初等幾何研究復習題

習題1.設梯形兩底之和等于一腰，則此腰兩鄰角的平分線必通過另一腰的中點。已知：如圖，梯形ABCC^,AD//BC,AB=AD+BC,比DC中點求證：/DAB與/ABC的平分線必經過E點。證明（同一法）：設/DAB^/ABC的角平分線交于E'點，只需證E'點與E點重合。??AD//BC./DAB+ZABC=180??/1=/2,/3=/4,.2+Z3=90°./AE'B=90°作Rt^ABE的余^邊AB上的中線FE',則FE'=1AB=AF=BF2./2=/AE'F,Z3=ZBE'F?/1=/2=/AE'F??E'F//AD//BC連結EF,貝UEF為梯形ABCD的中位線,EF//AD//BC?.E'F與EF共線.FE'=1AB=1(AD+BC),FE=1(AD+BC)222E'F=田E'與E重合，證畢.習題是等腰三角形ABC的頂點，將其腰AB延長至D,使BD=AB知CD=10厘米，求AB邊上中線的長。解：過B作BF//AC交CD于F,則85是4DAC勺中位線。.?.BF1AC2./FBC=/ACB又/ACB4ABCAB=AC，___1___，/FBC"BCBF=1AB=BE.△EBC^△FBC(SAS11_??.CE=CF』CD=1X10=5cm22即△ABC中邊上的中線CE的長為5厘米。習題3.證明：等腰三角形底邊延長線上任一點到兩腰距離之差為常量。已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=ACD為BC延長線上一點，過D作DE±AB于E,作DFLAC延長線于F。求證：DE—DF為常量。證明：作^ABC的邊AB上的高CH再作CGIDE于G則四邊形CHEG^矩形。??/3+/B=90°,Z4+72=90°,/B=/ACB至23=/4又CD為公共邊。???RtADGC^RtADFCDF=DG?.DE—DF=DE-DG=EG=CH(常量)證畢習題4.在△ABC中，/B=2/C,AD±BC于DbM是BC的中點。求證：dm=1ab。2證明：(I)當//DME=C,/B為銳角時，作MEAC交AB于E,連結DE則E為AB的中點BEMhBAC在Rt^ABD中，有DE=1AB=BE=AE2/B=ZEDB=/DEM廿DME=2/DME=/DEM=2C-/C=ZC/DEM=DMEDE=DM1

de=1ab

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CW=-AB2(n)當/B為鈍角時，作MBAC交AB于E。連結DE,則E為AB的中點在Rt△ADB中DE=1AB=BE=AEE和M分另1J是AB和BC的中點2ME是△ABC的中位線/C=ZBME/BAC=BEM./BAC=180-(/B+ZC)./BEM=180-(/B+ZC)又「BE=DE在^BDE中/ABD4EDB=180-ZB，/BED=180-/ABD-/EDB=2ZB-180°/DEM=B-/C,又/B=2/C./DEM=BME1DM=1AB2(出)當/B為直角時，易證DM=1AB21(IV)當/A為直角時，易證DM=1AB習題是圓的直徑，引弦AC使/BAC=30,過點C引切線交AB的延長線于D,求證：AC=CD證明：如圖，連結CBAB是。的直徑/ACB=90.「CD為。。的切線，/BAC=30???/BCDhBAC=30又??/CBDWBAC吆ACB=30+90°=120°，在^BCD中，/D=180°-(/CBD+ZBCD=30°/BAC=/BDdPAC=CD習題6.兩圓相交于兩點A和B,在每一個圓中各作弦AC和AD,使切于另一圓。求證：/ABC=/ABD證明：如圖，AC和AD分別是。?！钡那芯€，交。0,于C和D/CAB=/ADB/DAB至ACB在△ABC^n△ABD中ZABC=180-(/CAB叱ACB=180°-(/ADB+ZDAB=/ABD即ZABC=/ABD習題7.四邊形ABCDK設AD=BC且M和N是對角線AC和BD的中點。證明：直線AD和BD與MN成等角證明：如圖，四邊形ABCD43AD=BCM和N點分別為對角線AC和BD的中點，MN交ADBC下證：/AGF=/BFG連結BM^延長至E,BM=ME連結AE和CE顯然：ABCM平行四邊形。連結DE/BFG=/AHG???AD=BCAD=AE而M和N分別是BD和BE的中點，MIN/DEAG=AHBCD=90+1(/C-/B)BCD=90+1(/C-/B)

2習題8.設延長△ABC的邊BA至D,使AD=AC則/證明：2/BCD=2BCA+21①AD=AC/1=/D?./BAC=/1+ZD=2/1/B+ZBCA+21=180°即：2/1=180°-/B-ZBCA②將②代入①得：

2/BCD=2/BCA+180-ZB-ZBCABCD=90+1(/C-/B)

