2020年第37屆全國中學(xué)生物理競賽決賽理論試題

第37屆全國中學(xué)生物理競賽決賽理論試題一、(40分)我國大科學(xué)裝置散裂中子源于2018年建成并投入使用，它在諸多領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。歷史上，查德威克在1932年首次確認(rèn)了中子的存在并測出了它的質(zhì)量；哈恩等人在1939年發(fā)現(xiàn)用中子轟擊鈾原子核可使其分裂，同時放出中子，引發(fā)鏈?zhǔn)椒磻?yīng)。為了使鏈?zhǔn)椒磻?yīng)能夠持續(xù)可控地進(jìn)行，可通過彈性碰撞使鈾核放出的中子慢化。不考慮相對論效應(yīng)。查德威克用中子(質(zhì)量為加)轟擊質(zhì)量為m的靜止靶核(氫核H或氮核i4N,質(zhì)量為m或14m)。1HH觀察它們的運(yùn)動。設(shè)靶核的出射動量與入射中子的初動量之間的夾角為a,試導(dǎo)出此時靶核的出射速率v和中子的末速率v分別與中子初速率v之間的關(guān)系。該實(shí)驗(yàn)測得氫核的最大出射速率為103.30x107m/s，氮核的最大出射速率為4.70x106m/s，求m和v的值。0在上述實(shí)驗(yàn)中一個氮核也可能受到一束中子的連續(xù)撞擊。假設(shè)氮核開始時是靜止的，每次與之相碰的中子的速率都是v，碰撞都使得氮核速率的增量最大。試計(jì)算經(jīng)過多少次碰撞后氮核的動能0與中子的初動能近似相等？設(shè)經(jīng)過多次碰撞被減速的中子處于熱平衡狀態(tài)，其速率滿足麥克斯韋分布mmv2f(v)=4兀()3/2v2e-2kBTB2兀kTB這里k為玻爾茲曼常量，T為系統(tǒng)的絕對溫度。試計(jì)算在熱平衡時，中子的最概然速率所對應(yīng)B的動能和最概然動能。二、(40分)當(dāng)電場中兩個導(dǎo)體球靠近時，導(dǎo)體球之間的電場將明顯增強(qiáng)。本題試探討這一現(xiàn)象。已知真空介電常量為￡。0設(shè)一個半徑為R的孤立導(dǎo)體球的球心與一個靜止點(diǎn)電荷Q相距為a(a>R)，求鏡像電荷的電00量及其位置。設(shè)導(dǎo)體球置于大小為E的勻強(qiáng)外電場中，該外加電場可看作是由兩個相距很遠(yuǎn)的等量異號點(diǎn)電0荷±Q在其連線中點(diǎn)處產(chǎn)生的。試證導(dǎo)體球的感應(yīng)電荷的作用等效于兩個鏡像電荷形成的電偶極子，并求該電偶極子的偶極矩與外場E之間的關(guān)系。0設(shè)導(dǎo)體球外兩等量異號點(diǎn)電荷土q的間距為Al，它們形成的電偶極子qAl沿徑向放置在半徑為R0的導(dǎo)體球附近，偶極子中心與導(dǎo)體球中心相距r(r?Al)，求該偶極子在導(dǎo)體球中鏡像電偶極矩的大小。在大小為E的勻強(qiáng)外電場中，沿外電場方向放置兩個半徑為R的導(dǎo)體球，兩球心相距r(r>2R)。000求導(dǎo)體球外過兩球心的平面內(nèi)任一點(diǎn)P'(x,y)處的電勢分布和在兩球心連線方向的場強(qiáng)分布(可用遞推式表示)，取兩球心連線中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，連線方向?yàn)閄軸。試證：在不考慮擊穿放電的情形下，當(dāng)上述兩導(dǎo)體緩慢無限靠近時，兩球連心線中點(diǎn)的電場會因靜電感應(yīng)而趨于無限大。三、(40分)量子熱機(jī)是利用量子物質(zhì)作為工作物質(zhì)進(jìn)行循環(huán)的熱機(jī)。下面以二能級原子系統(tǒng)為例描述量子熱機(jī)的工作原理。二能級原子的平均能量定義為〈E〉=p-E+p-E0011其中E、p和E、p分別表示原子處于基態(tài)和激發(fā)態(tài)的能量、概率。為簡單起見，假設(shè)E二0，在00110循環(huán)過程中激發(fā)態(tài)與基態(tài)的能量差是一個可調(diào)參量。該原子處于能量為E的能態(tài)的概率滿足玻爾茲曼分布p工e-e/(伯)，其中T為熱力學(xué)溫度，k為玻爾茲曼常量。在準(zhǔn)靜態(tài)過程中，平均能量的變化為Bd〈E〉=pdE+Edp，1111其中pdE為能級變化引起的能量變化，對應(yīng)外界對二能級原子系統(tǒng)所做的功DW；11Edp為概率變化引起的能量變化，對應(yīng)外界對二能級原子系統(tǒng)的傳熱DQ.11將二能級原子系統(tǒng)與一個溫度為T的熱源接觸，求熱平衡時二能級原子系統(tǒng)處在基態(tài)的概率p和0激發(fā)態(tài)的概率p。1經(jīng)典奧托循環(huán)的P-V圖如下圖所示，其中A-B和C-D是等容過程，B-C和D-A是絕熱過程。試畫出量子奧托循環(huán)過程中二能級的能量差E與激發(fā)態(tài)概率p的關(guān)系示意圖，并計(jì)算量子11奧托循環(huán)四個過程中的傳熱、內(nèi)能增量和對外做功。類似地，計(jì)算量子卡諾循環(huán)各個過程中的傳熱、內(nèi)能增量和對外做功。假設(shè)量子卡諾循環(huán)中高溫?zé)嵩礈囟萒和低溫?zé)嵩礈囟萒分別與量子奧托循環(huán)的最高溫度和最低溫度相同，試比較量子奧托hl熱機(jī)和量子卡諾熱機(jī)的工作效率。

