五年級奧數(shù)教程

五年級奧數(shù)教程五年級奧數(shù)教程五年級奧數(shù)教程資料僅供參考文件編號：2022年4月五年級奧數(shù)教程版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：目錄第一講奇妙的幻方………………3練習(xí)卷……………….……9第二講可能性的大小（游戲與對策）…………10練習(xí)卷…………………12第三講圖形的面積（一）………13第四講認(rèn)識分?jǐn)?shù)…………………17練習(xí)卷……………………21第五講行程中的相遇（相遇問題）……………22練習(xí)卷……………………26第六講公因數(shù)與公倍數(shù)…………27綜合演練…………………….…31第一講幻方（第一課時(shí)）【知識概述】在一個(gè)n×n的正方形方格中，填入一些連續(xù)的數(shù)字，使得所有的橫、豎、斜列所加之和都相等，這樣的正方形方格叫做幻方?；梅揭话惴譃槠鏀?shù)幻方和偶數(shù)幻方。（n是幾就表示為幾階幻方）。本講，我們將來學(xué)習(xí)這方面的知識。例題講學(xué)例1在一個(gè)3×3的表格內(nèi)，填入1-9九個(gè)數(shù)，（不能重復(fù)，不能遺漏），使得3個(gè)橫列、3個(gè)豎列和2個(gè)斜列所加之和都相等。可以怎樣填？【和為15】【思路分析】這樣的3×3幻方，在填寫時(shí)有一定的規(guī)律和口訣：二、四為肩，六、八為足，左七右三，戴九履一，五為中央。【注：戴指頭，履指腳?！吭囋囂钜惶畎?！幻方（第二課時(shí)）知識概述：上一講中，我們講述了如何填寫3×3的幻方，其實(shí)在幻方的知識世界里，像3×3、5×5、7×7……像這樣幻方，稱之為奇數(shù)幻方，這一講我們將來學(xué)習(xí)如何填寫五階幻方。例題：在一個(gè)5×5的方格中，填入1-25這25個(gè)數(shù)字，使5個(gè)橫列、5個(gè)豎列、2個(gè)斜列所加之和都相等。先試試看！看樣子，要想順利填寫好這么多的表格，還真的不容易，沒有口訣真的不行，下面這個(gè)口訣要記牢：一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框時(shí)左邊寫，上出框時(shí)下邊放，雙出占位寫下方。2918574610101031129你能按順序繼續(xù)寫下去嗎？試試看吧！幻方（第三課時(shí)）根據(jù)上講中的方法，把口訣運(yùn)用到所有的奇數(shù)幻方中，可以繼續(xù)填寫七階幻方、九階幻方、十一階幻方……，本講，我們繼續(xù)試著填寫七階幻方和九階幻方?！舅悸伏c(diǎn)撥】再來重溫一下口訣吧！一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框時(shí)左邊寫，上出框時(shí)下邊放，雙出占位寫下方。1432①把1-49這49個(gè)數(shù)字填入下面方格內(nèi)，使得所有的橫、豎、斜列所加之和都相等。②把1-81這81個(gè)數(shù)字填入下面表方格內(nèi)，使得所有的橫、豎、斜列所加之和都相等。幻方（第四課時(shí)）上面三講我們學(xué)習(xí)了奇數(shù)幻方的填法，那么偶數(shù)幻方該怎樣填呢？下面這節(jié)課我們將來學(xué)習(xí)四階幻方的填法。例題講學(xué)將1-16這16個(gè)數(shù)填入下面這個(gè)4×4的方格內(nèi)，使得所有的橫、豎、斜列所加之和都相等。【思路點(diǎn)撥】首先，偶數(shù)幻方的填寫不像奇數(shù)幻方那樣有規(guī)律，它的填寫要求是：調(diào)換（數(shù)與數(shù)間的調(diào)換）先把1-16這16個(gè)數(shù)按順序填好。如：12345678910111213141516第二步：畫兩條對角線，把對角線所劃住的數(shù)字不動(dòng)。12345678910111213141516第三步：把對角線沒劃住的地方的數(shù)字進(jìn)行交叉調(diào)換。215，314,512,89，最后形成新的方格。11514412679810115133216幻方（第五課時(shí)）知識概述對于幻方中偶數(shù)幻方的知識，是非常多的，至于八階幻方，十二階幻方等是四的倍數(shù)的幻方有統(tǒng)一的方法與技巧：偶階幻方分兩類:雙偶數(shù):四階幻方，八階幻方、十二階幻方,....,4K階幻方，（K表示一個(gè)非零自然數(shù)）可用<對稱交換法>,方法很簡單:1)把自然數(shù)依次排成方陣2)把幻方劃成4×4的小區(qū),每個(gè)小區(qū)劃對角線,3)把這些對角線所劃到的數(shù),保持不動(dòng),4)把沒劃到的數(shù),按幻方的中心,以中心對稱的方式,進(jìn)行對調(diào),【與4×4幻方的方法一樣】5）幻方完成!12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364現(xiàn)在試著完成一下八階幻方吧你能否再按照上述方法完成一個(gè)十二階幻方呢？同步精練：把1-144這144個(gè)數(shù)填入12×12的方格內(nèi)，使其成為一個(gè)十二階幻方。恭喜你順利完成了考驗(yàn)！練習(xí)卷按要求填寫幻方：三階幻方四階幻方五階幻方七階幻方八階幻方九階幻方第二講可能性的大?。ㄓ螒蚺c對策）例題講學(xué)例1有一堆棋子共53顆，甲、乙兩人輪流從中拿走1顆或2顆棋子。規(guī)定誰拿走最后1顆棋子，誰就獲勝。如果甲先拿，那么他有沒有獲勝的策略？

