2021-2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市賓縣高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

202L2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市賓縣二中高二（上）第

一次月考數(shù)學(xué)試卷已知向量五=(3,-1),b=(1,-2),則一3五+2B=()2.A.(7,1)C2.A.(7,1)C.(-7,1)D.(7,-1)設(shè)a為平面，a，方為兩條不同的直線,則下列說(shuō)法正確的是（）3.A.若3.A.若a〃a,b//a,則a〃bC.若aJ.a,a//b,則b1a已知點(diǎn)2(1,-1,2),B(2,-l,l),值為()B.若ala,alb,則b〃QD.若a〃b,且a〃訪則b〃Q0（332）,又點(diǎn)P（%,7,—2）在平面43。內(nèi)，則x的4.5.A.11B.9D.-4已知平面Q內(nèi)的兩個(gè)向量2=（4.5.A.11B.9D.-4已知平面Q內(nèi)的兩個(gè)向量2=（1,1,1）,b=（0,2,-1）,且』=ma+nb+（4,-4,1）,若了為平面a的法向量，則〃的值分別為（）1,—21,2已知一組數(shù)據(jù)與，X2,--馬的平均數(shù)為2,…，2與+1的平均數(shù)或與方差S2分別為（）方差為3,則數(shù)據(jù)2與+1,2小+1，A.x=4,s2=12B.x=2,s2=12x=5,s2=12D.x=5,s2=76.若空間四邊形A8CD中，AB=CD,48與CD所成角為90。，E、尸分別是BC、AD6.中點(diǎn)，則E尸與A8所成角大小為（）30°45°60°90°30°45°60°90°7.8.則實(shí)數(shù)k的值為（）7.8.則實(shí)數(shù)k的值為（）D.--2出Ci己知向量五=（2,0）,b=（1,2）,若向量k五一方與五+2亍垂直,A.-sK--如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體4BCD-&B1GD1中，E為8c的中點(diǎn)，點(diǎn)P在底面A8CD上移動(dòng)，且滿足1DrE,則線段BiP的長(zhǎng)度的最大值為（）A.延5B.2C.2y[2D.39.已知a,b是兩條直線，a,夕是兩個(gè)平面，則下列說(shuō)法中正確的序號(hào)為（）A.若a〃b,baa,則直線a就平行于平面a內(nèi)無(wú)數(shù)條直線B.若a〃氏qua,bu（3,則〃與b是平行直線C.若a〃夕，aca,則a〃夕D.若afln=b,aua,則a與0一定相交10.已知甲、乙兩名同學(xué)在高三的6次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖，則下列說(shuō)法正確的是()A.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為五，x2,則看〉石B.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，，s2則C.甲成績(jī)的極差小于乙成績(jī)的極差D.甲成績(jī)比乙成績(jī)穩(wěn)定11.己知空間三點(diǎn)4(一1,0,1),8(—1,2,2),C(-3,0,4),則下列說(shuō)法正確的是()A.ABAC=3 B.AB//ACC.\BC\=2y[3 D.cos<AB,12.如圖，在正方體ABC。一 中，點(diǎn)尸，。分別是棱BBr上異于端點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DQ=BP,則下列說(shuō)法正確的是() '''] !BATOC\o"1-5"\h\zA.三棱錐C-APQ的體積為定值 任B.對(duì)于任意位置的點(diǎn)P,平面AP。與平面必8心。1 \XC所成的交線均為平行關(guān)系 以/DC.NPAQ的最小值為gD.對(duì)于任意位置的點(diǎn)P,均有平面4PQ1平面4GC4.已知A4BC中，A=45°,a=2,b=V2,那么4B=..已知一組數(shù)據(jù)一3,2a,4,5-a,1,9的平均數(shù)為3(其中aeR),則中位數(shù)為.已知點(diǎn)4(-1,1,0)，8(120),C(-2,-l,0),D(3,4,0),則而在話上的投影向量的長(zhǎng)度為..已知球面上三點(diǎn)A,B,C滿足4B=3,BC=4,AC=5,且球心到平面ABC的距離為6,則球的表面積為..如圖，已知四棱錐P-4BCC的底面4BCO是菱形，PA_L平面ABC。，點(diǎn)F為PC的中點(diǎn).(1)求證：PA〃平面8。尸；(2)求證：PC1BD..已知△ABC的內(nèi)角A、B,C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且cos"=l-cosA.(團(tuán))求角A的值.(回)若A/IBC的面積為3百，且b+c=7(b>c),求a的值..