華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析第4版下冊知識點總結(jié)筆記課后答案

第12 章數(shù)項級數(shù)12.1 復(fù)習(xí)筆記一、級數(shù)的收斂性II級數(shù)的走義S=f如存在極限值sr即HmSr=.Sr，S｛S“｝創(chuàng)重要走理(1)級數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則工叫收斂mN(NWN+),當(dāng)m>N時以及又寸0p(pWN+)，都有r r (2)如果級數(shù)Zun^￡vn都收斂則對任意常數(shù)c,d級數(shù)工(cun+dvn)r r 》(*+嘰)=c》冷加工耳(3)改變級數(shù)的有限個項不改變級數(shù)的斂散性。(4)在收斂級數(shù)的項中任意加括號

不改變其收斂性與和。r二、正項級數(shù)Q正項級數(shù)收斂性的一般判別原則正項級數(shù)工％收斂O｛S,J有界。*和工□是兩個正項級數(shù)r3N(NGN*)r使得對％>N都有un<vnr則①若8n收斂，則工g也收斂。②若?1?發(fā)散,則工口也發(fā)散。(3)&=工*和S"=工V"則0v1v+1級數(shù)siS"同斂散。10且級數(shù)S"S，也收斂。10C且級數(shù)S"發(fā)散，級數(shù)S也發(fā)散。Q比式判別法和根式判別法(1) 比式判別法設(shè)工*為正項級數(shù)，且存在正整數(shù)N()及常數(shù)q(0<q<l)，則①若對任意n>No,SPWun+1/un<q,則工％收斂。②若對任意n>No,都有5+]/11診1,則》i.發(fā)散。(2)比式判別法的極限形式若Xw為正項級數(shù),且,則①若qV1,則工Un收斂。②若q1或q=+oo,則工片發(fā)散。③若q1則無法判斷工叫的發(fā)散性。根式判別法設(shè)工g為正項級數(shù),且存在正整數(shù)N()及正常數(shù)1,①若對任意①若對任意n>N(”都有阪5*1,則工％收斂。②若對任意n>N(八都有甌2Z，則》叫發(fā)散。g7,則①若1v1,則》Un收斂。②茍>1,則工發(fā)散。③若1=1,則無法判斷工％的發(fā)散性。積分判別法設(shè)偽[1,+00)上非負減函數(shù)，那么正項級數(shù)工f(D)與反常積分「/(.丫阻同斂散。三、一股項級數(shù)n交錯級數(shù)萊布尼茨判別法若交錯級數(shù)滿足：①｛切｝單調(diào)遞減；②丘巴耳=o，則級數(shù)收斂。絕對收斂級數(shù)及其性質(zhì)(1)若級數(shù)工UJ收斂，則工％為絕對收斂級數(shù)。(2)絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)①絕對收斂級數(shù)一走收斂，但反之卻一股不成立,原級數(shù)收斂而不絕對收斂的情況，稱為條件收斂。②級數(shù)的重排:設(shè)級數(shù)絕對收斂，且冥和等于S,則任意重排后所得到的級數(shù)也絕對收斂，且有相同的和數(shù)。阿貝爾判別法和狄利克雷判別法阿貝爾判別法若｛“｝為單調(diào)有界，且工\訂收斂，則級數(shù)工收斂。｛%｝單調(diào)遞減且ULO,工V"12.2 課后習(xí)題詳解§1級數(shù)的收斂性H證明下列級數(shù)的收斂性，并求其:(1)-^―+—-—+—-—十…+ 1?66-1111-16 (5“一4)(5"+1)(2)-*2(￡-*)-1(3)y----------!------臺M(W+1XW+2)(4)工〔缶+2 +]+亦)y2n-l證明:(1)=—+++???+ 1-66111116 (5”-4X5/2+1)弓(T

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=i(l)5 5/2+1limS,.=lim-(l-—-—)=-”十宀《＞5 5z?+l5所以原級數(shù)收斂，且和數(shù)S=1/50(2)故原級數(shù)的前n項和

