（江蘇專用版 ）2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 4.3.2 平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換學(xué)案 蘇教版選修4-4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE4學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精4。3。2平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換1．了解平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換,能運(yùn)用伸縮變化進(jìn)行簡單的變換．2．體會平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換給圖形帶來的變化．［基礎(chǔ)·初探］1．橫坐標(biāo)的伸縮變換一般地,由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx＝x′，,y＝y(tǒng)′))（k＞0）所確定的伸縮變換，是按伸縮系數(shù)為k向著y軸的伸縮變換(當(dāng)k＞1時(shí),表示伸長；當(dāng)0＜k＜1時(shí),表示壓縮)，即曲線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膋倍(這里（x，y)是變換前的點(diǎn)，(x′，y′)是變換后的點(diǎn)）．2．縱坐標(biāo)的伸縮變換一般地,由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x′，,ky＝y(tǒng)′））（k＞0)所確定的伸縮變換，是按伸縮系數(shù)為k向著x軸的伸縮變換(當(dāng)k＞1時(shí)，表示伸長；當(dāng)0＜k＜1時(shí)，表示壓縮）,即曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膋倍(這里(x,y)是變換前的點(diǎn)，（x′,y′)是變換后的點(diǎn)）．3．伸縮變換一般地，設(shè)點(diǎn)P(x,y）是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λxλ＞0，,y′＝μyμ＞0)）的作用下，點(diǎn)P（x,y)對應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′），稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱為伸縮變換．[思考·探究］1．如果x軸的單位長度保持不變,y軸的單位長度縮小為原來的eq\f（1,2），圓x2＋y2＝4的圖形變?yōu)槭裁磮D形？伸縮變換可以改變圖形的形狀嗎?那平移變換呢？【提示】x2＋y2＝4的圖形變?yōu)闄E圓：eq\f（x2，4)＋y2＝1.伸縮變換可以改變圖形的形狀，但平移變換僅改變位置，不改變它的形狀．2．如何理解平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換？【提示】在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行伸縮變換，即改變x軸或y軸的單位長度，將會對圖形產(chǎn)生影響．其特點(diǎn)是坐標(biāo)系和圖形發(fā)生了改變，而圖形對應(yīng)的方程不發(fā)生變化．如在下列平面直角坐標(biāo)系中,分別作出f(x，y）＝0的圖形：（1）x軸與y軸具有相同的單位長度;（2)x軸上的單位長度為y軸上單位長度的k倍;(3）x軸上的單位長度為y軸上單位長度的eq\f(1,k).第(1）種坐標(biāo)系中的意思是x軸與y軸上的單位長度一樣，f(x,y)＝0的圖形就是我們以前學(xué)過的平面直角坐標(biāo)系中的f(x,y）＝0的圖形；第（2）種坐標(biāo)系中的意思是如果x軸上的單位長度保持不變，y軸上的單位長度縮小為原來的eq\f（1,k）,此時(shí)f(x，y)＝0表示的圖形與第（1）種坐標(biāo)系中的圖形是不同的;第（3）種坐標(biāo)系中的意思是如果y軸上的單位長度保持不變，x軸上的單位長度縮小為原來的eq\f(1，k)，此時(shí)f（x，y）＝0表示的圖形與第（1）種坐標(biāo)系中的圖形是不同的．[質(zhì)疑·手記］預(yù)習(xí)完成后,請將你的疑問記錄,并與“小伙伴們"探討交流：疑問1：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑問2：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑問3：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________伸縮變換對下列曲線進(jìn)行伸縮變換eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(kx＝x′，，ky＝y(tǒng)′))（k≠0,且k≠1)．(1)y＝kx＋b；（2）(x－a)2＋（y－b)2＝r2.【自主解答】設(shè)P（x，y）是變換前的點(diǎn)，P′（x′，y′)是變換后的點(diǎn)，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx＝x′,，ky＝y(tǒng)′,）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\f（1，k)x′，,y＝\f(1,k)y′.)）（1)由eq\f（1,k)y′＝k(eq\f（1，k）x′）＋b，y′＝kx′＋kb，得直線y＝kx＋b經(jīng)過伸縮變換后的方程為y＝kx＋kb，仍然是一條直線．當(dāng)b＝0時(shí),該直線和原直線重合；當(dāng)b≠0時(shí)，該直線和原直線平行．（2）由（eq\f(1，k)x′－a)2＋(eq\f(1，k)y′－b）2＝r2,（x′－ka）2＋(y′－kb）2＝(kr)2，得圓(x－a）2＋（y－b）2＝r2經(jīng)過伸縮變換后的方程為（x－ka)2＋（y－kb）2＝（kr）2，它是一個(gè)圓心為（ka，kb），半徑為｜kr|的圓．［再練一題］1．在同一平面直角坐標(biāo)系中，將直線x－2y＝2變成直線2x′－y′＝4，求滿足圖象變換的伸縮變換．