如圖，在邊長(zhǎng)是2的正方體ABC"中，E,尸分別為A8,&C的中點(diǎn).(團(tuán))求異面直線EF與CD1所成角的大小.(0)證明：七/_1_平面4仔。..△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且bcosC+ccosB=2acos4(1)求角4的大?。?2)若a=2,求△ABC面積的最大值..某種零件的質(zhì)量指標(biāo)值以分?jǐn)?shù)(滿分100分)來(lái)衡量，并根據(jù)分?jǐn)?shù)的高低劃分三個(gè)等級(jí)，如表：分?jǐn)?shù)XXV9292<X<9696<X<100等級(jí)不合格合格優(yōu)秀為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)運(yùn)t程，檢驗(yàn)員隨機(jī)抽取了100件零件，進(jìn)行質(zhì)量指標(biāo)值檢查，將檢查結(jié)果進(jìn)行整理得到如下的頻率分布直方圖：(1)若該生產(chǎn)線的質(zhì)量指標(biāo)值要求為：第一條：生產(chǎn)線的質(zhì)量指標(biāo)值合格和優(yōu)秀的零件至少要占全部零件的75%；第二條：生產(chǎn)線的質(zhì)量指標(biāo)值平均分不低于95分.如果同時(shí)滿足以上兩條就認(rèn)定生產(chǎn)線的質(zhì)量指標(biāo)值合格，否則為不合格，請(qǐng)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，判斷該生產(chǎn)線的質(zhì)量指標(biāo)值是否合格？(2)在樣本中，按質(zhì)量指標(biāo)值的等級(jí)用分層抽樣的方法從質(zhì)量指標(biāo)值不合格和優(yōu)秀

的零件中抽取5件，再?gòu)倪@5件中隨機(jī)抽取2件，求這兩件的質(zhì)量指標(biāo)值恰好一個(gè)不合格一個(gè)優(yōu)秀的概率..如圖，在直三棱柱4BC-&B1C1中，。為棱的中點(diǎn).(@)證明：4W〃平面86。：(@)若G。，A/1，且GD=：AiBi，AC=V2,44i=l,求二面角B-CD-Q的正弦值.答案和解析.【答案】B【解析】解：va=(3,-1),b=(1,-2),???-3a=(-9,3),2b=(2,-4),?.-3a+2b=(-9+2,3-4)=(-7,-1).故選：B.本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可..【答案】C【解析】解：設(shè)a為平面，a,6為兩條不同的直線，對(duì)于A,若a〃a,b//a,則。與方相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于8,若a1a,alb,則b〃a或bua,故8錯(cuò)誤；對(duì)于C,若a1a,a//b,則由線面垂直的判定定理得b1a,故C正確；對(duì)于。，若a〃匕，且a〃a,則b〃a或bua,故。錯(cuò)誤.故選：C.對(duì)于A,a與b相交、平行或異面；對(duì)于B,b〃a或bua；對(duì)于C,由線面垂直的判定定理得bJ.a：對(duì)于。，b//a或bua.本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，是基礎(chǔ)題..【答案】B【解析】解：因?yàn)辄c(diǎn)4(1,-1,2),B(2,-1,1),C(3,3,2),P(x,7,-2),則而=(x-1,8,-4),AB=(1,0,-1),而=(2,4,0),因?yàn)辄c(diǎn)P(x,7,—2)在平面ABC內(nèi)，則方=aAB+bAC,所以(x-1,8,-4)=a(l,0,-l)+6(2,4,0),儼-1=q+2b貝力8=0+4b ,解得x=9.-4=-Q4-0故選：B.由題中點(diǎn)的坐標(biāo)，先求出而，而，正的坐標(biāo)，然后利用空間向量的共面定理，列式求解即可.本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，空間向量共面定理的理解與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.TOC\o"1-5"\h\z【解析】解：=(1,1,1),b=(0,2,-1),t t T???c=mq+nb+(4,—4,1)=(m,m,m)+(0,2n,—n)+(4,—4,1)=(m4-4,m4-2n—4,m—n4-1).由了為平面a的法向量，得g.5=3m+n+l=0 =-1(cb=m+5n—9=0 5=2故選：A.由已知利用向量的數(shù)乘與加法運(yùn)算求得乙再由數(shù)量積為0列方程組求解機(jī)與〃的值.本題考查向量的數(shù)乘與加法運(yùn)算，考查平面法向量的求法，是基礎(chǔ)題..【答案】C【解析】解：由題意，；，=生汽二±±=2,s'?=；￡上式々一J)2=3,_2X1+1+2X2+1+ +2Xy|+ln=2.