初中數(shù)學(xué)華東師大九年級上冊圖形的相似相似三角形的判定一PPT

一、新知探究1.閱讀教材P64－66ABCB’

A’C’ED已知：如圖，△ABC和△A’B’C中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′求證：△ABC∽△A’B’C’ABCB’

A’C’2.相似三角形的判定定理一：兩角分別相等的兩個三角形相似.②幾何語言：∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′∴△ABC∽△A’B’C’③這是最常用的方法，當(dāng)題目給出角相等時，優(yōu)先考慮這種方法.④常見圖形A型ABCDEDE∥BCABCDEABCDX型DEABCDEABCDE∥BC母子型圖ABDC△ABD∽△CAD∽△CBAABDC△ABD∽△CAD∽△CBA母子型圖AC2=CD·CBAB2=BD·BCDD2=BD·CD（2)射影定理公共邊的平方等于在同一直線上的兩邊的乘積ABCDE△ABC∽△CED練習(xí)：已知等腰三角形△ABC和△A/B/C/中，∠A、∠A/分別是頂角，求證：①如果∠A=∠A/，那么△ABC∽△A/B/C/。②如果∠B=∠B/，那么△ABC∽△A/B/C/。思考：如果兩個三角形僅有一對角對應(yīng)相等，那么它們是否一定相似？ABCA’B’C’二、例題講解例1

如圖，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，∠C與∠C’都是直角，∠A＝∠A’.求證：△ABC∽△A’B’C’ABCA’B’C’例題2.如圖，在正方形ABCD中，AE⊥PE.（1）求證：△ADE∽△PCE

(2)如果AB=8,CE=6,求PE長。ADBCPE12變式：如圖所示，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F(xiàn)是CD上一點，AE⊥EF，則下列結(jié)論正確的有

。A．∠BAE=30°B.CE2=AB·CF

C.CF=

CD

D.△ABE∽△AEFEBCDAF例2

如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.求證：△ADE∽△EFC.ADEBFC想一想：如果點D恰好是邊AB的中點，那么點E是邊AC的中點嗎？此時，DE和BC有什么關(guān)系？△ADE與△EFC又有什么特殊關(guān)系呢？例3

如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，AD是中線，P為AD上一點，CF∥AB，BP延長線交AC、CF于E、F.求證：BP2＝PE·PFA

ED（2）如圖6-2-10所示，在等邊△ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且∠APD=60°，BP=1，CD=，則△ABC的邊長為()例題5（1）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E是BC上一點，BE∶EC=2∶3，AE交BD于點F，則BF∶FD=.abcABC（3）如圖，在Rt△ABC中放三個邊長分別為a，c，b的正方形，則a、b、c的關(guān)系為

。（4）如圖。P點是Rt△ABC的斜邊AB上一點，過P點的直線截△ABC，截得的三角形與△ABC相似，滿足這樣的條件的直線有

條ABC·P如△ABC不是Rt△，這樣的直線有

條例題6.已知，如圖6-2-5所示的四邊形ABCD為菱形，AF⊥BC于F，(1)求證：2AD2=DE·DB.(2)過點E作EG⊥AF交AB于點G，若線段BE，DE(BE＜DE)的長是方程x2-3mx+2m2=0(m＞0)的兩個根，且菱形ABCD的面積為，求EG的長.三、課堂小結(jié)1.三角形相似的判定定理一：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似2.常見圖形：四、鞏固練習(xí)1.找相似三角形：50°50°ADEBCABDEC2.過Rt△ABC的斜邊BC上一點D作一條直線與另一邊AC或者AB相交，使截得的小三角形與△ABC相似，這樣的直線有幾條？ABCEDF4.如圖，在△ABC中，∠A＝36°，BD平分∠ABC，AB＝AC.求證：△ABC∽△BCD.4題5.如圖，直線l1∥l2

,AF:FB=2:3，BC:CD=2:1,則AE:EC＝

.GBCDEFA5題7.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D.(1)請寫出圖中所有的相似三角形，并選取一對加以證明;①AC2＝AD·AB②BC2＝BD·AB③CD2＝AD·DB(2)用圖中的相似三角形證明下列三個結(jié)論;D

ACB(3)能否借用(2)中①、②的結(jié)論證明勾股定理？8.如圖，在□ABCD中，過點B作BE⊥CD于E，連接AE，F(xiàn)為AE上一點，且∠BFE＝∠C。(1)求證：△ABF∽△EAD；(2)若AB=4，∠BAE=300，求AE的長；(3)在前兩問的條件下，若AD=3，求BF的長.FEDCBA9.巳知：如圖，在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝4,AC＝8.點D在斜邊AB上，分別作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E、F，得四邊形DECF．設(shè)DE＝x，DF＝y(tǒng)．⑴用含y的代數(shù)式表示為：AE＝