2習題9.設。為乙ABC內部任一點，則OA+OBCA+CB證明：連AO延長交BC于D△ADC中AC+CD>AD①△OBD43,OD+DBOB②由①②有：CB+AC=AC+CD+DB\D+DB=AO+OD+DBkO+BO習題10.三角形的一中線小于夾此中線兩邊的半和，而大于這半和與第三邊一半的差已知：△ABC中，AD是BC邊上的中線求證：1(AB+AC-1BC<AD<1(AB+AC222證明：作DE平行于AB交AC于E貝UdeJab,aeJac22在△ADE中，則AD<AE+DE=L(AB+AC2延長AD至F,使DF=AD貝U有AD+BD>AB,AD+DOACAF+BOAB+AC2AD>AB+AC-BdPAD>1(AB+AC-1BC22綜上得：1(AB+AC-1BC<AD<1(AB+AC22211.證明：梯形兩條對角線中點的連線平行于底邊習題APB90°PCAB習題13.證明：三角形的三條外角平分線和對邊相交所得三點共線。已知:三點.求證:證明:如圖，AD,BE,CF分別是ABC三個外角的平分線且分別交FD,E,F三點共線.AD是BAE的角平分線同理:BDDC""CEEACB,CABA于D,E,FBDDC從CE.EAABAC-BCBA而AFFBCACB習題習題AF而ABACBCBACACBE,F三點共線.14.兩圓有兩條內公切線，證明這兩線與連心線共點已知：如圖所示D分別為切點，求證：AB,CD證明:AB,。與Q外離，AB,CD是O與OO為連心線.OQ三點共線.CD是。與Q兩條內公切線，則AB,CD必有交點.設AB,下證點P在OQ上即可.連結QP,QP.此時PA,點引Q的兩條切線.則有POi平分APC.即1同理可得DPO2—2從而O1PO21=1APC21=1APC2=APC=1800Q的兩條內公切線且A,B,C,CD的交點為PC即為從APO1DPBP.Q外一APO1APDAPDAPD所以P,O,Q三點共線即所以AB,CDOQ三點共線.APDAPCDPO2APCP在OQ15.利用錫瓦定理證明三角形下列三線共點(1.)已知：求證：三中線如圖.AD,BE,CF分別ABC邊BC,AD,BE,CF三線共點CAAB上的中線.證明：D,E,F分別是中點BDCEAF/一一1DCEAFB從而BD.CEAF..1DCEAFB所以AD,BECF三點共線.(2.)三內角平分線.已知：如圖，ADBE,CF分別是ABC三內角平分線.求證：AD,BE,CF三點共線.證明：由AD,BE,CF分另1J是ABC三內角平分線TOC\o"1-5"\h\zBDABCEBCAFCA...DCACEABAFBCBBDCEAFABBCCA.....1DCEAFBACBACB故：ADBE,CF三點共線.習題16.已知：C是RtABC的直角頂點，以AB為邊作正方形ABCD以AC邊作正方形ACFG它們都包含ABC求證：CEBG證明：四邊形ABDEACFG為正方形.GACBAE900以A為旋轉中心，有：CR(A,900)G,ER(A,900)B貝U:CE=BGGEBG.習題17.已知：圓內接四邊形中BC=CD.求證：AB?AD+BC2=AC2證明：連接BD交AC于ETOC\o"1-5"\h\z由于BC=CD則12在ABC和AED中12ABC-AED34ABACAEADAB?ADAE?AC52.在CD臣口CAD中12、ACDE-CADECDDCA2CD2AC?CECDCEACCDBCCD由①和②有AB?ADBC2AB?AD+BC2=AC2BC2AC?CE②AE?ACAC?CE2AC?(AECE)AC習題18.平行四邊形ABC曲底邊BC固定，另一邊AB長為a,則其對角線交E的軌跡為一圓圓心是BC中點，半徑是-.2（假設：平行四邊形ABCD^邊BC的中點O,AB邊長為a,P為對角線AB,BD的交點，BC為固定.）TOC\o"1-5"\h\z求證：點P的軌跡是0（-）2證明：10若P是平行四邊形ABCD寸角線AC,BD的B'Bc交點，連接0P,由P,0分別是BD,BC的中點，故aOP=CD=-.i,2-一%fX/，,a、，一一故PO（-）,（完備性得證）2AD20.社P為0（亙）上任意一點，連接OP分別過B,C2作OP的平行線l1,l2.連接CP并延長交11于A,連接BP并延長交12于D,連接AD貝UOP是CAB和BCD的中位線,于是AB=a,OD=a.且AD習題19.設定圓中互相垂直的兩弦的平方和是常數(shù)，則此兩弦所在直線交點的軌跡是圓。假設AB與CD是。O（r）中兩條互相垂直的弦，且AB±CD于P,AB2CD2a（常數(shù)），求點P的軌跡.證明：點P關于O的對稱點也滿足條件，故該軌跡為以DO為圓心，以OP為半徑的圓。D如圖所示：連AO延長交。O于E,連AGDBCE則/1+/2=90°2+/3=90°,從而/i=/3DeCb,DegbCbgbDbCeBDCEAC2CE2(2r)2AC2BD24r2過點P作MN，OP有MP=NPAB2CD222(APBP)(CPPD)2AP2PB2APBPCP22PD2CPPD=(AP2cp2)(PB222PD)4MP_22_2ACBD4MP4MPMP2OP2rMP22rOP1.8r2-a

212所求軌跡可能是以O為圓心-J8ra為半徑的圓珠筆。習題20.將已知點到定圓上各點連線