《數(shù)學分析續(xù)論》教學大綱

PAGEPAGE13《數(shù)學分析續(xù)論》教學大綱《數(shù)學分析續(xù)論》教學大綱數(shù)學分析"是數(shù)學系本科生一門重要的基礎課，恰當?shù)牧曨}配置和解題指導是幾何、常微分方程等一門學科．輔導怎樣"答"題的同時，還通過"敲條件，舉反例""""提問題"．設置本課程的目的是：一方面使學生學好作為數(shù)學基礎的數(shù)學54學時，33個課時．.社．20045月．教學手段：課堂講授為主，習題課，試卷為輔考核方法：閉卷書面考試教學進程安排表周次學時數(shù)132333435363738393103113123133143153163173183193203第一章不等式

教學主要內(nèi)容介紹不等式的各種求解方法：初等方法，導數(shù)方法，強調(diào)積分方法．講解北京大學考研試題一套．介紹求極限的簡單方法：定義法，幾何比率方法和單調(diào)有界方法．講解北京大學考研試題一套．介紹求極限的高級方法：Stocks公式，極限與其它知識混合問題的求解方法．講解北京大學考研試題一套．討論連續(xù)函數(shù)的有關性質(zhì)．講解北京大學考研試題一套．討論一致連續(xù)函數(shù)的有關性質(zhì)．講解北京大學考研試題一套．導數(shù)的定義和計算，講解北京大學考研試題一套．用常微分方程求解方法證明 Lagrange一類問題的求解．講解中科大考研試題一套．討論有關多項式一類問題的求解方法．講解中科大考研試題一套．極值問題，討論了二次規(guī)劃的求解方法．講解中科大考研試題一套．介紹級數(shù)的有關性質(zhì)及其證明方法．講解中科大考研試題一套．，TaylorFouier級數(shù)．講解中科大考研試題一套．基于定積分性質(zhì)的證明．講解中科大考研試題一套．多元函數(shù)的性質(zhì)，講解中科院考研試題一套．積分交換，講解中科院考研試題一套．基于對稱性的積分求解方法，講解中科院考研試題一套．實變和泛函分析有關題目，講解中科院考研試題一套．（一套．講解考研試題兩套講解考研試題兩套講解考研試題兩套

