tp代入c(t)中可得到最大超調(diào)量為將ωn和ζ代入上式求得求圖題4－8所示系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)Kp、Kv、Ka，當(dāng)輸入是40t時(shí)，穩(wěn)態(tài)速度誤差等于多少？圖題4－8解：這是一個(gè)1型系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)增益K=10。靜態(tài)位置誤差系數(shù) 靜態(tài)速度誤差系數(shù) 靜態(tài)加速度誤差系數(shù) 當(dāng)輸入是40t時(shí)，穩(wěn)態(tài)速度誤差為或者±j3.6548〕，所以上述計(jì)算結(jié)果毫無(wú)意義?？刂葡到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)如題4－9所示?！?〕試求在單位階躍輸入信號(hào)1(t)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差?！?〕試求外部擾動(dòng)N1(s)和N2(s)分別單獨(dú)作用時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差?！?〕假設(shè)R(s)＝0，N2(s)＝0，和，試求出外部擾動(dòng)N1(s)為單位階躍函數(shù)時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。題4－題4－9R(s)G(s)C(s)?＋F(s)＋N1(s)＋＋N2(s)＋解：〔1〕由方塊圖可得求得復(fù)域的系統(tǒng)誤差為那么利用拉氏變換的終值定理得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為在單位階躍輸入信號(hào)1(t)單獨(dú)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為〔2〕外部擾動(dòng)N1(s)單獨(dú)作用時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差外部擾動(dòng)N2(s)單獨(dú)作用時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差〔3〕系統(tǒng)如圖題4－10所示。在輸入信號(hào)為單位階躍r(t)＝1(t)和干擾信號(hào)亦為階躍信號(hào)n(t)＝2×1(t)作用下，試求：〔1〕當(dāng)K＝40和K＝20時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差?！?〕假設(shè)在擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)1/s，對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差有什么影響？在擾動(dòng)作用點(diǎn)之后引入積分環(huán)節(jié)1/s，結(jié)果又將如何？題4－10題4－10R(s)C(s)?＋＋N(s)＋解：〔1〕由圖可知求得復(fù)域系統(tǒng)誤差為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為將R(s)=1/s和N(s)=2/s代入上式得【注】此題原題可能有數(shù)據(jù)錯(cuò)誤。當(dāng)K=40時(shí)ess=0當(dāng)K=20時(shí)ess=0〔2〕假設(shè)在擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)1/s，那么求得復(fù)域系統(tǒng)誤差為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為將R(s)=1/s和N(s)=2/s代入上式得結(jié)果說明：在擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)1/s，可以同時(shí)消除對(duì)階躍型輸入信號(hào)和干擾信號(hào)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差。假設(shè)在擾動(dòng)作用點(diǎn)之后引入積分環(huán)節(jié)1/s，那么求得復(fù)域系統(tǒng)誤差為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為將R(s)=1/s和N(s)=2/s代入上式得結(jié)果說明：在擾動(dòng)作用點(diǎn)之后引入積分環(huán)節(jié)1/s，可以消除對(duì)階躍型輸入信號(hào)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差，但不能消除由階躍型干擾信號(hào)引起的穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)的頻率特性復(fù)習(xí)思考題什么叫頻率響應(yīng)？答：解線性定常系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性稱為頻率響應(yīng)。對(duì)于線性定常系統(tǒng)，假設(shè)輸入為簡(jiǎn)諧信號(hào)，那么其穩(wěn)態(tài)輸出一定是同頻率的簡(jiǎn)諧信號(hào)。將輸出的幅值與輸入的幅值之比定義為系統(tǒng)的幅頻特性；將輸出的相位與輸入相位之差定義為系統(tǒng)的相頻特性。