小學(xué)一年級(jí)奧數(shù)16個(gè)專題

小學(xué)一年級(jí)奧數(shù)16個(gè)專題小學(xué)一年級(jí)奧數(shù)16個(gè)專題小學(xué)一年級(jí)奧數(shù)16個(gè)專題小學(xué)一年級(jí)奧數(shù)16個(gè)專題編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:第一講速算與巧算（一）一、湊十法：同學(xué)們已經(jīng)知道，下面的五組成對(duì)的數(shù)相加之和都等于10：1+9=102+8=103+7=104+6=105+5=10巧用這些結(jié)果，可以使計(jì)算又快又準(zhǔn)。例1計(jì)算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10解：對(duì)于這道題，當(dāng)然可以從左往右逐步相加：1+2=33+3=66+4=1010+5=1515+6=2121+7=2828+8=3636+9=4545+10=55這種逐步相加的方法，好處是可以得到每一步的結(jié)果，但缺點(diǎn)是麻煩、容易出錯(cuò)；而且一步出錯(cuò)，以后步步都錯(cuò)。若是利用湊十法，就能克服這種缺點(diǎn)。二、湊整法同學(xué)們還知道，有些數(shù)相加之和是整十、整百的數(shù)，如：1+19=2011+9=302+18=2012+28=403+17=2013+37=504+16=2014+46=605+15=2015+55=706+14=2016+64=807+13=2017+73=908+12=2018+82=1009+11=20又如：15+85=10014+86=10025+75=10024+76=10035+65=10034+66=10045+55=10044+56=100等等巧用這些結(jié)果，可以使那些較大的數(shù)相加又快又準(zhǔn)。像10、20、30、40、50、60、70、80、90、100等等這些整十、整百的數(shù)就是湊整的目標(biāo)。例2計(jì)算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19解：這是求1到19共10個(gè)單數(shù)之和，用湊整法做：例3計(jì)算2+4+6+8+10+12+14+16+18+20解：這是求2到20共10個(gè)雙數(shù)之和，用湊整法做：例4計(jì)算2+13+25+44+18+37+56+75解：用湊整法：三、用已知求未知利用已經(jīng)獲得較簡單的知識(shí)來解決面臨的更復(fù)雜的難題這是人們認(rèn)識(shí)事物的一般過程，湊十法、湊整法的實(shí)質(zhì)就是這個(gè)道理，可見把這種認(rèn)識(shí)規(guī)律用于計(jì)算方面，可使計(jì)算更快更準(zhǔn)。下面再舉兩個(gè)例子。例5計(jì)算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20解：由例2和例3，已經(jīng)知道從1開始的前10個(gè)單數(shù)之和以及從2開始的前10個(gè)雙數(shù)之和，巧用這些結(jié)果計(jì)算這道題就容易了。1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20=（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）+（2+4+6+8+10+12+14+16+18+20）=100+110（這步利用了例2和例3的結(jié)果）=210例6計(jì)算5+6+7+8+9+10解：可以利用前10個(gè)自然數(shù)之和等于55這一結(jié)果。5+6+7+8+9+10=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）-（1+2+3+4）（熟練后，此步驟可省略）=55-10=45四、改變運(yùn)算順序在只有加減運(yùn)算的算式中，有時(shí)改變加、減的運(yùn)算順序可使計(jì)算顯得十分巧妙！例7計(jì)算10-9+8-7+6-5+4-3+2-1解：這題如果從左到右按順序進(jìn)行加減運(yùn)算，是能夠得出正確結(jié)果的。但因?yàn)樗闶捷^長，多次加減又繁又慢且容易出錯(cuò)。如果改變一下運(yùn)算順序，先減后加，就使運(yùn)算顯得非常“漂亮”。下式括號(hào)中的算式表示先算，10-9+8-7+6-5+4-3+2-1=（10-9）+（8-7）+（6-5）+（4-3）+（2-1）=1+1+1+1+1=5五、帶著“+”、“-”號(hào)搬家例8計(jì)算1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11解：這題只有加減運(yùn)算，而且1-2不夠減。我們可以采用帶著加減號(hào)搬家的方法解決。要注意每個(gè)數(shù)自己的符號(hào)就是這個(gè)數(shù)前面的那個(gè)“+”號(hào)或“-”號(hào)，搬家時(shí)要帶著符號(hào)一起搬。1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11=1+3-2+5-4+7-6+9-8+11-10=1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+（9-8）+（11-10）[先減后加]=1+1+1+1+1+1=6在這道題的運(yùn)算中，把“+3”搬到“-2”的前面，把“+5”搬到了“-4”的前面，……把“+11”搬到了“-10”的前面，這就叫帶著符號(hào)搬家。巧妙利用這種搬法，可以使計(jì)算簡便。習(xí)題一1．計(jì)算：13+14+15+16+17+252．計(jì)算：2+3+4+5+15+16+17+18+203．計(jì)算：21+22+23+24+25+26+27+28+294．計(jì)算：5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+205．計(jì)算：22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-06．計(jì)算：10-20+30-40+50-60+70-80+907．計(jì)算：（2+4+6+8+10）-（1+3+5+7+9）8．計(jì)算：（2+4+6+…+20）-（1+3+5+…+19）9．計(jì)算：（2+4+6+…+100）-（1+3+5+…+99）習(xí)題一解答1．解：見下圖：2．解：見下圖：3．解：見下圖：4．解：5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20-(1+2+3+4)=210-10（利用例5的結(jié)果）=2005．解：22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-0=（22-20）+（18-16）+（14-12）+（10-8）+（6-4）+（2-0）=2+2+2+2+2+2=126．解：10-20+30-40+50-60+70-80+90=10+30-20+50-40+70-60+90-80=10+（30-20）+（50-40）+（70-60）+（90-80）=10+10+10+10+10=507．解：（2+4+6+8+10）-（1+3+5+7+9）=（2-1）+（4-3）+（6-5）+（8-7）+（10-9）=1+1+1+1+1=58．解：（2+4+6+…+20）-（1+3+5+…+19）=109．解：（2+4+6+…+100）-（1+3+5+…+99）=50第二講速算與巧算（二）例1哥哥和妹妹分糖。哥哥拿1塊，妹妹拿2塊；哥哥拿3塊，妹妹拿4塊；接著哥哥拿5塊、7塊、9塊、11塊、13塊、15塊，妹妹拿6塊、8塊、10塊、12塊、14塊、16塊。你說誰拿得多，多幾塊？

解：方法1：先算哥哥共拿了多少塊？

再算妹妹共拿了多少塊？72-64=8（塊）方法2：這樣想：先算每次妹妹比哥哥多拿幾塊，再算共多拿了多少塊。(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)=1+1+1+1+1+1+1+1=8（塊）可以看出方法2要比方法1巧妙！平時(shí)注意積累，記住一些有趣的和重要的運(yùn)算結(jié)果，非常有助于速算。比如，請(qǐng)同學(xué)記住幾個(gè)自然數(shù)相加之和：1+2=31+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5=151+2+3+4+5+6=211+2+3+4+5+6+7=281+2+3+4+5+6+7+8=361+2+3+4+5+6+7+8+9=451+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55例2星期天，小明家來了9名小客人。小明拿出一包糖，里面有54塊。小明說：“咱們一共10個(gè)人，每人都要分到糖，但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多，誰會(huì)分？”結(jié)果大家都無法分，你能幫他們分好嗎？解：按小明提的要求確實(shí)無法分。因?yàn)橐沟妹總€(gè)人都得到糖，糖塊數(shù)人人不等，需要糖塊數(shù)最少的分法是：第一人分到1塊，第二人分到2塊，…第十人分到10塊。但是，這種分法共需要有1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（塊）而小明這包糖一共才54塊，所以按這種方法無法分。如果改變一下，有一人少得1塊糖，比如說，應(yīng)該得10塊糖的小朋友只分到了9塊，但是這樣一來，他就和另一個(gè)先分得9塊糖的那個(gè)小朋友一樣多了，這又不符合小明提出“每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多”的要求。（注意：“按小明提的要求無法分”就是此題的答案。在數(shù)學(xué)上“無解”也叫問題的答案。）例3時(shí)鐘1點(diǎn)鐘敲1下，2點(diǎn)鐘敲2下，3點(diǎn)鐘敲3下，……照這樣敲下去，從1點(diǎn)到12點(diǎn)，這12個(gè)小時(shí)時(shí)鐘共敲了幾下？

解：這是一道美國小學(xué)奧林匹克試題，要求在3分鐘內(nèi)就要得出答案。方法1：湊十法方法2：如果能記住從1到10前十個(gè)自然數(shù)之和是55，計(jì)算會(huì)更快。（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+11+12=55+11+12=78（下）習(xí)題二1．三個(gè)小朋友分5塊糖。要求每人都分到糖，但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多，你能分嗎？

2．①把16只小雞分別裝進(jìn)5個(gè)籠子里，每個(gè)籠子里都要有雞，而且每個(gè)籠子里的雞的只數(shù)也不能相同，如何分裝？

②按同樣要求，把15只小雞裝進(jìn)5個(gè)籠子能辦得到嗎？

③按同樣要求，把14只小雞分裝到5個(gè)籠子能辦得到嗎？

3．①把100塊糖分給10個(gè)小朋友。要求每人都分到單數(shù)塊糖，而且每人分到糖塊數(shù)都不一樣，如何分？

②把99塊糖按同樣要求分給10個(gè)小朋友，你能分嗎？

4．從1到20這20個(gè)數(shù)中，所有的雙數(shù)之和與所有的單數(shù)之和的差是多少？

5．小方家的鐘除了幾點(diǎn)鐘敲幾下外，每半點(diǎn)鐘也敲一下。比如說，0點(diǎn)半敲1下，1點(diǎn)鐘敲1下，1點(diǎn)半敲1下，2點(diǎn)敲2下，2點(diǎn)半敲1下，……照這樣敲下去，從夜里0點(diǎn)開始，計(jì)到白天中午12點(diǎn)鐘，在這12個(gè)小時(shí)之內(nèi)時(shí)鐘共敲了多少下？