四、（40分）自1964年Yeh和Cummins觀察到水流中粒子的散射光多普勒頻移至今，激光多普勒測速技術(shù)已獲得了廣泛應(yīng)用。為了得到足夠的散射光強(qiáng)，通常在流體中散播尺寸和濃度適當(dāng)?shù)氖聚櫳⑸淞Ｗ?，激光照射到運(yùn)動粒子上時發(fā)生散射，從而獲得粒子（和流體）的速度信息。設(shè)粒子速度v與豎直方向的夾角為0。（1）如下圖所示，一束頻率為f的光被流體中的運(yùn)動粒子所散射。光在流體中的傳播速率為c/n（n為流體的折射率），粒子以速度v運(yùn)動（v?c/n）。入射光和觀測到的散射光的傳播方向與粒子速度的夾角分別為9和°。求散射光相對于入射光的頻移量4f與散射光方向的關(guān)系。設(shè)粒子的12速率v=1m/s。光的頻率f=1014Hz，曲能否可以直接用分辨率為5MHz的光譜儀進(jìn)行檢測？（2）如下圖所示，用頻率為f的兩束相干平行光（其傳播方向在同一豎直平面內(nèi)）照射流體中同一粒子，兩束光與水平面的夾角均為a/2（a比較?。墒獾纳⑸涔獾竭_(dá)光電探測器的相位分別為0和e，散射光的電場矢量方向近似相同且振幅均為E。光電探測器輸出的電流強(qiáng)度正比于120它接收到的光強(qiáng)，比例常量為屍假設(shè)光電探測器的頻率響應(yīng)范圍為102?107Hz,求光電探測器的輸出電流表達(dá)式。為簡單起見，假設(shè)粒子速度處于照射在粒子上的兩束入射光所在平面內(nèi)。a/2上I光東1光闌水丁面皿散討光a/2上I光東1光闌水丁面皿散討光A收促跚光電採3）設(shè)XOZ平面內(nèi)兩束相干平行光相對于X軸對稱入射到達(dá)相交區(qū)域（見下圖），求干涉條紋間距；粒子（其速度在XOZ平面內(nèi)）經(jīng)過明暗相間的干涉條紋區(qū)將散射出光脈沖，求光脈沖的頻率。五、（40分）在恒星之間的廣闊宇宙空間中存在星際介質(zhì)。在宇宙射線的作用下，星際介質(zhì)中的分子失去部分電子成為正離子，電子則游離在外，成為等離子態(tài)。脈沖星是高速旋轉(zhuǎn)、具有超強(qiáng)磁場的中子星，地球上所觀測到其發(fā)出的電磁輻射是脈沖信號。脈沖星信號可用于星際導(dǎo)航和高精度計(jì)時，為此需要獲得脈沖信號到達(dá)地球的精確時間，研究其電磁輻射的相位變化與色散。一脈沖星到地球的距離為乩星際介質(zhì)中的電子平均數(shù)密度為n（數(shù)量級為104m-3）；假設(shè)介質(zhì)e中存在勻強(qiáng)靜磁場E（數(shù)量級為10-1oT），其方向平行于電磁波的傳播方向。已知電子質(zhì)量為m，電e荷為-e（e>0），真空介電常量為￡，真空中光速為c。0（1）取該脈沖星到地球的電磁輻射方向?yàn)閆軸正向，對于頻率為f的電磁波，其電場為E=Ecos(kz一2nft)，x0E=EcosfkzE=Ecos(kz一2nft)，x0y0"2丿y0式中E和k分別為電磁波的振幅和波數(shù)。0為簡單起見，設(shè)E為常量、且電磁波本身的磁場對電子的作用可忽略，求電子運(yùn)動的回旋半徑R。0e（2）脈沖星信號在星際介質(zhì)中傳播時會發(fā)生色散，其傳播速度大小（群速度的大小v）依賴于電磁波g頻率相對于波數(shù)的變化率：vg=2ndk。求能通過介質(zhì)到達(dá)地球的脈沖星信號電磁波的最低頻率（3）假設(shè)在脈沖星信號的傳播路徑上，星際介質(zhì)中的電子平均數(shù)密度n保持不變，問脈沖星信號中頻e率為f的電磁波到達(dá)地球的時間比其在真空中傳播的時間延遲了多少？（4）觀測發(fā)現(xiàn)，從脈沖星同時出發(fā)的頻率為f的電磁波到達(dá)地球時出現(xiàn)了相位差，求該相位差（可取,e廠“eBr近似：L<<f，?f）。2n討8m2nm10ee（5）如果在傳播途中長度為Q的區(qū)間內(nèi)電子數(shù)密度出現(xiàn)漲落An，求脈沖星信號中頻率為f的電磁波e通過該區(qū)間后由電子數(shù)密度漲落引起的相位移動。六、（40分）反粒子最早由狄拉克的理論所預(yù)言。1932年，安德森研究宇宙射線時發(fā)現(xiàn)了電子的反粒子——正電子。此后，人類又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了反質(zhì)子等反粒子。用單粒子能量為6.8GeV的高能質(zhì)子束轟擊靜止的質(zhì)子靶，可產(chǎn)生反質(zhì)子，其反應(yīng)式為P+P—P+P+P+PIn——質(zhì)子和反質(zhì)子湮滅時可產(chǎn)生n-介子，因此在反質(zhì)子束流中還伴隨有大量n-介子。下圖是探測反質(zhì)子的實(shí)驗(yàn)裝置原理圖。反質(zhì)子P和n-介子流依次通過閃爍計(jì)數(shù)器S、S和S,S與S相距1=12m，12312在S和S之間放置有切倫科夫計(jì)數(shù)器C和C。切倫科夫計(jì)數(shù)器通過探測切倫科夫輻射（帶電粒子在2312介質(zhì)中的運(yùn)動速度超過介質(zhì)中光速時所激發(fā)的電磁輻射）而確定帶電粒子的運(yùn)動速度。C僅記錄速度1較快的n-介子，C僅記錄速度較慢的反質(zhì)子。實(shí)驗(yàn)中S的作用是檢驗(yàn)前面的計(jì)數(shù)結(jié)果是否真實(shí)。23（1）在上述反應(yīng)中，假設(shè)末態(tài)質(zhì)子和反質(zhì)子速度相同，求反質(zhì)子從S運(yùn)動到S所需的時間匚。若n-12P介子與反質(zhì)子動能相同’求n-介子從Si運(yùn)動到S2所需的時間［—。(2)運(yùn)動速率為v(v>c/n)的帶電粒子通過折射率為n的介質(zhì)，求所產(chǎn)生的切倫科夫輻射傳播方向與帶電粒子的運(yùn)動方向的夾角e。3)微分式切倫科夫計(jì)數(shù)器可以記錄速率在某一個區(qū)間的粒子數(shù)。下圖是其關(guān)于軸線(圖中虛線)旋轉(zhuǎn)對稱的原理剖面圖。光收集系統(tǒng)包括半徑為人的球面鏡和半徑可調(diào)的環(huán)狀光闌。當(dāng)切倫科夫輻射傳播方向與帶電粒子運(yùn)動方向的夾角°很小時，球面鏡將帶電粒子激發(fā)的切倫科夫輻射會聚在其焦平面上，形成半徑為尸的輻射光環(huán)。投射在計(jì)數(shù)器上。對于速率為v的帶電粒子激發(fā)的輻射，(4)反質(zhì)子與質(zhì)子相遇會發(fā)生湮滅反應(yīng)p+pT3n0。反應(yīng)末態(tài)粒子的總動能與反應(yīng)初態(tài)粒子的總動能之差即為反應(yīng)能0。為簡單起見，假設(shè)質(zhì)子和反質(zhì)子的動能可忽略。末態(tài)三個n0介子的總動能是一個常量，可用Dalitz圖表示總動能在三個兀0介子之間的分配。如下圖所示，Dalitz圖是一個高為1的等邊三角形,P點(diǎn)到三邊的距離等于三個n0介子的動能占反應(yīng)能的比率，即d二E/Q,ik,iE表示第i個兀0介子的動能，i二1,2,3。以底邊為X軸，底邊中點(diǎn)為原點(diǎn)，底邊上的中垂線為k,i丫軸建立坐標(biāo)系。求P點(diǎn)可能的分布范圍邊界的表達(dá)式，用反應(yīng)能Q、n0介子質(zhì)量m和真空中n0的光速C表示。并討論若m二0時，P點(diǎn)的分布范圍邊界的表達(dá)式。n0

