初中數(shù)學(xué)競賽面積問題和方法含答案

19.面積問題和方法A卷一、填空題.正方形ABCM面積是1平方厘米，EF=2BF則三角形BCF的面積是。.如圖1,三角形ABC的面積是50,M為形內(nèi)任一點，N,P,Q分別為M關(guān)于三角形ABC三邊中點的對稱點，則三角形NPQ勺面積為。(1)(2)(1)(2)(3)(4)3.如圖2,兩個同心圓中，大圓半徑R是小圓半徑r的2倍，那么圓環(huán)面積(陰影部分)與小圓面積的比等于。4.如圖3,正方形ABC兩邊長是a,除A,B,C和D四點外，圖形的其他頂點均為所在的一條線段的中點，則從正方形ABCM挖掉陰影部分后，所剩下部分面積等于。.梯形ABCM,AB//為AD中點，S^EC=2,則梯形ABCD勺面積是.如圖4,設(shè)△ABC的面積是1,AD」AB,BE=1BC,CF=—CA則△DEF的面積是mnp二、選擇題E是BC的一個三等分等，則長方形的面積是陰影.如圖5,長方形ABCD43,FE是BC的一個三等分等，則長方形的面積是陰影部分面積的()倍。A.3B.4C.5D.6(5)(5).如圖6,梯形ABCM,AD//BC,對角線AC把梯形分成兩個三角形，S&DC:S&BC=1:3,EF是梯形ABCM中位線，則Saefd:SEBCF=()A.2:3;B.3:5;C.3:4;D.3:7.如圖7,ABC皿面積為1的正方形，△DPC為正三角形，則^BPD的面積為()

E-1b2<3—1c33口33—1TOC\o"1-5"\h\z2844⑺(8)三、解答題.如圖8,設(shè)n是大于1的自然數(shù)，從nxn的正方形的一個角上剪去一個1X1的方塊將這個圖形分成k個面積都相等的三角形，試求k的最小值。一、填空題1.在長方形ABCD43,M是CD邊的中點，弧DN是以A為圓心的一段圓弧，弧KN是以B為圓心的一段圓弧，AN=aBN=b,則圖9中陰影部分的面積是。(9)(10)(11).如圖10,四邊形ABCD43,/B+/D=180°,AB=ADAC=1,/ACD=60,由四邊形ABCD勺面積為。.如圖11,正方形ABCD43有一個內(nèi)接三角形AEF,若/EAF=45,AB=4,EF=3,則三角形EFC的面積是。.如圖12,圖中陰影部分的面積S2=(12)(13)二、選擇題.如圖13,梯形(12)(13)二、選擇題.如圖13,梯形ABCD中，AB//CD,三角形DCE的面積與三角形DCB的面積比為1:3,則S由EC:S幽BD=()A.1:5;B.1:6;C.1:7;D.1:9.如圖14,等腰△ABC底邊上的高等于2,腰上的高等于2J3,則它的面積是(A.4/3B.3/3C,2^3D.J3(14)(15)(14)(15)三、解答題.如圖15,已知ABC被平行BC的直線DE相截，且^BDE的面積等于給定值k,那么當(dāng)k與4ABC的面積S之間滿足什么關(guān)系時，問題有解？

P是MNLh一點，如果BMAM=ANCN=MP.如圖，在^ABC中，P是MNLh一點，如果BMAM=ANCN=MPNP,求證SPBC-2SAMN3.如圖，已知凸四邊形3.如圖，已知凸四邊形ABCDE,F,G,H分別在AB,BC,CDDA上，且BE=2AEBF=2CFDH=2AHDG=2CG求證：DH=2AHDG=2CG求證：SKLMN=S.AKH'S.BEL'S.CFM'S.DNG-4.如圖，已知△ABC及AB邊上任意一點D,DEE//BG交AB于E,平行四邊形DEFG勺邊GF在直線BC上，高DE=kBC=a,求證：平彳T四邊形DEFG勺面積S不大于^ABC的面積的一半。答案A卷一、填空題1.如圖，連結(jié)BD,取GD=2BG把點E移動到點D,則點F與點G重合，結(jié)論不變（因為BD位置是BE位置的特殊狀態(tài)）-q_lqSaBCG-3SBCD1q1一SaBCD一66-S2BCF2.如圖，因為等邊三角形是一般三角形的特殊情況,結(jié)論不變，設(shè)AB=BC=CA△ABC的三條高的交點為M,顯然△NPH△ABC以點M為中心旋轉(zhuǎn)180°所得：S.Npq-SABC=503.圓環(huán)面積=：(R2-r2)-叫4r2-r2)=3二r2小圓的面積二52,圓環(huán)面積小圓面積2a2152a——二—a2a2152a——二—a16165.延長BE與CD的延長線相交于F。因為AB//CD所以/a=Z1,又/2=/3,AE=DE?.△AEB^△DEF一SAEB=SDEF，BE=EF=SBFCS梯形ABCD=Sg邊形EDCBSAEB二S四邊形ABCD'S.DEF=2SBEC=22=424.SABCD=a2,S陰影=—,所求的剩下的部分的面積是