習(xí)題二解答1．答案是不能分。所需糖塊數(shù)最少的一種分法是：第1個(gè)人分1塊，第2個(gè)人分2塊，第3個(gè)人分3塊，這樣三個(gè)人共需要有1+2+3=6（塊），但總的糖塊數(shù)只有5塊，不夠分。如果第3個(gè)人也分得2塊，這樣糖是夠分了，但是這樣就有2個(gè)人分得糖塊數(shù)一樣多了，又不符合分糖的要求了。2．①5只籠子裝16只小雞的裝法是1，2，3，4，6。1+2+3+4+6=16（只）②5只籠子裝15只小雞的裝法是1，2，3，4，5。1+2+3+4+5=15（只）③5只籠子裝14只小雞，要求每籠都有雞，而且籠籠雞數(shù)不等，無法分裝。3．①記住1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100立即可知100塊糖按要求分給10個(gè)人的分法是：各人所得糖塊數(shù)分別為1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。②99塊糖按要求分給10個(gè)小朋友無法分。4．解：方法1：單數(shù)之和：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100雙數(shù)之和：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110差：110-100=10方法2：改變運(yùn)算順序(2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)-(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)=(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)+(18-17)+(20-19)=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=105．解：先記錄時(shí)鐘敲的整點(diǎn)數(shù)和半點(diǎn)數(shù)如下：列算式求和，并改變運(yùn)算順序：1+1+1+2+1+3+1+4十1+5+1+6+1+7+1+8+1+9+1+10+1+11+1+12=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)+(1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1)=78+12=90（下）

第三講數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)（一）例1請(qǐng)你數(shù)一數(shù)，下圖中共有多少個(gè)“×”

解：①分層數(shù)②先按“實(shí)心”三角形計(jì)算，再減去“空白”三角形中“×”的個(gè)數(shù)（1+3+5+7+9+11+13+15+17）-（5+3+1）例2下圖所示的“塔”由4層沒有縫隙的小立方塊壘成，求塔中共有多少小立方塊？

從頂層開始數(shù)，各層小立方塊數(shù)是：第一層：1塊；第二層：3塊；第三層：6塊；第四層：10塊；總塊數(shù)1+3+6+10=20（塊）。從上往下數(shù)，第一層：1塊；第二層：第一層的1塊加第二層“看得見”的2塊等于第二層的塊數(shù)：1+2=3塊；第三層：第二層的3塊加第三層“看得見”的3塊等于第三層的塊數(shù)：3+3=6塊；第四層：第三層的6塊加第四層“看得見”的4塊等于第四層的塊數(shù)：6+4=10塊?？倝K數(shù)1+3+6+10=20（塊）例3右圖是由小立方體碼放起來的，其中有一些小立方體被壓住看不見。請(qǐng)你數(shù)一數(shù)共有多少小立方體？

解：從右往左數(shù)，并且編號(hào)第一排：1塊；第二排：7塊；第三排：5塊；第四排：9塊；第五排：16塊；總數(shù)：1+7+5+9+16=38（塊）。例4數(shù)一數(shù)下面的立體圖形的面數(shù)、棱數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)各是多少？

面數(shù)：4棱數(shù)：6頂點(diǎn)數(shù)：4面數(shù)：5棱數(shù)：8頂點(diǎn)數(shù)：5習(xí)題三1．請(qǐng)你數(shù)一數(shù)，下圖中共有多少×

2．如下圖所示，一單層磚墻下雨時(shí)塌了一處，請(qǐng)你數(shù)一數(shù)，需要多少塊磚才能把墻補(bǔ)好？

3．如右圖所示是一個(gè)由小立方體構(gòu)成的塔，請(qǐng)你數(shù)一數(shù)并計(jì)算出共有多少塊。4．如右圖所示是由小立方體構(gòu)成的“寶塔”，請(qǐng)你數(shù)一數(shù)共多少塊？

5．右圖所示是由小立方體堆起來的，請(qǐng)你數(shù)一數(shù)，共有多少小立方體？

6．?dāng)?shù)一數(shù)，下面的立體圖形的面數(shù)、棱數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)各是多少？

習(xí)題三解答1．解：方法1：從最上邊的一行往下數(shù)方法2：假設(shè)“×”填滿整個(gè)長方形的圖形，應(yīng)該共有“×”：20×8=160（個(gè)）?！翱瞻住比切翁帒?yīng)有“×”：2+4+6+8=20（個(gè)）?！翱瞻住遍L方形處應(yīng)有“×”:5×4=20（個(gè)）。實(shí)際上“×”的總數(shù)是：160-20-20=120（個(gè)）。2．解：從下往上數(shù)，墻洞所缺少的磚塊數(shù)是：1+2+2+1+2+2=10（塊）。3．解：從上往下數(shù)，注意：不要漏掉那些看不見的小立方體。第一層：1塊；第二層：4塊；第三層：9塊；第四層：16塊；總數(shù)：1+4+9+16=30（塊）。4．解：從上往下數(shù)第一層：1塊；第二層：9塊；第三層：25塊；總數(shù)：1+9+25=35（塊）。5．解：由前往后數(shù)，并進(jìn)行編號(hào)第一排：5塊；第二排：6塊；第三排：8塊；總數(shù)：5+6+8=19（塊）。6．解：圖（1）是六棱柱；面數(shù)8，棱數(shù)18，頂點(diǎn)數(shù)12。圖（2）是由兩個(gè)四面體組成；面數(shù)6，棱數(shù)9，頂點(diǎn)數(shù)5。圖（3）是五棱柱；面數(shù)7，棱數(shù)15，頂點(diǎn)數(shù)10。圖（4）是由兩個(gè)四棱錐和一個(gè)四棱柱組成；面數(shù)12，棱數(shù)20，頂點(diǎn)數(shù)10。第四講數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)（二）數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)時(shí)，注意不應(yīng)漏掉，不應(yīng)重復(fù)。如果漏掉了，要加上；如果重復(fù)了，要減掉。例1小朋友排隊(duì)，小紅前面4個(gè)人，后面3個(gè)人，問這隊(duì)共有幾個(gè)人？

解：這隊(duì)的總?cè)藬?shù)要數(shù)上小紅，所以是4+3+1=8（人）。例2排好隊(duì)，來報(bào)數(shù)，正著報(bào)數(shù)我報(bào)七，倒著報(bào)數(shù)我報(bào)九，一共多少小朋友？解：見下圖正著報(bào)數(shù)“我”報(bào)了一次，倒著報(bào)數(shù)“我”又報(bào)了一次，所以把兩次報(bào)數(shù)加起來時(shí)，“我”被加了兩次。因此算這隊(duì)的總?cè)藬?shù)時(shí)，應(yīng)從兩次報(bào)數(shù)之和減1。7+9-1=15（人）。也可以這樣想：正著報(bào)數(shù)報(bào)到我為止，倒著報(bào)數(shù)時(shí)，我就不報(bào)了，只報(bào)到我的后面相鄰的那個(gè)人他應(yīng)該報(bào)8，所以全隊(duì)總?cè)藬?shù)是：7+（9-1）=15（人）。例3少先隊(duì)員排成隊(duì)去參觀科技館。從排頭數(shù)起劉平是第20個(gè)；從排尾數(shù)起，張英是第23個(gè)。已知?jiǎng)⑵降那耙粋€(gè)是張英。問這隊(duì)少先隊(duì)員共有多少人？

解：畫示意圖，用點(diǎn)代表少先隊(duì)員。由圖可見，從排頭數(shù)起時(shí)，把張英和劉平數(shù)了一次。由排尾數(shù)起時(shí)，又把劉平和張英數(shù)了一次，可見把他兩人多數(shù)了一次，所以點(diǎn)總?cè)藬?shù)時(shí)，應(yīng)減去多數(shù)的那一次才對(duì)。20+23-2=41（人）。例445個(gè)小朋友排成一隊(duì)去春游。從排頭往后數(shù)，小剛是第19個(gè)；從排尾往前數(shù)，小莉是第12個(gè)，問小剛和小莉中間有幾個(gè)人？

解：畫示意圖。用點(diǎn)“·”代表人由圖可見，小剛和小莉中間的人數(shù)是：45-（19+12）=14（人）。例5一班同學(xué)做花，做紅花的有38人，做黃花的有39人，沒有做花的有3人。如果全班55人，那么既做紅花又做黃花的有多少人？

解：畫圖如下：由圖可見，做花的人：55-3=52（人）。圖中陰影部分表示兩色花都做的人：38+39-52=25（人）。習(xí)題四1．學(xué)生排成一隊(duì)，在小進(jìn)的前面有6人，后面有8人，問這隊(duì)共有多少人？

2．12輛汽車組成一列車隊(duì)向前行進(jìn)。從前面數(shù)起，紅色的小轎車是第7輛。問從后面數(shù)它是第幾輛？

3．游泳池里男生都戴藍(lán)帽，女生都戴紅帽。池中一個(gè)男生小強(qiáng)邊看邊數(shù)，他看見藍(lán)帽4個(gè)，紅帽5個(gè)。問池中男女生共多少人？

4．說稀奇、道稀奇，鴨子隊(duì)里有只雞。正著數(shù)它第六，倒著數(shù)它第七。請(qǐng)你幫助算一算，小鴨一共有幾只？

5．一個(gè)小組的小學(xué)生共有5人，已知他們都做了語文作業(yè)或數(shù)學(xué)作業(yè)。又知做完語文作業(yè)的有3人，做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有4人。問語文和數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有幾人？

6．在100名學(xué)生中統(tǒng)計(jì)，有65人會(huì)騎自行車，有73人會(huì)游泳，有10人既不會(huì)騎自行車又不會(huì)游泳。問既會(huì)騎自行車又會(huì)游泳的人有多少？