已知：真空中的光速c=2.998X10sm/s，質(zhì)子質(zhì)量M二938.2720MeV/c2，中性n介子質(zhì)量pM二134.9766MeV/c2,帶電n土介子質(zhì)量M二139.5702MeV/c2。n0n土七、（40分）據(jù)《荀子?有坐篇》記載，孔子觀于魯桓公之廟，有欹念）器焉。欹器者，“虛則欹，中則正，滿則覆?！睉覓焓届テ鲗?shí)物如圖7a所示：欹器空時，器身傾斜：注水適中，器身正立；注水過滿，器身傾覆。圖7b為懸掛式欹器的正視剖面圖。整個欹器的外輪廓是相對于Z軸的回轉(zhuǎn)面，Z'軸為內(nèi)部管腔的對稱軸，容器內(nèi)壁與外壁的半球殼半徑分別為R-R和R=\3R，兩半球的球心0和O'均位于12X軸上。Z'軸和z軸相距t=3R/10，欹器圓柱部分的長度l=2R。欹器的一對懸掛點(diǎn)所在直線與XOZ平面交于Q點(diǎn)，其坐標(biāo)為（兀=_R/10，z=2J3R/1）。欹器材質(zhì)均勻，其密度P為水的密度PQQ12的3的3倍。不計(jì)摩擦。（1）求空欹器自由懸掛平衡時Z軸與豎直方向的夾角。（2）求空欹器繞一對懸掛點(diǎn)所在軸的轉(zhuǎn)動慣量及其在平衡位置附近微振動的角頻率（已知密度為P、半徑為R的勻質(zhì)球體繞過其質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量為1=￡npR5；半徑為R、長度為L的勻質(zhì)圓12柱體繞過其質(zhì)心且平行于圓柱底面的軸的轉(zhuǎn)動慣量為I=兀卩R2L3R2*L））122（3）讓空欹器自由懸掛，并開始往欹器內(nèi)緩慢注水，問欹器內(nèi)水面到底部的距離h為多少時器身正立?4）簡述“滿則覆”的臨界條件。第37屆全國中學(xué)生物理競賽決賽參考答案第一題參考解答：（1）中子以初速度與靜止的靶核發(fā)生碰撞，碰撞前瞬間初速度方向與兩球球心連線之間的夾角為a。在兩球心連線和中子初速度方向所決定的平面上，令X軸沿兩球心連線，中子初速度垂直于連線的方向?yàn)閥軸。設(shè)碰撞后中子的速率為y,沿著x軸方向的速度分量為v，y軸方向的速度分量為\，碰撞后靶核速率為v，1解法（一）碰撞前后沿著x軸和y軸方向動量分別守恒mvcosa=mv+mv0x11①mvsina=mv0y這里v2+v2=v2xy解法（二）由碰撞前后動量守恒，碰前中子的動量mv、碰后中子的動量mv和碰后原子核的動量mv構(gòu)成一閉011m2v2+m2v2一2mmvvcosa=m2v2①011101式中，a是碰前中子的動量與碰后原子核的動量之間的夾角。能量守恒給出111mv2=mv2+mv2202211由①②式得mv2+4v2一2mvvcosa=0，11m1101從中解出2mcosav=v，1m+m01再把③式代入②式，得(m+m)2一4mmcos2av=+1vm+m01m2+m2一2mmcos2a++vm+m01當(dāng)a=0時v達(dá)到最大,12mv=v,1maxm+m01所以氫核的最大速率是2mv=vHm+m0H氮核的最大速率是2mv=v,Nm+14m0H由此解得14v一vm二nhmv一vHHN14x4.7x106—3.3x107m3.3x107一4.7x106二1.1mH再代入上面任意一式中，得v二m+mHv二3.07x10vm/so02mHi+10mv+mV=mv'+mV0Ni0Ni+11111⑦—mv2+—mV2=:—mv2+—mV2⑵速度為匕的氮14核繼續(xù)與速度卻0的第i個中子碰撞’在每次碰撞后獲得最大速率增量條件下’氮14核的速度變?yōu)閂，中子的末速度為v'，動量守恒和能量守恒分別為202ni202ni+1由⑦式得i-=1一a+a―i—1⑧vv00式中=0.847按⑧式逐次選代得VV—n=1—a+a—n—1=1—a+a1—vVI0o'V)1Va+^—n—2=1—a2+a2-^=2