；⑵求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍；⑶設(shè)四邊形DECF的面積為s，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出s的最大值．ABCDEA116(1).如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，將其沿DE折疊，點A的落點為A1，如果A1是CE的中點，則折痕DE的長為

。ABC(2)如圖，在已建立直角坐標(biāo)系的4×4網(wǎng)格中有格點三角形ABC和格點三角形PAB相似，則格點P的坐標(biāo)為

。EBMNDCAF17.如圖，AM,BN都垂直于AB，E是AM上一點，AC⊥BE于F交BN于C，CD⊥AM于D.如CD=CF，則AE:AD=

.（1）如圖，△ABC是一張等腰直角三角形紙片，∠C=90°，AC=BC=2.現(xiàn)要在這張紙板中剪出一個盡可能大的正方形，在甲、乙兩種剪法中，

種剪法得到的正方形面積大。BACDEFGABCDEF甲乙19.如果一個正方形的四個頂點都在一個三角形的邊上，那么這個正方形就叫做三角形的內(nèi)接正方形。ABCDEFABCDEFABCDEF①②③…把圖甲的剪法稱為第一次剪取，按照這種剪法，在余下的兩個等腰直角三角形中分別剪取兩個相同的正方形稱為第二次剪取，記這兩個正方形的面積和為S2，則S2=

;在再余下的四個等腰直角三角形中用同樣的方法剪下四個相同的正方形，稱為第三次剪取，并記這四個正方形的面積和為S3…;則第10次剪取時S10=

,余下的所有小三角形的面積和為

。ABCDEFABCDEFGABCEFGH（2）在鈍角、直角、銳角三角形中分別有

個、

個、

個大小不同的內(nèi)接正方形。（3）如下圖：記直角三角形的兩個內(nèi)接正方形的面積為S1、S2

則S1

S2(4)在不等邊銳角三角形中，

的內(nèi)接正方形的面積較小。

123BACDEF20.如圖，在矩形ABCD中，AB=m,BC=8,E為線段BC上的動點（不與B、C重合），連DE，作FE⊥DE交射線BA于F，設(shè)CE=X,BF=Y。（1）寫出Y與X的函數(shù)關(guān)系式。（2）如m=8，求X為何值時，Y的值最大是多少？（3）如,要使△DEF為等腰三角形，

m的值應(yīng)為多少？21.如圖，P點在面積為12的正方形ABCD內(nèi)且△PBC為正三角形，延長BP、CP分別交AD于E、F，連BD交PC于H，連PD，G為BD上一動點，連PA、PD.下列結(jié)論△ABE≌△DCF(2)PD2=PH.BC(3)FP:PH=3：5(4)S△PBD:SABCD=(5)GP+GA的最小值為ABCDEFPHG知識點?：兩角分別相等的兩個三角形相似22．下列各組圖形中一定相似的是()A．有一個角相等的等腰三角形B．有一個角相等的直角三角形C．有一個角是100°的等腰三角形D．有一組角是對頂角的兩個三角形C23．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，則圖中的相似三角形共有()A．1對B．2對C．3對D．4對C3．如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE∥CB，那么在下列三角形中，與△ABC相似的三角形是()A．△DBEB．△BDCC．△ABDD．△CDEB4．如圖，M是Rt△ABC的斜邊BC上異于B，C的一定點，過點M作直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線共有()A．1條B．2條C．3條D．4條C5．如圖所示，點E是平行四邊形ABCD的邊BC延長線上一點，連結(jié)AE，交CD于點F，連結(jié)BF.寫出圖中任意一對相似三角形：________________________________．△ADF∽△ECF(答案不唯一)7．如圖，已知△ABC中，D為邊AC上一點，P為邊AB上一點，AB＝12，AC＝8，AD＝6，當(dāng)AP的長為________時，△ADP和△ABC相似.4或98．如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.求證：△EBF∽△FCG.解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BEF＋∠BFE＝90°，∵∠EFG＝90°，∴∠BFE＋∠CFG＝90°，∴∠BEF＝∠CFG，∴△EBF∽△FCG9．如圖，在△ABC中，點D是邊AB上的一點，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，則邊AC的長為()A．2B．4C．6D．8BA

A

13．(杭州中考)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，DE⊥AB于點E.(1)求證：△BDE∽△CAD.(2)若AB＝13，BC＝10，求線段DE的長．解：(1)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD

14．如圖所示，在矩形ABCD中，E為BC上一點，DF⊥AE于點F.(1)△ABE與△DFA相似嗎？請說明理由；(2)若AB