【思路點(diǎn)撥】由于甲、乙兩人輪流從中拿走1顆或2顆棋子，即每次保證兩人共拿走1+2=3顆，53顆共要取53÷3=17（次）……2（顆），即要保證甲先取獲勝，那么甲應(yīng)先取余下的那2顆。這樣下面輪流時(shí)，甲只需要與乙拿的總和是3就必勝無疑了。技巧關(guān)鍵看兩個(gè)人拿的時(shí)候最多合拿幾個(gè)，然后再看看剩余幾個(gè)，就把那剩余的先拿走，這樣先拿的人就容易取勝了。技巧同步精練有287個(gè)球，甲、乙兩人用這些球進(jìn)行取球比賽，比賽規(guī)則是：甲、乙兩人輪流取，每人每次最多取2個(gè)，最少取1個(gè)，取最后一個(gè)球的人為勝利者。甲要想獲勝，他應(yīng)該如何安排？2、有388個(gè)球，甲、乙兩人用這些球進(jìn)行取球比賽。比賽的規(guī)則是：甲乙輪流取，每人每次取1個(gè)、2個(gè)、或3個(gè)，取最后一個(gè)球的人為失敗者。如果甲先取，甲為了取勝，他應(yīng)該采取怎樣的策略？

3、有197粒棋子，甲乙二人分別輪流取棋子，每次至少取1個(gè)，最多取4粒，不能不取，取到最后一粒的為勝者，現(xiàn)在兩人通過抽簽決定誰先取你認(rèn)為先取的獲勝，還是后取的獲勝

第二講可能性的大?。ㄓ螒蚺c對策）第二課時(shí)例2有兩堆火柴，一對26根，一堆11根。甲乙兩人輪流從中拿走1根或幾根，甚至一堆，但每次都只能在一堆里拿火柴，誰拿走最后一根算誰贏，問甲如何取勝？【思路點(diǎn)撥】這是另一類對策游戲。我們先考慮特殊情況。當(dāng)兩堆的火柴根數(shù)相同時(shí)，后取者只要根據(jù)先取者的取法，在另一堆里取相同的根數(shù)，就能保證取到最后一根。對一般情況，可設(shè)法將它轉(zhuǎn)化為特殊情況，所以要先取走多的那幾根就行了。同步精練1、有兩個(gè)箱子分別裝有63、108個(gè)球。甲、乙二人輪流在任意一個(gè)箱子中任意取球。規(guī)定取到最后一個(gè)球的為勝者。甲先取，他應(yīng)如何才能獲勝2、取兩堆石子，游戲雙方理你從其中的任意一堆拿走一粒或幾粒石子（甚至可以把這堆石子一次拿走完），但每次至少拿1粒，不準(zhǔn)同時(shí)在兩堆中拿，誰拿最后一粒誰就獲勝，問如何才能取勝3、下面是個(gè)圓形，兩人輪流在圓形中畫規(guī)定了大小的△，沒人每次畫一個(gè)△，所畫的△不能與已畫的相交或重疊，圓形總有被畫滿的時(shí)候，誰畫最后一個(gè)△，誰就獲勝。如何才能獲勝？