v丿

oy—V=1—a3+a3—n-3v

01V1=???=1—an+an—0=1—anv0這里，應(yīng)用了題給條件V0=0所求的次數(shù)n滿足11mV2=x1.16mv22iv2Nn2H0即是1114m(1-an)2v2=x1.16mv22H02H0由⑨?式得，滿足方程的最接近的值是3）根據(jù)麥克斯韋速率分布mmv2f(v)=4n)3/2e「2kBTv22nkT速率取極大值的條件是可知最概然速率為v=

p2kT

B—

m最概然速率對應(yīng)的動能為E=1mv2=kT

p2pB設(shè)總粒子數(shù)為N,由動能分布函數(shù)定義可知為⑩?????由速率分布函數(shù)的定義可知2Ek2Ek)

mf(V)-Ndvdv—-dE2mE7k所以TOC\o"1-5"\h\zdN1\o"CurrentDocument"f(E)-一f(kNdE2mEkk結(jié)合上述幾個式子，化簡得到f(E)je-書E1/2(nt)3/2Bdf(E)動能取極大值的條件為上-0,dEk由此可知最概然動能為E--kT--E。kp2B2p評分標(biāo)準(zhǔn)：本題共40分，其中①⑦式各5分，②③④⑤⑥⑧⑨⑩???????式2分。第二題參考解答：(1)如圖所示，由于靜電平衡時導(dǎo)體為等勢體，球表面內(nèi)感應(yīng)電荷均勻分布，其鏡像電荷Q'位于球心位置。球外感應(yīng)電荷對應(yīng)的鏡像電荷為-Q'。由靜電平衡條件，該鏡像電荷必定處于球心和Q的連線上。容易得出，鏡像電荷的大小及-Q'距球心o的距離b分別為RR2Q，-fQ，b-f①aa設(shè)有等量異號點(diǎn)電荷±Q，與金屬球(導(dǎo)體球)球心O的距離均為a,由±Q產(chǎn)生的兩個像電荷為不Q］，由球面電像公式可得，像電荷大小Q及距球心O的距離b分別為1Q1RQ1RQ,aR2②O十0w/-0②O十0w/-0o十G勻強(qiáng)外電場E0可視為等量異號點(diǎn)電荷±Q在其連線中點(diǎn)處產(chǎn)生的電場，大小為當(dāng)afg時，bT0，因此一對像電荷干￡，可視為一位于球心O的電偶極子，其偶極矩p的大小為p=2Qb=2—0Q1a2由此可得TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"p=4ksER3④000已知q和—q間距為Al，由②式知，土q的像電荷的大小和位置分別為qRR2qi=A，bi=阪\o"CurrentDocument"r—r—-22qRR2\o"CurrentDocument"q2=A，b2=A\o"CurrentDocument"r+r+-22

