初中數(shù)學(xué)華東師大七年級(jí)下冊(cè)軸對(duì)稱(chēng)平移與旋轉(zhuǎn)最短路徑問(wèn)題(將軍飲馬問(wèn)題)PPT

能利用軸對(duì)稱(chēng)平移等變換，解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題，體會(huì)圖形的變化在解決最值問(wèn)題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．學(xué)習(xí)重點(diǎn)：利用軸對(duì)稱(chēng)、平移等變換，將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”問(wèn)題．課件說(shuō)明學(xué)習(xí)目標(biāo)為什么有的人會(huì)經(jīng)常踐踏草地呢？綠地里本沒(méi)有路，走的人多了……禁止踐踏兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短

在公路l兩側(cè)有兩村莊，現(xiàn)要在公路l旁修建一所候車(chē)亭P，要使候車(chē)亭到兩村莊的距離之和最短，試確定候車(chē)亭P的位置。ABP

★思考：本題運(yùn)用了

.

兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短.l將軍飲馬問(wèn)題：

兩線(xiàn)段之和最短這個(gè)問(wèn)題早在古羅馬時(shí)代就有了，傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專(zhuān)程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：

將軍每天騎馬從城堡A出發(fā)，到城堡B，途中馬要到小溪邊飲水一次。將軍問(wèn)怎樣走路程最短？

這就是傳說(shuō)中的“將軍飲馬”問(wèn)題。如圖：一位將軍騎馬從城堡A到城堡B，途中馬要到河邊飲水一次，問(wèn)：這位將軍怎樣走路程最短？

AB一：將軍飲馬BAB'P（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)MN

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'（2）連結(jié)B'A，交MN于點(diǎn)P；

所以點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)．MN一：將軍飲馬作法：∴BP+AP<BP'+AP'，即AP+BP最?。甆ABPB'P'∵直線(xiàn)MN是點(diǎn)B、B'的對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)P、P'在對(duì)稱(chēng)軸上，∴BP=B'P，BP'=B'P'．

在MN上任取另一點(diǎn)P'，連結(jié)BP、BP'、AP'

、B'P'

．證明：在△AB'P'中，AB'<AP'+B'P'，

∴BP+AP=B'P+AP=B'A．M∴BP'+AP'=B'P'+AP'一：將軍飲馬知識(shí)習(xí)得1方法：1、將一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn)作對(duì)稱(chēng)（作）2、連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn)（連）3、兩線(xiàn)的交點(diǎn)即為所求（定）2技巧：先找路徑再找點(diǎn)3思想：化為未知為已知（轉(zhuǎn)化）將軍飲馬口決：和最小，對(duì)稱(chēng)找1、已知：P、Q是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，你能在BC上確定一點(diǎn)R，

使△PQR的周長(zhǎng)最短嗎？草地河邊.駐地A例1、如圖：一位將軍騎馬從駐地A出發(fā)，先牽馬去草地

OM吃草，再牽馬去河邊ON喝水，最后回到駐地A問(wèn)：這位將軍怎樣走路程最短？OMNA【一定兩動(dòng)之點(diǎn)與點(diǎn)】.....如圖:已知內(nèi)一點(diǎn)A

求作:OM上一點(diǎn)B,ON上一點(diǎn)C,使AB+BC+AC最小作法:(1)作點(diǎn)A關(guān)于OM、ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'、A''(2)連結(jié)A'和A''，交OM于B,交ON于C,則點(diǎn)B、C為所求。2、已知P是△ABC的邊BC上的點(diǎn)，你能在AB、AC上分別確定一點(diǎn)Q和R，使△PQR的周長(zhǎng)最短嗎？例2、如圖，A為馬廄，B為帳篷，將軍某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫助確定這一天的最短路線(xiàn)。B【兩定兩動(dòng)之點(diǎn)與點(diǎn)】ABA'B'MNA馬廄B帳篷草地河邊飲水3、已知：MON內(nèi)兩點(diǎn)A、B.求作：點(diǎn)C和點(diǎn)D,使得點(diǎn)C在OM上，點(diǎn)D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。A'B'CD例3：在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，使得PM+MN最小C【一定兩動(dòng)之點(diǎn)與線(xiàn)】1、正方形中的將軍飲馬【關(guān)于對(duì)角線(xiàn)對(duì)稱(chēng)】例4：如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，M在DC上，且DM=1,N是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則△DMN周長(zhǎng)的最小值是多少？【隱身的正方形】（2017遼寧營(yíng)口）4、如圖，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°,點(diǎn)D在BC上，BD=3,DC=1,P是AB上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PD的最小值為（）A、4B、5C、6D、72、三角形中的將軍飲馬【等邊系列】例5：如圖，在等邊三角形△ABC中，AB=6,N為AB上一點(diǎn)，且AN=2,BC的高線(xiàn)AD交BC于點(diǎn)D，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BM,MN,則BM+MN的最小值是

。3、【一次函數(shù)中的將軍飲馬】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（－2，3），B（4，5），點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，求：①PA＋PB的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；②|PA－PB|的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．3、【一次函數(shù)中的將軍飲馬】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（－2，3），B（4，5），點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，求：①PA＋PB的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；②|PA－PB|的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．3、【一次函數(shù)中的將軍飲馬】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（－2，3），B（4，5），點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，求：①PA＋PB的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；②|PA－PB|的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．4、【一次函數(shù)和反比例函數(shù)中的將軍飲馬】如圖，一次函數(shù)y＝－x＋4的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A（1，a），B兩點(diǎn)。求：（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使PA＋PB的值最小，求滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．二：將軍遛馬如圖，將軍在A點(diǎn)處，現(xiàn)在將軍要帶馬去河邊喝水，并沿著河岸走一段路，再返回軍營(yíng)，問(wèn)：怎么走路程最短？【問(wèn)題簡(jiǎn)化】已知A、B兩點(diǎn)，CD長(zhǎng)度為定值，求確定C、D位置使得AC+CD+DB值最小？二：將軍遛馬如圖，將軍在A點(diǎn)處，現(xiàn)在將軍要帶馬去河邊喝水，并沿著河岸走一段路，再返回軍營(yíng)，問(wèn)：怎么走路程最短？拓展新知若將軍要從河對(duì)岸的A點(diǎn)出發(fā)，然后在兩岸平行的河上搭建一座浮橋MN（浮橋要求和河岸垂直），再到達(dá)B點(diǎn)，這時(shí)浮橋MN應(yīng)該建在何處？才能使得路程最短？做出圖形.三：將軍過(guò)橋拓展新知方法指導(dǎo)：類(lèi)比前面的解決方式，先畫(huà)圖，轉(zhuǎn)

化為具體數(shù)學(xué)問(wèn)題.ABNM三：將軍過(guò)橋拓展新知方法指導(dǎo)：類(lèi)比前面解決問(wèn)題方法，通過(guò)已學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化到已學(xué)模型，找到線(xiàn)路再確定橋的位置.BN知識(shí)點(diǎn)撥：利用平移變換、轉(zhuǎn)化為“線(xiàn)段最短”模型AMA1NM三：將軍過(guò)橋問(wèn)題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連接A1Ｂ交河岸于Ｎ作橋ＭＮ，此時(shí)路徑ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由：另任作橋Ｍ１Ｎ１，連接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性質(zhì)可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由線(xiàn)段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１