將系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性統(tǒng)稱為系統(tǒng)的頻率特性。系統(tǒng)的頻率特性的定義？它由哪兩局部組成？機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)剛度和動(dòng)柔度如何表示？解假設(shè)機(jī)械系統(tǒng)的輸入為力，輸出為位移〔變形〕，那么機(jī)械系統(tǒng)的頻率特性就是機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)柔度；機(jī)械系統(tǒng)的頻率特性的倒數(shù)就是機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)剛度；當(dāng)ω＝0時(shí)，系統(tǒng)頻率特性的倒數(shù)為系統(tǒng)的靜剛度。頻率特性和單位脈沖函數(shù)的關(guān)系是什么？各典型環(huán)節(jié)的伯德圖和乃奎斯特圖。試述繪制系統(tǒng)的伯德圖和乃奎斯特圖的一般方法和步驟。最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)的定義及本質(zhì)區(qū)別。頻域性能指標(biāo)Mr，ωr，ωb和頻寬的定義是什么？如何計(jì)算二階系統(tǒng)的上述指標(biāo)？如何由開環(huán)頻率特性確定系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性？什么叫系統(tǒng)辨識(shí)？為什么要進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)？在本課程學(xué)習(xí)的根底上，可用哪些方法進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)？習(xí)題√設(shè)單位反響控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為當(dāng)系統(tǒng)作用以下輸入信號(hào)時(shí)，試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。①②③解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 那么 ①因?yàn)橄到y(tǒng)是線性系統(tǒng)，且輸入為簡(jiǎn)諧信號(hào)，根據(jù)線性系統(tǒng)的頻率保持性可知系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為其中將輸入信號(hào)角頻率ω=1代入上兩式得所以系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為②過程同①，ω=2，所以所以系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為③因?yàn)檩斎霝棰?②，根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出就是上面兩個(gè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)相減，即√繪制以下各環(huán)節(jié)的伯德圖①解：兩個(gè)都是比例環(huán)節(jié)-10-10-01020230L(ω)(dB)10010104590135180φ(ω)(o)BodeDiagramω(rad?s-1)②解：第一個(gè)為比例環(huán)節(jié)與積分環(huán)節(jié)串聯(lián)，第二個(gè)為2重微分環(huán)節(jié)，，斜率=?20dB/dec；，斜率=40dB/dec③解：第一個(gè)是一個(gè)比例環(huán)節(jié)與一個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)：，，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1rad?s?1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率?20dB/dec第二個(gè)是一個(gè)比例環(huán)節(jié)與一個(gè)一階微分環(huán)節(jié)串聯(lián)：，，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/2=0.5rad?s?1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec④解：第一個(gè)由一個(gè)一階微分環(huán)節(jié)和一個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)一階微分環(huán)節(jié)：，，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/0.2=5rad?s?1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec慣性環(huán)節(jié)：，，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/0.05=20rad?s?1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