由于d由于d《r，有qi=q2像電荷組成一對電偶極子，其偶極矩為：p=q(b-p=q(b-b)=112qRR2Alo0rAl2r2-—4R3qAlr3由⑧式知，各對像電偶極子的偶極矩以及該偶極子所在位置到兩球心的距離依次為⑩由⑧式知，各對像電偶極子的偶極矩以及該偶極子所在位置到兩球心的距離依次為⑩像電荷構(gòu)成的電偶極子的方向與導(dǎo)體球外的電偶極子的方向相同。4）如圖所示，當(dāng)空間電場方向有兩個相同導(dǎo)體球時，由外電場作用，會在兩球心位置處產(chǎn)生一對電偶極子p=4k8ER3000這一對像偶極子又會產(chǎn)生次級偶極子匕，接著產(chǎn)生P3，P4，…，如此無窮反射下去。p=4?！闑R3，b=0，r=r-b=r1000111R3人p=—op,b=2r31R2—0-

r1r=r一b22R3

p=fp,3r322R2—0-

r2R3R2p=亠p,b二一4,nr3n-1nrn一1n一1r二r一b；nn位于b0、電偶極距為p的電偶極子的電勢為p-(r-b)0—4k8|r一b|3

00取兩球連線的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸水平向右，坐標(biāo)原點(diǎn)為電勢零點(diǎn)則在球外空間任一點(diǎn)P（x,y）處的電勢為n=14K80n=14K80—一Ex?302x+r-b3n=14K8x-r+b2n02nx+r-b]2nx+r-b]2n丿nl乏卜一弓+◎]申(x,y=0)=無n=14K8兩球心連線上（球外）0兩球心連線上（球外）—P(x,y=0)=pn+藝pnr丁3rTdxn=12K￡x+——bn=12K￡x——+b02n02n的場強(qiáng)分布為E(x,y=0)=+E?30式中，像電荷構(gòu)成的電偶極子的方向與導(dǎo)體球外的電偶極子的方向相同。（5）設(shè)rT2R0，并保持兩球相互絕緣。由⑩??式可知113p2=(2)3pi，b2=2R0r=—Rp3=（|）3（2）3p1=（1）3p1-=-=r；nn0n—1p=p,b=R,nn1nn0由?式有E(x=0,y=0)=E±0n=1兀*PnrI-—b|302n=E+E工00n—13n=1n31———=E+4E藝1Ts000=1評分標(biāo)準(zhǔn)：本題共40分，其中①式5分，②③④⑤⑥⑦⑧⑩?????式各2分，??式各3分,???式各1分。第三題參考解答：(1)系統(tǒng)處于能量為E的概率滿足玻爾茲曼分布P*e-E/丘龍，有1—嚀p=pekBT10對于二能級系統(tǒng)，由原子處于不同能級的總概率為1，有p±p=110解得1±ekBTp1=—-ErekBT①②③④1±ekBT面計(jì)算量子奧托熱機(jī)循環(huán)過程中的各個物理量的增量。A-B量子等容過程中:不做功，即E二E，吸熱全部用來增加內(nèi)能，因此吸收熱量為ABA<E〉=Q二E(p-p)⑤11BBAB-C量子絕熱過程中：此過程是絕熱過程，不吸收或者放出熱，故p=P，內(nèi)能增量為BCA<E〉=(E—E)p⑥CBB對外做功W二-A<E)=—(E—E)p=(E—E)p⑦22CBBBCBC-D量子等容過程中：不做功，即E二E，放出的熱來自內(nèi)能減少，內(nèi)能的增量為CDTOC\o"1-5"\h\zA<E〉二E(p—p)⑧DAB放出熱量為Q二-A<E〉=E(p—p)⑨23CBAD-A量子絕熱過程中：此過程是絕熱過程，不吸收或者放出熱，內(nèi)能增量為A<E〉=(E—E)p⑩ADA對外做功W=—A<E〉=—(E—E)p=(E—E)p?44ADADAA⑶對量子奧托熱機(jī)，循環(huán)過程中吸熱Q1和放熱Q2,效率為E-^CE-^CQ1由于BY過程中，pB=pc，故有如下關(guān)系式

__E-ekBTB化簡后，再根據(jù)t=t有EE—B=—CTThC代入式有.E.T耳=1——卜=1—-C奧EThh量子卡諾循環(huán)示意圖如下：面計(jì)算量子卡諾熱機(jī)循環(huán)過程中的各個物理量。A—B過程:dQ1=Edp=Ed1111+e—kBTh丿=E1kTBh(、、—-ErekBTk1+e-爲(wèi)^Er—ekBTh1—-^rQkTkTekBTh丿(_-E1-1+ekBTh

V丿E—占一—eM；kTB~h(1+e所以此過程中吸熱：de-de-kBTh=JEBEA—eV1+e—kBTh丿E—件一帯ekBThkTB-h(1-件1+ekBTheEB1-十1+ekBTh11-~EC~"-~EC~"E1-ETC1+ekBekTW=-AE=——E22[-弓B1+ekBThC—D過程:過程C—D與A—B類似，均為等溫過程，放熱的計(jì)算可以類比式，并代入?和21式后有EE1+ekt吸熱：Q二一D-―C+kTln―BA3-卞-&B/1吩1+ekBTi1+e訕1+ekBTiT牙