必+如+……+%+1=2?2+1=5,nn ns2=?W(2Xj+1—x)2=?W(2%i+1-2x'-l)2i=l i=l=：Nki(Xi—/)2=4x3=12,故選：C.由平均數(shù)及方差的定義寫出原數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差，再寫出新數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差公式,化簡(jiǎn)即可.本題考查了平均數(shù)及方差的定義，同時(shí)考查了化筒運(yùn)算的能力，屬于中檔題..【答案】B【解析】解：取AC的中點(diǎn)G,連接EG,FG,則EG〃AB,GF//DC,且由ZB=CD知EG=FG,C所以NGEF(或它的補(bǔ)角)為EF與AB所成的角，△EGF(或它的補(bǔ)角)為C。與A8所成的角，因?yàn)锳B與CQ所成角為90。，所以4EGF=90。,所以AEFG為等腰直角三角形，??/GEF=45。，故EF與A8所成角的大小為45。.

故選：B.取AC的中點(diǎn)G,連接EG,FG,貝i]EG〃AB,GF//DC,NGEF(或它的補(bǔ)角)為E/與48所成的角，求解即可.本題考查異面直線所成的角，注意分類討論的應(yīng)用，屬中檔題..【答案】B【解析】解：a=(2,0)?b=(1,2),.ka=(2k,0),2b=(2,4),ka-b=(2/c-l,-2),a+2b=(4,4),.,向量-方與五+2方垂直，??(fca-b)?(a+2d)=4(2k-1)+(-2)x4=0,即2k—3=0,解得k=1故選：B.根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量垂直的性質(zhì)，即可求解.本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題..【答案】D【解析】【分析】本題考查線段長(zhǎng)的最大值的求法，涉及向量模的計(jì)算,二次函數(shù)最值，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用，是中檔題.以。為原點(diǎn)，D4為x軸，。(7為丫軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出線段的長(zhǎng)度的最大值.【解答】解：以。為原點(diǎn)，D4為x軸，0c為)，軸，DC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)P(a,b,0)(a20涉20), (0,0,2),E(l,2,0), (2,2,2),聒=(a-2,b-2,-2),D^E=(1,2,-2),B]P_LDjE, B^P?D^E=a—2+2(b—2)+4=0,???a+2b—2=0,由Q=2-2bN0,得OWbWl,|麗=V(a-2)2+(Z?-2)2+4=V5b2-4b+8=(5(6-|)2+y,當(dāng)匕=0時(shí)，|造|=2伍當(dāng)b=1時(shí)，|瓦?|=3,當(dāng)b 時(shí)，|瓦?|=卓，由二次函數(shù)性質(zhì)可得|瓦司G[第,3],.??線段B】P的長(zhǎng)度的最大值為3.故選D..【答案】AC【解析】解：a,b是兩條不重合的直線，a,夕是兩個(gè)不重合的平面，對(duì)于4,若a〃b,bua,則直線a與平面a內(nèi)與6平行的無(wú)數(shù)條直線都平行，故A正確；對(duì)于B,若《7/0,aua,buB，則a與。是相交、平行或異面，故8錯(cuò)誤；對(duì)于C,若a〃氏aua,則由面面平行的性質(zhì)得a〃夕，故C正確；對(duì)于。，若aD0=b,aua,則a,6相交或平行，故。錯(cuò)誤.故選：AC.對(duì)于4,直線a與平面a內(nèi)與6平行的無(wú)數(shù)條直線都平行；對(duì)于B,。與人是相交、平行或異面；對(duì)于C,由面面平行的性質(zhì)得a〃0；對(duì)于。，a,b相交或平行.本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，是中檔題..【答案】ACD【解析】解：對(duì)于A,由折線圖可知，甲同學(xué)除第二次考試成績(jī)略低于乙同學(xué)，其他次考試成績(jī)都高于乙同學(xué)，所以兀〉石，故選項(xiàng)4正確：對(duì)于BD,由折線圖的變化趨勢(shì)可知，甲同學(xué)的成績(jī)比乙同學(xué)的成績(jī)穩(wěn)定，所以“<sj,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)。正確；對(duì)于C,極差為數(shù)據(jù)樣本的最大值與最小值的差，所以甲同學(xué)成績(jī)的極差小于乙同學(xué)成績(jī)的極差，故選項(xiàng)C正確，故選：ACD.根據(jù)折線圖，結(jié)合平均數(shù)、方差、極差的定義，逐個(gè)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.