16-S.DEF=-S.DEF=S.ABC-S「DBE_S.ECF_S.FAD1.、(mnp-mn-np-pmmmp)mnp.一1m—1一.6.如圖，BE=—BC,BD=ABnm八1---SBDE=3BEBDsinB1m-1ArBCABsinBnm1m-11BCABsinBnm2m-1cSABCm_m-1mnn-1p-1向理SECF-,SFAD-npmp、選擇題.依題意可知，對于長寬任意數(shù)值的長方形，所求結(jié)論都是一致的,TOC\o"1-5"\h\z故可把長方形特殊化為正方形，且設(shè)邊長為6,則FC=3,BE=2,EC=4S長方形=36c“1—1c…S陰影=36--66-—43=1222.?.長方形面積是陰影部分面積的3倍，故選A.如圖，作梯形ABCM高AH,則：-11.SadcADAHs.abcbcah22Sadc:S&bc_1:3??AB:BC=1:3

設(shè)AD=mBC=3cm貝U中位線EF=1(AB+BC)=2cm2c1,c、1…Saefd=—(m2m)—AH,22c1_c、1…Sebcf=-(2m3m)AH,22…Saefd-Sebcf=3:5,故選B.連AC交BD于O,連PQ則PO//AB,據(jù)等積原理有S.Bpo-ScpoTOC\o"1-5"\h\z_31.3-1一S^PD=S?PC-S#OC=-=,444故選D三、解答案.如圖，在同折線ABC有公共點這些等積三角形中，必有一三角形的一邊是AB（或BQ的一部分，這條邊長度不大于1,而這條邊n■1上的高不大于n-1,所該三角形面積超過n1;另一方面，這個22-.一?n-1-n—1n—1,一三角形面積等于-——1；故-——1<--1,由此k>2n+2此外，kk2這個三角形此外，圖中給出了k=2n+2的情形。綜上所述,k的最小值是2n+2.C卷一、填空題1.S矩形ABCD=a（a+b）,設(shè)陰影面積為S,則:二22(ab)S二a(ab)一-(ab)(a—b)2,2ab44TOC\o"1-5"\h\z442,2ab442..--22=aab--a--b44=ab-3a2-—b2（如題中圖）44.把△BAC繞A點按逆針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合,則4BA%△DAEAC=AEB+ZD=180°,即/ADC它ADE=180,

??.C,D,E三點共線ACD=60,ACE是等邊三角形又..又..AC=1,Sace，即Sabcd一4.把^ADF繞點A按順時針方向轉(zhuǎn)90°,使AD與AB重合，貝以AB8△ADF?./ADF=/ABG=90?./ABE吆ABG=180E,B,G共線，易證△EA?△EAFEG=EF=3一一1一一一SEAF-SEAG--EGAB-6,Sefc=Se方形ABCD-SEAF-S.EAB'SFAD=16—6—6=4=8S"BE=8S"BE苴=5,4.解法一：連OC則OC平分/ACBAOAC5——=——=一EOEC3又AO*△BOE勺高相等,,1S,AOB:S.BOE-5:3,SAOB又S.Abe=S.Abc-S.Ace=TOC\o"1-5"\h\z525,,S2=SAOB=5=88解法二：顯然S0=So,Si=Si,Sace152S0:S1=3:2,S0=3S2S1=2S0=4S15215S1,2sl8752S0=5sl=——8二、選擇題1?,SDCE:SDCB=1:3DEDB=1:3即DEEB=1:2,-S.Dce:S.Abe=1:4而S.Ade=S/bce=2S.Dce…S心CE：S&BD=1.6故應(yīng)選B2.設(shè)底邊BC上的高為AD,月AC上的高為BE,顯然AD-BC=BE-AC即2BC=2.3AC又DC=1BC=—AC22DCCOSC1AC2C=ZB=30°BC=4,31S曲bc=—BC,AD=4%;3故應(yīng)選A三、解答題1.???DE//BC,人ADAE令==r(o:二r:二1)ABAC.SdbeDBAB-ADdr…===?—r,SabeABAB而SABEAE而==r,SABCACSDBE=r(1-r)=r-r2--(r-1)21S.abc274又S.BDE=k,SABC=S112Sk=[—(r—)2]S<即當(dāng)k4243.設(shè)BMAM=ANCN=MPNP=N_n1則AB:AM=n+1ACAN=,nn1MNNP=n+1,MNMP=n設(shè)Samn=1,MAC=.BAC,.S.abc二ABAC二(n1)2S.amnAMANn(n1)2又/BM*/AMN5補,TOC\o"1-5"\h\z22SBMPBMMPn,,n3ML==——故S倬mp=——SAMNAMMNn1:n1同理可證：SCN=Cn(n1)2222(n1)n1--1=2nn1n(n1)故S.PBC=2S.AMN3.連3.連AC,因為DG=2GC所以SADGSADCBE=2AESbecSABCBE=2AESbecSABCS四邊形ABCD=S3邊形KLMN,(SADG—S.QGN)(SDCF_S「CFM).(SCBE_S「BEL).(S「ABH—S/AHk)_2…S&DG+S&CE=3S四邊形ABCD1小同理，S.DCF'S.ABH=鼻SI邊形ABCD3…SADC'SBCE'SDCF'SABH=S四邊形ABCD由(1)、(2)得,S四邊形KCMN=S&HK+S年EL+S#FM+S#GN4.過E作EN//AB交BC于N,「DE//BC,S平行四邊形BNED二S平行四邊形DEFG