練習(xí)卷1、有一枚骰子，六個(gè)面分別寫著1-6六個(gè)數(shù)，兩次擲這枚骰子，將兩次朝上的面上的數(shù)相加，和的個(gè)位數(shù)字最大的可能性是（）。2、有102粒紐扣，兩個(gè)人輪流從中取幾粒，每人至少取1粒，最多取4粒，誰取到最后一粒，就算誰輸。問保證一定獲勝的策略是什么？3、桌面上有199根火柴，甲、乙兩人輪流地取1根或2根，誰取到最后一根火柴為勝，問獲勝的策略是什么？4、王叔叔體重75千克，他從地里摘了2筐西瓜，每筐35千克，王叔叔回家要經(jīng)過一座小橋，小橋只能載重100千克，請你給他想個(gè)辦法，讓他和西瓜一次安全地過河去。5、一筆畫出（筆尖不離開紙）由四條線段連接而成的折線，把下面九個(gè)點(diǎn)串起來，你能做到嗎？

第三講圖形的面積（一）第一課時(shí)例題講學(xué)例1已知平行四邊形的面積是28平方厘米，求陰影部分的面積。5厘米4厘米4厘米【思路點(diǎn)撥】4厘米既是平行四邊形的高，也是陰影三角形的高，平行四邊形的面積是28平方厘米，它的底為28÷4=7（厘米），平行四邊形的底減去5厘米就是三角形的底，7-5=2（厘米）。根據(jù)三角形的面積公式直接求出陰影部分的面積。技巧技巧求陰影部分的面積最直接的方法是利用計(jì)算公式直接求陰影面積；還可以用總面積減去空白面積求得陰影部分面積。這兩種是最常用最簡便的方法。同步精練1.下面的梯形中，陰影部分的面積是150平方厘米，求梯形的面積。15厘米15厘米25厘米25厘米5厘米2．已知平行四邊形的面積是48平方厘米，求陰影部分的面積。5厘米6厘米6厘米3．如果用鐵絲圍成如下圖一樣的平行四邊形，需要用鐵絲多少厘米（

單位：厘米）

6961212第三講圖形的面積（一）第二課時(shí)例題講學(xué)例2下圖中甲和乙都是正方形，求陰影部分的面積。（單位：厘米）CC46BEFAG乙甲【思路點(diǎn)撥】圖中的陰影部分是一個(gè)三角形，它的三條邊的長都不知道，三條邊上的高也不知道。所以，無法用公式計(jì)算出它的面積。仔細(xì)觀察本題的圖，我們可以發(fā)現(xiàn)，如果延長GA和FC，它們會相交（設(shè)交點(diǎn)為H），這樣就得到長方形GBFH（如下圖），它的面積很容易求，而長方形GBFH中除陰影部分之外的其他三部分（△AGB、△BFC及△AHC）的面積都能直接求出。HHC46BEFAG乙甲同步精練1、求右圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）443432、求右圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）88855第三講圖形的面積（一）第三課時(shí)例題講學(xué)例3如圖所示：，甲三角形的面積比乙三角形的面積大6平方厘米，求CE的長度。4厘米4厘米ADEF乙BC甲4厘米【思路點(diǎn)撥】題目中告訴我們，甲三角形的面積比乙三角形的面積大6平方厘米，即甲-乙=6（平方厘米），而甲和乙分別加上四邊形ABCF后相減的結(jié)果還是6平方厘米，即：甲-乙=6（平方厘米）（甲+四邊形ABCF）-（乙+四邊形ABCF）=6（平方厘米）即：正方形ABCD-△ABE=6（平方厘米）這就是說正方形ABCD的面積比三角形ABE的面積大6平方厘米。用正方形的面積減去6就得到三角形ABE的面積，再用三角形的面積乘以2再除以AB，就得到BE的長度，從而求出CE的長度。同步精練1、四邊形ABCD是一個(gè)長為10厘米，寬6厘米的長方形，三角形ADE的面積比三角形CEF的面積大10平方厘米。求CF的長是多少厘米？