卜ETa——hEa-1+ekBThT牙1ETbheb-1+ekBTh+kTlnBl1+ek*.1+贏Ed~ekT內(nèi)能：AE=一jE3-忌D1+ekBTl2425做功：W=QAE=EE+kTln1+ekBTh26333CDBl1+e薦D—A過程：吸熱：Q=0427對外做功等于內(nèi)能減少%ea~ekTW——AE—B1EekT-BhE2844—占D“-七A1+e唧1+ekBTh對量子卡諾熱機(jī)，循環(huán)過程中吸熱Q1和放熱Q4，將和24式代入效率計(jì)算公式Q-Q=—1牛Q1=1-￡Q1[T=1——bTh29其與經(jīng)典卡諾熱機(jī)的效率一致。然而T1<TC<Th，故由?和29式可知耳<耳奧卡因此量子奧托熱機(jī)的效率低于量子卡諾熱機(jī)的效率。評分標(biāo)準(zhǔn)：本題總分40分第（1）問總分6分，第①②式各2分，第③④式各1分：第（2）問總分10分，畫出量子奧托循環(huán)示意圖2分，4個循環(huán)過程每個對應(yīng)2分；即第⑤式2分，第⑥⑦⑧⑨⑩?式各1分：第（3）問總分24分，計(jì)算量子奧托循環(huán)效率5分，計(jì)算量子卡諾循環(huán)效率和比較它們的大小總共19分;即第?????式各1分,第???式總共7分,第?⑥2223式總共5分,第2425⑥式共3分，第2728式共2分，第2930式共2分；第四題參考解答：V11）一束頻率為f的光波被流體中運(yùn)動粒子所散射。光在流體中的傳播速度大小為C,粒子運(yùn)動速度大小為v（v?c）。由于多普勒效應(yīng)，粒子接收到的光頻率為vn廣二f(1+—cos9)c1式中91為光波入射方向與散射粒子運(yùn)動速度之間的夾角。同樣由于多普勒效應(yīng)，在散射方向上探測到來自粒子的散射光的頻率為1-vncos9c2其中9為散射光波傳播方向與散射粒子速度之間的夾角。2散射光與入射光的頻率之差為Af二f-f=fvn(cos9+cos9))c12已知粒子的速度為v=lm/s，光的頻率量級為11014Hz,Af二fVn(cos0+cosO)<2fvn沁0.7MHz<5MHz④c12c因此，分辨率為5MHz的光譜儀不能對以此速度運(yùn)行的粒子進(jìn)行探測。2)到達(dá)探測器的兩散射光1和2的電場為E=Ecos[2n(/+Af)t+0]101E二E二Ecos20[2n(f+Af')t+0其中Af、Af'Af分別為散射光1和2與原光頻率的頻率之差。兩散射光的合成光強(qiáng)為I(t)8E+E|212=E2+E^cos[4n(f+Af)t+20]+-E2^cos[4n(f+Af')t+20]+E2cos「4n(2f+Af'+Af)t+(0+0)]+E2cos「2n(Af-Af')t+0-0012012式中，第一項(xiàng)是常量：中間三項(xiàng)的變化頻率為光頻及其和頻，探測器的頻率響應(yīng)跟不上其時間變化它們實(shí)際上表現(xiàn)為其時間平均值，也是常量；第五項(xiàng)的變化頻率是光頻的差頻。因此，探測器輸出的光電流為i(t)=kE2cos(2兀Aft+0-0)⑦0D12這里Af=Af-Af，D是光束1和光束2的散射光頻率差之差。由題意知，③式即為光束1的散射光頻率差，類似的，對于光束2獲得的頻率差為Af'=fVn(cosO'+cosO)c12因此光束1和光束2的散射光頻率差之差A(yù)f=Af'-AfD=fvn(cos0'—cos0)c112fvn.aqsincospc2其中,卩二丄(0r+0-n)o11211因?yàn)楣怆娏餍盘杻H僅與散射光頻率差之差相關(guān)，與。沒有關(guān)系，2所以此方法對速度的測量與散射光的方向無光。(3)如圖b所示，黑色粗線所包圍的菱形為兩對稱射入相干平行光束相交區(qū)域，藍(lán)色細(xì)線代表區(qū)域內(nèi)的光線，對于位于z軸上的各點(diǎn)來說Ae=0，因此在相交區(qū)域z軸上的各點(diǎn)干涉相長(比如O點(diǎn)與O'點(diǎn))，將呈現(xiàn)干涉相長明條紋。過O點(diǎn)做垂線OA垂直于AP，OB垂直于BP，因此兩相干光到P點(diǎn)相對于O點(diǎn)的相位差為2n4na了(AP+BP)=丁dSinI其中d為P點(diǎn)到X軸的距離。類似的，對O'點(diǎn)做垂線O'A'垂直于AP，O'B'垂直于BP,因此兩相干光到P'點(diǎn)的相位差為=弓(AP+BP)=4ndsin罟因此，對于相交區(qū)域內(nèi)P'P上的各點(diǎn)干涉情況一致，由圖中幾何關(guān)系可知，P'P平行O'O,如果各點(diǎn)滿足n的偶數(shù)倍，則干涉相長，TOC\o"1-5"\h\z4na-dsin=2jn,(j=0丄2,…)\o"CurrentDocument"九2所以，第零級明條紋在相交區(qū)域內(nèi)X軸上，其余明條紋將平行于X軸，呈等間距分布。形成亮條紋兩個相鄰明條紋之間相位差2n,有\(zhòng)o"CurrentDocument"2dsin(a/2)=X，?因此干涉條紋間距為Xd=?2sin(a/2)由于光強(qiáng)明暗相間的結(jié)果，每當(dāng)粒子運(yùn)動到明場時將散射出一個光脈沖，所以光脈沖的頻率與粒子速度的豎直方向分量有關(guān)。粒子穿越相鄰兩條亮紋的時間為vcos卩于是光脈沖頻率為￡2fvn.aqf=sincospDc2解法二：兩束入射光的方向分別為八a?.a-e=cos—i+sin—/TOC\o"1-5"\h\zi22八a?.a-e=cosi-sin/\o"CurrentDocument"i22在位矢r處，兩束光的相位差為2兀a?二——（r-e-r-e）九12所有相位差都為a?的場點(diǎn)滿足的方程為a2兀\o"CurrentDocument"A?=2ysin—2九可見干涉條紋為一系列與X軸平行的直線。條紋間距d滿足九2sin(a/2)粒子穿越相鄰兩條亮紋的時間為dvcosP于是光脈沖頻率為2fvna

f=sincospDc2評分標(biāo)準(zhǔn)：本題共40分，①②④⑤⑧⑨⑩???各2分，③⑥⑦??式各4分。第五題參考解答：（1）星際介質(zhì)處于等離子態(tài)，由于正離子質(zhì)量遠(yuǎn)大于負(fù)離于（電子）的質(zhì)量，因此在電場的作用下電子運(yùn)動，而離子可視為不動。星際介質(zhì)的離子數(shù)密度很小，離子間的碰撞可忽略。