教學方法相結合相結合相結合相結合相結合相結合相結合相結合相結合相結合相結合相結合相結合相結合相結合相結合相結合相結合相結合相結合一、學習目的,不等式的Lagrange明不等式．對涉及到Taylor級數(shù)展開式的不等式證明將在后面介6學時．二、課程內(nèi)容§1.1數(shù)學歸納法在證明含有自然數(shù)的不等式中，數(shù)學歸納法是首先考慮到的證明方法．§1.2初等證明方法單的形式，對問題的解決會有意想不到的結果．§1.3Lagrange中值定理Lagrange熟悉．§1.4積分證明的另一種重要的證明方法．三、重點、難點提示和教學手段（一）重點、難點1、數(shù)學歸納法；2、初等證明方法；3、Lagrange中值定理；4、積分．（二）教學手段四、思考與練習（注：思考與練習的形式有教師自行確定）一、學習目的,本章介紹各種求極限的方法,希望能加強讀者對極限的理解.在這里我們將數(shù)列和函數(shù)的極限一起討論,包含函數(shù)連續(xù)性的證明．通過本章的學習，熟練掌握求極限的幾種簡單方法：定義法，幾何比率方法，單調(diào)有界方法，Stocks6二、課程內(nèi)容§2.1幾何數(shù)列對于一般由遞推公式給出的數(shù)列,我們可以求出的解,然后證明數(shù)列是比率小于1的幾何數(shù)列來證明.利用幾何級數(shù)的比率小于1來證明級數(shù)收斂是一個非常有效,且也是簡單的方法．§2.2夾逼定理利用夾逼定理來求極限的關鍵是尋求數(shù)列的上下界,然后證明數(shù)列的上下界收斂到同一個數(shù)值．§2.3單調(diào)有界有極限定理利用單調(diào)有界有極限定理求極限．§2.4Taylor級數(shù)利用函數(shù)的Taylor級數(shù)展開式求極限也是一種有效的方法,特別對一些問題,利用一般的夾逼方法是無效的情形．§2.5Stocks公式利用Stocks三、重點、難點提示和教學手段（一）重點、難點1、幾何數(shù)列；2、夾逼定理；34、Taylor級數(shù)；5、Stocks公式．（二）教學手段四、思考與練習（注：思考與練習的形式有教師自行確定）一、學習目的6學時．二、課程內(nèi)容§3.1連續(xù)函數(shù)的有關性質(zhì)熟練掌握連續(xù)函數(shù)的幾種性質(zhì)．熟練應用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)解題．§3.2一致連續(xù)函數(shù)的有關性質(zhì)質(zhì)．三、重點、難點提示和教學手段（一）重點、難點1、連續(xù)函數(shù)的有關性質(zhì)；2、一致連續(xù)函數(shù)的有關性質(zhì)；3、連續(xù)函數(shù)和一致連續(xù)函數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別．（二）教學手段四、思考與練習（注：思考與練習的形式有教師自行確定）第四章級數(shù)一、學習目的數(shù)的基本性質(zhì)，Gauchy收斂法則．正項級收斂判別法：比較法、比6學時．二、課程內(nèi)容§4.1數(shù)項級數(shù)熟練掌握級數(shù)的收斂性、級數(shù)的和的概念，收斂級數(shù)的基本性質(zhì)，Gauchy的阿貝爾判別法與狄里克勒判別數(shù)法．絕對收斂級數(shù)的重排定理．§4.2函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)熟練掌握函數(shù)列與函數(shù)項級的收斂與一致收斂概念．一致收斂的Gauchy優(yōu)級數(shù)判別法，函數(shù)列極限函數(shù)與函數(shù)項級數(shù)和的連續(xù)性、逐項可積性與逐項可微性．§4.3冪級數(shù)等函數(shù)的泰勒展開；近似計算（e,л的近似計算與e的無理性證明．§4.4Fouier級數(shù)熟練掌握三角級數(shù)．三角函數(shù)系的正交性．傅立葉級數(shù)．奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅立葉級數(shù)．以2Π為周期的函數(shù)的傅立葉級數(shù)的收斂性定理．按段光滑且以2Π為周期的函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)的收斂性定理．§4.5Taylor級數(shù)熟練掌握TaylorTaylor（皮亞諾型與拉格朗日型一些初等函數(shù)的Taylor級數(shù)展開式．三、重點、難點提示和教學手段（一）重點、難點1、數(shù)項級數(shù)；2、函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)；3、冪級數(shù)；4、Fouier級數(shù)及其展開式；5、Taylor級數(shù)及其展開式；6、條件收斂、一致收斂、和函數(shù)的分析性質(zhì)．（二）教學手段四、思考與練習（注：思考與練習的形式有教師自行確定）第五章曲線積分、曲面積分與場論一、學習目的通過本章的學習，要求理解第一、二類曲線積分與曲面積分的概念；掌握利用Green公式、Gauss公式和Stokes公式計算曲線積分與曲面積分的方法；理解曲線積分與路徑無關的條件；理解梯度、通量與散度、向量線、環(huán)量與旋度的概念．本章計劃6學時．二、課程內(nèi)容§5.1第一類曲線積分與第一類曲面積分第一類曲面積分的概念、計算及應用．§5.2第二類曲線積分與第二類曲面積分第二類曲線積分的概念及性質(zhì)：方向性、線性性與路徑可加性；第二類曲線積分的計算公式及其應用；理解曲面的側(cè)的相關概念及應用；第二類曲面積分的概念及性質(zhì)：方向性、線性性與曲面可加性；第二類曲面積分的計算及應用．§5.3Green公式、GaussStokes公式GreenGreen公式與Newton-Leibniz用Green條件及其應用；Gauss公式及其應用；Stokes公式及其應用；Green公式、Gauss公式和Stokes公式三者之間的關系．§5.4微分形式的外微了解外微分的概念及性質(zhì)；外微分的應用．§5.5場論初步應用；HamiltonGreen第一公式和Green三、重點、難點提示和教學手段（一）重點、難點1、第一、二類曲線積分與曲面積分的概念與計算；2、GreenGauss公式和Stokes3、梯度、通量與散度、向量線、環(huán)量與旋度的概念及應用；4、微分形式的外微分及其應用．（二）教學手段四、思考與練習（注：思考與練習的形式有教師自行確定）一、學習目的6二、課程內(nèi)容§6.1二元函數(shù)掌握二元函數(shù)概念，二重極限，累次極限，二重極限與累次極限的關系，二元函數(shù)的連續(xù)性、復合函數(shù)的連續(xù)性定理、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，二元函數(shù)的泰勒定理，二元函數(shù)的極值．§6.2偏導數(shù)與全微分偏導數(shù)﹑方向?qū)?shù)﹑梯度與全微分的概念；函數(shù)的偏導數(shù)﹑方向?qū)?shù)﹑梯度﹑及其計算．§6.3多元復合函數(shù)求導法則偏導數(shù)；一階全微分的形式不變性．§6.4偏導數(shù)與在幾何中的應用空間曲線的切線與法平面的概念及對應的切線與法平面方程的計算；曲面的切平面與法線的概念；會計算曲面在給定點處的切平面與法線方程；偏導數(shù)與在幾何中的其它應用．§6.5Lagrange乘數(shù)法Lagrange算；條件極值在幾何﹑不等式及其它實際問題中的應用．三、重點、難點提示和教學手段（一）重點、難點1、偏導數(shù)和高階偏導數(shù)；2、全微分的意義及其幾何意義；3、微分、偏導數(shù)與連續(xù)三者之間的關系；4、隱函數(shù)的導數(shù)；5、無條件極值與條件極值的求法．（二）教學手段四、思考與練習（注：思考與練習的形式有教師自行確定）閱讀書目（或參考文獻）[1].陳紀修於崇華金路編著，數(shù)學分析：上下冊（第二版育出版社，2004[2].裴禮文著，數(shù)學分析中的典型問題和方法，高等教育出版