初中數(shù)學華東師大七年級下冊軸對稱平移與旋轉(zhuǎn)最短路徑問題(將軍飲馬問題)PPT

能利用軸對稱平移等變換，解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．學習重點：利用軸對稱、平移等變換，將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題．課件說明學習目標為什么有的人會經(jīng)常踐踏草地呢？綠地里本沒有路，走的人多了……禁止踐踏兩點之間，線段最短

在公路l兩側(cè)有兩村莊，現(xiàn)要在公路l旁修建一所候車亭P，要使候車亭到兩村莊的距離之和最短，試確定候車亭P的位置。ABP

★思考：本題運用了

.

兩點之間，線段最短.l將軍飲馬問題：

兩線段之和最短這個問題早在古羅馬時代就有了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學和物理的學者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題：

將軍每天騎馬從城堡A出發(fā)，到城堡B，途中馬要到小溪邊飲水一次。將軍問怎樣走路程最短？

這就是傳說中的“將軍飲馬”問題。如圖：一位將軍騎馬從城堡A到城堡B，途中馬要到河邊飲水一次，問：這位將軍怎樣走路程最短？

AB一：將軍飲馬BAB'P（1）作點B關于直線MN

的對稱點B'（2）連結(jié)B'A，交MN于點P；

所以點P就是所求的點．MN一：將軍飲馬作法：∴BP+AP<BP'+AP'，即AP+BP最?。甆ABPB'P'∵直線MN是點B、B'的對稱軸，點P、P'在對稱軸上，∴BP=B'P，BP'=B'P'．

在MN上任取另一點P'，連結(jié)BP、BP'、AP'

、B'P'

．證明：在△AB'P'中，AB'<AP'+B'P'，

∴BP+AP=B'P+AP=B'A．M∴BP'+AP'=B'P'+AP'一：將軍飲馬知識習得1方法：1、將一個定點關于動點所在直線作對稱（作）2、連接對稱點與另一個定點（連）3、兩線的交點即為所求（定）2技巧：先找路徑再找點3思想：化為未知為已知（轉(zhuǎn)化）將軍飲馬口決：和最小，對稱找1、已知：P、Q是△ABC的邊AB、AC上的點，你能在BC上確定一點R，

使△PQR的周長最短嗎？草地河邊.駐地A例1、如圖：一位將軍騎馬從駐地A出發(fā)，先牽馬去草地

OM吃草，再牽馬去河邊ON喝水，最后回到駐地A問：這位將軍怎樣走路程最短？OMNA【一定兩動之點與點】.....如圖:已知內(nèi)一點A

求作:OM上一點B,ON上一點C,使AB+BC+AC最小作法:(1)作點A關于OM、ON的對稱點A'、A''(2)連結(jié)A'和A''，交OM于B,交ON于C,則點B、C為所求。2、已知P是△ABC的邊BC上的點，你能在AB、AC上分別確定一點Q和R，使△PQR的周長最短嗎？例2、如圖，A為馬廄，B為帳篷，將軍某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫助確定這一天的最短路線。B【兩定兩動之點與點】ABA'B'MNA馬廄B帳篷草地河邊飲水3、已知：MON內(nèi)兩點A、B.求作：點C和點D,使得點C在OM上，點D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。A'B'CD例3：在OA、OB上分別取點M、N，使得PM+MN最小C【一定兩動之點與線】1、正方形中的將軍飲馬【關于對角線對稱】例4：如圖，正方形ABCD的邊長是4，M在DC上，且DM=1,N是AC邊上的一動點，則△DMN周長的最小值是多少？【隱身的正方形】（2017遼寧營口）4、如圖，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°,點D在BC上，BD=3,DC=1,P是AB上的動點，則PC+PD的最小值為（）A、4B、5C、6D、72、三角形中的將軍飲馬【等邊系列】例5：如圖，在等邊三角形△ABC中，AB=6,N為AB上一點，且AN=2,BC的高線AD交BC于點D，M是AD上的動點，連結(jié)BM,MN,則BM+MN的最小值是

。3、【一次函數(shù)中的將軍飲馬】如圖，在平面直角坐標系中，點A（－2，3），B（4，5），點P是x軸上一動點，求：①PA＋PB的最小值及此時點P的坐標；②|PA－PB|的最大值及此時點P的坐標．3、【一次函數(shù)中的將軍飲馬】如圖，在平面直角坐標系中，點A（－2，3），B（4，5），點P是x軸上一動點，求：①PA＋PB的最小值及此時點P的坐標；②|PA－PB|的最大值及此時點P的坐標．3、【一次函數(shù)中的將軍飲馬】如圖，在平面直角坐標系中，點A（－2，3），B（4，5），點P是x軸上一動點，求：①PA＋PB的最小值及此時點P的坐標；②|PA－PB|的最大值及此時點P的坐標．4、【一次函數(shù)和反比例函數(shù)中的將軍飲馬】如圖，一次函數(shù)y＝－x＋4的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A（1，a），B兩點。求：（1）反比例函數(shù)的表達式及點B的坐標；（2）在x軸上找一點P，使PA＋PB的值最小，求滿足條件的點P的坐標．二：將軍遛馬如圖，將軍在A點處，現(xiàn)在將軍要帶馬去河邊喝水，并沿著河岸走一段路，再返回軍營，問：怎么走路程最短？【問題簡化】已知A、B兩點，CD長度為定值，求確定C、D位置使得AC+CD+DB值最??？二：將軍遛馬如圖，將軍在A點處，現(xiàn)在將軍要帶馬去河邊喝水，并沿著河岸走一段路，再返回軍營，問：怎么走路程最短？拓展新知若將軍要從河對岸的A點出發(fā)，然后在兩岸平行的河上搭建一座浮橋MN（浮橋要求和河岸垂直），再到達B點，這時浮橋MN應該建在何處？才能使得路程最短？做出圖形.三：將軍過橋拓展新知方法指導：類比前面的解決方式，先畫圖，轉(zhuǎn)

化為具體數(shù)學問題.ABNM三：將軍過橋拓展新知方法指導：類比前面解決問題方法，通過已學知識轉(zhuǎn)化到已學模型，找到線路再確定橋的位置.BN知識點撥：利用平移變換、轉(zhuǎn)化為“線段最短”模型AMA1NM三：將軍過橋問題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連接A1Ｂ交河岸于Ｎ作橋ＭＮ，此時路徑ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由：另任作橋Ｍ１Ｎ１，連接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性質(zhì)可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由線段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１