本題主要考查了統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用，考查了平均數(shù)、方差、極差的定義，屬于基礎(chǔ)題..【答案】AC【解析】解：???4(-1,0,1),B(-l,2,2),C(-3,0,4),AB=(0,2,1),AC=(-2,0,3),BC=(-2,-2,2),AB-AC=Ox(-2)+2x04-1x3=3,故A正確，不存在實(shí)數(shù)人使得而=4前，故荏，前不共線，故B錯(cuò)誤，\BC\= 2/+(-2)2+22=2V3,故C正確，3〈屈，而"第=備=^,故0錯(cuò)洪故選：AC.由4,B,C坐標(biāo)分別求出荏，AC,BC,即可依次求解.本題主要考查空間向量的相關(guān)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題..【答案】BD【解析】解：對(duì)于A,VD_APQ=VP_ADQ,AACQ面積不定，而P到平面ADQ的距離為定值A(chǔ)B,；?力-apq不是定值，故A錯(cuò)誤：對(duì)于8,由于PQ〃平面48傳1。1，則經(jīng)過(guò)直線P。的平面APQ與AiBiGA的所有交線均與PQ平行，根據(jù)平行的傳遞性，可得所有的交線也平行，故8正確；對(duì)于C,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,PB=DQ=aE(0,1),則4P=AQ=y/a2+1,PQ=y/2,rn.i r*A八Q2+l+O2+l—2 a2. 1,八1、則COS4Pg2(a2+1)-=K=1-亞S),MQ6故C錯(cuò)誤;對(duì)于。，由題意得直線PQ與平面A1GC4垂直，對(duì)于任意位置的點(diǎn)P,均有平面4PQ1平面41cle4故。正確.故選：BD.對(duì)于4,VD_APQ=VP_ADQ,aADQ面積不定，從而不是定值；對(duì)于B,PQ〃平面為B1C1D1，經(jīng)過(guò)直線尸。的平面APQ與41B1G&的所有交線均出PQ平行，根據(jù)平行的傳遞性，可得所有的交線也平行；對(duì)于C,LPAQ6(p^)：對(duì)于。，由題意得直線P。與平面AiGCA垂直，從而平面4PQ_L平面&C1C4本題考查命題真假的判斷，涉及到空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是中檔題..【答案】O【解析】解：AABC中，A=45°,a=2,b=近,利用正弦定理：3=上，s\nAsinB解得：sinF=I，所以：B=看或等由于：a>b>故：A>B故：B=3,故答案為：p直接利用正弦定理，求出B的值，進(jìn)一步判定三角形解的情況.本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用，三角形解的情況分析，屬于基礎(chǔ)題型..【答案】3.5【解析】【分析】本題主要考查了求解一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及中位數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.先由平均數(shù)公式求出4,進(jìn)而可求中位數(shù).【解答】解：由題意得，-3+2a+4+5-a+l+9=3x6=18,故a=2,數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為-3,1,3,4,4,9,故中位數(shù)券=3.5.故答案為：3.5..【答案】當(dāng)【解析】【分析】本題考查了空間向量投影的理解與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握空間向量投影的定義，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.利用空間向量投影的定義求解即可.【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)4(-1,1,0),B(l,2,0),C(-2,-l,0),D(3,4,0),所以而=(2,1,0),CD=(5,5,0),則荏在而上的投影向量的長(zhǎng)度為鬻=V篝=—.\CD\V25+25 2故答案為：當(dāng)..【答案】1697r【解析】解：由題意48=3,BC=4,AC=5,得N4BC=90。，球心到平面ABC的距離為6,正好是球心到AC的中點(diǎn)的距離，所以球的半徑R=肉百號(hào),則球的表面積4ttR2=47rx竺^=169tt,4故答案為：1697r.由題意可知三角形ACB是直角三角形，球心到平面A8C的距離為6,可求出球的半徑，然后求球的表面積.本題考查球的內(nèi)接體問(wèn)題，考查學(xué)生空間想象能力，是中檔題..【答案】證明：（1）連接AC,80與AC交于點(diǎn)0,連接OF.「ABCD是菱形，。是AC的中點(diǎn).???點(diǎn)尸為尸C的中點(diǎn)，OF//PA....ofu平面BDF,PAC平面BDF,P4〃平面（2）vPA1平面ABCD,PA1BD.又?.?底面ABCD是菱形，BD1AC.