7．某班有學(xué)生45人，訂閱《中國少年報(bào)》的有29人，訂閱《小朋友》的有28人，其中兩種都訂閱的有16人，問兩種刊物都沒有訂閱的人有多少？

習(xí)題四解答1．解由圖可知：總?cè)藬?shù)是6+8+1=15人。2．解：方法1：數(shù)一數(shù)；先畫示意圖如下，用●代表紅色小轎車，用○代表其他車。從后面往前數(shù)一數(shù)，紅色小轎車是第6輛。方法2：算一算；這隊(duì)車共有12輛，從前面往后數(shù)，紅色小轎車是第7輛，所以紅色小轎車前面有7-1=6輛車，因此從后面往前數(shù)，紅色小轎車是第12-6=6輛。3．解：畫示意圖如下：因?yàn)槟猩?qiáng)邊看邊數(shù)時(shí)，沒有看見自己的藍(lán)帽，他把自己漏數(shù)了。所以算總?cè)藬?shù)時(shí)，要把他加上，即4+5+1=10（人）。4．解：畫示意圖，用○代表小鴨，用●代表小雞。由圖可見，正數(shù)算上了小雞，倒數(shù)也算上了小雞。這樣兩數(shù)之和6+7=13中，把小雞計(jì)算了兩次。所以求小鴨的數(shù)目時(shí)就要減去兩個(gè)小雞。6+7-2=11（只）。5．解：畫示意圖如下：兩種作業(yè)都做完的人既算在了做完語文作業(yè)的3人中，又算在了做完數(shù)學(xué)作業(yè)的4人中，因此這部分人被多算了一次，（如圖中陰影部分所示）所以兩種作業(yè)都做完的人數(shù)是：3+4-5=2（人）。6．解：畫圖如下：由圖可知：會(huì)騎車或是會(huì)游泳的總?cè)藬?shù)是100-10=90（人）。兩種都會(huì)的人數(shù)是65+73-90=48（人）。（圖中陰影部分所示）7．解：畫示意圖如下：因?yàn)橹辽儆?份刊物的人：28+29-16=41（人）。兩種刊物都沒有訂的人：45-41=4（人）。

第五講數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)（三）例1小朋友，張開手，五個(gè)手指人人有。手指之間幾個(gè)“空”，請(qǐng)你仔細(xì)瞅一瞅？（注）“瞅一瞅”就是“看一看”的意思。解：見右圖看一看、數(shù)一數(shù)可知：5個(gè)手指間有4個(gè)“空”?！翱铡庇纸小伴g隔”，也就是，人的一只手有5個(gè)手指4個(gè)間隔。例2小朋友在一段馬路的一邊種樹。每隔1米種一棵，共種了11棵，問這段馬路有多長？

解：畫示意圖如下：由圖可見，這段馬路的11棵樹之間有10個(gè)“空”，也就是10個(gè)間隔。每個(gè)間隔長1米，10個(gè)間隔長10米。也就是說這段馬路長10米。像這類問題一般叫做“植樹問題”?？梢缘贸鲆粋€(gè)公式：當(dāng)兩頭都種樹時(shí)：例3把一根粗細(xì)一樣的木頭鋸成5段，需要4分鐘。①如果把這根木頭鋸成10段，需要幾分鐘？

②如果把這根木頭鋸成100段，需要幾分鐘？

解：畫出示意圖：由圖可見，把木頭鋸成5段，只需鋸4次。所以鋸一次需1分鐘。①同樣道理，把這根木頭鋸成10段，只需鋸9次，所以需9分鐘。②同理，把這根木頭鋸成100段，只需鋸99次，所以需99分鐘。例4鼓樓的鐘打點(diǎn)報(bào)時(shí)，5點(diǎn)鐘打5下需要4秒鐘。問中午12點(diǎn)時(shí)打12下需要幾秒鐘？

解：畫示意圖。鐘打一下用一個(gè)點(diǎn)代表，打5下畫5個(gè)點(diǎn)。由圖可見，鐘打5下中間有4個(gè)時(shí)間間隔，4個(gè)間隔是4秒鐘，每個(gè)間隔就是1秒鐘。由此推理鐘打12下時(shí)有12-1=11個(gè)時(shí)間間隔，故用11秒鐘。習(xí)題五1．一隊(duì)男生8人。老師要求在2名男生中間插進(jìn)1名女生，問可插進(jìn)多少女生？

2．小冬用12張紙訂成一個(gè)本子。從頭數(shù)起，每隔3紙夾進(jìn)一片樹葉，問這個(gè)本子內(nèi)共放進(jìn)多少片樹葉？

3．在一條20米長的小路兩旁種小松樹，如果每隔5米種一棵，而且兩頭都種樹，問這段小路上共種多少棵？

4．一根鋼管長6米，每分鐘鋸下1米，幾分鐘鋸?fù)辏?/p>

5．一根木頭鋸成4段，要付鋸工費(fèi)1元。如果要把這根木頭鋸成13段，要付鋸工費(fèi)多少元？

6．小明與爸爸一同上樓。小明上得快、爸爸上得慢，小明上2層，爸爸上1層。問小明上到五樓時(shí)，爸爸上到幾樓？

7．沿著跑道插著11面旗，旗與旗離得一樣遠(yuǎn)，第一面旗插在起點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)員從起點(diǎn)起跑經(jīng)過6秒鐘到達(dá)第6面旗，問運(yùn)動(dòng)員到達(dá)第11面旗時(shí)，需要跑11秒鐘嗎？

8．三點(diǎn)鐘時(shí)，掛鐘打響三下，用了12秒。到六點(diǎn)鐘時(shí)，掛鐘打響六下，要用幾秒鐘？

習(xí)題五解答1．解：方法1：按老師要求，在2名男生中間插進(jìn)1名女生后，寫出隊(duì)伍的排外情況是：男女男女男女男女男女男女男女男數(shù)一數(shù)，可知插進(jìn)的女生共7人。方法2：也可以這樣想：這道題中，把男生看成“樹”，把女生看成“間隔”，就能按植樹問題的公式解這道題。因?yàn)閮深^都是男生，就像兩頭都有樹一樣，女生數(shù)應(yīng)等于男生數(shù)減1，即8-1=7（人）。2．解：畫示意圖如下：可以這樣想：把每3張紙粘在一起成為一張“厚紙”，12張紙共粘成4張厚紙。按題目要求，相當(dāng)于每兩張厚紙之間放入一片樹葉，可知共放入3片樹葉。3．解：畫示意圖如下：（只畫一旁種樹情況）由圖可見，每5米為一段，20米長的路可分為4段，由于路兩端都要種樹，所以種的棵樹等于段數(shù)加1，即一旁種樹4+1=5（棵），兩旁共種5+5=10（棵）。4．解：畫示意圖如下：由圖可見，把6米長的鋼管鋸成1米長的6段，只需鋸6-1=5（次），題中說，每分鐘鋸下1米，就是說鋸1次需要1分鐘，所以鋸5次需5分鐘即5分鐘把鋼管鋸?fù)辍?．解：把一根木頭鋸成4段只需鋸4-1=3次，按題意付鋸工費(fèi)1元。當(dāng)把這根木頭鋸成13段時(shí)只需鋸13-1=12次，每鋸3次付費(fèi)1元，鋸12次應(yīng)付鋸工費(fèi)4元。6．解：見右圖當(dāng)小明跑五樓時(shí)，實(shí)際上跑過了4層樓梯，所以爸爸此時(shí)只走過了2層樓梯，即走到了三樓。7．解：畫出示意圖：在起點(diǎn)插著第一面旗，但在起點(diǎn)運(yùn)動(dòng)員起跑時(shí)，時(shí)間是從0秒開始計(jì)時(shí)的。運(yùn)動(dòng)員跑到第六面旗時(shí)，實(shí)際上是跑了5段間隔，這時(shí)他用了6秒鐘的時(shí)間；當(dāng)他跑到第11面旗時(shí)，實(shí)際上又跑了5段間隔，所以又用了6秒鐘，總起來共用了12秒鐘，而不是11秒鐘。8．解：“當(dāng)—當(dāng)—當(dāng)”鐘打響了三下，三響之間的間隔是兩次，兩個(gè)時(shí)間間隔用12秒，一個(gè)時(shí)間間隔就是12÷2=6（秒）。如果鐘打六下，六響之間的間隔是5次，因而鐘打六下要6×5=30（秒）。

第六講數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)（四）本講采用枚舉法解決數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)的問題。比如老奶奶數(shù)雞蛋，她小心翼翼地把雞蛋從藍(lán)子里一個(gè)一個(gè)地往外拿，邊拿邊數(shù)?；@子里的雞蛋拿光了，有多少個(gè)雞蛋也就數(shù)出來了。這種最簡單的數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)的方法就叫做枚舉法。例1用分別寫有數(shù)字1和2的兩張紙片，能夠排出多少個(gè)不同的二位數(shù)？

解：用代表這兩張紙片。把所有可能的排法枚舉出來，可知能排出兩個(gè)二位數(shù)來。它們是：例2用分別寫有數(shù)字0，1，2的三張紙片能排出多少個(gè)不同的二位數(shù)？

解：因?yàn)椤?”不能作為首位數(shù)字，所以只能排出4個(gè)二位數(shù)，它們是：1作十位數(shù)字，0或2作個(gè)位數(shù)字：2作十位數(shù)字，0或1作個(gè)位數(shù)字：例3用分別寫有數(shù)字1，2，3的三張紙片能排出多少不同的三位數(shù)？

解：用枚舉法，即把所有可能排出的每一個(gè)三位數(shù)都寫出來。再數(shù)一數(shù)共有多少個(gè)。共6個(gè)不同的三位數(shù)。例4小明左邊抽屜里放有三張數(shù)字卡片右邊抽屜里也放有三張卡片。如果他每次從左右兩邊抽屜里任意各拿一張出來，組成一個(gè)二位數(shù)，在紙上記下來之后，再把卡片放回各自原來的抽屜里。然后再拿、再組數(shù)、再記、再放回……這樣一直做下去，問他一共可能組成多少個(gè)不同的二位數(shù)？

解：不妨假設(shè)小明先從左邊抽屜拿，把拿出的數(shù)字卡片排在十位；再從右邊抽屜拿，把拿出的數(shù)字卡片排在個(gè)位。下面是記下來的所有不同的二位數(shù)：11，12，13，21，22，23，31，32，33。共9個(gè)不同的二位數(shù)。例5有一群人，若規(guī)定每兩個(gè)人都握一次手而且只握一次手，求他們共握多少次手？假設(shè)這群人是：