率?20dB/dec第二個(gè)由一個(gè)一階微分環(huán)節(jié)和一個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)一階微分環(huán)節(jié)：，，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/0.05=20rad?s?1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec慣性環(huán)節(jié)：，，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/0.2=5rad?s?1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率?20dB/dec⑤解：由一個(gè)比例環(huán)節(jié)、一個(gè)一階微分環(huán)節(jié)、一個(gè)積分環(huán)節(jié)、二個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成比例環(huán)節(jié)：，一階微分環(huán)節(jié)：，，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/2=0.5rad?s?1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec積分環(huán)節(jié)：，斜率?20dB/dec，慣性環(huán)節(jié)1：，，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/1=1rad?s?1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率?20dB/dec慣性環(huán)節(jié)2：，，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/0.1=10rad?s?1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率?20dB/dec-100-100-80-60-40-200204060L(ω)/dB10-210-1100101102103-180-135-90-4504590φ(ω)/oBodeDiagramω/rad?s?1比例環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)1慣性環(huán)節(jié)2G(jω)?20dB/dec?0dB/dec?20dB/dec?40dB/dec⑥解：由二個(gè)一階微分環(huán)節(jié)、二個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成一階微分環(huán)節(jié)1：，，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/0.2=5rad?s?1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec一階微分環(huán)節(jié)2：，，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/0.5=2rad?s?1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec慣性環(huán)節(jié)1：，，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/0.05=20rad?s?1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率?20dB/dec慣性環(huán)節(jié)2：，，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/5=0.2rad?s?1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率?20dB/dec⑦解：這是PID控制器的頻率特性，此式可以改寫成〔當(dāng)KP2-4KDKI≥0時(shí)〕可以看成是由1個(gè)比例環(huán)節(jié)KI，1個(gè)積分環(huán)節(jié)與2個(gè)一階微分環(huán)節(jié)串聯(lián)組成。比例環(huán)節(jié)：，。積分環(huán)節(jié)：，斜率?20dB/dec，一階微分環(huán)節(jié)1：，，轉(zhuǎn)角頻率ωT1=1/T1rad?s?1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec一階微分環(huán)節(jié)2：，，轉(zhuǎn)角頻率ωT2=1/T2rad?s?1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec⑧解：由一個(gè)比例環(huán)節(jié)，一個(gè)一階微分環(huán)節(jié)，二重積分環(huán)節(jié)，二個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成。比例環(huán)節(jié)：，一階微分環(huán)節(jié)：，，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/2=0.5rad?s?1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec兩重積分環(huán)節(jié)：，。