又=PA.ACPAC,BD1平面PAC.又???PCu平面PAC,:.PC1BD［解析］（1）設(shè)BO與4c交于點(diǎn)O,利用三角形的中位線性質(zhì)可得0F〃P4,從而證明PA〃平面BDF.（2）由PAJ_平面A8CO得P4BC,依據(jù)菱形的性質(zhì)可得8。14C,從而證得BD1平面PAC,iirfuPC1BD.本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，直線與平面垂直的判定、性質(zhì)的應(yīng)用，取8。與AC交于點(diǎn)O,是解題的突破口.18.【答案】解：（回）由cos匕蛆=1一cosA,^cos（---）=1—cos4,BPsin-=2sin2sin-H0,2.A1asin-=2 2又*M），A-==,故A2 6 3（團(tuán)）由448c面積S=-bcsinA=-bex—=3^3,得be=12,又b+c=7（b>c）,.??b=4,c=3,由余弦定理M=b2+c2-2bccosA=16+9—2x4x3x-=13,aa=V13.【解析】（回）由三角形內(nèi)角和為tt去掉B+C,二倍角公式化簡(jiǎn)可得sinT=%從而求出.n4=王（團(tuán)）代入三角形面積公式可得be=12,結(jié)合條件解出b,C,余弦定理求a.本題主要考查了三角形的面積公式，余弦定理,三角函數(shù)恒等變換在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題..【答案】解：(回)建立以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DDi分別為x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：則。(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),4式2,0,2),為(0,0,2),"E,/分別為AB,41c的中點(diǎn)，則前=(-1,0,1),E=(0,-2,2),則罰―E=2,|EF|=V2,| |=V4T4=V8=2y/2,則"前西”踴=—即〈前，可>=；,即異面直線EF與CD1所成角為((團(tuán))證明：西=(2,0,2),DC=(0,2,0),則方■西=(-1,0,1)-(2,0,2)=-2+2=0,~EFDC=(-1,0,1)(0,2,0)=0,即前_L萬(wàn)小~EF1DC,則EFJ.DA1，EF1DC,"DA^DC=D,ZMi,DCu平面4CD,EF_L平面AiCC.【解析】本題主要考查空間線面垂直關(guān)系的判定，以及空間異面直線所成角的求解，建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)用向量法是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.（團(tuán)）建立坐標(biāo)系求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法進(jìn)行求解即可解、（助求出坐標(biāo)，利用直線垂直與向量數(shù)量積的關(guān)系結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可..【答案】解：（1）由正弦定理知，= =、 ???hcosC+ccosB=2acosA,

???sinFcosC+sinCcosB=2sin4cos4,:.sin(F4-C)=sinA=2sin4cos/l,ivsin71W0,acosA=2vAE(0,if),.%A=(2)由余弦定理知，cosA=^~a2>1、2bc-4-N ，22bc???be<4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，等號(hào)成立,??.△??.△ABC的面積S=-be-sin4<-x4xsin-2故44BC面積的最大值為次.=V3,【解析】(1)利用正弦定理將已知等式中的邊化角，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式，推出cos4=點(diǎn)從而得解；(2)結(jié)合余弦定理和基本不等式，可得be44,再由S=[be?sinA,得解.本題主要考查解三角形，還運(yùn)用了基本不等式，熟練掌握正弦定理、三角形面積公式和余弦定理是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.21.【答案】解：⑴利用頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)X292的概率為(0.100+0.150+0.125+0.025)x2=0.8>0.75,89X0.025X2+91x0.075x2+93X0.1X2+95x0.15X2+97x0.125X2+99x0.025x2=94.4<95.二不合格.(2)利用頻率分布直方圖可得不合格件數(shù)：(0.025+0.075)x2x100=2件，優(yōu)秀件數(shù)：(0.125+0.025)x2