①兩個(gè)人，②三個(gè)人，③四個(gè)人解：畫圖。用點(diǎn)“·”代表人。如果兩人握一次手就在兩個(gè)點(diǎn)之間連一條線。那么，點(diǎn)和點(diǎn)之間連線的條數(shù)就代表握手的次數(shù)。見以下的圖。①兩個(gè)人：兩點(diǎn)之間只能連一條線，表示兩個(gè)人共握1次手。②三個(gè)人：三點(diǎn)之間有三條連線，表示三個(gè)人共握3次手。③四個(gè)人：四點(diǎn)之間有六條連線，表示四個(gè)人共握6次手。例6鐵路上的火車票價(jià)是根據(jù)兩站距離的遠(yuǎn)近而定的，距離愈遠(yuǎn)，票價(jià)愈高。如果一段鐵路上共有五個(gè)車站，每兩站間的距離都不相等，問這段鐵路上的火車票價(jià)共有多少種？

解：如圖所示，用一條線段表示這段鐵路，用線段上的五個(gè)點(diǎn)代表五個(gè)車站，各點(diǎn)間距離不同表示各車站間距離不同，因而票價(jià)不同。由圖可見，各段長度不同的線段就表示各種不同的票價(jià)。數(shù)一數(shù)，票價(jià)種數(shù)是：4+3+2+1=10種。例7小明到小華家有甲、乙兩條路，小華到小英家有a，b，c三條路（如下圖所示）。小明經(jīng)過小華家去找小英，他想每次都不走完全重復(fù)的路線，問有多少種不同的走法？

解：共有6種不同的走法，見下圖。習(xí)題六1．用三張數(shù)字卡片，可以排出多少個(gè)不同的三位數(shù)其中最大的比最小的大多少

2．有四張數(shù)字卡片從中抽出三張組成三位數(shù)，問這些卡片可能組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？

3．用兩套數(shù)字卡片可組成多少個(gè)不同的二位數(shù)？

4．在一次小學(xué)數(shù)學(xué)競賽的領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)上有五名同學(xué)上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng)，他們每兩個(gè)人都互相握了一次手。問他們共握了多少次手？

5．全區(qū)六所小學(xué)舉行小足球賽，每個(gè)學(xué)校派出一個(gè)代表隊(duì)，要求規(guī)定每兩個(gè)校隊(duì)之間都要賽一場，問一共要賽多少場？

6．右圖是小英家和學(xué)校之間的街道圖。問小英去上學(xué)時(shí)，共有多少種不同的走法（

不準(zhǔn)故意繞遠(yuǎn)走）

7．如右圖所示，一只螞蟻從一個(gè)正方體的A點(diǎn)沿著棱爬向B點(diǎn)，如不故意繞遠(yuǎn)，一共有幾種不同的走法？

習(xí)題六解答1．解：注意，0不能當(dāng)作首位數(shù)字。所能排出的三位數(shù)字共有4個(gè)。它們是：407，470，704，740。最大的數(shù)是740，最小的數(shù)是407。最大的數(shù)比最小的數(shù)大740-407=333。2．解：注意0不能當(dāng)作首位數(shù)字。所能排出的三位數(shù)字共18個(gè)。102，104，120，124，140，142；201，204，210，214，240，241；401，402，410，412，420，421。3．解：共組成25個(gè)不同的二位數(shù)。11，12，13，14，15；21，22，23，24，25；31，32，33，34，35；41，42，43，44，45；51，52，53，54，55。4．解：畫圖。用點(diǎn)代表人，用兩點(diǎn)之間的連線代表兩個(gè)人的一次握手。按這種規(guī)定連線的總條數(shù)就是握手的總次數(shù)。數(shù)一數(shù)，共有10條連線，所以共握手10次。5．解：共賽15場。見下圖。①方法1：如右圖所示這樣數(shù)：一小和二小、三小、四小、五小、六小共賽5場；二小再和三小、四小、五小、六小共賽4場；（二小不能再和一小賽，因?yàn)樗鼈円呀?jīng)比賽過了，下同）三小再和四小、五小、六小共賽3場；四小再和五小、六小共賽2場；五小再和六小共賽1場。比賽場次總數(shù)：5+4+3+2+1=15（場）。②方法2：每個(gè)學(xué)校都要和其他的五個(gè)學(xué)校各賽一場，共5場。因而六個(gè)學(xué)校所賽的場次是5×6=30場。但是這樣計(jì)算還有個(gè)問題，比如說一小和二小賽了一場，這一場比賽被兩個(gè)學(xué)校都計(jì)算在了自己所賽的場次里，因而被計(jì)了兩次。所以總場數(shù)也就多計(jì)了一倍。也就是說，六個(gè)學(xué)校實(shí)際賽的總場次數(shù)是30÷2=15（場）。6．解：小英由家到學(xué)校共有6種走法，見下圖粗黑線所示。7．解：螞蟻沿著棱由A點(diǎn)爬到B點(diǎn)有6種不同的走法，見下圖粗黑線所示。

第七講填圖與拆數(shù)（一）例1如右圖，把3、4、6、7四個(gè)數(shù)填在四個(gè)空格里，使橫行、豎行三個(gè)數(shù)相加都得14。怎樣填？

解：先看豎行，最上格中已有個(gè)5。要使5+（）=14，括號(hào)里的數(shù)就要填9。把9拆成兩個(gè)數(shù)：9=3+6，（因?yàn)?和6是題中給出的數(shù)）分別填在豎行的兩個(gè)空格里。但進(jìn)一步想，應(yīng)該把哪一個(gè)填在中間空格里呢？這就需要看橫行。橫行兩頭的空格應(yīng)填剩下的兩個(gè)數(shù)4和7，因?yàn)?和7相加和為11，而11+3=14，可見中間空格應(yīng)填3。例2如圖所示。在圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上三個(gè)數(shù)相加之和都等于12。解：見下圖（1）、（2）、（3）。把12分拆成三個(gè)不同的數(shù)相加之和，得七種分拆方式：12=9+2+112=8+3+112=7+4+112=7+3+212=6+5+112=6+4+212=5+4+3從各式中選擇有一個(gè)相同加數(shù)的兩個(gè)式子。12=1+5+6和12=1+4+7兩式，將相同的加數(shù)1填在中間圓圈里，不同的加數(shù)分別填在橫行和豎行的其他圓圈里。答案有很多種不同的填法，這里只填了三種，同學(xué)們還可以自己選擇另外的填法。例3如右圖所示。把1、2、3、4、5五個(gè)數(shù)填入五個(gè)圓圈里，要求分別滿足以下條件：（1）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于8；（2）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于9；（3）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于10。解：見下圖（1）、（2）、（3）（1）將8分拆成三個(gè)數(shù)之和（注意，這三個(gè)數(shù)要從1、2、3、4、5中選?。?=1+2+58=1+3+4因?yàn)橹虚g圓圈里的數(shù)是要公用的，所以應(yīng)把“1”填在中間圓圈里其他四個(gè)數(shù)填在邊上；（2）解法思路與（1）相同，分拆方式如下：9=1+3+59=2+3+4（3）解法思路與（1）相同10=1+4+510=2+3+5。習(xí)題七1．如右圖所示。在正方形的空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使每一橫行、豎行、斜行的三個(gè)數(shù)相加得數(shù)都是18。2．如右圖所示。在正方形空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使每一橫行、豎行、斜行的四個(gè)數(shù)相加都得34。3．如右圖所示。把適當(dāng)?shù)臄?shù)填到三角形的空圈里，使每條直線上3個(gè)圈中的數(shù)相加都是10。4．如圖所示。從2、3、4、5、6中選取適當(dāng)?shù)臄?shù)填入小圓圈，使同一個(gè)大圓上的小圓圈中的四個(gè)數(shù)的和①都等于15，②都等于16。5．如右圖所示，圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上的三個(gè)數(shù)相加之和都等于10。6．如圖所示。在圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上的三個(gè)數(shù)相加之和都是15。7．如下頁圖所示。把1、2、3、4、5、6、7、8、9分為三組，填到三個(gè)小三角形的各個(gè)角上的圓圈里，使每個(gè)小三角形的三個(gè)角的圓圈里的數(shù)之和都是15。同時(shí)使大三角形三個(gè)角的圓圈里的數(shù)之和也是15。習(xí)題七解答1．在圖中，用較大的黑體字表示方格中原有的已知數(shù)，如10、6、7三個(gè)數(shù)。仔細(xì)觀察可知，可以先在第二橫行右邊空格里填2，因?yàn)橐箼M行三個(gè)空格里的數(shù)之和是18，（已有的兩個(gè)數(shù)之和是10+6=16）就需要在這個(gè)空格中填上18-16=2。當(dāng)然，也可以先填左下角空格的那個(gè)數(shù)，因?yàn)樗诘男毙兄幸延袃蓚€(gè)數(shù)7和6，而7+6=13，所以應(yīng)在這個(gè)空格里填18-13=5。接著用同樣的思考方法就可以填出其他空格里的數(shù)了。2．見圖。解法思路與第1題相同。因?yàn)橐竺啃械乃膫€(gè)數(shù)之和是34，而第三橫行已有的三個(gè)數(shù)之和為9+7+12=28，所以此行空格中可填6。也可先填圖中另一斜行，因這斜行中已有的三個(gè)數(shù)之和是13+10+7=30，所以，這斜行的空格，也就是圖的左下角的空格中應(yīng)填4。接著，用同樣的思考方法填出其余所有空格。3．見圖。解法與第1題相同。因?yàn)槿切蔚囊贿呉延袃蓚€(gè)數(shù)3和2，其和為3+2=5，要使這邊的三數(shù)之和是10，可知這邊的右下角圓圈中應(yīng)填10-5=5。其余兩圓圈中的數(shù)可按同樣方法填出。4．見圖。①和是15：因?yàn)榇髨A上有兩個(gè)小圓圈中已有了1和7，它們的和是1+7=8，所以同一個(gè)大圓上另外的兩個(gè)小圓圈中應(yīng)填的兩個(gè)數(shù)之和應(yīng)是15-8=7，將7分拆成兩個(gè)數(shù)有兩種分拆方式：將2和5填入一個(gè)大圓上的兩個(gè)空圈中，將3和4填入另一個(gè)大圓上的兩個(gè)空圈中。②見右圖。和是16，解法思路和①相同。因?yàn)?+7=8，16-8=8將8分拆成兩個(gè)數(shù)，有兩種分拆方式：將2和6、3和5分別填入大圓上的空圈中。5．解：見下圖（1）～（4）把10分拆成三個(gè)不同的數(shù)的和，共有4種分拆方式：10=1+2+7=1+3+6=1+4+510=2+3+5選擇有一個(gè)共同加數(shù)的兩個(gè)式子，把共同的加數(shù)填在中間的圓圈里，其他四個(gè)加數(shù)分別填在兩頭的圓圈里就構(gòu)成一種填法。本題有6種符合題目要求的填法，這里只舉其中4種填法，還有2種填法你能找出來嗎？