慣性環(huán)節(jié)1：，，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/0.5=2rad?s?1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率?20dB/dec慣性環(huán)節(jié)2：，，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/0.1=10rad?s?1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率?20dB/dec-150-150-100-5005010010-210-1100101102103-270-225-180-135-90-4504590BodeDiagramsys1sys2sys3sys4sys5sys?60dB/dec?40dB/dec?20dB/dec?40dB/decL(ω)/dBφ(ω)/oω/rad?s?1682⑨解：這是一個(gè)欠阻尼振蕩環(huán)節(jié)，時(shí)間常數(shù)T=0.1s，無(wú)阻尼固有角頻率ωn=1/T=10rad?s?1，阻尼比ζ=0.5。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率?40dB/dec，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/T=ωn=10rad?s?1。⑩解：由一個(gè)比例環(huán)節(jié)、一個(gè)積分環(huán)節(jié)、一個(gè)慣性環(huán)節(jié)、一個(gè)欠阻尼振蕩環(huán)節(jié)串聯(lián)組成。比例環(huán)節(jié)：，積分環(huán)節(jié)：，。慣性環(huán)節(jié)：，，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/2=0.5rad?s?1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率?20dB/dec振蕩環(huán)節(jié)，時(shí)間常數(shù)T=1s，無(wú)阻尼固有角頻率ωn=1/T=1rad?s?1，阻尼比ζ=0.6/(2T)=0.3。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率?40dB/dec，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/T=ωn=1rad?s?1。-150-150-100-5005010010-210-1100101102-360-315-270-225-180-135-90-450BodeDiagramsys1sys2sys3sys4sys?20dB/decL(ω)/dBφ(ω)/oω/rad?s?1?40dB/dec?80dB/dec繪制以下各環(huán)節(jié)的乃奎斯特圖①解：幅頻特性：相頻特性：實(shí)頻特性：虛頻特性：乃奎斯特曲線起點(diǎn)：，，乃奎斯特曲線終點(diǎn)：，，從上面的計(jì)算結(jié)果可見，乃奎斯特曲線起點(diǎn)在正實(shí)軸上(1，j0)點(diǎn)，終點(diǎn)在原點(diǎn)。當(dāng)ω從0到∞時(shí)，相角從0o到?90o且單調(diào)遞減，實(shí)部由10+且單調(diào)遞減，虛部由0負(fù)0-，故終點(diǎn)從第4象限趨于原點(diǎn)且與負(fù)虛軸相切，乃奎斯特曲線與實(shí)軸和虛軸都沒有交點(diǎn)〔原點(diǎn)除外〕。這是一個(gè)慣性環(huán)節(jié)，可以證明，當(dāng)ω從0到∞時(shí)，慣性環(huán)節(jié)的乃奎斯特曲線是一條以(1/2，0)為圓心，半徑為1/2的下半圓〔詳見教材〕。其乃奎斯特曲線如下圖。Re[Re[G(j)]Im[G(j)]01=0=∞②解：幅頻特性：相頻特性：實(shí)頻特性：虛頻特性：乃奎斯特曲線起點(diǎn)：，，乃奎斯特曲線終點(diǎn)：，，從上面的計(jì)算結(jié)果可見，曲線起點(diǎn)在第3象限(-0.1，-j∞)點(diǎn)，起點(diǎn)漸近線平行于負(fù)虛軸且過點(diǎn)(-0.1，j0)，終點(diǎn)在原點(diǎn)。當(dāng)ω從0到∞時(shí)，相角從-90o到-180o0-且單調(diào)遞增，虛部由-∞0-且單調(diào)遞增，故終點(diǎn)從第3象限趨于原點(diǎn)且與負(fù)實(shí)軸相切，原點(diǎn)除外，乃奎斯特曲線與實(shí)軸和虛軸都沒有其它交點(diǎn)。根據(jù)以上分析可畫出Nyquist曲線如以下圖所示。-1-10-1Re[G(j)]Im[G(j)]-0.1③解：這是典型的二階震蕩環(huán)節(jié)，ωn=10，ζ=0.5。幅頻特性：相頻特性：實(shí)頻特性：虛頻特性：乃奎斯特曲線起點(diǎn)：，，乃奎斯特曲線終點(diǎn)：，，從上面的計(jì)算結(jié)果可見，曲線起點(diǎn)在正實(shí)軸上(1，-j0)點(diǎn)，終點(diǎn)在原點(diǎn)。當(dāng)ω從0到∞時(shí)，相角從0o到-180o且單調(diào)遞減，實(shí)部由10負(fù)0-，虛部由0負(fù)0-，故終點(diǎn)從第3象限趨于原點(diǎn)且與負(fù)實(shí)軸相切，除原點(diǎn)外，乃奎斯特曲線與負(fù)虛軸必有一交點(diǎn)。