相似三角形六大證明技巧

相似三角形6大證明技巧模塊一相似三角形證明方法模塊一相似三角形證明方法相似三角形的判定方法總結(jié)：.平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似..三邊成比例的兩個三角形相似.（SSS）.兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.（SAS）.兩角分別相等的兩個三角形相似.（AA）.斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似（HL）相似三角形的模型方法總結(jié)：“反A”型與“反乂”型.示意圖結(jié)論尸C B反A型：如圖，已知△ABC,NADE=/。,則4ADE^AACB(AA),?'.AE-AC=AD?AB.若連CD、BE,進而能證明AACDsAABE(SAS)工D C反X型：如圖，已知角NBAO=ZCDO,則4AOB^ADOC(AA),AOA?OC=OD.OB.若連AD,BC,進而能證明△AODsABOC.“類射影”與射影模型示意圖結(jié)論C B類射影：如圖，已知4八8。，NABD=NC,則△ABDsAACB(AA),AAB2=AD-AC.C/\射影定理如圖，已知/ACB=90。，CH±AB于H，貝UAC2=AH-AB,BC2=BH-BA,HC2=HA-HBAH B

AC旋轉(zhuǎn)相似：如圖,已知^ABC^AADE,則 — ，/BACAEAC=ZDAE,AZBAD=ZCAE,???△BADsACAE(SAS)D///VdABC一線三等角：如圖，已知/A=ZC=ZDBE,則^DABsABCE(AA)“旋轉(zhuǎn)相似”與“一線三等角”示意圖結(jié)論鞏固練習反八型與反X型已知△ABC中，NAEF=NACB,求證:(1)AE-AB=AF-AC(2)ZBEO=ZCFO,ZEBO=ZFCO(3)ZOEF=ZOBC,ZOFE=ZOCB類射影如圖，已知AB2如圖，已知AB2=AC-AD，求證:BDABBC-AC射影定理已知^ABC,ZACB=90°,CH±AB于H，求證:AC2=AH.AB,BC2=BH-BA,HC2=HA-HB模塊二比例式的證明方法模塊二比例式的證明方法通過前面的學習，我們知道，比例線段的證明，離不開“平行線模型"㈠型，X型，線束型），也離不開上述的6種“相似模型”.但是，王老師認為，“模型”只是工具，怎樣選擇工具，怎樣使用工具，怎樣用好工具,取決于我們?nèi)绾嗡伎紗栴}.合理的思維方法，能讓模型成為解題的利刃，讓復雜的問題變簡單。

在本模塊中，我們將學比例式的證明中，會經(jīng)常用到的思維技巧.技巧一：三點定型法技巧二：等線段代換技巧三：等比代換技巧四：等積代換技巧五:證等量先證等比技巧六：幾何計算技巧一：三點定型【例1】如圖，平行四邊形ABCD中，E是AB延長線上的一點，DE交BC于F【例1】證:空_CF?AE~ADDCBDCB【例2【例2】如圖,△ABC中，ZBAC=90。，M為BC的中點,DM1BC交CA的延長線于D,交AB于E.求證:AM2=MD-ME【例3】AD于【例3】AD于F.求證:BFABBEBC如圖，在RtAABC中，AD是斜邊BC上的高，ZABC的平分線BE交AC于E,交技巧二：等線段代換悄悄地替換比例式中的某條線段…【例4】如圖，在AABCAD平分NBAC,AD的垂直平分線交AD于E,交BC的延長線于F,求證：FD2=FB-FC

AA【例5】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E在邊BA的延長線上，CE交AD于F，ZECA=ZD?求證:AC-BE=CE?AD?【例6】如圖,△ACB為等腰直角三角形，AB=AC，/BAC=90°,ZDAE=45°,求證:AB2=BE-CD【例7】如圖,△ABC中，AB=AC,AD是中線,。是AD上一點，過C作CF//AB，延長BP交AC于E，交CF于F.求證：BP2=PE-PF.技巧三：等比代換技巧三：等比代換E、交CD的延長線【例8】如圖，平行四邊形ABCD中，過B作直線AC、AD于O,于F，求證:OB2=OE-E、交CD的延長線【例9】如圖,在^ABC中，已知ZA=90。時,AD1BC于D,E為直角邊AC的中點，過E作直線交AB的延長線于F.求證:AB-AF=AC-DF.，【例10］如圖，在^ABC中(AB>AC)的邊AB上取一點D，在邊AC上取一點E，使BP-CE=CP-在邊AC上取一點E，使BP-CE=CP-BD技巧四：等積代換【例11］如圖，△ABC中，BD、CE是高,EH1BC于H、交BD于G、交CA的延長線于M.求證:HE2=HG-MH.MM【例12］如圖，在△ABC中，AD1BC于D,DE1AB于E,DF1AC于F,連EF,求證:AA【例13］如圖,在^ABC中，ZBAC=90。,D為AC中點，AE±BD,E為垂足，求證：ZCBD=ZECD.【例14］在RtAABC中，AD±BC,P為AD中點，MN±BC,求證MN2=AN-NC技巧五：證等量先證等比技巧五：證等量先證等比過A點的直線分別交BD過A點的直線分別交BD、CE于D、E.【例15］已知，平行四邊形ABCD中,E、F分別在直線AD、CD上,EF.//AC,BE、BF分別交AC于M、N.,求證：AM=CN.【例16］已知如圖AB=AC,BD//AC,AB//CE,求證:AM=NC,MN//DE.【例17］如圖，△ABC為等腰直角三角形，點P為AB上任意一點，PF±BC,PE±AC,AF交PE于N,BE交PF于M.,求證：PM=PN,MN//AB.

【例18]如圖,正方形BFDE內(nèi)接于△ABC,CE與DF交于點N,AF交ED于點M,CE與AF交于點P.求證：(1)MN//AC;(2)EM=DN.EFEF【例19](X)設(shè)E、F分別為AC、AB的中點,D為BC上一點,P在BF上，DP//CF,Q在CE上，DQ//BE,PQ交BE于R,交CF于S,求證:RS【例20](※汝口圖，梯形ABCD的底邊AB上任取一點M，過M作MK//BD,MN//AC,分別交AD、BC于K、N,連KN,分別交對角線AC、BD于P、Q,求證:KP=QN.

技巧六：幾何計算【例21】(2016年四月調(diào)考)如圖,在^ABC中，AC>AB,AD是角平分線,A￡是中線，BF±AD于G,交AC于點M,EG