6．解見下圖。把15分拆成三個(gè)不同的數(shù)相加之和，共有12種分拆方式：15=1+2+1215=1+3+1115=1+4+1015=1+5+915=1+6+815=2+3+1015=2+4+915=2+5+815=2+6+715=3+4+815=3+5+715=4+5+6因?yàn)轭}目中已有2、3、8三個(gè)數(shù)填在3個(gè)圓圈里，觀察上面各式，既用到2、3、8這三個(gè)數(shù)，又要有另一個(gè)數(shù)是共同的，這樣的式子有如下三個(gè)：15=1+2+12，15=1+3+11，15=1+6+8，將三式中共用的加數(shù)“1”寫在中間圓圈里，再在其他三個(gè)圓圈里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。7．解：見下面兩圖，將15分拆，采取兩步分拆法如下：適當(dāng)選取四組數(shù)，填入四個(gè)三角形中（3個(gè)小三角形與1個(gè)大三角形），可以得到一些不同的填法。選法的竅門是：先任選一組數(shù)如3、5、7，將它們分別填在大三角形的三個(gè)角頂圓圈中，再找分別包含3、5、7的三組數(shù)填在小三角形中，它們是3，8，4；5，9，1；7，6，2。如上圖所示。

第八講填圖與拆數(shù)（二）本講主要介紹在填圖與拆數(shù)中找關(guān)鍵數(shù)的思考方法。例1如右圖所示。把三個(gè)1、三個(gè)2、三個(gè)3分別填在九個(gè)格內(nèi)，使橫行、豎行、斜行三個(gè)數(shù)加起來的和都等于6。解：找關(guān)鍵數(shù)先填。因?yàn)橹虚g格的數(shù)和橫行、豎行、斜行都有關(guān)，所以它是關(guān)鍵數(shù)，確定了它，其他各格就容易填了。（1）嘗試法：若中間填“1”，再填其他格，如右圖。結(jié)果有一條斜線上的數(shù)都是1，其和為3，不合題目要求。若中間格填“3”，再填其他格，如右圖結(jié)果有一條斜行上的數(shù)都是3，其和為9，不合題目要求。若中間格填“2”，再填其他格，經(jīng)檢查，符合題目要求，如圖。（2）分析法：顯然在每一橫行、豎行和斜行只能填一個(gè)“1”或一個(gè)“3”。因?yàn)槿籼顑蓚€(gè)1后，即使再填一個(gè)最大的3，這一行的這三個(gè)數(shù)之和才是5，小于6，不符合題目要求；同樣，若填兩個(gè)3后，即使再填一個(gè)最小的數(shù)1，這一行的三個(gè)數(shù)之和就是7，大于6，也不符合題目要求。如果在一行里填入兩個(gè)“2”，即使在此行里再填一個(gè)2，這一行的三個(gè)數(shù)之和也可等于6，符合題要求。由此得出，中間方格必須填“2”。中間方格填好之后其他各格中的數(shù)也就容易填出了。例2如圖。把1、2、3、4、5填入右圖的圓圈中，使每條斜線上的三個(gè)數(shù)相加之和都是8。解：中間圓圈里的數(shù)是個(gè)關(guān)鍵數(shù)，應(yīng)該首先確定它。如何確定它呢？這樣想：假如我們已經(jīng)按題目要求把1、2、3、4、5填入了五個(gè)圓圈中，這樣每條斜線上的三個(gè)數(shù)相加都得8。那么當(dāng)我們把兩條斜線上的數(shù)都加起來，它們的和應(yīng)為8+8=16，但是五個(gè)圓圈中所填數(shù)之和應(yīng)為1+2+3+4+5=15，兩個(gè)和數(shù)之差是1，即：16-15=1。這個(gè)差是如何產(chǎn)生的呢？這是因?yàn)榘褍蓷l斜線上的和數(shù)相加時(shí)，中間圓圈中的數(shù)被加了兩次，即多加了一次。把一個(gè)數(shù)多加了一次和就多了1，可見此數(shù)是1。然后，再求每條斜線兩端的數(shù)?？汕蟪鰞蓴?shù)之和應(yīng)為8-1=7把7分拆成兩個(gè)數(shù)，有兩種分拆方式：把2和5填入一條斜線兩端的圓圈中。把3和4填入另一條斜線兩端的圓圈中。例3如圖所示。把1、2、3、4、5、6、7七個(gè)數(shù)填在右圖中的七個(gè)圓圈里，每個(gè)數(shù)只能用一次，使每條線上的三個(gè)數(shù)相加之和都等于12。解：見圖。中間圓圈里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)，應(yīng)該如何確定它呢？

與例2的想法類似。假設(shè)已經(jīng)按題目要求把數(shù)全部填入了圓圈，那么每條線上的三個(gè)圓圈中的數(shù)相加應(yīng)該都得12。我們?nèi)绻M(jìn)一步把三條直線上的數(shù)都加起來，得數(shù)應(yīng)為：12+12+12=36。不難看出，這樣就把中間圓圈里那個(gè)數(shù)加了三次。因而它比七個(gè)圓圈中的數(shù)相加之和：1+2+3+4+5+6+7=28多了36-28=8也就是8應(yīng)是中間圓圈里的數(shù)的2倍所以中間圓圈里的數(shù)應(yīng)是8的一半，即8÷2=4下面再確定每條線上另外的兩個(gè)圓圈里的數(shù)，方法如下：12-4=8例4如圖所示。把1、2、3、4、5、6六個(gè)數(shù)分別填入右圖的圓圈里，使三角形每條邊上三個(gè)數(shù)之和都等于9。解：見圖。三個(gè)角上圓圈里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)，因?yàn)樗鼈冎械拿總€(gè)都是兩條邊上共有的數(shù)。先確定關(guān)鍵數(shù)。這樣想：六個(gè)數(shù)之和是1+2+3+4+5+6=21每條邊上三個(gè)數(shù)之和是9，9+9+9=27這樣算每個(gè)角上圓圈里的數(shù)都被加了兩次，因此角上三個(gè)圓圈中的數(shù)之和是27-21=6把6分拆成三個(gè)數(shù)之和：6=1+2+3；把1、2、3分別填入三個(gè)角上的圓圈里，其余的圓圈里的數(shù)就容易填了。習(xí)題八1．見圖。把2、3、4、5、6、7、8、9、10、11填入右圖空白圓圈內(nèi)，使每個(gè)大圓上四個(gè)小圓圈內(nèi)的數(shù)的和都是29。你能填嗎？

2．見圖。把2、3、4、6、7、10、11分別填入大圓上的小圓圈內(nèi)，使每個(gè)圓上四個(gè)小圓圈中的數(shù)字和都是24。你能填嗎？

3．見圖。把2、3、4、5、6填入右圖的五個(gè)方格里，使橫行、豎行的三個(gè)數(shù)之和等于：①11、②12、③13。4．見圖。把5、6、7、8、9、10六個(gè)數(shù)分別填入右圖中的六個(gè)圓圈里，使三角形每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于21。5．見圖。把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10這十個(gè)數(shù)分別填入圓圈里，使每個(gè)正方形的四個(gè)數(shù)相加之和都等于24。6．見圖。把1、2、3、4、5、6、7填入右圖圓圈中，使橫行、豎行、斜行三個(gè)圓圈中的數(shù)相加之和都等于12。7．見圖。把11、12、13、14、15、16、17七個(gè)數(shù)填入右圖的圓圈中，使橫行、豎行的圓圈中的每三個(gè)數(shù)之和都是42。8．見圖。把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11這十一個(gè)數(shù)，分別填入圖中空格內(nèi)，使相鄰的兩個(gè)或三個(gè)空格內(nèi)的和等于①14、②15。9．把1、2、3、4、5、6、7、8、9各數(shù)分別填入“七一”圖形中的九個(gè)空格內(nèi)，使每一橫行、豎行的四個(gè)、三個(gè)或兩個(gè)空格中的數(shù)相加之和都等于13。（見下圖）10．見下圖。把1、2、3、4、5、6、7各數(shù)填入“十一”圖形中的七個(gè)空格里，使每一橫行、豎行的三個(gè)或兩個(gè)空格中的數(shù)相加之和都是10。習(xí)題八解答1．解：見圖。找關(guān)鍵數(shù)先填。三個(gè)大圓相交處的小圓圈中的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。仔細(xì)觀察。圖中一個(gè)大圓上已有9和7兩個(gè)數(shù)，所以這個(gè)大圓上A，B兩個(gè)小圓圈（如圖示）所填的兩數(shù)之和應(yīng)為29-（9+7）=13。把13分拆成兩數(shù)之和（注意要選用題中已給的數(shù)）只有11+2和8+5兩種分拆方式可供選用；經(jīng)試驗(yàn)可知8和5這組數(shù)不合用，只能選用11和2這組數(shù)。最后可確定將11填入三個(gè)大圓相交處的A圈中。接著可較容易地填上其他數(shù)了。2．解：見圖。由中間的大圓圈上的三個(gè)已知數(shù)1，5，8，可求出這個(gè)大圓上的最后一個(gè)數(shù)：24-（1+5+8）=10，這樣還剩下2、3、4、6、7、11六個(gè)數(shù)未被選用。應(yīng)把它們分別填入六個(gè)小圓圈。仔細(xì)觀察可知：另外的兩個(gè)大圓相交處的小圓圈（B圈）中的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。而且有一個(gè)大圓上已經(jīng)給出了數(shù)9，所以該大圓上其余三個(gè)小圓圈所填數(shù)之和應(yīng)為24-9=15。因而將15分拆成三個(gè)數(shù)之和（注意必須選用題中所給的數(shù)）15=7+6+2經(jīng)嘗試B圈中只能填6。然后再確定左邊大圓上三個(gè)小圓圈應(yīng)填的數(shù)是11、4和3。3．解：見下圖，解題思路與例3相同，略寫如下：2+3+4+5+6=20。①11+11-20=2即中間格填2。②12+12-20=4即中間格填4。③13+13-20=6即中間格填6。4．解：見圖解題思路與例4相同，略寫如下：21+21+21=635+6+7+8+9+10=4563-45=18（三個(gè)角上的三個(gè)數(shù)之和）分拆18=5+6+7即三個(gè)角上的三個(gè)圓圈里應(yīng)填5、6、7。5．解：見圖，找關(guān)鍵數(shù)先填，不難看出，標(biāo)有字母A和B的兩圓圈中的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)，因?yàn)樗鼈兪钦叫喂玫臄?shù)，解法：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=5524+24+24=7272-55=1717=10+7=9+8（這就是兩組關(guān)鍵數(shù)10和7，以及9和8）。6．解：見圖，找關(guān)鍵數(shù)先填。不難看出，中間圓圈里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。求關(guān)鍵數(shù)：1+2+3+4+5+6+7=2812+12+12=3636-28=8（相當(dāng)兩個(gè)中間圓圈里的數(shù)之和）8÷2=4（就是一個(gè)中間圓圈里的數(shù)）12-4=8行三個(gè)數(shù)之和他是12。7．解：先求關(guān)鍵數(shù)：橫行和豎行公用的兩個(gè)圓圈的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。11+12+13+14+15+16+17=9842+42+42=126126-98=28（28是橫行和豎行公用的兩個(gè)圓圈里的數(shù)的和）將28分拆：（見下面三個(gè)圖）。8．解：先求關(guān)鍵數(shù)。六字的“點(diǎn)”和“橫”公用的方格中的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。方法1：14×5=701+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66公用的方格中的數(shù)是70-66=4再適當(dāng)選擇其他的數(shù)填入其他空格。方法2：見下圖15×5=7575-66=9公用的方格中填9，再適當(dāng)選擇其他各數(shù)填入方格。9．解：見下圖，求關(guān)鍵數(shù)即共用方格中的數(shù)1+2+3+4+5+6+7+8+9=4513×4=5252-45=710．解：見下圖，先確定“十”字中間方格中的數(shù)1+2+3+4+5+6+7=2810×3=3030-28=2（中間方格中的數(shù)）。