令實(shí)部等于0，即解得乃奎斯特曲線與負(fù)虛軸的交點(diǎn)頻率ω=ωn=10，將ω=ωn=10代入虛部得即乃奎斯特曲線與負(fù)虛軸的交點(diǎn)為(0，-j1)。峰值點(diǎn)：，峰值點(diǎn)相角：根據(jù)以上分析可畫出Nyquist曲線如以下圖所示。-1-11-10Re[G(j)]Im[G(j)]Mr④解：幅頻特性：相頻特性：實(shí)頻特性：虛頻特性：乃奎斯特曲線起點(diǎn)：，，乃奎斯特曲線終點(diǎn)：，，從上面的計(jì)算結(jié)果可見，乃奎斯特曲線起點(diǎn)在正實(shí)軸上(1，j0)點(diǎn)，終點(diǎn)在在正實(shí)軸上(4，j0)點(diǎn)。當(dāng)ω從0到∞時(shí)，相角從0o正0o，實(shí)部由14且單調(diào)遞增，虛部由0正0，故除起點(diǎn)和終點(diǎn)外，乃奎斯特曲線與實(shí)軸和虛軸沒有其它交點(diǎn)。可以證明，當(dāng)ω從0到∞時(shí)，乃奎斯特曲線是一條以(2.5，0)為圓心，半徑為1.5的上半圓。其乃奎斯特曲線如下圖。-1-11234-1012Re[G(j)]Im[G(j)]⑤解：幅頻特性：相頻特性：實(shí)頻特性：虛頻特性：乃奎斯特曲線起點(diǎn)：，，乃奎斯特曲線終點(diǎn)：，，從上面的計(jì)算結(jié)果可見，曲線起點(diǎn)在第3象限(-3，-j∞)點(diǎn)，起點(diǎn)漸近線平行于負(fù)虛軸且過點(diǎn)(-3，j0)，終點(diǎn)在原點(diǎn)。當(dāng)ω從0到∞時(shí)，相角從-90o到-270o且單調(diào)遞減，實(shí)部由-30-且單調(diào)遞增，虛部由-∞0正0+，故終點(diǎn)從第2象限趨于原點(diǎn)且與正虛軸相切，乃奎斯特曲線與負(fù)實(shí)軸必有一交點(diǎn)。令虛部等于0，即解得乃奎斯特曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)頻率，將代入實(shí)部得即乃奎斯特曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)為(-0.4167，j0)。根據(jù)以上分析可畫出Nyquist曲線如以下圖所示。-3-3-2-1-5-4-3-2-10

Re(ω)Im(ω)ω→0ω=∞⑥解：設(shè)k＞0，T＞0，Re(0)=0，Im(0)=0，Re(∞)=k/T，Im(∞)=0，，所以，Nyquist曲線是一個(gè)圓心在〔k/(2T)，0〕，半徑為k/(2T)的半圓。00k/T0NyquistDiagramRe(ω)Im(ω)k/(2T)k/(2T)⑦⑧解：，，，，Re(ω)≤0，Im(ω)≥0-2-2-10×105-101×104NyquistDiagramRe(ω)Im(ω)-2-2-10-101NyquistDiagramRe(ω)Im(ω)⑨000NyquistDiagramRe(ω)Im(ω)⑩解：幅頻特性：相頻特性：實(shí)頻特性：虛頻特性：乃奎斯特曲線起點(diǎn)：，，乃奎斯特曲線終點(diǎn)：，，從上面的計(jì)算結(jié)果可見，曲線起點(diǎn)在正實(shí)軸上(1，j0)點(diǎn)，終點(diǎn)在正實(shí)軸上(0.4，j0)點(diǎn)。當(dāng)ω從0到∞時(shí)，相角從0o負(fù)0o正0o且單調(diào)遞減，實(shí)部由10.4且總是為正，虛部由0負(fù)0正0+，終點(diǎn)從第1象限趨于正實(shí)軸上(0.4，j0)點(diǎn)，故除起點(diǎn)和終點(diǎn)之外，乃奎斯特曲線與正實(shí)軸還有交點(diǎn)。令虛部等于0，即解得乃奎斯特曲線與正實(shí)軸的交點(diǎn)頻率，將代入實(shí)部得即乃奎斯特曲線與正實(shí)軸的交點(diǎn)為(0.1370，j0)。根據(jù)以上分析可畫出Nyquist曲線如以下圖所示。110Re(ω)Im(ω)0.137繪制以下各環(huán)節(jié)尼柯爾斯圖；解：②；③④；⑤⑥√為使題5-5圖所示系統(tǒng)的截止頻率ωb=100(rad·s-1)，T值應(yīng)為多少？圖題5-5解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 〔1〕閉環(huán)頻率特性為 〔2〕幅頻特性為 所以令解得 【注】如果要套用教材上的公式，那么在套用之前一定要先將傳遞函數(shù)或頻響函數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)的慣性環(huán)節(jié)表達(dá)式，確定時(shí)間常數(shù)，如上面公式〔1〕和〔2〕所示。此題慣性環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)為T/2，即截止頻率ωb=2/T?！淘O(shè)單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求閉環(huán)系統(tǒng)的Mr，ωr及ωb。解：?jiǎn)挝环错懴到y(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 那么前向傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為變成通用形式或由上面的式子可知靜態(tài)增益 K=10/11無(wú)阻尼固有角頻率 阻尼比 因阻尼比小于，所以幅頻特性存在峰值。所以相對(duì)諧振峰值：謝振頻率：截止頻率：設(shè)單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為；試確定K，使閉環(huán)系統(tǒng)的Mr＝1.4，同時(shí)求出ωr和ωb。