DDACEBF2、正方形ABCD的邊長是12厘米，已知DE是EC長度的2倍，求：（1）三角形DEF的面積。（2）CF的長。CCEADFB第四講認(rèn)識分?jǐn)?shù)第一課時(shí)《知識概述》把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)。其中的一份又叫分?jǐn)?shù)單位。分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系可以表示a÷b=（b≠0）。分?jǐn)?shù)可以分為真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)；分子與分母是互質(zhì)數(shù)，被稱為最簡分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)的分子與分母同時(shí)乘以或同時(shí)除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變，這就是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。例題精學(xué)例1：分母是91的真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)最簡真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)

【思路點(diǎn)撥】真分?jǐn)?shù)是指分子小于分母的分?jǐn)?shù)，最簡真分?jǐn)?shù)是指分子與分母互質(zhì)的真分?jǐn)?shù)。分母是91的真分?jǐn)?shù)一共有90個(gè)，分別是，，……,其分子是1～90的自然數(shù)。在這其中有分子和分母有除1之外的相同質(zhì)因數(shù)。要求最簡真分?jǐn)?shù)，那么分子中凡是91的質(zhì)因數(shù)的倍數(shù)都應(yīng)去掉。而91=7×13，在1～90的自然數(shù)中，7的倍數(shù)有13－1=12（個(gè)），13的倍數(shù)有7－1=6（個(gè)），這樣分子可取的數(shù)一共有90－（12+6）=72（個(gè)）。同步精練1.分母是51的真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)最簡真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)

2.分子、分母的乘積是420的最簡真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？3.分?jǐn)?shù)中的a是一個(gè)非零自然數(shù)，為了使這個(gè)分?jǐn)?shù)能夠約分，a最小是多少？

第四講認(rèn)識分?jǐn)?shù)第二課時(shí)例2把一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)的分子加上1，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于1.（1）如果把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分母加上1，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于，原分?jǐn)?shù)是多少？

（2）如果把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分母加上2，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于，原分?jǐn)?shù)是多少？【思路點(diǎn)撥】這道題有兩個(gè)小題，總的條件一樣。由于其他的條件不同，兩小題的得數(shù)是不同的。有總的條件來看，要求的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都比分母小1.（1）分母加上1，分子應(yīng)比分母小2，現(xiàn)在的分子比分母小1，說明進(jìn)行過約分了，未約分前的分子比分母小2，說明是用2約分的，也就是說原分?jǐn)?shù)的分母加上1之后，再把分子分母同時(shí)除以2所得到的分?jǐn)?shù)是，說明約分前是，這樣原分?jǐn)?shù)應(yīng)是。第（2）題請你自己思考。同步精練一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)的分子縮小5倍，分母擴(kuò)大9倍后是，原分?jǐn)?shù)是多少？

一個(gè)分?jǐn)?shù)約分成最簡分?jǐn)?shù)是，原分子、分母的和是90，原分?jǐn)?shù)是多少

第四講認(rèn)識分?jǐn)?shù)第三課時(shí)例3分?jǐn)?shù)的分子和分母都減去同一個(gè)整數(shù)，所得的分?jǐn)?shù)約分后是，求減去的數(shù)?！舅悸伏c(diǎn)撥】一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)間去一個(gè)相同的數(shù)后，分子與分母的差不變。原分?jǐn)?shù)的分子與分母的差是136－73=63，得到的新分?jǐn)?shù)的分子與分母的差也是63.而新分?jǐn)?shù)約分后變成，9－2=7，因此可知約去的數(shù)是63÷7=9.新分?jǐn)?shù)是=，這樣就可以求出減去的數(shù)是多少了。同步精練1.的分子、分母同時(shí)加上多少后就可以約分為

2.一個(gè)真分?jǐn)?shù)的分子、分母是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，如果分母加上4，這個(gè)分?jǐn)?shù)約分后是，原來這個(gè)數(shù)是多少？