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11n1S”=2S；_石歹=2(2-戸丁)_(1-歹)EmS?=3,所以原級數(shù)收斂且和數(shù)S=3。證明：若級數(shù)工叫發(fā)散，c#),則工cu“也發(fā)散。z 證明：假設(shè)工仙收,因GO 故級數(shù)(CU)/C=IX收斂，這與題設(shè)工％發(fā)散矛盾所以若工叫發(fā)散工z r r也發(fā)散(C=0)0設(shè)級數(shù)工g與級數(shù)工'I都發(fā)散，試問工(Un+Vn)一走發(fā)散嗎？又若5與％(數(shù)，則能得出什么結(jié)論？解：(1)當(dāng)昭與》-i)Mvn=-i)n+,兩級數(shù)均J§zUnvn)=Z0O,即工(un+vn)收斂。又如/工叫=工Vn=￡l/nf兩級數(shù)均發(fā)散,且工(un+vn)=》2/n發(fā)散。(2)當(dāng)Un與Vn(n=l,2,...)均非負時,則K(Un+Vn)—￡>0,對任意N總存在自然數(shù)m(m>N)和p使IUfn+1+Um+2+…+ +pI—q與V"n=12f...)非負有(Um+1+vm+1)+(Um+2+vm+2)+…+(+p+vm+p)I~I+1++2+…++pI+I'm*1+vm+2+ +vm+pI—￡由柯西準(zhǔn)則知》(Un+Vn)發(fā)散。證明：若數(shù)列｛aj收斂于a『則級數(shù)_%.)二勺?=：證明：級數(shù)的前n項和Sn二(aja2a3anan+l證明：若數(shù)列｛aj收斂于a『則級數(shù)_%.)二勺?=：吊I(溫 2-l/bn￡( )一 三 ) b爭)爭3 憩雪H母

(1)爆8M(-勞b_訓(xùn)勞*旦&歹))血5? 建 一7 。 ?5音炷 i 卩音M "((X一、p…limXa8FtI)HKMlim(aa(3) (一心 M 亍

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)133 —1解：（1）(d+n-1)(。+??)a+”一1a+H&n=1/an1r則a〕=1/a$=04l/a0(2)

,、 z、—?i,、 z、—?(7-―-=(-1)———心+1)力(刃+1)=(-11nn1一(7+(-1)小亠n〃+1=-[(-1廣(?1嚴(yán)]n M-rlf記對=(-1)%則ft=-I h叫4=0r由第4題可得，原式-（-I）-O=l0巧一fr記》=n2+1■貝U

2卄1 _ 1 1(/+1)((?:+1)2+1] /+1(H+1)2+1limb =+”/=25=1/2。

i刀 -1應(yīng)用柯西準(zhǔn)則判別下列級數(shù)的斂散性。(1)Zsin2n/2n0—2“?(3)Z(-1)%。⑷XP sillpk=l|sin2P sillpk=l|sin2十1k=l又^±=0r從而任給的￡>o,存在NGZ+r當(dāng)m>N時,對任意的正整數(shù)P,有2由柯西準(zhǔn)則得原級數(shù)收斂。（2）當(dāng)p二1時，1^11-1產(chǎn)（加+1）：2（川+1）2

二（〃心1）2二1二2（也+1）2+（加+1）2一3由柯西準(zhǔn)則知原級數(shù)發(fā)散。（3）任給的自然數(shù)P（不管是奇數(shù)還是偶數(shù)）,1 1 1_m+1〃？+2w-31111 《1= + +…+（—1Y 加+1w-r2w+37刃+4 m^p1,111

/心1 、（T（一1）--）w+1加+2+3w4 m+p故任給的正數(shù)￡0取N二[1/s]r當(dāng)m>N時及任意的自然數(shù)pf由柯西準(zhǔn)則知原級數(shù)收斂。（1）當(dāng)p=m時

V, <=:J（“?+?）+

M 1Z』（7"+上）+（加+氐）, K=1（加+力）：^2（w+w）2加二1齢在，對任意正數(shù)N，總存在齢在，對任意正數(shù)N，總存在m二N1及P二m使ZJo”ZJo”十?)+(加十￡)?

<=1證明級數(shù)》叫收斂的充要條件是：任給正數(shù)￡,存在某正整數(shù)N,對一切n>N總有IUN+4+]+…+Un|<￡?證明：充分性任給正數(shù)￡,存在正整數(shù)N,對一切n>N,總有IUN+UN+1+…+Un|<2/當(dāng)然對n>m>N的m有|UN+UN+i+???+從|<￡。從而Ium+1+um*2+??-+unIIN+uN+lUn)?(UNUNUmI+丨UN+UN+1+…+un|<2e

)|<|UN+U^+1+...+由柯西準(zhǔn)則知級數(shù)工％收斂。必要性若級數(shù)Dn收斂，由柯西準(zhǔn)則知對任給正數(shù)￡,存在自然數(shù)M，當(dāng)n>m>M時，IUm+1+Um+2+...+unI<s,特別地,取N>Nj+1,則對任意n>Nf有IUN+UN+1+…+UnI<e<>舉例說明