【注】這里的Mr等同于Mmax?！?〕解法1：解析法開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為由上式可見，這是一個(gè)典型二階系統(tǒng)，其中 〔1〕 〔2〕將〔2〕式代入解得代入〔2〕式得將K值代入〔1〕式得諧振頻率 截止頻率 〔如果將Mr當(dāng)作相對(duì)諧振峰值，那么結(jié)果如下：〔0.9219舍掉〕，，，，〕解法2：圖解法K=1時(shí)的開環(huán)Nichols圖如以下圖下面的曲線所示。因要求Mr=1.4，20lgMr=3dB。由圖可見，K=1時(shí)閉環(huán)諧振峰值不能滿足這一要求，需要提高開環(huán)增益K，即需要將對(duì)數(shù)幅-相圖垂直向上平移到與3dB的等幅值軌跡相切。由圖測(cè)得，移動(dòng)距離為ΔL≈42dB，即20lgK=ΔL≈42dB，所以，開環(huán)增益需提高到對(duì)數(shù)幅-相圖與3dB的等幅值軌跡相切的切點(diǎn)頻率即為諧振頻率ωr，由圖測(cè)得ωr?s-1。截止頻率也可以由Nichols圖得到。由圖可見，ω=0時(shí)，閉環(huán)對(duì)數(shù)幅值約為-1dB，下降3dB，即-4dB等幅值軌跡與對(duì)數(shù)幅-相圖的交點(diǎn)頻率即為截止頻率。由圖測(cè)得截止頻率ωb≈17rad?s-1。NicholsChartNicholsChartOpen-LoopPhase(o)Open-LoopGain(dB)-360-315-270-225-180-135-90-450-100-90-80-70-60-50-40-30-20-100102030406dB3dB1dB0.5dB0.25dB0dB-1dB-3dB-6dB-12dB-20dB-40dB-60dB-80dB-100dBωr=10.5rad?s-1ωb=17rad?s-1ΔL=42dBK=1〔2〕解法1：圖解法K=1時(shí)的開環(huán)Nichols圖如以下圖上面的曲線所示。因要求Mr=1.4，20lgMr=3dB。由圖可見，K=1時(shí)閉環(huán)諧振峰值不能滿足這一要求，需要減小開環(huán)增益K，即需要將對(duì)數(shù)幅-相圖垂直向下平移到與3dB的等幅值軌跡相切。由圖測(cè)得，移動(dòng)距離為ΔL≈-1.8dB，即20lgK=ΔL≈-1.8dB，所以，開環(huán)增益需減小到對(duì)數(shù)幅-相圖與3dB的等幅值軌跡相切的切點(diǎn)頻率即為諧振頻率ωr，由圖測(cè)得ωr?s-1。截止頻率也可以由Nichols圖得到。由圖可見，ω=0時(shí)，閉環(huán)對(duì)數(shù)幅值約為0dB，下降3dB，即-3dB等幅值軌跡與對(duì)數(shù)幅-相圖的交點(diǎn)頻率即為截止頻率。由圖測(cè)得截止頻率ωb≈2.2rad?s-1。NicholsChartNicholsChartOpen-LoopPhase(deg)Open-LoopGain(dB)-360-315-270-225-180-135-90-450-40-30-20-100102030406dB3dB1dB0.5dB0.25dB0dB-1dB-3dB-6dB-12dB-20dB-40dBωr=1.73rad?s-1ωb=rad?s-1ΔL=dB解法2：解析法〔很麻煩〕開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)頻率特性幅頻特性 〔1〕令 得 〔2〕代入〔1〕式得解得〔用MATLAB〕K=0.8130〔(2)式取加號(hào)，取減號(hào)時(shí)K為復(fù)根〕K代入〔2〕得由〔1〕式得令解得〔用MATLAB〕截止頻率為√有以下最小相位系統(tǒng)，通過實(shí)驗(yàn)求得各系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性如題5-8圖，試估計(jì)它們的傳遞函數(shù)。圖題5-8圖題5-8100?60(a)解：〔a〕由圖中對(duì)數(shù)幅頻特性各段斜率可見，系統(tǒng)由一個(gè)比例環(huán)節(jié)、一個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有如下形式：(a)式中比例環(huán)節(jié)K〔靜態(tài)增益〕可由水平段線段確定，即解得 K=10T為漸近線轉(zhuǎn)角頻率的倒數(shù)，即T=1/10=0.1s將結(jié)果代入傳遞函數(shù)表達(dá)式中得(b)〔b〕由圖中對(duì)數(shù)幅頻特性各段斜率可見，系統(tǒng)由一個(gè)比例環(huán)節(jié)、二個(gè)慣性環(huán)節(jié)和一個(gè)一階微分環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有如下形式：(b)式中比例環(huán)節(jié)K〔靜態(tài)增益〕可由低頻漸近線〔水平線段〕確定，即解得 K=10時(shí)間常數(shù)Ti〔i=1，2，3〕為各對(duì)應(yīng)段漸近線轉(zhuǎn)角頻率的倒數(shù)，即T1=1/0.5=2sT2=1/0.05=20sT3=1/0.1=10s將結(jié)果代入傳遞函數(shù)表達(dá)式中得(c)〔c〕由圖中對(duì)數(shù)幅頻特性各段斜率可見，系統(tǒng)由一個(gè)比例環(huán)節(jié)、一個(gè)積分環(huán)節(jié)和一個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有如下形式：(c)式中比例環(huán)節(jié)K〔靜態(tài)增益〕可由低頻漸近線確定，即解得 