一個(gè)分?jǐn)?shù)，分子加上1后，其值為1，分子減去1后，其值為，求這個(gè)分?jǐn)?shù)第四講認(rèn)識分?jǐn)?shù)第四課時(shí)例4分?jǐn)?shù)的分子減去某數(shù)，而分母同時(shí)加上這個(gè)數(shù)后，所得的新分?jǐn)?shù)化簡后為，求某數(shù)?！舅悸伏c(diǎn)撥】分子減去一個(gè)數(shù)，同時(shí)分母加上這個(gè)數(shù)，那么分子與分母的和不變。原分?jǐn)?shù)的分子、分母之和為55+64=119，說明新分?jǐn)?shù)的分子、分母之和也是119，而新分?jǐn)?shù)約分后是，分子、分母的和是4+13=17，因此可知約去的數(shù)是119÷17=7。新分?jǐn)?shù)為。這樣可以推算出這個(gè)原數(shù)了。同步精練1.的分子減去某數(shù)，而分母加上某數(shù)后約分為，求某數(shù)。2.有一個(gè)分?jǐn)?shù)，分子加上1可約分為，分子減去1可約分為，求這個(gè)數(shù)。3.一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分子加上16，分母減去166，那么約分后是；如果分子加上124，分母加上340，那么約分后是，求原分?jǐn)?shù)是多少？

練習(xí)卷1、填空題。（1）一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)的分子、分母之積是30，這個(gè)最簡分?jǐn)?shù)是（）。（2）一個(gè)最簡真分?jǐn)?shù)的分子、分母之和是15，這個(gè)最簡真分?jǐn)?shù)是（）。（3）分母是85的真分?jǐn)?shù)共有（）個(gè)，分母是85的最簡真分?jǐn)?shù)共有（）個(gè)。（4）一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母之和是90，約分后是，求原來的分?jǐn)?shù)是（）。（5）一個(gè)最簡真分?jǐn)?shù)，把它的分母擴(kuò)大5倍，而分子縮小4倍，化簡后是，求這個(gè)最簡真分?jǐn)?shù)是（）。2、分?jǐn)?shù)的分子分母同時(shí)加上同一個(gè)自然數(shù)，新分?jǐn)?shù)化簡得，求這個(gè)自然數(shù)。3、分?jǐn)?shù)的分子加上一個(gè)數(shù)，分母減去同一個(gè)數(shù)，新分?jǐn)?shù)化簡為，求這個(gè)數(shù)。4、一個(gè)真分?jǐn)?shù)的分子、分母是兩個(gè)相鄰的奇數(shù)，如果分母加上3后，這個(gè)分?jǐn)?shù)約分為，求原分?jǐn)?shù)是多少？

第五講相遇問題相遇問題中數(shù)量之間的基本關(guān)系式：速度和×相遇時(shí)間＝相遇路程相遇路程÷速度和＝相遇時(shí)間相遇路程÷相遇時(shí)間＝速度和【例1】：一輛公共汽車和一輛小轎車同時(shí)從相距450千米的輛兩地相向而行，公共汽車每小時(shí)40千米，小轎車每小時(shí)行50千米，問幾小時(shí)后兩車相距90千米？

【分析與解】兩車在相距450千米的兩地相向而行，距離逐漸縮短，在相遇前某一時(shí)刻兩車相距90千米，這時(shí)兩車共行的路程應(yīng)為（450-90）千米。需要注意的是當(dāng)兩車相遇后繼續(xù)行駛時(shí)，兩車之間的距離又從零逐漸增大，到某一時(shí)刻，兩車再一次相距90千米。這時(shí)兩車共行的路程為（450+90）千米。所以：（450-90）÷（40+50）=4（小時(shí)）或（450+90）÷（40+50）=6（小時(shí)）答：兩車在出發(fā)后4小時(shí)相距90千米，在出發(fā)后6再一次相距90千米。同步精練1.一個(gè)圓形操場跑道的周長是500米，兩個(gè)學(xué)生同時(shí)同地相背而行。甲每分鐘走66米，乙每分鐘走59米。經(jīng)過幾分鐘才能相遇？

2、兩地相距1200千米，甲乙兩輛火車從兩地相向而行，同時(shí)出發(fā)，甲每小時(shí)行120千米，乙每小時(shí)行180千米，多少小時(shí)后，兩車相差300千米【例2】甲乙兩列火車從相距770千米的兩地相向而行，甲車每小時(shí)行45千米，乙車每小時(shí)行41千米，乙車先出發(fā)2小時(shí)后，甲車才出發(fā)。甲車行幾小時(shí)后與乙車相遇？