【解】設(shè)變換為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λx，λ＞0,y′＝μy,μ＞0）),代入直線方程2x′－y′＝4得：2λx－μy＝4，即λx－eq\f（μ，2)y＝2，比較系數(shù)得:λ＝1,μ＝4，即直線x－2y＝2圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的4倍可得到直線2x′－y′＝4。伸縮變換的應(yīng)用曲線y＝2sin3x變換成曲線y＝3sin2x，求它的一個(gè)伸縮變換．【導(dǎo)學(xué)號:98990021】【思路探究】設(shè)eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x′＝λxλ＞0，，y′＝μyμ＞0)）代入y′＝3sin2x′，所得式再與y＝2sin3x比較即可求λ、μ?！咀灾鹘獯稹繉⒆儞Q后的曲線y＝3sin2x改成y′＝3sin2x′。設(shè)伸縮變換eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λxλ＞0，，y′＝μyμ＞0，))代入y′＝3sin2x′；得μy＝3sin(2λx)即y＝eq\f（3，μ)sin（2λx），與y＝2sin3x比較系數(shù)，得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2λ＝3，,\f（3，μ)＝2，)）即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（λ＝\f(3,2)，，μ＝\f(3,2),））所以伸縮變換為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x′＝\f(3,2）x,，y′＝\f（3,2）y.)）確定一個(gè)伸縮變換，實(shí)際上就是求其變換方法，將新舊坐標(biāo)分清，代入對應(yīng)的曲線方程，然后比較系數(shù)即可．［再練一題］2．(1)圓x2＋y2＝a2經(jīng)過什么樣的伸縮變換,可以使方程變?yōu)閑q\f(x2，a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（0＜b＜a）?(2）分析圓x2＋y2＝a2的一條弦所在直線和經(jīng)過該弦中點(diǎn)的直徑所在直線經(jīng)過上述伸縮變換后的位置關(guān)系．【解】（1）橢圓eq\f（x2，a2)＋eq\f（y2，b2)＝1可以化為x2＋eq\f(a2y2,b2)＝a2,設(shè)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x′，,y＝\f(a，b)y′，）)即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝x′，,\f（b,a）y＝y(tǒng)′.)）所以圓x2＋y2＝a2經(jīng)過向著x軸方向上的伸縮變換,伸縮系數(shù)k＝eq\f(b，a）,可以使方程變?yōu)閑q\f(x2,a2)＋eq\f（y2,b2）＝1。（2）若圓x2＋y2＝a2的一條弦所在直線的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為y＝kx＋m，根據(jù)垂徑定理，經(jīng)過該弦中點(diǎn)的直徑所在直線的方程為y＝－eq\f(1，k)x。由eq\f（a，b)y′＝kx′＋m，得y′＝eq\f（bk,a）x′＋eq\f(b,a）m.所以直線y＝kx＋m經(jīng)過變換,方程可變?yōu)閥＝eq\f(bk，a)x＋eq\f(b，a）m.由eq\f（a,b)y′＝－eq\f（1,k)x′，得y′＝－eq\f(b，ka)x′,所以直線y＝－eq\f（1，k）x經(jīng)過變換，方程可變?yōu)閥＝－eq\f（b，ka）x。此時(shí)，兩條直線的斜率乘積是定值－eq\f(b2,a2）。若圓x2＋y2＝a2的弦所在直線的方程為x＝n，則經(jīng)過其中點(diǎn)的直徑所在直線的方程為y＝0，伸縮變換后其方程分別變?yōu)閤＝n，y＝0.此時(shí)兩直線依然垂直．若圓x2＋y2＝a2的弦所在直線的方程為y＝n，則經(jīng)過其中點(diǎn)的直徑所在直線的方程為x＝0，伸縮變換后其方程分別變?yōu)閥＝eq\f（b,a）n，x＝0.此時(shí)兩直線依然垂直．［真題鏈接賞析]（教材第41頁習(xí)題4.3第8題）對下列曲線向著x軸進(jìn)行伸縮變換，伸縮系數(shù)k＝2：（1）x2－4y2＝16;（2）x2＋y2－4x＋2y＋1＝0。求滿足下列圖形變換的伸縮變換：由曲線x2＋y2＝1變成曲線eq\f（x′2，9）＋eq\f(y′2，4）＝1?！久}意圖】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換．【解】設(shè)變換為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x′＝λx,λ＞0，，y′＝μy,μ＞0，)）代入方程eq\f(x′2，9)＋eq\f（y′2,4）＝1，得eq\f(λ2x2,9)＋eq\f(μ2y2，4)＝1。與x2＋y2＝1比較，將其變形為eq\f（λ2，9)x2＋eq\f（μ2，4)y2＝1，比較系數(shù)得λ＝3,μ＝2.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，，y′＝2y，）)即將圓x2＋y2＝1上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，可得橢圓eq\f（x′2，9)＋eq\f(y′2，4)＝1.1．直線x＋4y－6＝0按伸縮系數(shù)eq\f（1,2)向著x軸的伸縮變換后,直線的方程是________．【答案】x＋8y－6＝02．直線2x－3y＝0按伸縮系數(shù)3向著y軸的伸縮變換后，直線的方程是________．【答案】2x－9y＝03．曲線x2＋y2＝4按伸縮系數(shù)2向著y軸的伸縮變換后，曲線的方程是________．【導(dǎo)學(xué)號：98990022】【答案】eq\f(x2,16）＋eq\f(y2,4）＝14．y＝cosx經(jīng)過伸縮變換eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x′＝2x，，y′＝3y)）后，曲線方程變?yōu)開_____．【解析】由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x′＝2x,y′＝3y）），得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\f（1,2)x′,y＝\f（1,3）y′）)，代入y＝cosx，得eq\f(1,3）y′＝coseq\f(1,2）x′，即y′＝3coseq\f(1，2)x′.【答案】y＝3coseq\f（x，2