電子的運(yùn)動是低速的，電磁波的磁場對電子的作用也可忽略。設(shè)電子的運(yùn)動速度為V,則電子受到的洛倫茲力為F=-e(E+vxB)由于E與電磁波傳播方向垂直，B與傳播方向平行，vxB與傳播方向垂直，故F與傳播方向垂直，從而使電子在垂直于信號傳播方向的平面中作圓周運(yùn)動。由牛頓第二定律有eE土evB=0MV2——eR式中，v=2nfRe土對應(yīng)于電子兩個不同的旋轉(zhuǎn)方向。由②③式得R=

eeER=

e0eB~2nmf(2nf+IB)eMe解法(二)電子在洛倫茲力作用下的運(yùn)動方程為mx(t)=-e[E(t)+x(t)xB]式中E(t)為該點(diǎn)電磁波的電場E(t)三E+IE=Exy0這里?=2nf，而0(t)是在垂直于電磁波傳播方向的平面(作為復(fù)平面)上電場的輻角。在上述復(fù)平面上TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"x(t)=Re土血②e式中，①可理解為該電子回轉(zhuǎn)的角速度。由②式和x(t)與B正交可知\o"CurrentDocument"X(t)xB=±I[?xx(t)]xB=土ix(t)(w-B)=±I?Bx(t)③由①②③式有-m32R=-e[e±3RB]e00此即

eE0eB2nf(2nf+—)m（2）星際介質(zhì)中單位體積內(nèi)的電子數(shù)為n，所以介質(zhì)的極化強(qiáng)度為eP=一neRee電位移矢量為D=￡E+P=(￡—e)E⑥004n2mf2+2nfeBe從而得到介質(zhì)的介電常數(shù)ne28=8—Lo4n2mf2+2nfeBe折射率n為f2Pf(ff)B0式中.=eBB0式中.=eBB2nme由波矢、頻率和折射率的關(guān)系k=n（①=2nf）和⑦式得，群速度為cd?=1dk=dTdnn+?d?ncB?2?2dnn+?d?ncB?2?2n2=1—p=1土

?(?干?)B(1（丄-」一）

??干?Bdn?=+

d??2——P-2n??BV5）2丿=_?2+2??+?2=?22??+2n??(?￡f)2=2n?(?+?)2BBBncncV=c^=—g丄?dnf2n+五1土tErB在介質(zhì)中群速度為零的電磁波是不能在該介質(zhì)中傳播的，V=0⑩gf2干ff-f2=0V=0⑩gf2干ff-f2=0BP舍去方程的負(fù)根，得到能通過星際介質(zhì)的最低電磁波頻率為f=1f2+4f2土f)=彳］B+絲土—］?c2NBpB4兀［Y—2s——'e0ee丿當(dāng)B=0時f=f，這正是把f稱為等離子體特征頻率的原因。cpp(3)頻率為f的電磁波信號通過該介質(zhì)達(dá)到地球的時間比其在真空中傳播的時間延遲量為將⑨式代入?式，并注意到fp?f，%<<f，有At=1J1+c0jf±也Idl-d=DxDM1±DXDM2f22f3丿c1f222f31e2nde2f2c4n2s—0e.ddld1At=JoVcc

g1e2nde2f2c4n2s—式中1±f2f+f2±龍f(fif)2f亍BBdl-dcDM1=Jdndl=nd0ee_e22n—sce0DM2=JdnBdl=nBd0eeD三e—28n3s2—2c0e⑷由波數(shù)與折射率關(guān)系k=滬及方程⑦(在fp?f，fB?f的近似下),k(f)=込c0c在區(qū)間d中兩種不同信號的相位①差為dl?丿利用近似fp?f，fB?幾得到達(dá)地球時的相位變化為nBd?4n28m2cf2e0eIIdl2f3丿|人①=d2nf1—車+fIIdl2f3丿|0Il2f22f3丿fnBdfnBdl—e3Bdne—4n28m2cf20e2ne2ecf24n28m2兀m0ee

e3dnBdl4兀28m2cf20e0e(5)當(dāng)電子密度出現(xiàn)漲落時，就會引起折射率的變化，由⑦式得Af2AnAn——pe2nf(f+f)nBe由波矢、頻率和折射率的關(guān)系k-滬得到波矢的變化Ak-絲An-—:f、、竺cncIf+f丿nBe于是，某頻率脈沖星信號通過電子密度出現(xiàn)漲落區(qū)間產(chǎn)生的相位移動為A①—一aA①—一aAk—nf2BAneane評分標(biāo)準(zhǔn)：本題共40分，其中①③⑤⑥⑦⑧⑨⑩?????????式各2分，②④式各3分。第六題參考解答：1)入射高能質(zhì)子的動量為P-占-M2c2—6.735GeV/cc2P產(chǎn)生的反質(zhì)子的動量P—P—1.684GeV/cP4