【分析與解】甲、乙兩車出發(fā)時(shí)間有先有后，乙車先出發(fā)2小樹，這段時(shí)間甲車沒有行駛，那么乙車這2小時(shí)所行的路程不是甲、乙兩車同時(shí)相對而行的路程，所以要先求出甲、乙兩車同時(shí)相對而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙兩車同時(shí)相對而行的時(shí)間。乙車先行的路程：41×2=82（千米），甲乙兩車同時(shí)相對而行路程：770-82=688（千米），甲車行的時(shí)間：688÷（45+41）=8（小時(shí)）答：甲車行8小時(shí)后與乙車相遇。解題技巧：關(guān)鍵抓住先走的車，它所行的路程，把它所走的路程先刨除在外，然后計(jì)算兩車（人）真正相距的路程，是解答此類問題的關(guān)鍵。同步精練①小麗家距學(xué)校有1500米，中午11:40分放學(xué)回家時(shí)，小麗從學(xué)校以每分鐘50米的速度回家，走了4分鐘后，爸爸騎自行車從家出發(fā)去接小麗，爸爸的速度是每分鐘150米，爸爸出發(fā)多長時(shí)間會接到小麗？

②某送貨員從A鄉(xiāng)鎮(zhèn)往B鄉(xiāng)鎮(zhèn)去送貨，他以每小時(shí)40千米的速度開摩托車前往，走了0.5小時(shí)后，接貨人開汽車去接他，結(jié)果接貨人在出發(fā)2小時(shí)后接到了送貨員，已知接貨人的速度是每小時(shí)60千米。問：A、B兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)相距多少千米

【例3】兩地相距900米，甲乙二人同時(shí)同地向同一方向行走，甲每分鐘走80米，乙每分鐘走100米，當(dāng)乙到達(dá)目標(biāo)后，立即返回，與甲車相遇，從出發(fā)到相遇共經(jīng)過多少分鐘？

【分析與解】甲、乙二人開始是同向行走，乙走得快，先到達(dá)目的地后，然后返回，途中與甲相遇，這又變成了相遇問題，把同向走的時(shí)間與相遇走的時(shí)間相加就是共同經(jīng)過的時(shí)間。已到達(dá)目的地時(shí)間：900÷100=9（分鐘），甲9分鐘走的路程：80×9=720（米），甲距目標(biāo)還有：900-720=180（米），相遇時(shí)間：180÷（100+80）=1（分鐘），共用的時(shí)間為：9+1=10（分鐘）。同步精練1、兄妹二人同時(shí)離家上學(xué)，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米，哥哥到校門時(shí)，發(fā)現(xiàn)忘帶課本，立即沿原路回家去取，行至離學(xué)校2、甲、乙二人同時(shí)從A地到B地，甲每分鐘走250米，乙每分鐘走90米。甲到達(dá)B地后立即返回A地，在離B地3.2千米處與乙相遇，A、B兩地間的距離是多少千米？

【例4】：甲乙兩人同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行，距離是100千米，甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走4千米，甲帶著一只狗，狗每小時(shí)走10千米，這只狗同甲一道出發(fā)，碰到乙的時(shí)候，它又掉頭朝甲這邊走，碰到甲時(shí)又往乙那邊走，直到兩人相遇，問這只狗一共走了多少千米？

【分析與解】要求狗一共走了多少千米，如果你認(rèn)為求出狗與甲和乙相遇了多少次，每次用多長時(shí)間，那么你是求不出來的，因?yàn)檫@些都是無法知的量。問題可以這樣看，我們可以求出狗一共行了多長時(shí)間，狗行的時(shí)間其實(shí)就是甲乙二人相遇的時(shí)間，因?yàn)楣吩诩滓叶讼嘤銮笆且恢弊叩?，它中途并沒有停下來，所以，問題的關(guān)鍵又轉(zhuǎn)回了人身上。甲乙二人相遇時(shí)間：100÷（6+4）=10（小時(shí)）狗走的路程為：10×10=100（千米）。同步精練①甲乙兩隊(duì)學(xué)生從相隔18千米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，一名學(xué)生騎自行車以每小時(shí)14千米的速度在兩隊(duì)間不停地往返聯(lián)絡(luò)，甲隊(duì)每小時(shí)行5千米，乙隊(duì)每小時(shí)行4②A、B兩地相距400千米，甲乙兩車同時(shí)從兩地相對開出，甲車每小時(shí)行35千米，乙車每小時(shí)行45千米。一只鴿子以每小時(shí)50千米的速度和甲同時(shí)出發(fā)，向乙飛去，遇到乙車又折回向甲車飛來，遇到甲車又往回飛向乙車，這樣一直飛下去。鴿子飛多少千米時(shí)，兩車正好相遇？