K=50時(shí)間常數(shù)T為漸近線轉(zhuǎn)角頻率的倒數(shù)，即T=1/5=0.2s(d)(d)rad·s-1〔d〕由圖中對(duì)數(shù)幅頻特性各段斜率可見，系統(tǒng)由一個(gè)比例環(huán)節(jié)、一個(gè)積分環(huán)節(jié)和二個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有如下形式：式中比例環(huán)節(jié)K〔靜態(tài)增益〕可由斜率為?20dB/dec的低頻漸近線的延長(zhǎng)線與0dB線的的交點(diǎn)確定，即解得 K=50時(shí)間常數(shù)Ti〔i=1，2〕為各段漸近線轉(zhuǎn)角頻率的倒數(shù)，即T1=1/5=0.2sT2=1/50=0.02s將結(jié)果代入傳遞函數(shù)表達(dá)式中得(e)〔e〕由圖中對(duì)數(shù)幅頻特性各段斜率可見，系統(tǒng)由一個(gè)比例環(huán)節(jié)、一個(gè)振蕩環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有如下形式：(e)式中比例環(huán)節(jié)K〔靜態(tài)增益〕可由斜率為0dB/dec的低頻漸近線與橫軸的的交點(diǎn)確定，即解得 K=30振蕩環(huán)節(jié)的參數(shù)可根據(jù)振蕩環(huán)節(jié)幅頻特性曲線諧振頻率和諧振峰值點(diǎn)來(lái)確定。如果將增益K與振蕩環(huán)節(jié)一起考慮，那么阻尼比小于時(shí)的振蕩環(huán)節(jié)頻的幅頻特性的諧振峰值為所以解得 因?yàn)檎袷幁h(huán)節(jié)的幅頻特性有峰值，所以，所以取由 rad·s-1得 將上述結(jié)果代入傳遞函數(shù)表達(dá)式中得100(f)100(f)?60比例環(huán)節(jié)K〔靜態(tài)增益〕可根據(jù)對(duì)數(shù)幅頻特性斜率?20dB/dec的低頻漸近線的延長(zhǎng)線與0dB線相交處的頻率100來(lái)確定，即有得 振蕩環(huán)節(jié)的參數(shù)可根據(jù)振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性曲線的諧振頻率和諧振峰值點(diǎn)來(lái)確定。阻尼比小于振蕩環(huán)節(jié)幅頻特性的諧振峰值為由傳遞函數(shù)表達(dá)式可知，系統(tǒng)幅頻特性在振蕩環(huán)節(jié)諧振峰值點(diǎn)的幅值為所以 所以 所以 解得 因?yàn)檎袷幁h(huán)節(jié)的幅頻特性有峰值，所以，所以取由 rad·s-1得 將上述結(jié)果代入傳遞函數(shù)表達(dá)式中得或?qū)懗上到y(tǒng)的穩(wěn)定性復(fù)習(xí)思考題如何區(qū)分穩(wěn)定系統(tǒng)和不穩(wěn)定系統(tǒng)？判別系統(tǒng)穩(wěn)定與否的根本出發(fā)點(diǎn)是什么？勞斯－胡爾維茨判別系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是什么？乃奎斯特方法判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的根本原理和方法，為什么能用開環(huán)傳遞函數(shù)并結(jié)合開環(huán)乃奎斯特圖就可以判定閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位置？當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在虛軸上有極點(diǎn)存在時(shí)，如何處理對(duì)應(yīng)于極點(diǎn)處的乃奎斯特圖？當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在原點(diǎn)或虛軸上存在重極點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的乃奎斯特圖與無(wú)重極點(diǎn)的有什么不同？相位裕量和幅值裕量是如何定義的，在極坐標(biāo)和對(duì)數(shù)坐標(biāo)上如何表示？根軌跡是如何定義的？它應(yīng)滿足什么條件？根據(jù)哪些特征就能方便地畫出根軌跡的近似線？習(xí)題設(shè)(圖題6-1)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)，試判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定與否。圖題6-1G(圖題6-1G(s)R(s)C(s)+－解：方法1—利用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)特征方程為：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程系數(shù)符號(hào)相同，滿足勞斯判據(jù)必要條件，但系統(tǒng)是否穩(wěn)定還要看勞斯數(shù)列第一列元素的符號(hào)是否相同。勞斯數(shù)列為Routh表第一列元素均大于0。根據(jù)Routh判據(jù)的充要條件可知，該系統(tǒng)穩(wěn)定。方法2—利用胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)特征方程為