或者E+Me2二4E_pppE_=pPe2+M2e4ppp反質(zhì)子的運(yùn)動速度Re2Pe2V=t=p=0.873epE-\；'P2e2+M2e4反質(zhì)子從S運(yùn)動到S的時間12t~==45.8ns。pVpn介子的能量①②③④E=E+m=E_—M_+m①②③④TOC\o"1-5"\h\znk,nnppnn介子的運(yùn)動速度為2—m2e4廉n2—m2e4廉n=0.992enEEnnn介子從S運(yùn)動到S的時間12t==40ns。nVn(2)粒子的速度為v,媒質(zhì)中的光速為e/n。若v>e/n，粒子從1運(yùn)動到2時，粒子在其運(yùn)動的路徑上的各點(diǎn)所激發(fā)的媒質(zhì)中的電磁場形成一個圓錐形包絡(luò)面,如下圖所示。COS0env所以COS0env所以0=arccosenVii3)球面鏡的焦距f二R/2?焦平面上光環(huán)的半徑r二ftan9二￡：(nV)2-12Yc4)由動量守恒，Ymv+丫mv+ymv=0,兀12兀23兀3能量守恒，mc21)+mc2+mc2兀1n2n3以及Y1-vi2c2由動量守恒p+p+p=0,123TOC\o"1-5"\h\z能量守恒，?」+Ek,2+Ek,3=Q?以及E=p'p2c2+m2c4一me2?k,i弋inn得p=QJd2+2dK，其中K=me2/Q,d二K(y—1),iC"iinii于是3個n介子的動量大小pi、p2、匕滿足p.+pj>pk，{i，k}={123}d1、d2、d3可能的分布范圍為:d2+2dK<、:d2+2dK+、■d2+2dK112233d2+2dK<*d2+2dK+■d2+2dK2^1133d2+2dK<、■d2+2dK+pd2+2dK311V22在坐標(biāo)系中，d=y，d=—G.;3x+y—1)/2，d=(J3x—y+1)/2?123把?式代入?式得2(3K+1)y3—6(3K+1)x2y+(12K2—1)y2+3(2K+1)2x2—2(4K+1)Ky<0.?若m=0，則K=0，于是n(y—1/2)(y疽x)(y+朽x)<0表示三條邊的中點(diǎn)連接成的三角形區(qū)域。評分標(biāo)準(zhǔn)。本題共40分，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩?每式2分，??????每式3分。第七題參考解答：（1）假設(shè)整個欹器是實(shí)心時，它分為長圓柱部分（I）和半球部分（II）。在坐標(biāo)系XOZ中，圓柱部分質(zhì)心的位置為：x=0，z=1=RCICI2半球部分質(zhì)心的位置為：=—善3R=—0.6495R①TOC\o"1-5"\h\zJ0PK(R2—=—善3R=—0.6495R①x=0，Z=一R2=—~RCI1CI1J0pk(R2—z2)dz82—R2122設(shè)整個實(shí)心體的質(zhì)心坐標(biāo)為（%=°，%），則2\2\pnR31+p_nR3z于是=pnR311-p2nR3週c實(shí)223283(212-R2)5(3--J3)=?=R=0.3962R4(31+2R)162相應(yīng)地，整個欹器空心部分的質(zhì)心坐標(biāo)為3(212-R2)21x=t=0.3R，z=f=R=0.6563RC空c空4(31+2R)321設(shè)m實(shí)和m空分別是整個欹器是實(shí)心時欹器的質(zhì)量和整個欹器空心部分剛好填實(shí)所需的質(zhì)量’有二pnR2(當(dāng)+1)113m二p二pnR2(當(dāng)+1)113實(shí)123空整個瓶子的質(zhì)心坐標(biāo)為mx整個瓶子的質(zhì)心坐標(biāo)為mx+（-m）xx—實(shí)c實(shí)（——空）c實(shí)Cm+-m實(shí)空/R2t(3/+2R)、31(R2-R2)+2(R3-R3)2121=屮R71177Rmz+(-m)=屮R71177Rmz+(-m)zz=—實(shí)C實(shí)空C空cm+-m實(shí)空4「引（R3(R+R)(212-R2-R2)2J/21、'+R)+2\R2+RR+R2J212211-3—二護(hù)-5)R=訃2R12^/3懸掛點(diǎn)的位置為（-ioR話R），欹器內(nèi)沒裝水懸掛時欹器傾斜的角度為z-z25(^3-3)0=arccotQ=arccot一0x-x121CQ=0.707439x竺=40.5333。兀2）由球繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量知，半球繞其底面圓直徑的轉(zhuǎn)動慣量為二11二—npR5ii2i15由平行軸定理知，半球繞穿過其質(zhì)心且平行其底面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為22832(3￥I=npR5+—pnR3X2+-R+z實(shí)48012312Q(82Q丿中間為實(shí)心時欹器繞懸掛點(diǎn)連線的轉(zhuǎn)動慣量+1+pnR2l2121c2(3￥I—一np1c2(3￥I—一npR3-Rf18丿11383480npR5二0.1729npR579588+75916050pnR5=15.3283pnR511「（\(/)22「（\(3￥I=I+pnR2/VX+tP+——z+1+—pnR3Vx+tP+-R+z空211Q12Q丿1c311Q(81Q丿空心部分繞懸掛點(diǎn)連線的轉(zhuǎn)動慣量⑨6050-(24953-3850⑶pnR5=3.0223p赧605011欹器繞懸掛點(diǎn)連線的轉(zhuǎn)動慣量實(shí)空(54635+實(shí)空(54635+11441J3)

6050pnR5=12.306pnR511質(zhì)心到懸掛點(diǎn)軸線的距離、2/R2、2/R2t(3/+2R)、+引(R2—R2)+2(R3—R3)+XQ2121丿3(R+R)(2l2—R2—R2)

引(R+R)+2\R2+RR+R2丿-212211-、2(3'3—(5)"2'30848—17541pnR3=0.02722pnR3110$2(30848—17541p)163905+343233110$2(30848—17541p)16