第九講分組與組式課本上的算題，多數(shù)是已經(jīng)列好算式要求計(jì)算出結(jié)果。但在這一講里，往往是知道結(jié)果或要達(dá)到的目標(biāo)，請(qǐng)你回答如何才能得出這種結(jié)果或達(dá)到目標(biāo)值。為此就要求同學(xué)們?cè)谡莆蘸靡郧八鶎W(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，還要進(jìn)一步做到：仔細(xì)地觀察，發(fā)現(xiàn)題中給出的一些數(shù)中存在的規(guī)律，并且大膽地進(jìn)行嘗試，培養(yǎng)思維的靈活性和敏捷性。例1如下圖所示把1、2、3、4、5、6、7、8、9九個(gè)數(shù)字分成兩部分，再組成兩個(gè)數(shù)，填入下面的兩個(gè)方框里，使兩個(gè)數(shù)的和等于99999解：把九個(gè)數(shù)字分成兩部分，組成兩個(gè)數(shù)，要求相加之和由五個(gè)9組成，可見一個(gè)數(shù)應(yīng)是五位數(shù)，且9應(yīng)在最高位，另一個(gè)是四位數(shù)。把除9之外的其余八個(gè)數(shù)字分成四對(duì)，每對(duì)的和是9，它們應(yīng)是1和8，2和7，3和6，4和5。它們可以組成以下算式，如：可見分組方法是多種多樣的。例2給你1、2、3、4、16、17、18、19這八個(gè)數(shù)，要求：①把它們分成四組，使每組的兩個(gè)數(shù)相加之和相等。②再用這八個(gè)數(shù)組成如下的兩個(gè)算式?！?□-□=□□+□-□=□①解：仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)：在這八個(gè)數(shù)中，前四個(gè)都是一位數(shù)，且后一個(gè)數(shù)比前一個(gè)數(shù)大1；后四個(gè)都是兩位數(shù)，也是后一個(gè)數(shù)比前一個(gè)數(shù)大1。因此把它們互相搭配后，可使每組的兩數(shù)之和相等。分組如下：（1，19）；（2，18）；（3，17）；（4，16）。可以看出，每組的兩數(shù)之和都等于20。②解：如下圖所示，由于1+19=2+18，3+17=4+16因此可以組成符合題目要求的算式如下：注意：符合題目要求的算式不只這些，同學(xué)們自己還可以再寫出一些。例3在1、2、3、4、5、6、7之間放幾個(gè)“+”號(hào)，使它們的和等于100，試試看。1234567=100解：對(duì)這類題目一是要大膽嘗試，邊想邊寫，千萬不要只想不寫！二是可以先考慮與目標(biāo)值（此題是100）較接近的大數(shù)，再考慮用較小的數(shù)進(jìn)行調(diào)整、修正，使式子的得數(shù)逐漸接近目標(biāo)值，也就是使之轉(zhuǎn)化為較簡單的情況。（1）對(duì)此題可考慮先在67前面放一個(gè)“+”號(hào)，這樣比100還小33，也就是說，轉(zhuǎn)化成了較簡單的情況：12345=33再考慮在23前放個(gè)“+”號(hào)，它比33還小10，這樣問題又轉(zhuǎn)化為：145=10這就很容易看出來了：1+4+5=10所以最后可以確定組成的算式是：1+23+4+5+67=100（2）此題還可以有另外的解法，邊看邊想可得出：34+56=90剩下的三個(gè)數(shù)：1+2+7=10所以最后可以組成如下的算式：1+2+34+56+7=100。例4某公園里有三棵樹，它們的樹齡分別由1、2、3、4、5、6這六個(gè)數(shù)字中的不同的兩個(gè)數(shù)字組成，而且其中一棵的樹齡正好是其他兩棵樹齡和的一半，你知道這三棵樹各是多少歲嗎？

解：這道題的實(shí)質(zhì)就是：把1、2、3、4、5、6六個(gè)數(shù)分成三組，每組兩個(gè)數(shù)，組成二位數(shù)，使其中的兩個(gè)二位數(shù)之和等于第三個(gè)二位數(shù)的2倍。順便說一下，把生活中的趣味問題轉(zhuǎn)化成為純數(shù)學(xué)型的題目是一種重要的本領(lǐng)，同學(xué)們要從小就注意增強(qiáng)這種能力，以便將來能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際工作中遇到的難題。仔細(xì)觀察、大膽嘗試，將這六個(gè)數(shù)分組、組合，可得出的三個(gè)數(shù)是：12，34，56，因?yàn)?2+56=34×2即這三棵樹的樹齡是12歲、34歲、56歲。這道題有幾種不同的答案，請(qǐng)你動(dòng)動(dòng)腦筋找出另外的答案。習(xí)題九1．用10、11、12、13這四個(gè)數(shù)編兩道加減順序不同的混合算式，要求算式符合下面的形式?！?□-□=□□-□+□=□2．用2、3、4、5、6、7、8、9這八個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)只準(zhǔn)用一次，編兩道加減混合算式，要求算式符合下面的形式?！?□-□=□□-□+□=□3．公園里有三棵樹，它們的樹齡分別由1、2、3、4、5、6這六個(gè)數(shù)字中的不同的兩個(gè)數(shù)字組成，而其中一棵的樹齡正好是其他兩棵樹齡和的一半，你知道這三棵樹各是多少歲嗎？

4．某公園里有三棵古樹，它們的樹齡分別由1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個(gè)數(shù)字中的不同的三個(gè)數(shù)字所組成，而且其中一棵的樹齡正好是其他兩棵樹齡和的一半，你知道這三棵樹各是多少歲嗎？

5．見圖。有一天，電鐘從墻上掉下來，鐘面摔成了三塊。小明一看，三塊的形狀雖然不同，但三塊上的數(shù)相加之和卻相等。你知道鐘面碎成了什么樣子嗎每塊鐘面上的數(shù)相加之和是多少

6．在1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個(gè)數(shù)字中，不改變它們的順序，在它們中間添上加、減兩種符號(hào)，使所得的結(jié)果等于100。你能組成下面這樣的算式嗎？

123456789=1007．用1、2、3、4、5、6、7這七個(gè)數(shù)字組成五個(gè)數(shù)，使組成的兩個(gè)兩位數(shù)與三個(gè)一位數(shù)相加之和正好等于100，你能夠辦得到嗎？