練習(xí)卷1、一輛汽車和一輛摩托車同時(shí)從相距860米的兩地出發(fā)，相向而行，汽車每小時(shí)行45千米，摩托車每小時(shí)行70千米，6小時(shí)后兩車相距多少千米？

2、小強(qiáng)和小明家相距2400米，兩人同時(shí)從家中出發(fā)相向而行，小強(qiáng)每分鐘走50米，小明每分鐘走70米。求：（1）他們經(jīng)過多長時(shí)間相遇？（2）3分鐘時(shí)，他們還相距多少米？（3）15分鐘時(shí)，他們相距多少米？3、甲乙兩輛汽車同時(shí)從東西兩地相向開出，甲車每小時(shí)56千米，乙車每小時(shí)48千米，兩輛車在離中點(diǎn)32千米處相遇，求東西兩地間相距多少千米？

4、小明從甲地向乙地走，小強(qiáng)同時(shí)從乙地向甲地走，當(dāng)各自到達(dá)終點(diǎn)后，又迅速返回，行走過程中，各自速度不變，兩人第一次相遇在距甲地400米處，第二次相遇在距乙地150米處。問，甲、乙兩地之間相距多少米？

第六講公因數(shù)和公倍數(shù)第一課時(shí)【知識概述】我們知道：幾個(gè)數(shù)共有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)，其中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，一般地，把自然數(shù)a和b的最大公因數(shù)記為（a，b）。幾個(gè)數(shù)共有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，一般地，把自然數(shù)a和b的最小公倍數(shù)記為[a，b]。兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。即：（a，b）×[a，b]=a·b【例題1】有兩根彩帶，分別長45厘米和30厘米。現(xiàn)在要把這兩根彩帶剪成長度相等的短彩帶且沒有剩余，每段短彩帶最長是多少厘米？【點(diǎn)撥與解】這兩根彩帶要剪成長度一樣的小段，且無剩余，每段長度必是45厘米和30厘米的公因數(shù)。又要求每段盡可能的長，所求的每段長度就是45和30的最大公因數(shù)。（45,30）=15答：每段短彩帶最長是15厘米。同步精練陸老師買了36個(gè)本子、24支鋼筆，分別平均將給五（4）班三好學(xué)生，結(jié)果正好全部分完，問五（4）班最多共有多少名三好學(xué)生？

把一張長12厘米、寬20厘米的長方形紙，裁成同樣大小、面積盡可能大的的正方形，裁完后沒有剩余，至少可以裁多少個(gè)？、第二課時(shí)例2有一批地磚，每塊長45厘米，寬30厘米，至少要用多少塊這樣的地磚才能鋪成正方形地？

【點(diǎn)撥與解】要用這種地磚鋪成正方形地，可知正方形地的邊長是地磚長和寬的公倍數(shù)；又因?yàn)橐帽M可能少的地磚鋪地，可知鋪成的正方形地要盡可能小，即正方形地的邊長要盡可能小，所以正方形地的邊長是地磚長和寬的最小公倍數(shù)。[45,30]=90（90÷45）×（90÷30）=2×3=6（塊）答：至少要6塊才能鋪成正方形地。同步精練有一批強(qiáng)化地板，長150厘米，寬20厘米，至少要用多少塊這樣的地板才能鋪成正方形地？一路和二路公交車早上6點(diǎn)同時(shí)從汽車站發(fā)車，一路車每7分鐘發(fā)一輛車，二路車每8分鐘發(fā)一輛車。這兩輛車第二次同時(shí)發(fā)車是幾時(shí)幾分？柴油機(jī)上有兩個(gè)互相咬合的齒輪，甲齒輪有72個(gè)齒，乙齒輪有28個(gè)齒，其中某一對齒，從第一次相遇到第二次相遇，兩個(gè)齒輪各轉(zhuǎn)了多少圈第三課時(shí)例3兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是15，最小公倍數(shù)是300，已知其中一個(gè)數(shù)是75，求另一個(gè)數(shù)是多少？【點(diǎn)撥與解】根據(jù)兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積，可