8．把0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個(gè)數(shù)字分別填到下面方框里，每個(gè)數(shù)只準(zhǔn)用一次，使下面的三個(gè)算式都成立。□+□=□□-□=□□×□=□□9．在1至9的九個(gè)數(shù)字中，已填入方框的三個(gè)數(shù)字除外，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)字填入方框中，使下面的等式成立。10．見下圖。把1、2、3、4、5、6這六個(gè)數(shù)字分成三組。第一組一個(gè)數(shù)字，作為一位數(shù)當(dāng)乘數(shù)；第二組二個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)二位數(shù)當(dāng)被乘數(shù)；第三組三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)三位數(shù)當(dāng)作積。最后用這三個(gè)數(shù)寫成下列乘法算式?！酢酢痢?□□□習(xí)題九解答1．解：在10、11、12、13四個(gè)數(shù)中，相鄰的兩個(gè)數(shù)，后邊的數(shù)比前邊的數(shù)大1，所以可以寫成一個(gè)等式：10+13=11+12對(duì)這個(gè)等式進(jìn)行變換，可以得到符合題目要求的兩個(gè)等式：2．解：根據(jù)這八個(gè)數(shù)之間的相互關(guān)系，首先可以寫出兩個(gè)等式：2+5=3+46+9=7+8再根據(jù)運(yùn)算規(guī)律，對(duì)這兩個(gè)等式進(jìn)行變換，就可以得到符合要求的兩個(gè)算式：還可以變換出其他形式的算式，同學(xué)們還可以試著寫出一些。3．解：此題與例4相同，除在例4中求出的一個(gè)答案外還有以下各種答案也符合題意：21+65=43×2三棵樹的樹齡分別是21歲、43歲、65歲。16+52=34×2三棵樹的樹齡分別是16歲、34歲、52歲。25+61=43×2三棵樹的樹齡分別是25歲、43歲、61歲。4．解：此題與例4類似?？梢赃@樣考慮：用1、2、3組成最小的三位數(shù)，用7、8、9組成較大的三位數(shù)，將兩個(gè)數(shù)相加得數(shù)取其半就是中間數(shù)：123+789=912912÷2=456所以三棵古樹的樹齡分別是123歲、456歲、789歲。5．解：鐘面上的12個(gè)數(shù)是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。不難看出這些數(shù)有個(gè)特點(diǎn)：最小的1和最大的12相加得13，次小的2和次大的11相加得13……中間的6和7相加得13，即可見，三塊鐘面上的數(shù)若按下面的方式組合，它們的和將會(huì)相等：（1，2，11，12），（3，4，9，10），（5，6，7，8）。每塊鐘面上的數(shù)之和是：1+2+11+12=3+4+9+10=5+6+7+8=26。6．解：為了減少嘗試的次數(shù)，可以先考慮接近100的較大的數(shù)，用加上或減去較小的數(shù)進(jìn)行逐步調(diào)正，最后得到目標(biāo)值100。經(jīng)嘗試知可組成以下算式：①123+45-67+8-9=100可以這樣想123-100=23，所以要想辦法再減去23。加45減67等于減去22；再加8減9等于減1，恰好滿足要求。②123-45-67+89=100可以這樣想：從123中減去45和67后得11，然后和89相加，得數(shù)正好是100。③123+4-5+67-89=100這個(gè)算式與①的解法思路相似。123比100大23，要減去它才能達(dá)到目標(biāo)值100。加4減5等于減1，加67減89等于減22，結(jié)果正好滿足要求。以下還有：④123-4-5-6-7+8-9=100⑤12+3+4+5-6-7+89=100⑥12-3-4+5-6+7+89=100⑦1+2+3-4+5+6+78+9=100⑧1+2+34-5+67-8+9=100⑨12+3-4+5+67+8+9=100⑩1+23-4+56+7+8+9=1007．解：在1至7這七個(gè)數(shù)里，能使五個(gè)數(shù)的和的個(gè)位數(shù)是0的有以下三組：1、2、4、6、7；1、3、4、5、7；2、3、4、5、6把這三組數(shù)分別作為算式中的個(gè)位數(shù)字，每組中剩下的兩個(gè)數(shù)就可以作為十位數(shù)字，因而所組成的三個(gè)得數(shù)均勻100的豎式如下圖8．解：題目要求用0到9這十個(gè)數(shù)字組成一道加法算式、一道減法算式，一道乘法算式，而且乘法算式里的積是兩位數(shù)，其余算式中的各個(gè)數(shù)都是一位數(shù)。由于乘法算式受限制最強(qiáng)，所以抓住它入手分析?！酢痢?□□又因?yàn)椤?”是較特殊的數(shù)，按題目要求每個(gè)數(shù)只許用一次，這就定了“0”只能在乘法算式的乘積的個(gè)位數(shù)的方框中出現(xiàn)。這是因?yàn)?加減任何數(shù)都得原來的數(shù)；0與任何數(shù)相乘都得0，都會(huì)破壞每個(gè)數(shù)字只使用一次的要求，個(gè)位數(shù)是0的乘法算式有2×5=10，4×5=20，6×5=30，8×5=40。究竟選用哪個(gè)乘法算式呢？就要看剩下的數(shù)能不能組成加法算式和減法算式。經(jīng)試驗(yàn)可知選4×5=20后剩下的是1、3、6、7、8、9六個(gè)數(shù)，用它們可組成1+7=8，3+6=9兩個(gè)等式。經(jīng)變換可得符合題目要求的一組算式（同學(xué)們還可以變換出其他形式的答案）。9．解：先根據(jù)只有9×6=54和8×7=56再用把剩下的數(shù)字進(jìn)行檢驗(yàn)，可得出兩種符合要求的答案：10．解：經(jīng)多次嘗試，可得出符合題目要求的答案如下．

第十講自然數(shù)串趣題從1開始，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12……連起來成一串，像一串糖葫蘆，我們把這樣的一串?dāng)?shù)叫作自然數(shù)串（也叫自然數(shù)列），其中的每一個(gè)數(shù)都叫作自然數(shù)。自然數(shù)串的特點(diǎn)是：①從1開始，1是頭；②在相鄰的兩個(gè)數(shù)中，后一個(gè)數(shù)比前一個(gè)數(shù)大1；③后面的數(shù)要多大有多大，也就是說，自然數(shù)串是有頭無尾的。在自然數(shù)串中，如果寫到某一個(gè)數(shù)為止，就叫做有限自然數(shù)串，也簡稱自然數(shù)串。這一講的題目，都是與（有限）自然數(shù)串有關(guān)的。例1如下頁圖所示。一份學(xué)習(xí)材料放在桌上，一陣風(fēng)把材料吹落了一地。小軍揀起來一看，糟糕，少了兩張。根據(jù)下面揀到的材料的頁碼，你能說出少了哪幾頁嗎？

解：一張材料的正反兩面用兩個(gè)自然數(shù)作頁碼，這兩個(gè)自然數(shù)是相鄰的。仔細(xì)觀察找到的材料的頁碼，根據(jù)自然數(shù)串的特點(diǎn)，可知少了的兩張紙的頁碼是（7、8）和（13、14）。例2從1連續(xù)地寫到100，“0”出現(xiàn)了多少次？

解：“0”出現(xiàn)了11次。因?yàn)閺?到100含有“0”的自然數(shù)是：10、20、30、40、50、60、70、80、90、100。數(shù)一數(shù)，這些自然數(shù)中共有11個(gè)“0”。例3把1，2，3，4，5，……28，29，30這三十個(gè)數(shù)，從左往右依次排列起來，成為一個(gè)數(shù)，你知道這個(gè)數(shù)共有多少個(gè)數(shù)字嗎？

解：把這個(gè)數(shù)寫出一部分來看看：1234567891……282930下面，分段計(jì)算這個(gè)數(shù)共包含有多少個(gè)數(shù)字：1至9共有9個(gè)數(shù)字；10至19共有10個(gè)自然數(shù)，每個(gè)都由兩個(gè)數(shù)字組成，這一段共有2×10=20個(gè)數(shù)字。20至29這一段也有10個(gè)自然數(shù)，共有20個(gè)數(shù)字。30這個(gè)數(shù)由兩個(gè)數(shù)字組成。所以這個(gè)數(shù)所包含的數(shù)字總數(shù)是：9+20+20+2=51（個(gè)）。例4小青每年都和家長一起參加植樹節(jié)勞動(dòng)。七歲那年，他種了第一棵樹，以后每年都比前一年多種一棵?，F(xiàn)在他已經(jīng)長到15歲了，連續(xù)地種了九年樹。請(qǐng)你算一算，這九年中小青一共種了多少棵樹？

解：先把小青每年種幾棵樹寫出來再把每年種樹的棵樹加起來1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（棵）。例5如下圖所示。商店的貨架上堆放著一堆火腿腸。你能很快地算出它的總數(shù)有多少根嗎？

解：從上向下數(shù)，每層的火腿腸的根數(shù)組成一個(gè)自然數(shù)串，1，2，3，4，5，6，7，8，9方法1：利用湊十法求和方法2：用兩串?dāng)?shù)“頭尾相加”法求和和=90÷2=45這種自然數(shù)串的求和方法很巧妙，很重要，希望同學(xué)們能學(xué)會(huì)它。例6把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16填入正方形的方格中，使每一橫行豎行、斜行的四個(gè)數(shù)相加得數(shù)都是34。解：（1）把這16個(gè)數(shù)依次排成如下四行（2）把帶箭頭的線的兩端的數(shù)互換（3）互換后，把16個(gè)數(shù)填到正方形的空格里你會(huì)發(fā)現(xiàn)每一橫行、豎行、斜行的四個(gè)數(shù)相加的和都等于34。如果你仔細(xì)觀察的話，還可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)圖中的奇妙的性質(zhì)：不但每一橫行、每一豎行和每一斜行的四個(gè)數(shù)相加之和都等于34，而且①四個(gè)角上的四個(gè)小正方形里的四個(gè)數(shù)之和都是34；②中間的一個(gè)小正方形里的四個(gè)數(shù)之和也是34；③大正方形四個(gè)角上的四個(gè)數(shù)相加之和也是34。真是不可思議！人們給它起了個(gè)有趣的名字——幻方。見圖。例7如果全體自然數(shù)如下表排列，請(qǐng)問①數(shù)20在哪個(gè)字母下面？

②數(shù)27在哪個(gè)字母下面？

③數(shù)70在哪個(gè)字母下面？

④數(shù)71在哪個(gè)字母下面？

解：仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)排列的規(guī)律：開頭的七個(gè)數(shù)1，2，3，4，5，6，7分別排在A，B，C，D，E，F(xiàn)，G的下面以后每加七個(gè)數(shù)就又從頭排起，如1+7=8，1+7+7=15，則8和15都和1那樣，排在字母A的下面利用這個(gè)規(guī)律，就能求出哪個(gè)數(shù)在哪個(gè)字母下面。①20=6+7+7，可見20和6排在同一個(gè)字母下，即在字母F下面；②27=20+7=6+7+7+7，可見27也是排在字母F的下面；可見70排在字母G下面；④71=1+70，可見71和1都排在字母A的下面。習(xí)題十1．小明從1寫到100，他共寫了多少個(gè)數(shù)字“9”

2．把1到12這十二個(gè)數(shù)每兩個(gè)數(shù)分為一組，要求每組的兩個(gè)數(shù)之和都相等，怎么分和是多少

3．用1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個(gè)數(shù)編三個(gè)算式，一個(gè)加法、一個(gè)減法、一個(gè)乘法，每個(gè)數(shù)只許用一次。4．用1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個(gè)數(shù)字，寫成三個(gè)三位數(shù)，使它們的和等于1953。5．用1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個(gè)數(shù)字，寫成三個(gè)三位數(shù)，使它們的和等于1989。6．一只老貓捉了12只老鼠，其中有一只小白鼠。老貓自言自語地說：“我要分三批吃它們。不過吃以前叫它們站好隊(duì)，我從頭一個(gè)開始吃，隔一個(gè)吃掉一個(gè)，也就是：我第一次吃掉站在第1，3，5，7，9，11號(hào)位置的小老鼠；剩下的叫它們不許動(dòng)，第二次還是從頭一個(gè)吃起，隔一個(gè)吃一個(gè)；第三次也是照這個(gè)辦法吃。但把最后剩下的一個(gè)放了?！边@話被聰明的小白鼠聽見了，于是它站在了某個(gè)號(hào)的位置上，最后沒有被吃掉。小朋友，你知道小白鼠站的是第幾號(hào)位置嗎？7．所有自然數(shù)都按下表排列，問：（1）21排在第幾列的下面？

（2）30排在第幾列的下面？

8．一個(gè)排版工人給一本1至50頁的書排頁碼，如果書的頁碼的每一個(gè)數(shù)字都用不同的鉛字塊，問他一共要用多少鉛字塊？

9．把1至16這十六個(gè)自然數(shù)巧妙地填入正方形的十六空格里，可以做成有趣的幻方。右圖是個(gè)未完成的幻方，當(dāng)它被填滿時(shí)，它的每行、每列和每條對(duì)角線上四個(gè)數(shù)字的和都相等。請(qǐng)你繼續(xù)把這個(gè)幻方完成。習(xí)題十解答1．解：小明共寫了20個(gè)數(shù)字“9”。因?yàn)閺?到100的數(shù)中有18個(gè)數(shù)含有一個(gè)數(shù)字“9”，它們是：9、19、29、39、49、59、69、79、89、90、91、92、93、94、95、96、97、98。另外自然數(shù)99含有兩個(gè)數(shù)字9。2．解：自然數(shù)串有一個(gè)特點(diǎn)，相鄰的兩個(gè)數(shù)中，后一個(gè)比前一個(gè)大1，因此可以進(jìn)行如下的搭配分組：最小的數(shù)1和最大的數(shù)12成一組（1，12）；次小的數(shù)2和次大的數(shù)11成一組（2，11）；……中間的兩個(gè)數(shù)6和7成一組（6，7）；各組兩個(gè)數(shù)相加之和都是13。3．解：從受限制最強(qiáng)的乘法算式入手，在這九個(gè)數(shù)中兩個(gè)數(shù)相乘的積等于另一個(gè)數(shù)而不發(fā)生重復(fù)數(shù)字出現(xiàn)的，只有2×3=6和2×4=8；經(jīng)試驗(yàn)，可選用2×3=6，則剩下的六個(gè)數(shù)可組成兩個(gè)等式1+7=8和4+5=9。再經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q就可以列出滿足題目要求的算式（答案不惟一）。1+7=89-4=52×3=6。4．解：分拆1953=1800+140+13再分拆13=9+3+1作為三個(gè)數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字；14=8+4+2作為三個(gè)數(shù)十位上的數(shù)字；18=7+6+5作為三個(gè)數(shù)的百位上的數(shù)字；于是，得到的三個(gè)數(shù)是789，643，521，檢驗(yàn)：注意：此題答案不惟一，同學(xué)們還可以試著寫出符合題目要求的其他三個(gè)數(shù)。5．解：思路與第4題相同，分拆1989=1800+180+9再分拆18=8+6+4作為三個(gè)數(shù)的百位上的數(shù)字；18=9+7+2作為三個(gè)數(shù)的十位上的數(shù)字；9=1+3+5作為三個(gè)數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字；于是，得到的三個(gè)數(shù)是891，673，425，檢驗(yàn)：符合題意。6．解：按貓吃老鼠的過程順序進(jìn)行思考；老鼠站好隊(duì)，可見聰明的小白鼠如果站在第8號(hào)位置上就可以不被吃掉。7．解：方法1：把下圖的自然數(shù)繼續(xù)寫下去，一直寫到21為止，就可以知道：21在第二列，30在第三列。方法2：仔細(xì)觀察表中自然數(shù)的排列，可以發(fā)現(xiàn)每經(jīng)過7個(gè)數(shù)字就又會(huì)重新從第一列開始，完全重復(fù)前面的排列情況，由此，可以找到一個(gè)通過計(jì)算找出某個(gè)自然數(shù)在第幾列的方法：30-7-7這就是說30和2在同一列即在第三列。8．解：分段計(jì)算：從1至9頁，共9頁，每頁用一個(gè)鉛字塊共有1×9=9（塊）；從10至19頁，共10頁，每頁用兩個(gè)鉛字塊共用2×10=20（塊）；從20至29頁，共10頁，每頁用兩個(gè)鉛字塊共用2×10=20（塊）；從30至39頁，共10頁，每頁用兩個(gè)鉛字塊共用2×10=20（塊）；從40至49頁，共10頁，每頁用兩個(gè)鉛字塊共用2×10=20（塊）；第50頁，共1頁（但為兩位數(shù)）用兩個(gè)鉛字塊，所以：50頁書共用9+20+20+20+20+2=91（塊）（鉛字）。9．解：見圖，仔細(xì)觀察可看出有一條對(duì)角線上的四個(gè)數(shù)都給出來了。這四個(gè)數(shù)相加之和是12+9+5+8=34由此可求第3行第一列空格中的數(shù)是10；即5+16+3=24，34-24=10。第4行第三列上空格中的數(shù)是2，即7+9+16=32，34-32=2。接著可繼續(xù)求出其他空格中數(shù)。

第十一講不等與排序兩個(gè)數(shù)或者相等或者不等，不等關(guān)系又分為大于和小于。排序就是把互相不等的一些數(shù)通過比較按大小順序排列起來，或是按照一定的要求把一些東西排列起來。例1把下面圈里的數(shù)從大到小排起隊(duì)來。解：容易看出，圈里的數(shù)都是兩位數(shù)，比較兩個(gè)兩位數(shù)的大小時(shí)，首先看十位數(shù)字，十位數(shù)字大的數(shù)比十位數(shù)字小的數(shù)大，因此這些數(shù)從大到小排隊(duì)如下：例2把下面圈里的數(shù)從小到大排排隊(duì)，并用“＜”連接起來。解：這些數(shù)是一位數(shù)和兩位數(shù)。根據(jù)下面的原則對(duì)這些數(shù)進(jìn)行比較、排隊(duì)：（1）一位數(shù)比兩位數(shù)小，（2）比較十位數(shù)字相同的兩個(gè)兩位數(shù)時(shí)，要看它們的個(gè)位數(shù)字，個(gè)位數(shù)字小的那個(gè)兩位數(shù)小。排隊(duì)結(jié)果如下：例3見下圖，把右邊大圓圈里的數(shù)分別填入左邊的小圓圈里，使圖中所示的不等關(guān)系成立。解：仔細(xì)觀察不等關(guān)系圖可以發(fā)現(xiàn)：①最左端的小圓圈中應(yīng)填的數(shù)都大于其他三個(gè)小圓圈中應(yīng)填的數(shù)，所以應(yīng)填最大的數(shù)4；②最上面的小圓圈應(yīng)填的數(shù)最小，所以應(yīng)填1，這樣其他兩個(gè)小圓圈中的數(shù)就容易填了。見圖。例4請(qǐng)把1、2、3、4、5、6、7填入右圖中的小圓圈里，使圖中的“大于”、“小于”關(guān)系成立。解：仔細(xì)觀察圖中不等關(guān)系符號(hào)的方向可知，在由小圓圈組成的三角形中：①最上面的小圓圈中的數(shù)最小，應(yīng)填1，左下角的小圓圈中的數(shù)最大，應(yīng)填7；②從上往下數(shù)，第二層的小圓圈中的數(shù)都大于最上面的小圓圈中的數(shù)1，而小于第三層圓圈中的三個(gè)數(shù)，所以第二層應(yīng)填2、3、4，而第三層應(yīng)填7、6、5；③再考慮到第二層和第三層各層的不等號(hào)方向，填圖就可以最后完成了。見圖。例5老師發(fā)了數(shù)學(xué)考卷，一班（1）組的六個(gè)同學(xué)的分?jǐn)?shù)是這樣的：①小王和小錢的分?jǐn)?shù)一樣多；②小趙比小李的分?jǐn)?shù)多，可比小王的分?jǐn)?shù)少；③小樂沒有小王、小趙的分?jǐn)?shù)多，但比小李的多；④小錢的分?jǐn)?shù)比小顧的又要少一些。請(qǐng)給他們排排隊(duì)，并回答誰分?jǐn)?shù)最多誰分?jǐn)?shù)最少

解：由①：小王=小錢由②：小王＞小趙＞小李由③：小王＞小趙＞小樂＞小李由④：小顧＞小錢=小王＞小趙＞小樂＞小李可見小顧的分?jǐn)?shù)最多，小李的分?jǐn)?shù)最少。例6如圖。有六間家畜欄圈，首尾接成一圓形，每個(gè)欄圈只關(guān)著一頭家畜。已知驢與騾相隔兩個(gè)欄圈；羊的欄圈號(hào)碼比騾的欄圈號(hào)碼多；豬與驢、馬相鄰；牛在5號(hào)欄圈。請(qǐng)說明驢、騾、馬、羊、豬、牛各關(guān)在幾號(hào)欄圈里。解：見圖。①先把牛填在5號(hào)欄圈；②因?yàn)樨i與驢、馬相鄰，所以試著把豬填在1號(hào)，而驢填在6號(hào)，馬填在2號(hào)；③因?yàn)檠虻臋谌μ?hào)比騾的欄圈號(hào)多，所以試著把騾填在3號(hào)，把羊填在4號(hào)。④檢查，題中要求驢和騾相隔兩個(gè)欄圈，上面填的滿足這一條件。這樣全部已知的要求條件就都滿足了，所填無誤。注意：此題答案不惟一，還有其他種填法也能滿足題中所要求的條件，如圖所示。習(xí)題十一1．把下面的數(shù)從大到小排排隊(duì)，并且用“＞”連接起來。2．見下圖。把右邊大圓圈里的數(shù)分別填入左邊的小圓圈里，使不等關(guān)系成立。3．下面的數(shù)是一些動(dòng)物的年齡